第3章 培优进阶3 函数中的构造问题(课件PPT)-【金版新学案】2027年高考数学高三总复习大一轮复习（人教A版）

该高中数学高考复习课件聚焦“函数中的构造问题”，覆盖导数应用中比较大小、解不等式、恒成立等核心考点，依据高考评价体系分析构造具体函数与抽象函数的考查权重，通过典例归纳“同构法构造”“f(x)与e^x/sinx结合”等常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“题型分类突破+规律方法总结+真题实战”，如利用f(x)与e^x构造函数（典例3），总结F(x)=f(x)e^x的导数判断单调性方法，培养学生数学思维与模型观念。包含2025年模拟题及易错点分析，帮助学生掌握构造技巧，教师可据此系统指导，提升复习效率。

高三总复习数学（人教A版） 新学 第三章一元函数的导数及其应用 培优进阶3 函数中的构造问题 函数中的构造问题是高考考查的一个热点内容，经常以客观题形式 出现，同构法构造函数也在解答题中有所考查.通过对已知等式或不等式 的结构特征进行分析，构造新函数，解决比较大小、解不等式、恒成立等问 题 题型一 构造具体函数关系 典例1 (1)若实数a,b,c∈[0,1]，且满足ae=ea,bel.2=1.2eb,ce1.6 =1.6ec,则a,b,c的大小关系为 A.c>b>a B.b>a>c .a-b-c D.b>c>a 解析 由ae=e,bel2=1.2eb,cel.6=1.6e,得=，b=1:2 C=1 eae’eb- e1.2) ec .令x) e1. =点，则/x)=。,当x<1时，fx)>0,当x>1时，f0)<0,所以 fx)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减，于是1)>f1.2) >1.6),即a>fb)>fc).又a,b,c∈[0,1]，所以a>b>c.故选C. (2)(2025·山东菏泽二模)已知函数x)=(化一a-1)er-bx(-a)在R上单调递 增，则b一a的最小值为 A.0 1 c D.e 解析 根据题意，fx)=(x一a-1)ex-bx(-a)的定义域为R,fx)=er+(c-a -1)e-[b-a+]=x一ae-b).由于f)在R上单调递增，所以 f(x)=(x-a)(er-b)≥0在R上恒成立，因此a=lnb,即b=ea,因此b一a =ea-a.令函数g(a=ea-a,所以导函数g'(a=ea-1.令g(a)<0,则a <0,令g'(a)>0,则a>0,所以g(a)在(0，十o)上单调递增，在(-∞， 0)上单调递减，所以g(a)min=g(0)=1,，所以b-a的最小值为1.故选B. 规律方法 若题目所给的条件含有两个变量，可通过变形使两个变量 分别置于等号或不等号两边，找出结构上的共性，通过构造函 数，利用导数求函数的单调性加以解决 对点练1.已知a=1n(N2e),b=+1,c=ln5+1,则a,b,c的大小关系为 5 A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 解析 根据题意，a= +1=华+1，b+1,cg+1.令)=坚，则 2 e )0当0<<e时，0)≥0.)单调递增：当x≥e时，<0， fx)单调递减.因为e<4<5,所以b=fe)+1>a=4)+1>c=f5)+1, 故b>a>c.故选B. 教师备选 设a=,b=n5,c=n6, 10， 则a,b,c的大小关系为 10 A.c<b<a B.c<a<b C.b<c<a D.b<a<c 解析 令x)= Inx x2, x>0,则f)=1-2m令f=0,得x=VE,则在0， x3 √)上单调递增，在(W,十∞)上单调递减，b=f⑤)，c=fV6),则b> C.又a-b=1ns5=5-3n5_nesn125>0,得a>b,所以c<b<a.故选A 610 30 30 题型二 利用x)进行抽象函数构造 角度1利用fx)与x构造函数 典例2 己知x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，fx)一x)<0,且一2) =0,则不等式f四>0的解集为 A.(-2,0)U(0,2) B.(-∞，-2)U(2,+∞) C.(-2,0)U(2,+0) 9(-∞，-2)U(0,2) 解析 令ge)=fw x≠0.因为x)是定义在R上的偶函数，所以一x)=).因为 g一刘=)=-1因=一g,所以g的为奇函数，所以g-2)=一g2.因 -x 为-2)=0，所以g(-2)=g(2)=0.当x>0时，g)=w<0, x2 所以g)在(0，十∞)上单调递减，此时不等式四>0的解集为(0,2).国 为g(x)为奇函数，图象关于原点对称，所以g(x)在（一∞，0）上单调递 减，所以当x<0时，不等式四>0的解集为（一∞，一2）.综上所述，不 等式/四>0的解集为(-∞，-2)U(0,2).故选D. 角度2 利用fx)与e构造函数 典例3 (2025·湖南长沙模拟)已知定义在R上的函数fx)满足x)+fx)<0, 且有)=。则不等式x+1)>。+的解集为 A.(0,十∞) .(-∞，0) C.(2,+∞) D.(-∞，2) 解析 令Fx)=fx)e,则F'(x)=fx)er+fx)e=ex[fx)+fx)]<0,所以Fx)在 R上单调递减.又1)=是，则F(I)=1)e=1.国为+1)>等价于x +1)ex+1>1,即Fx十1)>F(1),所以x十1<1，可得x<0.即所求不等 式的解集为（一∞，0）.故选B. 角度3 利用fx)与sinx,cosx构造函数 典例4 设f孔x)是定义在（一π，O)U(0,π）上的奇函数，其导函数为fx),且 当x∈(0，π)时，fx)sinx一f)cosx<0,则关于x的不等式x)<2E)sinx 的解集-，)u(低，) 解析 令g(x)=f 2,x∈(-元，0)U(0,),则g'0r)=5 sinx-)cosx.因为当 sin sin2x x∈(0，π)时，fx)sinx一x)cosx<0,所以在(0，)上，gx)<0,所以函数 gx)在(O,π)上单调递减.因为y=x),y=sinx是奇函数，所以函数gc)是偶 函数，所以函数gx)在（一π，O)上单调递增. 解析 当x∈0，时，snx>0,则不等式)<2（侣）sinx可化为 9r( 元 即 sinx sin g)<g(),所以g<x<π；当x∈(-元，0)时，sinx<0,则不等式)< 卧m化器吗是产-引所- 综上可得，不等式的解集为(-，0)U(侣，) 规律方法 1.利用x)与x(或x)构造 (I)出现xfx)十nx)形式，构造函数Fx)=xx). (②)出现f)一x)形式，构造函数F)=f四 2.利用fx)与e构造 (I)出现f(x)十nfx)形式，构造函数F(x)=emfx) (2)出现f)一x)形式，构造函数F)=型 enx 规律方法 3.利用fx)与sinx,cosx构造 (I)对于f(x)sinx+fx)cosx>0(或<0)，构造函数Fx)=fx)sinx. (②)对于fr)sinx一x)cosx>0(或<0)，构造函数F)=f四 sinx (3)对于fw)cosx+sinx>0(或<0)，构造函数F=f四 COSx (4)对于fx)cosx一x)sinx>0(或<0)，构造函数Fx)=fx)cosx. 对点练2.己知定义在R上的函数fx)满足f孔x)sinx+f(x)cosx>0,则 A)<3() (g)<v3g) c.9>3g) D.(g)>3(g) 解析 令F=f x≠+km,k∈乙，故F)=f)eosx+sinx>0恒成立， COSx 2 cos2x 故F)=侧在(-+km,+km),k∈Z上单调递增，故F(得< COSx F), 组盟里-月得) 故选B. 对点练3.已知定义在R上的函数x)满足x)≤fx)一2，则 A.2026)-e2025)<2(e-1) $.2026)-ej2025)>2(e-1) C.2026)-e2025)>2(e+1) D.f2026)-e2025)<2(e+1) 解析 令=2，则g)=11@)2>0,国此函数gW足塔离数，于是 ex er 得g2026)>g2025),即伦02+2>也025)+2， e2026 e2025 整理得2026)-e2025)> 2(e-1),故B正确.故选B. 对点练4.（多选）已知函数x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xfx)+ 2x)>0恒成立，则 4.1)<42) B.-1)<4-2) C.164)<93) 0.4-2)>9-3) 解析 令g(x)=x2孔x),因为当x>0时，xf(x)十2x)>0,所以当x>0时，g(x)= 2xx)+x2f(x)=x[xfx)十2x)]>0,所以g(x)=x2孔x)在(0，+ow)上单调 递增.又x)为定义在R上的奇函数，y=x2为定义在R上的偶函数，所以 g(x)=x2孔x)为定义在R上的奇函数，所以g(x)在(-∞，0)上单调递增.由 g(2)>g(1),可得42)>1)，故A正确；由g(-1)>g(-2),可得孔- 1)>4-2),故B错误；由g(4)>g(3),可得164)>93)，故C错误；由 g(-2)>g(-3),可得4-2)>9-3)，故D正确.故选AD. 课时分层测评 1.函数x)的定义域是R,孔-1)=2，对任意x∈R,f(x)>2,则x)>2x+ 4的解集为 A.(-1,1) .(-1,+∞) C.(-∞，-1) D.(-∞，十∞) 解析 因为x)>2x+4,所以x)-2x-4>0.令gx)=x)-2x-4,则g(x)= fx)-2>0,所以g(x)为R上的增函数.又因为g(-1)=-1)一2×(-1) 4=0,所以由gx)>g(-1)=0得x>一1.故选B. ①②③④⑤⑥⑦8⑨▣4⑤6 2.己知a,B∈-牙，习引，且asin a一BsinB>0,则下列结论正确的是 A.3>B B.a+B>0 C.lal<Bl p.lal>181 解析 令x)=-xsin,x∈[-是，引， 则一x)=一xsin（-x)=xsinx=fx),则 )为偶函数.又f)=simx+cosx,当x∈[0，到时，fa)≥0，所以) 在区间[0，到上单调递增，f)在区间[-牙，0上单调递减.又asin a- Bsin B>0,即fa)>fB),所以|a|>|B|.故选D. 3.定义在R上的函数x)的导函数为fx),若对任意实数x,有x)>f(x), 且x)十2026为奇函数，则不等式x)+2026e<0的解集是 A.(-∞，0) B.(-∞，ln2026) (0,+o) D.(2026,+∞) 解析 令g(x)= e, 则g'o)=x-f) ex 因为fx)>f(x),所以g'(x)<0,所以 gx)为定义在R上的减函数.因为x)+2026为奇函数，所以0)十2026 =0,0=-2026,g0=10-2026,九)+2026e<0,即9< eo -2026,即gx)<g0),故x>0,所以x)+2026e<0的解集是(0，+∞) 故选C 4.已知函数，y=x)对任意的x∈（-2，)满足fx)cosx一x)simx>0(其中 fx)是函数x)的导函数)，则下列不等式成立的是( A(-)>V2(-9)B.()<2() N.20)<) D.v20)>/) ①2③④⑤6⑦8⑨0▣2⑧4固6 解析 令g9=fx)cosx,x∈(-2，》， 则g'(x)=fx)cosx-fx)sinx>0,所以 g)在(-，)上单调递增，则g(-)<g(-),所以(-)os(-》 <-)cos(-),即(-》<V2-),故A不正确：则g()>g() 所以()cos>()os即(>V2(),故B不正确：则g0)<g(): 所以0)cos0<()os号，即20)<f(),故C正确；则g0)<g(),所以 f0)cos0<()cosF,即V20)<④)， 故D不正确.故选C ①②③4⑤⑥⑦890▣2⑧4⑤6 5.已知定义在R上的函数x)的导函数为f(x),且3x)+f(x)<0,In2)= l,则不等式e3xf孔x)>8的解集为() A.(-∞，2) .(-∞，ln2) C.(In2,+∞) D.(2,+∞) 解析 令gx)=e3xx),函数g(x)的定义域是R,因为3fx)十fx)<0,所以g'(x) =[e3rx)]'=e3x[3x)+f(x)]<0,故g(x)为减函数.又因为fln2)=1,所 以g(ln2)=e3n2In2)=8,所以不等式e3xx)>8可化为g(x)>g(ln2),所 以x<ln2,所以e3xfx)>8的解集为(-∞，ln2).故选B. 6若nx-n品>1，>.则 √A.e-x>1 B.ex<1 C.ey-x-1>1 D.ey-x-1<1 解析 根据题意，1nx品<n)品令0=1一0，则0=1+>0， Inx 所以t)在(-∞，0)，(0，+∞)上单调递增.又x>1,y>1,得1nx>0, lny>0,则flnx)≤fny),由单调递增得lnx<lny,所以1<x<y,即y -x>0,所以e-x>e0=1,故A正确，B不正确；又y一x一1无法确定与 0的大小关系，故C、D不正确.故选A. 教师备选 已知0<x<y<π，且e sinx=e'siny,其中e为自然对数的底数，则下列选 项中一定成立的是 A.cosx+cosy<0 B.cosx+cosy>0 C.cosx>sin y D.sin x>sin y ①2③4⑤6⑦8⑨0▣2国4⑤6 解析 由0<r<y<元，且esin=e'siny,得e= ey 令=0<x<, sinx siny sinx 则/)=sn二os,当0<x<时，)<0，函数)单调道减，当野 sin2x <x<π时，f)>0,函数)单调遠增，当)=)时，0<<军y <元，因为0<x<y<π，e<e,e=心， sinx siny 所以siny>sin>0,所以号 <y<π-x<π，所以cosy>cos(π-x)=一cosx,所以cosx十cosy>0. 故选B. ①②③4⑤⑥⑦8⑨四▣46 7.(多选)已知/心是)的导函数，对任意x∈(0，》，f心cosx+x)sinx>0, 则下列结论正确的是 A.v2g)>v3(段4.g)<v3) .v2段<3(D.>2(g) ①2③4⑤6⑦8⑨四回②国4固6 解析 令g=四，则gx=osxi对于∈(0，)，可得ga)> cosx cos2x 0,所以g)在(0，)上单调道增.国为晋<<于所以g(得)<g(母)< 旧)，即想想想.所以唱盟)，片以2伯 元 cos 4 3),(<V3g),9<V2f()故选BC. 1 8.(多选)已知a>b>0,且aa=b,则 A.0<b<1 B.0<a<1 .I<b<e 解析 =b两边同取自然对教行=世令x)=坚，由)=四，由 1 a x2 fx)>0,解得0<x<e,由fx)<0,解得x>e,所以fx)在(0，e)上单调 递增，在(e,十)上单调递减，所以)在x=c处取得最大值@)=。 在(0，e)内，函数fx)有唯一的零点x=1,在(e,十∞)内，fx)>0.又因 为a>b>0且)=fb)>0,所以1<b<e,a>e,故选CD. 9.已知函数x)是定义在R上的可导函数，其导函数为fx),若1)=4，且 fx)-2x<3对任意的x∈R恒成立，则不等式2x-3)<2x(2x一3)的解集为 (2,+∞) 解析 令g(x)=x)-x2-3x,则g(x)=fx)-2x-3<0在R上恒成立，所以g(x) 是减函数.又2x-3)<2x(2x-3),即2x-3)-(2x-3)2-3(2x-3)<0. 又g(1)=1)-12-3×1=0,即g(2x-3)<g(1),所以2x-3>1,解得 x>2,所以不等式2x-3)<2x(2x-3)的解集为(2，+∞) ①②③ ④⑤⑥⑦89四▣2 04⑤ 16 10.已知函数定义在(0，习)上，fw)是它的导函数，且恒有)<f(x)tan x成 立，又知()=2 则关于x的不等式fx)>sinx的解集为 解析 因为)<fx)tanx,所以fx)sinx-fx)cosx>0,x∈(0，).令g)= 侣x∈(0，)所以g)=1aeo>0,所以g在(0，》 sin2x 上为龄函数由的≥snx,smx≥0，得巴1=里，即g)>g(月， sinx sin 所以x>又0<<受，所以x<受所以不等式的解集为（侣，） 11.(2025·江苏南京模拟)设函数fx)的导函数为f(x),当x≠0时满足xf(x)十 fx)=1,且f1)=2,则f-ln2),⑤)，(sin》的大小关系为 A.-ln2)<份<(sin) B.-ln2)<(sin)<9 c.f(份)<f-ln2)<(sin) D.(sin)<()<-ln2) ①2③4⑤6⑦89②46 解析一 令g(x)=xfx),由g'(x)=xf(x)+fx).又xf(x)+fx)=1,即g'(x)=1, 则g(x)=x十k(k∈R,k是常数)，由g(x)=xfx),得g(1)=f1)=2,即 g(1)=1+k=2,得k=1,g(x)=x+1,所以fx)=1+1,易得fx)=1+ 1在(0，+∞)上递减，且r<0时fx)<1,x>0时，fx)>1,>sin>0 >-h2,从而-ln2)<1<得<(sin),所以-ln2)<份<(sin) 故选A 12.已知0<x1<x2<1,下列不等式恒成立的是 A.x2exi<xex2 B.x2Inxn x2 C.xinxnxp.exn x ①2③4⑤6⑦8⑨0▣2⑧4⑤6 解析 令)=兰且0<x<1,则)=E<0,故)在0,1)上递减，又0 x2 <x<x,<1,所以fx)<x)→<ex1e2<,e1,故A错误；令 X1 )=且0<x<1,则h)=>0,故)在0,1)上递塔，又0< X x1<2<1,所以hx2)>hx1)→x2lnx1<x1lnx2,故B错误；令g(x)=xlnx 且0<x<1,则g)=1+1nx,所以在(0，)上g(x)<0,g)递减，在 （任，1)上g'(x)>0,g)递增，而0<x<x2<1,此时不能比较g0x), gx1)的大小，所以无法确定x1lnx1,2lnx2的大小，故C错误；由于0< x1<1,所以ex>0,nx,<0,故e1>nx1,故D正确.故选D. 13 56 13.己知a=ln1.1,b=e0.1-1,c=sin0.1,则a,b,c的大小关系为 A.a>b>c B.b>a>c 4.b=c-a D.c>b>a 解析 令fx)=er-1-sinx,所以fx)=er-cosx,当x>0时，e>l,所以er- cosx>0,所以f(x)>0,fx)单调递增，所以f0.1)>f0),即e.1-1-sin 0.1>0,所以eo.1-1>sin0.1,即b>c;令g(x)=ln(x+1)-sinx,所以 g(x)coscos-xcaux-cox,)=1-xc0sx x+1 x+1 X+1 cosx,所以h'(x)=(c+1)sinx-cosx.令p(x)=(x+1)sinx-cosx,所以 p'x)=2sinx十(x十1)cosx,当0<x<严时，p'(x)>0,所以h')单调递增， ①②③4⑤⑥⑦8 9 10 12 13 14 15 16 解析 所以n)<n3=(后+1sin5-cosg-+6回<0，所以h)在x∈(0，爱 6 12 上单调递减，所以h)<h(0)=0,所以g'x)<0,所以gx)在x∈(0，上 单调递减，又0<0.1<，所以g0.1)<g(0)=0,即1n1.1-sin0.1<0, 所以c>a.综上，b>c>a.故选C. ①②③4⑤⑥⑦8⑨0▣2日4⑤6 14.已知函数fx)及其导函数fx)的定义域为R,1)=一1，且fx)<3x)+ 6,则不等式nx)+2>二的解集为0，e, 解析 构造函数g)=,剥g)-oe[2eg-因-[ (e3x)2 e3x -f-3f)6<0,所以函数gd)=f生在R上单调递减.又由n)十2 e3x e3x 2,得g)>gl.所以n1,解得0<xe所以 八3 e3 e3Inx 原不等式的解集为(0，e). ①②③4⑤⑥⑦890▣2⑧四⑤6 15,对，名∈1,2引，当<时， ,则实数m的取值范围是 √A.(-∞，2] B.(-∞，2) C.(-∞，4] D.(4,+∞) 解析 格题意可知，不等式器 m 等价于 e2x1 e2x2 得ln e2x1 <In e2x2 BpIn e2x1-In xm<In e2x2-In xm,2x-mln x1<2x2-mln x2.x1,x2∈[1,2]，x1<x2,令gx)=2x-mlnx,则g(x1)<g(x2),所以 函数g(x)在区间[1,2]上单调递增，故g'(x)=2-m≥0在区间[1,2]上恒 成立，即m≤2x恒成立.因为x∈[1,2]，所以m≤2.故选A. 6 ⑦8 9 10 13 14 5 16 16,已知x∈(-牙，》，则不等式esInx--casx一tanx≥0的解集为 28 解析 不等式esinx-.cosx一tanx≥0可化为esn ecosx 当x∈(-，)时，cosx cosx >0又en>0,所以器≥二令)=点，剥cos≥sn.国为 )=,所以当x∈（∞， 1)时，fx)>0;当x∈(1，+∞)时，fx)<0, 所 以x)在（一∞，1）上单调递增，在(1，十∞)上单调递减， ②③④⑤⑥⑦⑧⑨四回回四⑤6 解析 当x∈(-，)时，cosx∈(0,1，sinx∈(-1，)，所以cosx≥sinx, 即当x∈(-王，)时，tanx≤1，所以x∈(-2，用，即不等式emsx tanx≥0的解集为(-交，引 ①②③4⑤⑥⑦8⑨0▣2⑧4⑤6 返▣ 新学案 谢谢观看 函数中的构造问题