培优进阶3 函数中的构造问题（课件PPT）-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教B版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数中的构造问题”专题，依据高考评价体系梳理了比较大小、解不等式、恒成立三大核心考点，通过分析近五年高考真题明确客观题占比60%、解答题中同构法应用占30%的高频考查方向，归纳出构造具体函数、抽象函数（与x、e^x、三角函数结合）等常考题型，形成系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+规律建模+素养提升”的复习策略，如以2025年山东菏泽二模题为例，通过构造f(x)=e^x - x培养数学思维中的推理能力，结合“导数符号判断函数单调性”的模型观念，总结出“结构分析—函数构造—单调性应用”的解题三步法。特设“易错点警示”和“分层测评”，助力学生高效掌握答题技巧，教师可据此精准实施专题突破，提升复习针对性。

高三总复习敦学（人教B 版) 新学案 第三章一元函数的导数及其应用 培优进阶3函数中的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式 出现，同构法构造函数也在解答题中有所考查.通过对已知等式或不等式 的结构特征进行分析，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问 题. 题型一构造具体函数关系 典例● (1)若实数a,b,c∈[0,1]，且满足ae=ea,be.2= 1.2eb,ce.6=1.6e,则a,b,c的大小关系为 A.c>b>a B.b>a>c ☑a>b>c D.b>c>a 解析 由ae=e,bel2=1.2eb,cel.6=1.6e,得8=，b=1 C=1. eae’eb 1.2’ ec e1. .令fx) 则/x)=二，当x<1时，f)>0,当x>1时，f)<0,所以 fx)在(-∞，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减，于是f1)>f1.2) >1.6),即a>b)>fc.又a,b,c∈[0,1]，所以a>b>c.故选C. (2)2025·山东菏泽二模)已知函数x)=(c一a一1)ex-bx(一a)在R上单调递 增，则b一a的最小值为 A.0 I c D.e 解析 根据题意，fx)=(x-a-1)e-bx(传-a)的定义域为R,fx)=ex十(x一a -1)e-[b(三一a)+贸]=(x-a)e*-b).由于f)在R上单调递增，所以 f(x)=(x-a)(ex-b)≥0在R上恒成立，因此a=lnb,即b=ea,因此b-a =ea-a.令函数g(a)=ea-a,所以导函数g(a)=ea-1.令g(a)<0,则a <0,令g'(a)>0,则a>0,所以g(a)在(0，+o)上单调递增，在(-∞， 0)上单调递减，所以g(a)min=g(0)=1,所以b-a的最小值为1.故选B. 规律方法 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变 量分别置于等号或不等号两边，找出结构上的共性，通过构 造函数，利用导数求函数的单调性加以解决· 对点练1.已知a=n2e,b=,c=号5+1，则a,b,c的大小关系为 A.c>a>b B/b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析一 根据题意，a= +1=+1，b=+1,c 15+1令)=x,则 2 e )当0<x<e时，>≥0，单阀递增：当x>e时，)<0， fx)单调递减.因为e<4<5,所以b=e)+1>a=4)+1>c=f5)+1, 故b>a>C.故选B. 教师备选 设a=1, b=In5 c 则a,b,c的大小关系为 6 0’ 10 12 Ye<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 解祈 令x)= In x2 x>0, 则fx)= 1-21n x3 .令fx)=0,得x=E,则x)在(0， √)上单调递增，在(Ve,十∞)上单调递减，b=fV⑤)，c=fV⑥)，则b> C又a-b=s-5_nca125>0,得a>b,所以c<b<a.故选A 6 10 30 30 题型二 利用x)进行抽象函数构造 角度1利用fx)与x构造函数 典例 已知x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，fx)一x)<0,且一2) =0,则不等式四>0的解集为 A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+∞) 9(-∞，-2)U(0,2) 解析 令8e)=fw x≠0.因为x)是定义在R上的偶函数，所以一x)=x).因为 g一=四=-因=一g0,所以g的为奇函教，所以g(-2)=一g2.因 -x 为-2)=0，所以g(-2)=g(2)=0.当x>0时，g'0x)=wf四<0， x2 所以g)在(0，十∞)上单调递减，此时不等式四>0的解集为(0,2).因 为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在（一∞，0）上单调递 减，所以当x<0时，不等式因>0的解集为（一-0，一2）.综上所迷述，不 等式四>0的解集为(-0，-2)U(0,2).故选D. 角度2 利用fx)与e构造函数 典例 (2025·湖南长沙模拟)已知定义在R上的函数fx)满足fx)+fx)<0, 且有)一。则不等式+)>+的解集为 A.(0,+∞) y(-∞，0) C.(2,十∞) D.（-∞，2) 解析 令Fx)=x)ex,则F(x)=fx)e+fx)er=er[fx)十fx)]<0,所以F(x)在 R上单调递减.又)=。则F()=)e=1.因为x+I)>e等价于x 十1)ex+1>1,即Fx十1)>F(1),所以x十1<1，可得x<0.即所求不等 式的解集为（一∞，0）.故选B. 角度3 利用fx)与sinx,cosx构造函数 典例 设x)是定义在（一π，0）U(0,)上的奇函数，其导函数为f(x),且 当x∈(0，π)时，f(x)sin x-x)cosx<0,则关于x的不等式x)<2()sin x 的解集-，0)（侣，） 解析 令g(x)=1 ,x∈(-元，0)U(0，,π)，则g'0=sinz=cos .因为当 sinx sin2x x∈(0，)时，fx)sinx一x)cosx<0,所以在(0，元)上，gx)<0,所以函数 gx)在(0，)上单调递减.因为y=),y=sinx是奇函数，所以函数gx)是偶 函数，所以函数g)在（一元，0）上单调递增. 解析 当r∈0，时，snx>0,则不等式)<2(g)sinx可化为 即 sinx 元 sin 6 g)<g(g),所以g<x<π：当x∈(-元，0)时，sinx<0,则不等式)< 如化-得s-》-0 综上可得，不等式的解集为(-，)（侣，） 规律方法 1.利用fx)与x(或x)构造 (I)出现xfx)十nfx)形式，构造函数Fx)=xfx). (②)出现f)一x)形式，构造函数F)=f国 2.利用fx)与e构造 (I)出现fx)十njx)形式，构造函数Fx)=emxf孔x) (②)出现f)一)形式，构造函数F)= enx. 规律方法 3.利用f)与sinx,cosx构造 (I)对于f(x)sinx+fx)cosx>0(或<0)，构造函数Fx)=fx)sinx. (②)对于fx)sinx-fx)cosx>0(或<0)，构造函数Fy=f sinx (3)对于f(x)cosx+x)sinx>0(或<0)，构造函数Fx) f cosx (4)对于f(x)cosx一fx)sinx>0(或<O),构造函数Fx)=fx)cosx. 对点练2.已知定义在R上的函数fx)满足fx)sinx+f(x)cosx>0,则 A.<V3) (g)<v3() c.f)>V3g) D./) 解析 令Fx)= Kx) x≠+km,k∈Z,故F)=f)cn>0恒成立， COSx 2 cos-x 故F)=C在(-+km,+km),k∈Z上单调递增，故F(g得< COSx 但恩退目=（月(） 3 故选B. 对点练3.已知定义在R上的函数x)满足x)<f(x)一2，则 A.2026)-e2025)<2(e-1) 2026)-e2025)>2(e-1) C.2026)-e2025)>2(e+1) D.2026)一ef2025)<2(e+1) 解析一 令g)=42,则g)=@)2>0,因此函数的是增函散，于是 ex er 得g2026)>g2025),即026+2>f也25)+2， e2026 e2025 整理得2026)-e2025)> 2(e-1),故B正确.故选B. 对点练4.（多选）已知函数x)是定义在R上的奇函数，当x>0时， fx)+2x)>0恒成立，则 1)<42)B.-1)<4r-2) C.16叭4)<93)D.4/2)>9-3) 解析 令gx)=xfx),因为当x>0时，xfx)+2孔x)>0,所以当x>0 时，g'(x)=2xx)+x2fx)=x[xfx)+2fx)]>0,所以gx)=x2x) 在(0，十∞)上单调递增.又x)为定义在R上的奇函数，y=x2为 定义在R上的偶函数，所以g(x)=x)为定义在R上的奇函数，所以 gx)在(-∞，0)上单调递增.由g(2)>g1),可得42)>1)，故 A正确；由g(-1)>g(-2),可得-1)>4孔-2)，故B错误； 由g(4)>g(3),可得164)>93)，故C错误；由g(-2)>g(- 3),可得4-2)>9-3)，故D正确.故选AD. 课时分层测评 1.函数x)的定义域是R,一1)=2，对任意x∈R,fx)>2,则 x)>2x+4的解集为 A.(-1,1)B.√1，+∞) C.(-∞，-1)D.(-∞，+∞) 解析 因为fx)>2x+4,所以x)-2x-4>0.令g(x)=x)-2x一 4,则g(x)=fx)-2>0,所以gx)为R上的增函数.又因为g( 1)=孔-1)-2×(-1)-4=0，所以由gx)>g(-1)=0得x>一 1.故选B. ①②③④⑤⑥⑦8⑨回回国4⑤6 2.已知a,B∈[-受，引，且asina一simB>0,则下列结论正确的是 A.3>B B.a+B>0 C.lal<BI Dlal>I8I 解析 令)=xsin,x∈【-分，引则-x)=-xsin(一)=-xsin x=),则 为偶函数.又f)=sinx+COS,当x∈[0，到时，f)≥0，所以y) 在区间0，到上单调递增，)在区间[-，0上单调递减.又asin a- Bsin B>0,即fa)>fB),所以|a|>IB|.故选D. ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨▣回国46 3.定义在R上的函数x)的导函数为fx),若对任意实数x,有x)> f(x),且x)+2026为奇函数，则不等式fx)+2026e<0的解集是 A.(-∞，0) B.(-∞，1n2026) 0，+∞) D.(2026,+∞) 解析 )= 则g'N=f田 ex 因为fx)>f(x),所以g'(x)<0,所以 g(x)为定义在R上的减函数.因为x)+2026为奇函数，所以f0)十2026 =0,0=-2026,g0)=g-=-2026,+2026e<0.即但< eo -2026,即gx)<g0),故x>0,所以x)+2026e<0的解集是(0，+∞)： 故选C. ①②④⑤⑥⑦8⑨回回国4⑤6 4.已知函数y=f)对任意的x∈(-2，)满足f)cosx一()sin x>0(其中 f(x)是函数x)的导函数)，则下列不等式成立的是( A(->2-) B.)<2) .20<写) D.V20)>fT) ①2③4⑤6⑦8⑨四回2③4固16 解析 令g)=fx)cos,x∈(-2，)，则gw)=fe)cosx-fx)sin>0,所以 g)在(-，)上单调递增，则g(-)<g(-),所以(-)s(-》 <(-)cos(-),即f(-)<V2-),故A不正确：则g()>g() 所以()cos>()cos即()>V2(),故B不正确：则g0)<8(), 所以0)cos0<(得)cos于即20)<()，故C正确：则g0)<g(),所以 f0)cos0<(9)cosF即V20)<f母)， 故D不正确.故选C 5.已知定义在R上的函数fx)的导函数为f(x),且3x)+fx)<0, n2)=1,则不等式exx)>8的解集为( A.(-∞，2)B.√，1n2) C.(ln2,+∞)D.(2,+∞) 解析 令gx)=e3xfx),函数g(x)的定义域是R,因为3x)+fx)<0,所 以g(x)=[e3fx)]'=e3r[3x)+fx)]<0,故g(x)为减函数.又因为 n2)=1,所以gn2)=e3nln2)=8,所以不等式e3fx)>8可 化为gx)>gln2),所以x<ln2,所以e3rx)>8的解集为(-∞， ln2).故选B. 6.若nx-ny<-己x>1,y>),则 Inx Iny /1 B.e-x<] C.ey-x-1>1 D.e-x-1<1 解析 报据题意，n品<ny品令0=1一≠0，则0=1+>0， Inx 所以)在(-∞，0)，(0，十∞)上单调递增.又x>1,y>1,得1nx>0, lny>0,则flnx)≤flny),由单调递增得lnx<lny,所以1<x<y,即y -x>0,所以e->e0=1,故A正确，B不正确；又y一x一1无法确定与 0的大小关系，故C、D不正确.故选A 教师备选 己知0<x<y<元，且e'sinx=e'siny,其中e为自然对数的底数，则 下列选项中一定成立的是 A.cos x+cosy<0B.cos x cosy0 C.cosx sin y D.sinx sin y ①2③4⑤6⑦8⑨四回2③4固16 解析 由0<x<y<元，且e'sin x=e'siny,得e=s ey 令)=0<x<, sinx siny sinx 则r)=(6inos四，当0<x<平时，)<0，函数)单调递减，当号 sin2x <x<π时，)>0，函数)单调递增，当)=)时，0<x<骨<y <π，因为0<x<y<π，er<ey,e=ey sinx siny 所以siny>sinx>0,所以牙 <y<π-x<π，所以cosy>cos(π-x)=-cosx,所以cosx+cosy>0. 故选B. ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨四回回国4⑤6 7.(多选)已知/)是的导函数，对任意x∈(0，习，f)cosx-+sinx≥0， 则下列结论正确的是 A.v2(g)>3()必()v) .v2(g<v3母)D.9>v2(g ①②③④⑤6⑦8⑨0▣2国4固6 解析 令g=因，则g=cin对于x∈(0，》，可得g> COSx cos2x 0,所以g)在(0，)上单调递增.因为<<骨所以g(月)<g(用)< 旧恩阻唱所以得号目，所以（目 cos T cos 4 3 V3),()<v3),(<v2f(母)故选BC. ①②包④⑤6⑦8⑨四回回国4西6 8.(多选)已知a>b>0,且aa=bi, 1 则 A.0<b<1 B.0<a<1 C1<b<e 解析 =两边月取自然对载得是=号令)=坚，由r)1世，由 1 a x2 fx)>0,解得0<x<e,由fx)<0,解得x>e,所以fx)在(0，e)上单调 递增，在(e,十∞)上单调递减，所以)在x=e处取得最大值e)=, 在(0，e)内，函数fx)有唯一的零点x=1,在(e,十∞)内，fx)>0.又因 为a>b>0且fa)=b)>0,所以1<b<e,a>e,故选CD. 9.已知函数x)是定义在R上的可导函数，其导函数为f(x),若1)= 4,且fx)一2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式2x-3)<2x(2x (23)的解集为 ⊙解析 令g(x)=x)-x2-3x,则g(x)=fx)-2x-3<0在R上恒成 立，所以g(x)是减函数·又2x-3)<2x(2x-3),即2x-3)一 (2x-3)2-3(2x-3)<0.又g(1)=1)-12-3×1=0,即g(2x 3)<8(1),所以2x-3>1,解得x>2,所以不等式2x-3)< 2x(2x一3)的解集为(2，+∞). ①②③④⑤⑥⑦⑧9▣回国46 10.已知函数)定义在(0，习上，f,)是它的导函数，且恒有)<fx)tanxh成 立，又知(g)=2, 则关于x的不等式x)>sinx的解集为 (62) 解析 因为)<ftan,所以fr)sinx-fx)cosx>0,x∈(0，)令g)= 品x∈(（0，).所以g)=m9>0,所以g在(0，引 sin2x 上为增函数.由>sn,5inx≥0，得1=息， sinx sin 即g)>g(g): 所以x>又0<<受所以<x<受所以不等式的解集为(G,) 11.(2025·江苏南京模拟)设函数fx)的导函数为f(x),当x≠0时满足xf(x)十 fx)=1,且(1)=2，则(-ln2),⑤)，(sin)的大小关系为 X-ln2)<⑤)<fsin) B.-ln2)<(sin)<⑨) C.f-In2)/sin D.(sin)<(分<-ln2) ①②③4⑤6⑦⑧⑨0m2341⑤6 解析 令g(x)=xfx),由g'(x)=xf(x)+fx).又xf(x)+fx)=1,即g'(x)=1, 则g(x)=x十k(k∈R,k是常数)，由g(x)=xfx),得g(1)=f1)=2,即 g(1)=1十k=2,得k=1,g(x)=x+1,所以fx)=1+1,易得fx)=1+ 1在(0，+o)上递减，且x<0时/)<1，x>0时，fx)>1,>sin>0 >-h2,从而(-ln2)<1<月(sin),所以-n2)<()<(sin): 故选A. ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨四ū回国4⑤6 12.已知0<x1<x2<1,下列不等式恒成立的是 A.x2exi<xex2 B.x2Inxxn x2 C,l血<hge4>ln ①2③4⑤6⑦8⑨四回2③4固16 解析 令)=且0<x<1,则/)=-e<0,放)在0,1)上道减，又0 <1,所以fx→<-→xe2<xe,数 X1 h=且0<x<1,h)=1>0,故4在0，上跪塔，又0< X x1<x2<1,所以hx2)>hx1)→x2lnx1<xlnx2,故B错误；令gx)=xnx 且0<x<1,则g)=1+lnx,所以在(0，)上g()<0,g)递减，在 (任，1)上g'(x)>0,g)递增，而0<x1<x2<1,此时不能比较g(x2, gx)的大小，所以无法确定xlnx,x2lnx2的大小，故C错误；由于0< x1<1,所以ex1>0,lnx1<0,故ex1>lnx1,故D正确.故选D. ▣②④⑤⑦⑧⑨四回2 3 14 16 13.已知a=ln1.1,b=e.1一1，c=sin0.1,则a,b,c的大小关 系为 a=b>c B.b>a>c 解析 C9gea1-s品，啸以=e-cosx, 当x>0时，e>1,所以e一 cosx>0,所以f(x)>0,fx)单调递增，所以f0.1)>f0),即e0.1-1-sin 0.1>0,所以e.1-1>sin0.1,即b>c;令g(x)=lnx+1)-sinx,所以 g)=-c0sx=1-+cosx=1-cosx-cos￥，令hm)=1-xCOS- x+1 x+1 X+1 cosx,所以h'(x)=(c+1)sinx-cosx.令p(x)=(x+1)sinx-cosx,所以 p')=2sinx十(x+1)cosx,当0<x<严时，px)>0,所以h'x)单调递增， 9 12 13 4 16 解析 所以nw)<h3=(传+1sing-cosg+6同<0，所以A)在x∈0，哥 6 12 上单调递减，所以h()<h(0)=0,所以g')<0,所以gx)在x∈(0，上 单调递减，又0<0.1<，所以g(0.1)<g(0)=0,即In1.1-sin0.1<0, 所以c>a.综上，b>c>a.故选C ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨回▣2国4因6 14.已知函数fx)及其导函数f(x)的定义域为R,1)=一1，且f(x)<3x)+ 6,则不等式n)+2>S的解集为0，包。 解析 构造函g)-,则g)=1ee[2eg-因2] (e3x)2 e3x -15<0,所以函数g)-2在R上单调递减.又由x)+2 e3x e3 +22得&w)g,所以InxI,解得0<x<,所亚 e3Inx 原不等式的解集为(0，e). ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨四回回国4⑤6 15.对，∈1,2，当<，时， 则实数m的取值范围是 /-∞，2] B.(-∞，2) C.(-∞，4] D.(4,+∞) 解析 报题意可知，不等式器 m 等价于 e2x1 e2x2 得ln e2x1 xm <In e2x2 pIn e2x1-In xm<In e2x2-In x2,2x-mln x1<2x2-mln x2:x1,x2∈[1,2]，x1<x2’令gx)=2x-mlnx,则gx1)<g(x2),所以 函数g(x)在区间[1,2]上单调递增，故g(x)=2-m≥0在区间[1,2]上恒 成立，即m≤2x恒成立.因为x∈[1,2]，所以m≤2.故选A. ①②③④⑤6⑦⑧ 回20 14 15 16 16.已知x∈（←员，身》则不等式enx-amx-anx会0的解集为 用 解析 esinx 不等式esinx--cosx-tanx≥0可化为e≥ ecosx 当x∈(-，)时，cosx osx ≥0.又en>0,所以票≥器令)=点，则cos≥sin.因为 )-长，所以当x∈(-，1)时，心>0：当x∈，十∞)时，f)<0, 所 以x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， ①②③④⑤⑥⑦⑧⑨四回回国4⑤6 解析 当x∈(-受，2)时，cosx∈(0,1，simx∈(-1,1)，所以cosr≥sinx, 即当x∈(-及，)时，tan≤l,所以x∈(-，引，即不等式emos -anx≥0的解集为(-受，用引 ①2③4⑤6⑦8⑨四回2国4固6 返回 谢谢观看 函数中的构造问题