勾股定理中的面积问题专题复习讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理中的面积问题 2026-2027学年苏科版八年级数学上册专题复习讲义 学生版 把边长的平方看成正方形或半圆的面积，把一个图形拆成能计算的几部分，可以把勾股定理与面积公式联系起来。 本讲重点练习拼图证明、面积分割和组合面积；既求面积，也把面积条件还原成所需的边长或两条边长的乘积。 内容导航 一、边上正方形的面积关系 2 二、拼图中的面积关系 4 三、利用拼图面积求边长和面积 8 四、底、高与面积分割 11 五、半圆面积与勾股关系 14 六、扣去公共部分求组合面积 17 A、基础巩固 20 B、能力提升 23 C、综合应用 28 D、近年真题 31 知识关系图 一、边上正方形的面积关系 在直角三角形中，两直角边长为 斜边长为 分别以这三条边为边长作正方形，它们的面积就是 因此，勾股定理也可以说成：两直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。 应用时先确认直角在哪里，再找到斜边所对应的正方形。若所求的是面积，可直接在面积之间列式，不必先求每条边长。 已知正方形的周长时，要先由“”求边长，再计算面积。面积的和、差或倍数关系可以直接列方程，但周长不能照搬面积关系相加。 易错提醒：三个正方形只是相邻摆放，不能据此断定某个面积等于另外两个面积之和；还须有直角三角形及对应边的条件。对几个面积同时加上或减去相同的数，原来的面积和关系也不一定保留。 如：直角三角形斜边上的正方形面积为 一条直角边上的正方形面积为 则另一条直角边上的正方形面积为 例1．在中，分别以为边向外作正方形，面积依次为已知上的正方形周长为且比大求 变式1-1．在中，以为边所作正方形的面积依次为若比大求这三个正方形的面积。 变式1-2．在中，分别以为边向外作三个正方形。每个正方形中各剪去一个面积相等的圆形孔，三个孔均完全位于相应正方形内部。剪孔后三块纸片的面积依次为求一个圆形孔的面积及上原正方形的面积。 变式1-3．如图，一个面积为的正方形的一条边作为直角三角形的斜边；在该三角形的两条直角边上分别作正方形，面积为再以面积为的正方形的一条边为斜边作直角三角形，并在两条直角边上作正方形，面积为面积为的正方形不再向外作图。若求 二、拼图中的面积关系 用面积证明一个关系，要先说明图形确实按所说的方式组成：各块之间没有重叠，也没有留下未计算的空白；所称的正方形，还须说明它的四条边相等、四个角是直角。 本讲比较三种不同分割：四角正方形拼图、赵爽弦图、三块三角形组成的四边形拼图。先看前两种。设四个全等直角三角形的两直角边长为 斜边长为 第一种：把四个三角形放在边长为 的正方形四角。四条斜边围出中间的四边形。它的四条边都为 每个内角旁边的两个锐角之和为 故它的每个内角都为 中间也是正方形。因此， 整理得 第二种：赵爽弦图。先把较短直角边记作 较长直角边记作 且 四个三角形的斜边围成外面的正方形，中间留下边长为 的正方形。因此， 整理也得 当 时，第二种拼法中四个三角形的直角顶点相接于一点，没有中间的空白正方形。外面正方形的面积等于四个三角形的面积之和，仍有 第一种拼图在 时仍有中间的正方形，不需要另换图形。 第三种：三块三角形组成的四边形拼图。先用两侧直角三角形全等，证明中间三角形是等腰直角三角形，再分别计算外四边形面积和三块三角形的面积和。外图形不一定是正方形，不能直接把它的面积写成斜边长的平方。具体构造和证明见变式2-2。 易错提醒：不能先假定两个正方形面积之和等于第三个正方形面积，再用这个结论证明勾股定理；也不能只凭图形看起来像正方形就直接写出其面积。 如：一个正方形由四个面积均为 的三角形和一个面积为 的正方形恰好拼成，则大正方形面积为 这里算了四块三角形，不是只算一块。 例2．四个全等直角三角形的两直角边长分别为斜边长为其中如图，将它们放在边长为的正方形的四个角上；分别在线段上，且连接利用图形面积证明 变式2-1．设作边长为的正方形顶点依次为左下、右下、右上、左上。延长到使延长到使延长到使延长到使连接记求证：（是正方形；（ 变式2-2．如图，在四边形中，其中点在线段上，连接记求证： （是等腰直角三角形；（利用图形面积证明 变式2-3．四个全等直角三角形的两直角边都长斜边长图①把它们放在边长为的正方形四角；图②把四个直角顶点放在同一点斜边围成外面的正方形。分别求图①中间正方形的面积，并判断图②中间是否留有空白；写出两幅图对应的面积等式。 图①（左），图②（右） 三、利用拼图面积求边长和面积 在赵爽弦图中，记外面正方形的面积为 里面正方形的面积为 由图形分割可得： 两直角边的乘积 若问题只要求 或三角形面积，到这里就可以求值，不必分别求 若要求 则还可以结合 反过来，若已知 和 可利用两个平方的差求 也可以先求两条直角边，但要检查长度为正，并符合较长、较短的约定。 易错提醒： 与 相差 不是同一个量；一块直角三角形面积是 四块才是 遇到阴影题，应先数清阴影里有几块三角形、是否包含中间正方形。 如：赵爽弦图中，外面正方形面积为 中间正方形面积为 则每个直角三角形的面积为 两直角边的乘积为 例3．四个全等直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个三角形的斜边构成大正方形的四边。设两直角边长为且小正方形边长为如图，大正方形面积为小正方形面积为求：（每个直角三角形的面积；（ 变式3-1．如图，四个全等直角三角形按赵爽弦图的方式拼成大正方形，中间为小正方形。两直角边满足中间小正方形的边长为 求大正方形的面积。 变式3-2．四个全等直角三角形按图拼成一个大正方形，中间为小正方形。把中间小正方形和两块相对的直角三角形涂上阴影。已知大正方形面积为阴影面积为求中间小正方形的面积及每个直角三角形的面积。 变式3-3．如图，四个全等直角三角形与中间的正方形恰好拼成正方形四个三角形的斜边组成的四边。点是线段的中点，连接把和涂上阴影。若正方形的面积为求阴影面积。 四、底、高与面积分割 . 同一个三角形，换底不换面积。 直角三角形的两直角边长为 斜边长为 斜边上的高为 以一条直角边为底，另一条直角边就是对应的高，面积为 以斜边为底，面积为 两式表示同一个三角形的面积，所以 即 这可以用来求高，也可以由斜边和高求直角边的乘积。若斜边未知，应先用勾股定理求斜边。只在面积计算确有需要时作高，不必见到三角形就把三条高都作出。 . 同高三角形，面积随底变化。 点 在线段 内部，连接 设点 到直线 的距离为 则 于是 这里用的是相同的高和三角形面积公式。 同样，若两三角形同底，可以利用高的比求面积的比。使用时要说清哪些边在同一直线上，哪个顶点到这条直线的距离相同。 . 把整体面积与部分面积联系起来。 若线段把三角形分成两部分，则整体面积等于两部分面积之和。某个小三角形的面积可以用“大三角形面积−另一部分面积”求出。若分点在边的延长线上，先写清点的先后顺序，再判断应当相加还是相减。 易错提醒：“共用一个顶点”并不保证同高；底还要在同一直线上。不同三角形中，底相等也不保证面积相等，还要检查对应的高。 如：直角三角形两直角边长为 斜边长为 设斜边上的高为 则 得 如：另有点 在线段 上，且 则与同高， 例4．在中，点在线段上，点在线段上，且与的面积相等。求：（的面积；（ 变式4-1．在中，点在线段上，求：（的面积； （以为边所作两个正方形的面积之和。 变式4-2．在中，点在线段上，且的面积为求 变式4-3．在中，延长到点使点依次在同一直线上。求的面积。 五、半圆面积与勾股关系 半圆的面积是同半径圆面积的一半。若半圆的直径为 则半径为 其面积为 直角三角形的两直角边为 斜边为 分别以三边为直径作半圆，其面积依次为 因为 所以 也就是说，两直角边为直径的半圆面积之和，等于斜边为直径的半圆面积。这里比较的是各个半圆自身的面积，不是它们叠放后的覆盖面积；若题目要求覆盖面积或阴影面积，还要另看重叠和空白的部分。 若有的图形是整圆，有的是半圆，或有的边长被用作半径，有的被用作直径，就不能直接套用上面的面积和关系，应分别写出面积公式再比较。 易错提醒：以 为直径的半圆面积不是 后一个式子把 当成了半径，会得到原面积的 倍。 如：以直角三角形三边为直径作三个半圆。若斜边上的半圆面积为 则两直角边上的半圆面积之和为 三个半圆各自面积的总和为 例5．在中，分别以为直径作三个半圆。三个半圆各自面积的总和为求的面积。（求三个半圆面积的总和时，不扣除重叠部分。） 变式5-1．在中，分别以为直径作两个半圆，以为直径作一个整圆。这三个图形各自面积的总和为求以为直径的半圆的面积。 变式5-2．在中，以为半径作一个圆，以为直径分别作半圆。已知这个圆的面积为三个图形各自面积的总和为求 变式5-3．在中，以为直径所作半圆的面积分别为已知求 六、扣去公共部分求组合面积 两个图形的面积相等，同时减去同一部分的面积，剩余部分的面积仍相等。用这一点求阴影面积时，要先指出两个整体是什么，再指出减去的公共部分是什么，不能只写“由图可知”。 以线段 为直径作大半圆，点 在它的弧上，且题设明确给出再分别以 为直径，在外侧作两个小半圆。 由勾股定理，两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积。大半圆去掉后，余下沿 的两块弓形；这两块弓形也是两个小半圆与大半圆的公共部分。从两个小半圆的面积和、大半圆的面积中同时扣去这两块弓形，得到： 这里的月牙形区域，指小半圆内部、同时在大半圆外部的部分。若改变阴影位置，例如改涂两块弓形，就应计算“大半圆面积−三角形面积”，不能照搬月牙面积和的结论。 易错提醒：两个月牙面积之和等于三角形面积，并不表示每个月牙面积都等于三角形面积的一半。还应核对题设中的直角条件，先用两条直角边的平方和等于斜边的平方，建立三个半圆的面积关系。 如：在上述构型中，若 则两个月牙形区域的面积之和为 若改涂大半圆内的两块弓形，则 阴影面积为 例6．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径，在外侧作半圆。把两个小半圆中位于大半圆外的部分涂上阴影，阴影面积之和为若求 变式6-1．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径在外侧作半圆，只把对应的小半圆中位于大半圆外的部分涂上阴影。求阴影面积。 变式6-2．如图，点在以为直径的半圆弧上，把大半圆中位于外的两块弓形涂上阴影，求阴影面积。 变式6-3．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径在外侧作半圆。求这三个半圆覆盖区域的面积，重叠部分只计算一次。 A、基础巩固 1．在中，以为边所作正方形的面积分别为则以为边所作正方形的面积为（ ）。 A． B． C． D． 2．直角三角形两条直角边及斜边上所作正方形的周长分别为下列关系一定正确的是（ ）。 A． B． C． D． 3．在的边上分别作正方形，面积为题目未说明为直角三角形。增加下列哪个条件后，可直接由勾股定理得到（ ）。 A． B． C． D． 4．如图，四个全等直角三角形放在一个正方形的四角，中间留下一个正方形。大正方形面积为中间正方形面积为则每个直角三角形的面积为____。 5．如图，正方形的对角线长为点在线段内部。求的面积。 6．分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆。若斜边所对应半圆的半径为则三个半圆各自面积的总和为____。 7．如图，点在以为直径的半圆弧上，两个小半圆分别以为直径且在外侧。两个月牙涂阴影。记阴影面积和为的面积为下列结论一定正确的是（ ）。 A． B． C．每个月牙的面积都为 D．等于大半圆的面积 8．在直角三角形三边上分别作正方形。把每个正方形都剪去其自身面积的余下面积按两直角边、斜边的顺序分别记为则一定有（ ）。 A． B． C． D．不能比较与 B、能力提升 1．在中，分别以为边作正方形。第一块保留原面积的第二块保留原面积的第三块保留原面积的若前两块保留下来的面积分别为求第三块保留下来的面积。 2．在中，点是线段的中点，点在线段上，求的面积。 3．在中，以为边所作正方形的面积比为以为直径的半圆面积为求的面积。 4．在中，分别以为边作正方形，并在每个正方形的一边外侧接上一个宽为长等于该正方形边长的长方形，两个部分内部不重叠。三块组合纸片的面积依次为若求的面积。 5．同样的四块全等直角三角形分别按图①、图②摆放。图①的外边界是边长为的正方形，四块放在四角，中间为正方形；图②的四条斜边围成大正方形，中间为边长的小正方形，其中两图外正方形的面积分别为求每块直角三角形的面积，以及图②中间小正方形的面积。 图①（左），图②（右） 6．如图，点在以为直径的半圆弧上，以为直径在外侧作两个小半圆。三个半圆覆盖区域的面积为重叠部分只计算一次。点在线段上，求的面积。 7．在中，以为边分别作正方形，从这两个正方形的四周各剪去宽为的边框，留下两个小正方形。两个小正方形的面积之和为求的面积。 8．如图，点分别在以为直径的上、下半圆弧上，分别以为直径，在四边形外侧作半圆。把这些小半圆中位于以为直径的圆外的部分涂上阴影。求四块阴影的面积之和。 C、综合应用 1．如图，正方形的边长为点分别在线段内部，且求的面积。 2．一个直角三角形的斜边长为面积记为求的最大值，并求取最大值时两条直角边的长度。 3．在中，点是线段的中点，点在线段上，线段与交于点求的面积。 4．在中，分别以为边作正方形。在上的正方形中各剪去一个圆形孔，在上的正方形中剪去两个圆形孔。四个孔面积相等，彼此不重叠且都完全位于相应正方形内部。剪孔后三块纸片的面积依次为下列结论一定正确的是（ ）。 A．每个圆形孔的面积为 B．上原正方形的面积为 C．上原正方形的面积之差为 D．的面积为 5．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径，在外侧作半圆。所对应小半圆在大半圆外的月牙区域涂深色；大半圆中由弦与弧围成的弓形区域涂浅色。已知深色区域与浅色区域的面积相等，求的面积。 D、近年真题 1．（2026年江苏扬州第17题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点使沿剪开，可拼成正方形若则的面积是____。 2．（2026年四川自贡第8题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理。如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作正方形的面积记作则与的关系是（ ）。 A． B． C． D． 3．（2026年四川巴中第9题）如图，在中，以点为圆心任意长为半径画弧分别交于两点，分别以点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点连接并延长交于点则的面积为（ ）。 A． B． C． D． 4．（2025年江苏连云港第25题（1）节选）一块直角三角形木板，它的一条直角边长面积为甲、乙两人分别按图图用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大。 图1（左），图2（右） 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理中的面积问题 2026-2027学年苏科版八年级数学上册专题复习讲义 教师详解版 把边长的平方看成正方形或半圆的面积，把一个图形拆成能计算的几部分，可以把勾股定理与面积公式联系起来。 本讲重点练习拼图证明、面积分割和组合面积；既求面积，也把面积条件还原成所需的边长或两条边长的乘积。 内容导航 一、边上正方形的面积关系 2 二、拼图中的面积关系 4 三、利用拼图面积求边长和面积 8 四、底、高与面积分割 10 五、半圆面积与勾股关系 13 六、扣去公共部分求组合面积 15 A、基础巩固 18 B、能力提升 21 C、综合应用 25 D、近年真题 28 知识关系图 一、边上正方形的面积关系 在直角三角形中，两直角边长为 斜边长为 分别以这三条边为边长作正方形，它们的面积就是 因此，勾股定理也可以说成：两直角边上的正方形面积之和，等于斜边上的正方形面积。 应用时先确认直角在哪里，再找到斜边所对应的正方形。若所求的是面积，可直接在面积之间列式，不必先求每条边长。 已知正方形的周长时，要先由“”求边长，再计算面积。面积的和、差或倍数关系可以直接列方程，但周长不能照搬面积关系相加。 易错提醒：三个正方形只是相邻摆放，不能据此断定某个面积等于另外两个面积之和；还须有直角三角形及对应边的条件。对几个面积同时加上或减去相同的数，原来的面积和关系也不一定保留。 如：直角三角形斜边上的正方形面积为 一条直角边上的正方形面积为 则另一条直角边上的正方形面积为 例1．在中，分别以为边向外作正方形，面积依次为已知上的正方形周长为且比大求 【答案】 【解析】所以 由勾股定理，又故 变式1-1．在中，以为边所作正方形的面积依次为若比大求这三个正方形的面积。 【答案】 【解析】所以 由得 变式1-2．在中，分别以为边向外作三个正方形。每个正方形中各剪去一个面积相等的圆形孔，三个孔均完全位于相应正方形内部。剪孔后三块纸片的面积依次为求一个圆形孔的面积及上原正方形的面积。 【答案】 【解析】设每个圆形孔面积为则三个原正方形的面积分别为 由勾股定理，得上原正方形面积为 变式1-3．如图，一个面积为的正方形的一条边作为直角三角形的斜边；在该三角形的两条直角边上分别作正方形，面积为再以面积为的正方形的一条边为斜边作直角三角形，并在两条直角边上作正方形，面积为面积为的正方形不再向外作图。若求 【答案】 【解析】第一处分支给出第二处分支给出 代入得所以 二、拼图中的面积关系 用面积证明一个关系，要先说明图形确实按所说的方式组成：各块之间没有重叠，也没有留下未计算的空白；所称的正方形，还须说明它的四条边相等、四个角是直角。 本讲比较三种不同分割：四角正方形拼图、赵爽弦图、三块三角形组成的四边形拼图。先看前两种。设四个全等直角三角形的两直角边长为 斜边长为 第一种：把四个三角形放在边长为 的正方形四角。四条斜边围出中间的四边形。它的四条边都为 每个内角旁边的两个锐角之和为 故它的每个内角都为 中间也是正方形。因此， 整理得 第二种：赵爽弦图。先把较短直角边记作 较长直角边记作 且 四个三角形的斜边围成外面的正方形，中间留下边长为 的正方形。因此， 整理也得 当 时，第二种拼法中四个三角形的直角顶点相接于一点，没有中间的空白正方形。外面正方形的面积等于四个三角形的面积之和，仍有 第一种拼图在 时仍有中间的正方形，不需要另换图形。 第三种：三块三角形组成的四边形拼图。先用两侧直角三角形全等，证明中间三角形是等腰直角三角形，再分别计算外四边形面积和三块三角形的面积和。外图形不一定是正方形，不能直接把它的面积写成斜边长的平方。具体构造和证明见变式2-2。 易错提醒：不能先假定两个正方形面积之和等于第三个正方形面积，再用这个结论证明勾股定理；也不能只凭图形看起来像正方形就直接写出其面积。 如：一个正方形由四个面积均为 的三角形和一个面积为 的正方形恰好拼成，则大正方形面积为 这里算了四块三角形，不是只算一块。 例2．四个全等直角三角形的两直角边长分别为斜边长为其中如图，将它们放在边长为的正方形的四个角上；分别在线段上，且连接利用图形面积证明 【答案】 【解析】四个角上的直角三角形两直角边分别为由可知它们全等，因此 以处为例：共线，由全等，而所以其他三个内角同理都是故为正方形。 四个分点依次在外正方形四边上，相邻分点的连线互不交叉，恰好将大正方形分成四个角上的三角形和中间正方形，各部分只共用边界。 所以展开并消去得 变式2-1．设作边长为的正方形顶点依次为左下、右下、右上、左上。延长到使延长到使延长到使延长到使连接记求证：（是正方形；（ 【解析】且同理，四个直角三角形由全等，故 在处，由全等，等于在处的锐角，因此这两个角之和为其余三个内角同理都是故为正方形。 四个三角形分别在的四侧，相邻三角形仅在延长线的一段边上相接，四条斜边组成外边界。它们与没有内部重叠，也没有空白，恰好组成 所以 变式2-2．如图，在四边形中，其中点在线段上，连接记求证： （是等腰直角三角形；（利用图形面积证明 解析图①（左），解析图②（右） 【解析】（由得又所以（从而 在中，故因为在同一直线上，所以是等腰直角三角形。 （先计算四边形的面积。在解析图②中连接以为底、以为底，对应的高均为因此四边形的面积为 再按解析图①的三块计算。将四边形恰好分成各部分只有公共边界，没有内部重叠或空缺。两侧三角形面积各为中间三角形的两条直角边均为面积为 于是整理得当时，外四边形是长方形，上述全等、角度及两种面积计算仍成立。 变式2-3．四个全等直角三角形的两直角边都长斜边长图①把它们放在边长为的正方形四角；图②把四个直角顶点放在同一点斜边围成外面的正方形。分别求图①中间正方形的面积，并判断图②中间是否留有空白；写出两幅图对应的面积等式。 图①（左），图②（右） 【答案】图②无空白； 【解析】图①四块三角形的总面积为外正方形面积为所以中间正方形面积为它的四边长均为故 图②四个直角正好组成周角，四块三角形只共用边界，中间不留空白。故 三、利用拼图面积求边长和面积 在赵爽弦图中，记外面正方形的面积为 里面正方形的面积为 由图形分割可得： 两直角边的乘积 若问题只要求 或三角形面积，到这里就可以求值，不必分别求 若要求 则还可以结合 反过来，若已知 和 可利用两个平方的差求 也可以先求两条直角边，但要检查长度为正，并符合较长、较短的约定。 易错提醒： 与 相差 不是同一个量；一块直角三角形面积是 四块才是 遇到阴影题，应先数清阴影里有几块三角形、是否包含中间正方形。 如：赵爽弦图中，外面正方形面积为 中间正方形面积为 则每个直角三角形的面积为 两直角边的乘积为 例3．四个全等直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，四个三角形的斜边构成大正方形的四边。设两直角边长为且小正方形边长为如图，大正方形面积为小正方形面积为求：（每个直角三角形的面积；（ 【答案】 【解析】四个三角形的面积和为所以每个三角形面积为 大正方形的边是直角三角形的斜边，所以于是因为所以 变式3-1．如图，四个全等直角三角形按赵爽弦图的方式拼成大正方形，中间为小正方形。两直角边满足中间小正方形的边长为 求大正方形的面积。 【答案】 【解析】由得 大正方形的边长是直角三角形的斜边，所以面积为也可由求得 变式3-2．四个全等直角三角形按图拼成一个大正方形，中间为小正方形。把中间小正方形和两块相对的直角三角形涂上阴影。已知大正方形面积为阴影面积为求中间小正方形的面积及每个直角三角形的面积。 【答案】 【解析】未涂色的两块三角形面积和为所以每块面积为 中间小正方形面积为 变式3-3．如图，四个全等直角三角形与中间的正方形恰好拼成正方形四个三角形的斜边组成的四边。点是线段的中点，连接把和涂上阴影。若正方形的面积为求阴影面积。 【答案】 【解析】设每个外围直角三角形面积为中间正方形面积为则 的两条直角边都是中间正方形的边长，所以的面积为是中点，与从向直线所作的高相同，底是的一半，故面积为 阴影面积为 四、底、高与面积分割 . 同一个三角形，换底不换面积。 直角三角形的两直角边长为 斜边长为 斜边上的高为 以一条直角边为底，另一条直角边就是对应的高，面积为 以斜边为底，面积为 两式表示同一个三角形的面积，所以 即 这可以用来求高，也可以由斜边和高求直角边的乘积。若斜边未知，应先用勾股定理求斜边。只在面积计算确有需要时作高，不必见到三角形就把三条高都作出。 . 同高三角形，面积随底变化。 点 在线段 内部，连接 设点 到直线 的距离为 则 于是 这里用的是相同的高和三角形面积公式。 同样，若两三角形同底，可以利用高的比求面积的比。使用时要说清哪些边在同一直线上，哪个顶点到这条直线的距离相同。 . 把整体面积与部分面积联系起来。 若线段把三角形分成两部分，则整体面积等于两部分面积之和。某个小三角形的面积可以用“大三角形面积−另一部分面积”求出。若分点在边的延长线上，先写清点的先后顺序，再判断应当相加还是相减。 易错提醒：“共用一个顶点”并不保证同高；底还要在同一直线上。不同三角形中，底相等也不保证面积相等，还要检查对应的高。 如：直角三角形两直角边长为 斜边长为 设斜边上的高为 则 得 如：另有点 在线段 上，且 则与同高， 例4．在中，点在线段上，点在线段上，且与的面积相等。求：（的面积；（ 【答案】 【解析】由勾股定理，面积为是斜边上的一段，把与分别以为底，它们共用从到直线的高，不必先求出这条高。因此面积为 所以与分别以为底时高相同，而面积等于面积所以面积为 由与组成，面积为以为底，它对应的高为所以 变式4-1．在中，点在线段上，求：（的面积； （以为边所作两个正方形的面积之和。 【答案】 【解析】以为底，面积为 由勾股定理，两个正方形面积和为 变式4-2．在中，点在线段上，且的面积为求 【答案】 【解析】面积为 与同高，所以得 变式4-3．在中，延长到点使点依次在同一直线上。求的面积。 【答案】 【解析】由勾股定理，面积为 与从向直线所作的高相同，所以面积为 五、半圆面积与勾股关系 半圆的面积是同半径圆面积的一半。若半圆的直径为 则半径为 其面积为 直角三角形的两直角边为 斜边为 分别以三边为直径作半圆，其面积依次为 因为 所以 也就是说，两直角边为直径的半圆面积之和，等于斜边为直径的半圆面积。这里比较的是各个半圆自身的面积，不是它们叠放后的覆盖面积；若题目要求覆盖面积或阴影面积，还要另看重叠和空白的部分。 若有的图形是整圆，有的是半圆，或有的边长被用作半径，有的被用作直径，就不能直接套用上面的面积和关系，应分别写出面积公式再比较。 易错提醒：以 为直径的半圆面积不是 后一个式子把 当成了半径，会得到原面积的 倍。 如：以直角三角形三边为直径作三个半圆。若斜边上的半圆面积为 则两直角边上的半圆面积之和为 三个半圆各自面积的总和为 例5．在中，分别以为直径作三个半圆。三个半圆各自面积的总和为求的面积。（求三个半圆面积的总和时，不扣除重叠部分。） 【答案】 【解析】设由半圆面积公式及三个半圆面积总和为 所以由得 的面积为 变式5-1．在中，分别以为直径作两个半圆，以为直径作一个整圆。这三个图形各自面积的总和为求以为直径的半圆的面积。 【答案】 【解析】设以为直径的半圆面积为由勾股定理，两条直角边为直径的两个半圆面积之和也是 以为直径的整圆面积为所以得 变式5-2．在中，以为半径作一个圆，以为直径分别作半圆。已知这个圆的面积为三个图形各自面积的总和为求 【答案】 【解析】设由圆面积得由勾股定理 三个面积相加：得所以 变式5-3．在中，以为直径所作半圆的面积分别为已知求 【答案】 【解析】结合得 由得 六、扣去公共部分求组合面积 两个图形的面积相等，同时减去同一部分的面积，剩余部分的面积仍相等。用这一点求阴影面积时，要先指出两个整体是什么，再指出减去的公共部分是什么，不能只写“由图可知”。 以线段 为直径作大半圆，点 在它的弧上，且题设明确给出再分别以 为直径，在外侧作两个小半圆。 由勾股定理，两个小半圆的面积之和等于大半圆的面积。大半圆去掉后，余下沿 的两块弓形；这两块弓形也是两个小半圆与大半圆的公共部分。从两个小半圆的面积和、大半圆的面积中同时扣去这两块弓形，得到： 这里的月牙形区域，指小半圆内部、同时在大半圆外部的部分。若改变阴影位置，例如改涂两块弓形，就应计算“大半圆面积−三角形面积”，不能照搬月牙面积和的结论。 易错提醒：两个月牙面积之和等于三角形面积，并不表示每个月牙面积都等于三角形面积的一半。还应核对题设中的直角条件，先用两条直角边的平方和等于斜边的平方，建立三个半圆的面积关系。 如：在上述构型中，若 则两个月牙形区域的面积之和为 若改涂大半圆内的两块弓形，则 阴影面积为 例6．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径，在外侧作半圆。把两个小半圆中位于大半圆外的部分涂上阴影，阴影面积之和为若求 【答案】 【解析】设由勾股定理两个小半圆面积之和等于大半圆面积。 把沿的两块公共弓形的面积分别记为大半圆由与这两块弓形组成；两个小半圆扣去同样的两块弓形后，剩下题中的两个月牙。因此两个月牙面积和等于面积。 所以因得 变式6-1．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径在外侧作半圆，只把对应的小半圆中位于大半圆外的部分涂上阴影。求阴影面积。 【答案】 【解析】两个小半圆面积和等于大半圆面积，扣去两块公共弓形，得两个月牙总面积等于面积，即 因为图形关于经过和中点的直线对称，两个月牙面积相等，所以阴影面积为 变式6-2．如图，点在以为直径的半圆弧上，把大半圆中位于外的两块弓形涂上阴影，求阴影面积。 【答案】 【解析】所以大半圆面积为 面积为阴影是大半圆扣去因此阴影面积为 变式6-3．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径在外侧作半圆。求这三个半圆覆盖区域的面积，重叠部分只计算一次。 【答案】 【解析】大半圆面积为 两个小半圆超出大半圆的部分是两个月牙，其面积和等于面积 覆盖区域恰由大半圆与两个月牙组成，只共用边界，所以总面积为 A、基础巩固 1．在中，以为边所作正方形的面积分别为则以为边所作正方形的面积为（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C： 【解析】直角在是斜边，故所求面积为 2．直角三角形两条直角边及斜边上所作正方形的周长分别为下列关系一定正确的是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设三边为则由得 3．在的边上分别作正方形，面积为题目未说明为直角三角形。增加下列哪个条件后，可直接由勾股定理得到（ ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对应边若要把它作为斜边对应的面积，应有故选 4．如图，四个全等直角三角形放在一个正方形的四角，中间留下一个正方形。大正方形面积为中间正方形面积为则每个直角三角形的面积为____。 【答案】 【解析】四块三角形总面积为每块为 5．如图，正方形的对角线长为点在线段内部。求的面积。 【答案】 【解析】设正方形的边长为由中得所以正方形面积 以为底，点在线段上，点到直线的距离等于正方形边长所以面积为 6．分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆。若斜边所对应半圆的半径为则三个半圆各自面积的总和为____。 【答案】 【解析】斜边所对应半圆面积为两个小半圆面积和也为所以总和为 7．如图，点在以为直径的半圆弧上，两个小半圆分别以为直径且在外侧。两个月牙涂阴影。记阴影面积和为的面积为下列结论一定正确的是（ ）。 A． B． C．每个月牙的面积都为 D．等于大半圆的面积 【答案】A 【解析】由两小半圆与大半圆面积相等，再同时扣除两块公共弓形，得没有等腰条件，不能断定两个月牙各占的一半。 8．在直角三角形三边上分别作正方形。把每个正方形都剪去其自身面积的余下面积按两直角边、斜边的顺序分别记为则一定有（ ）。 A． B． C． D．不能比较与 【答案】A 【解析】设原面积为余下所以 B、能力提升 1．在中，分别以为边作正方形。第一块保留原面积的第二块保留原面积的第三块保留原面积的若前两块保留下来的面积分别为求第三块保留下来的面积。 【答案】 【解析】前两个原正方形面积分别为 斜边上原正方形面积为所以第三块保留面积为 2．在中，点是线段的中点，点在线段上，求的面积。 【答案】 【解析】面积为 与从向直线所作的高相同，故面积为 与从向直线所作的高相同，所以面积为 3．在中，以为边所作正方形的面积比为以为直径的半圆面积为求的面积。 【答案】 【解析】由得两直角边上的正方形面积和为按分成 所以面积为 4．在中，分别以为边作正方形，并在每个正方形的一边外侧接上一个宽为长等于该正方形边长的长方形，两个部分内部不重叠。三块组合纸片的面积依次为若求的面积。 【答案】 【解析】设则 由故 面积为 5．同样的四块全等直角三角形分别按图①、图②摆放。图①的外边界是边长为的正方形，四块放在四角，中间为正方形；图②的四条斜边围成大正方形，中间为边长的小正方形，其中两图外正方形的面积分别为求每块直角三角形的面积，以及图②中间小正方形的面积。 图①（左），图②（右） 【答案】 【解析】图①中间正方形的四边都是三角形斜边，所以它的面积等于图②外正方形面积 因此四块三角形面积和为每块为 图②中间小正方形面积为 6．如图，点在以为直径的半圆弧上，以为直径在外侧作两个小半圆。三个半圆覆盖区域的面积为重叠部分只计算一次。点在线段上，求的面积。 【答案】 【解析】大半圆面积为所以两个月牙面积和为由扣除公共弓形的面积关系，面积为 与从向所作的高相同，所以面积为 7．在中，以为边分别作正方形，从这两个正方形的四周各剪去宽为的边框，留下两个小正方形。两个小正方形的面积之和为求的面积。 【答案】 【解析】设剪去四周宽的边框后，小正方形边长分别为所以 由展开上式得所以 面积 8．如图，点分别在以为直径的上、下半圆弧上，分别以为直径，在四边形外侧作半圆。把这些小半圆中位于以为直径的圆外的部分涂上阴影。求四块阴影的面积之和。 【答案】 【解析】在中，面积为在中，面积为 上半圆对应的两个月牙面积和为下半圆对应的两个月牙面积和为两组分别在两侧，内部不重叠，所以四块阴影面积和为 C、综合应用 1．如图，正方形的边长为点分别在线段内部，且求的面积。 【答案】 【解析】设则在中，所以 正方形由和组成。两侧的三角形与的面积和为面积为 因此面积为 2．一个直角三角形的斜边长为面积记为求的最大值，并求取最大值时两条直角边的长度。 【答案】最大值两条直角边均为 【解析】设两条直角边长为则由得即所以 当时，此时由得三角形面积确为因此的最大值为取最大值时两条直角边均为 3．在中，点是线段的中点，点在线段上，线段与交于点求的面积。 【答案】 【解析】先把所求的小三角形面积作为未知量，再用同高三角形的面积比联系各个分区，不必先求交点的位置。 面积为为中点，所以面积为所以面积为面积为 设面积为面积为与同高且故面积为面积为又与从向所作的高相同，故面积为 由分为与得由面积为再加得到得 由得代入得解得因此面积为 4．在中，分别以为边作正方形。在上的正方形中各剪去一个圆形孔，在上的正方形中剪去两个圆形孔。四个孔面积相等，彼此不重叠且都完全位于相应正方形内部。剪孔后三块纸片的面积依次为下列结论一定正确的是（ ）。 A．每个圆形孔的面积为 B．上原正方形的面积为 C．上原正方形的面积之差为 D．的面积为 【答案】C 【解析】设每个孔面积为则三个原面积为勾股关系化为不能由它确定 两直角边上原正方形面积之差为与无关，所以一定正确。 例如时，原面积时，原面积都满足平方关系且孔能放入，所以都不是必然。 5．如图，点在以为直径的半圆弧上，分别以为直径，在外侧作半圆。所对应小半圆在大半圆外的月牙区域涂深色；大半圆中由弦与弧围成的弓形区域涂浅色。已知深色区域与浅色区域的面积相等，求的面积。 【答案】 【解析】把沿的公共弓形面积记为沿的浅色弓形面积记为对应的深色月牙面积也为因此以为直径的小半圆面积为 由勾股定理，两个小半圆面积之和等于大半圆面积。大半圆扣去两块弓形后就是所以面积等于以为直径的小半圆面积。 因此面积为 D、近年真题 1．（2026年江苏扬州第17题）如何将两个大小不等的正方形剪拼成一个大正方形？现有如下方案：将正方形和正方形按如图所示的方式摆放，在边上取点使沿剪开，可拼成正方形若则的面积是____。 【答案】 【解析】设在同一直线上，故 在正方形中，且由勾股定理，得 在中，即所以面积为 2．（2026年四川自贡第8题）我国清代数学家李善兰不仅创译了“代数”“函数”等科学名词，还利用出入相补的原理证明了勾股定理。如图所示，图中两个阴影正方形的面积分别记作正方形的面积记作则与的关系是（ ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在解析图中，将小阴影正方形从向右上方向的一边的另一端点记作将大阴影正方形从向左下方向的一边的另一端点记作在同一直线上， 正方形给出因为所以又故（得 在中，又所以选 3．（2026年四川巴中第9题）如图，在中，以点为圆心任意长为半径画弧分别交于两点，分别以点为圆心，大于长的一半为半径画弧，两弧交于点连接并延长交于点则的面积为（ ）。 A． B． C． D． 条件图（左），解析图（右） 【答案】D： 【解析】先求整个直角三角形的面积。得面积为 由作图，又为公共边，所以（从而平分 过作垂足为在与中，为公共边，因此两三角形全等（得 把与分别以为底，它们的高恰好是相等的设由两部分面积之和等于整个三角形面积，得解得 所以面积为选 4．（2025年江苏连云港第25题（1）节选）一块直角三角形木板，它的一条直角边长面积为甲、乙两人分别按图图用它设计一个正方形桌面，请说明哪个正方形面积较大。 图1（左），图2（右） 【答案】图较大；两边长分别 【解析】先由面积求出原三角形的另一条直角边，再求斜边，为两种分割提供共同的尺寸。由得由勾股定理， 图中，设正方形边长为原三角形被分成正方形两小三角形的一条直角边均为另一条直角边分别为所以得 图中，作垂足为以为底计算同一个大三角形的面积，得所以 设图正方形的边长为都垂直于且长度均为因此分别以为底时高都为且 两平行线间的距离为记与的交点为则以为底时，对应的高为不能再把当作这块三角形的高。 原三角形被分成正方形和按这些部分相加，得得 因为两个正方形的边长均为正，所以图正方形的面积较大。两图的分割不同，必须分别选定各部分的底和对应的高。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $