勾股定理中的规律探索问题专题复习讲义2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理中的规律探索问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 学习导航 一、逐次作直角三角形先看长度的平方 2 二、连续作正方形先求一次面积关系 4 三、树形分支分清每层与全部面积 7 四、按方向作线段先合并一组间隔 9 五、观察勾股数组再验证和检验条件 11 A组 基础巩固 13 B组 方法突破 16 C组 综合提升 20 D组 中考衔接 25 一、逐次作直角三角形先看长度的平方 知识梳理：先写一步，再看连续几步 适用条件：每次把上一条斜边作为新直角三角形的一条直角边，另一直角边的长度已知。必须先认清新三角形的直角在哪里，不能只凭图形看起来向外绕就直接相加。 如图，，。由勾股定理，，。将前式代入后式，得到。连续累加的是长度的平方，而不是长度。 如，，，则，所以。不必先把每一条中间斜边都开方。 若每步新增直角边都长，经过步，平方就增加个；若新增边按两种长度交替，先合并两步，再检查是否还有一步。反求步数后，要检查是否为符合起始编号的整数。 例1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 已知，每一条新作的直角边都长。 （1）求的长； （2）是否有某一步得到？若有，求；若没有，写出计算过程。 【解析】（1）每一步都有。从到共增加个，所以，。 （2）若，则，得。步数必须是整数， 所以不存在这样的步骤。 变式1-1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 每一条新作的直角边都长，且。求和的长。 【解析】从第步到第步增加了个，故，。 第步到第步又增加个，故，。 变式1-2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。第、、、步新作的直角边长，第、、、步新作的直角边长。求和的长。 【解析】每两步使长度的平方增加。前步有组，。 第步新作边长，所以。故，。 变式1-3． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。前步中，有条新作的直角边长为，另一条的长未知。若，求这条未知直角边的长。 【解析】设未知直角边长为。每一步只增加新直角边长的平方，所以，得。长度为正，故。 二、连续作正方形先求一次面积关系 知识梳理：边长变化先转成面积变化 适用条件：每次都按同一个明确规则作新正方形。先求相邻两个正方形的关系，再数清从起始图到目标图经历了几次操作。图形序号与操作次数相差时不能混用。 设正方形边长为，、、、为各边中点。四个角处的直角三角形都有两条长为的直角边，由SAS可知它们全等；它们的锐角均为，所以四边相等，四个内角均为，按定义是正方形。 在直角三角形中，，所以新正方形的面积是原来的一半。若改用原正方形的对角线作新正方形的边，由可知新面积是原来的倍。 如正方形的面积为，先以对角线作边，再连接中点，两次操作后的面积 依次为、。这不是说各步边长都“乘、除以”；边长须由面积开方求出。 例2． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 已知的边长为。 （1）求的面积和对角线长； （2）第几个正方形的面积为？ 【解析】（1）设某正方形边长为，连接相邻边中点所得小正方形边长的平方为。所以每操作一次，面积减半。 到有次操作，故面积为。它的对角线平方为，所以对角线长为。 （2）面积依次为、、、、、、，所以是。 变式2-1． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的对角线长为， 求的周长。 【解析】对角线的平方等于两条边长平方之和，所以其面积为。经过次中点操作，面积为，边长为，周长为。 变式2-2． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若与的面积之和为，求的边长。 【解析】的面积是的一半，故面积为，面积为。 向前倒推两次，面积为，所以边长为。 变式2-3． 正方形的边长为。第次操作连接各边中点得到；第次操作以的一条对角线为边另作正方形；第次再连接各边中点，第次再以对角线为边另作正方形。以后两种操作交替进行。求和的面积。 【解析】连接中点使面积减半；以对角线为新正方形的边时，由勾股定理，新面积等于原面积的倍。两次操作合起来使面积回到原值。 、、、的面积都是，、、、的面积都是。所以面积为，面积为。 三、树形分支分清每层与全部面积 知识梳理：一处分支的等式可以合并 适用条件：原正方形的一条边恰好是分支处直角三角形的斜边，两个新正方形分别作在它的两条直角边上。若三角形没有直角，这个面积关系不能套用。 设原正方形面积为，两个新正方形面积为、。面积就是相应边长的平方，由勾股定理可得。若两个新正方形分别再分支，把两处等式相加， 下一层的总面积仍等于。 如某处分支的原正方形面积为，一个新正方形面积为，则另一个面积为。但除非题设另给等腰条件，不能把两个新正方形的面积都写成。 求“某一层”只计那一层；求“所有已画出”要把每一层都计入。分支深浅不同，可从末端向前合并：每两个新正方形的面积和换回原正方形的面积。这里按每个正方形分别计算，不把可能的重叠部分扣除。 例3． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为。 （1）求第层所有正方形的面积之和； （2）求第层到第层已画出的全部正方形的面积之和。各正方形的面积分别计入，不扣除图形可能出现的重叠部分。 【解析】每个直角三角形给出：两直角边上新正方形的面积之和，等于斜边上原正方形的面积。把一层中所有这样的等式合并，下一层总面积仍等于上一层总面积。 （1）第层面积为，所以第层总面积也为。 （2）第层到第层共有层，每层面积之和为，故全部面积之和为。 变式3-1． 一个边长为的正方形按图示方法分支：每次任选一个尚未分支的正方形，以它的一条边为斜边作直角三角形，再在两条直角边上各作一个正方形。 称没有继续分支的正方形为末端正方形。经过次操作后，共有个末端正方形，其中个的面积 分别为、、、。求另一个末端正方形的边长。 【解析】每次把一个末端正方形换成两个新的末端正方形时，新增加的两个面积之和恰等于被替换的面积，所以所有末端正方形的面积之和始终为。 未知正方形面积为，故边长为。 这一结论不要求所有末端处在同一层。 变式3-2． 边长为的正方形向外分支，第一次所作直角三角形的一条直角边长为，两条直角边上的正方形记为、，其中的边长为。随后只在这一支连续完整生长两层，在这一支完整生长一层。求所有已画正方形的面积之和（包括、、；各正方形的面积分别计入）。 【解析】面积为，面积为，面积为。 这一支新生的两层，每层总面积均为；这一支新生一层的总面积为。 故全部正方形面积之和为。 变式3-3． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 每次都作等腰直角三角形。若第层至第层所有正方形的面积之和为，求第层正方形的边长，以及第层中每个正方形的边长。各正方形的面积分别计入。 【解析】第层至第层共层，每层总面积相等。因此原正方形面积为，边长为。 每次为等腰直角三角形，两个新正方形面积相等，都是原来的一半。第层每个面积为，故每个边长为。 四、按方向作线段先合并一组间隔 知识梳理：先合并东西、南北两个方向 适用条件：连续线段沿两组互相垂直的方向作出。东西方向的线段先互相抵消，南北方向也先互相抵消，得到起点、终点之间的两个垂直间隔。不能把折线总长当成两点距离。 如从先向东、向北、向西到，在东侧、北侧处。过作，由、得。 若方向和长度按若干步重复，先求完整一组造成的东西、南北间隔，再看目标步数包含几组、还剩几步。两个端点都不是起点时，须比较它们在同一方向上的位置，取两点的实际间隔后再用勾股定理。 方向有周期，不等于端点一定回到起点；只有一组中东西抵消、南北也抵消，才会返回。 例4． 从出发，依次向东作长为的线段、向北作长为的线段、向西作长为的线段、向南作长为的线段，所得端点依次记为、、、。以后每四条线段都按这四个方向和长度重复作图，端点依次记为、、。 求和的长。 【解析】每四步向东的净间隔为，向北的净间隔为。 第步完成组，故末点在起点东侧、北侧处。由勾股定理，。 再向东、向北到，故其与起点的东西间隔为，南北间隔为，所以。 变式4-1． 从出发，依次向东、向北、向西、向南作线段，以后按同样顺序反复作图。每作完一条线段，所得端点依次记为、、。求的长。 【解析】每四步返回起点。，所以与重合，位于起点东侧、北侧处。 故。 变式4-2． 从出发，按东、北、西、南的顺序连续作线段，第条长，第条长，第条长，以后第条长。各线段端点依次记为、、。求和的长。 【解析】每组四步的长度是、、、， 其中依次取、、、。向西比向东多，向南比向北多。 前步共组，所以在起点西侧、南侧处，。 第步向东，第步向北，故在起点东侧、北侧处，。 变式4-3． 从出发，依次向东作长为的线段、向北作长为的线段、向西作长为的线段、向南作长为的线段，所得端点依次记为、、、。以后每四条线段都按这四个方向和长度重复作图，端点依次记为、、。 求的长。 【解析】每四步向东、向北各移动。在起点东侧、北侧处；在起点东侧、北侧处。 两点的东西间隔为，南北间隔为。所以。 五、观察勾股数组再验证和检验条件 知识梳理：猜测需要验证，参数需要限制 能够作为直角三角形三边长的三个正整数叫作勾股数。判断一组三个数时，先找最大数，再检验另外两个数是否满足。例如、、满足。 从前几组数中观察到的规律只是猜测。要证明含字母的表达式对允许的每个整数都成立，应代入和，利用整式运算把两边化为相同的式子；只验几个数不能代替证明。要否定“总是成立”，一个符合原条件但不符合结论的具体例子就足够。 若利用平方差，则。这能把两边的平方关系转成两个正整数的乘积。反求、后，还要检验整数性、正数条件和题目指定的最长边或最短边位置。 特别留意：题目只说“某条直角边”时，它可能对应两个不同表达式，不能只查其中一种。参数公式也不自动覆盖所有勾股数；只研究题目给定的那一类，不作未经证明的扩大。 例5． 把整数、、、依次代入、、，得到一组三个数，分别记为第组、第组、第组、。 （1）写出第组的三个数； （2）验证对任意整数，都满足，并说明这三个正数能组成直角三角形。 【解析】（1）第组对应，故第组对应，三个数为、、。 （2）。 当为整数时，三数均为正整数。又，，所以最大；，所以能组成三角形。由勾股定理的逆定理， 该三角形是直角三角形。 变式5-1． 已知一组三个正整数的第一数为奇数，另两个数、满足，且。 （1）当时，求、； （2）若改令，是否仍能找到这样的正整数、？写出计算过程。 【解析】（1）由，得，故，。 （2）若，则，得，不是整数，所以不能找到符合题意的正整数、。 变式5-2． 小明观察、、是一组勾股数，猜想“任意三个连续的正整数都是勾股数”。 （1）计算与，判断他的猜想； （2）若、、是勾股数，且，验证、、仍是勾股数。 【解析】（1），而。两者不相等，所以、、不是勾股数， 原猜想错误。 （2），且、、仍为正整数， 所以仍是勾股数。 变式5-3． 把每个整数代入、、，得到一组勾股数。若其中一条直角边长为，求所有可能的另外两边长。 【解析】给定的是直角边，有两种位置。若，则，由得，另外两边为、。 若，得，另外两边为、。两组都满足正整数及直角三角形条件。 A组 基础巩固 A1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，每条新作直角边长为，则的长是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】，所以，选A。 A2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 每条新作直角边长度相等。若，，则每条新作直角边长为______。 【解析】从到共步，设每条新作边长为，则，所以。 A3． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的面积为，则的面积为______。 【解析】从到进行了次中点操作，面积为。 A4． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的对角线长为，则的周长为______。 【解析】面积为，面积为，所以边长为，周长为。 A5． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为，则第层所有正方形的面积之和为（　　）。 A． B． C． D． 【解析】每层所有正方形的面积之和不变，都等于第层的，选C。 A6． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 每次所作三角形都是等腰直角三角形，第层正方形的边长为，则第层中每个正方形的面积为______。 【解析】等腰分支每次使单个正方形的面积减半，第层每个面积为。 A7． 从起，依次向东、向北、向西、向南作线段，按此顺序反复作图。每条线段的末端依次记为、、。则的长是（　　）。 A． B． C． D． 【解析】，末点与重合，位于起点东侧、北侧处。因此距离为，选C。 A8． 将、、依次代入、、，可得三组勾股数。第三组的斜边长为______。 【解析】第三组对应，斜边为。 B组 方法突破 B1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，新作直角边的长按、、、、的顺序交替。 （1）求； （2）若，求。 【解析】（1）每两步使平方增加，故。所以。 （2）若，则，得，所以。若，则，得，不是整数，舍去。因此。 B2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。前步中，恰有一条新作直角边长，其余均长。 （1）求； （2）能否由的长度确定长为的直角边是在第几步作出的？分别将它放在第步和第步，计算所得的并作判断。 【解析】（1），故。 （2）把长为的边放在第步时，最终平方为；放在第步时，最终平方为。两种不同顺序都符合条件，因此不能确定它在第几步。 B3． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 与的边长之和为， 求的面积。 【解析】设边长为。两次中点操作使面积变为原来的，所以边长为。 由得。面积为，所以面积为。 B4． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为。第层有个正方形，其面积分别为、、、；其中面积为和的两个正方形由第层的同一个正方形分支得到。求，并求第层两个正方形的边长。 【解析】第层总面积为，所以。 面积和的两正方形来自同一分支，分支前的正方形面积为，边长为；另一个分支前的正方形面积为，边长为。 B5． 从面积为的正方形开始，按以下三个操作循环：①以当前正方形的一条对角线为边另作正方形；②连接当前正方形各边中点得到新正方形；③再连接当前正方形各边中点得到新正方形。每完成一个操作，就以新正方形作为下一次操作的对象。 （1）求完成第次操作后 正方形的面积； （2）第一次得到面积为的正方形是在第几次操作后？ 【解析】每三个操作的面积变化依次是乘、除以、再除以； 整组完成后变为组前的一半。 （1）前次完成组，面积为；第次变为，第次变回。 （2）每组末尾的面积依次为、、、、、。在一组中，前两步的面积都大于该组末尾的面积。因此第一次到达发生在第组末尾，即第次操作后。 B6． 从出发，按东、北、西、南的顺序连续作线段， 长度依次为、、、、、、，即第条和第条都长。末端依次记为、、。求的长。 【解析】每四步的长度依次为、、、，所以每组向西、向南各移动。 前步后在起点西侧、南侧处。第、步分别向东、向北各，末点在起点东侧、北侧处。故。 B7． 把正整数代入、、，可得到一组勾股数。 （1）验证、、是一组勾股数，并判断它能否由上述三个式子得到，写出计算过程； （2）求上述三个式子所表示的、斜边同样长的那组勾股数。 【解析】（1），所以、、是一组勾股数。 若它属于给定的一类，由于是奇数、是偶数，所以必有，得。但此时另一直角边为，不是，故不属于这一类。 （2）由得。符合；当时乘积不大于，当时乘积不小于，因此没有其他正整数解。代入，得、、。 B8． 把整数代入、、，得到直角三角形的三边，其中是斜边。 （1）用含的式子表示三角形面积，并将所得式子写成三个连续正整数的积； （2）这类三角形中是否存在面积为的三角形？写出计算和检验过程。 【解析】（1）三角形的两直角边分别为、，所以面积为。其中、、是三个连续正整数。 （2）当时，面积不大于；当时，面积不小于。整数只可能在这两种范围内，所以不可能得到面积。 C组 综合提升 C1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，每条新作直角边长。 （1）在至中，哪些线段的长度是整数？写出下标和长度； （2）证明：任意相邻的与的长度不可能都是正整数。 【解析】（1）每步使平方增加，故。当时，在到之间，其中完全平方数是、、，分别对应、、。相应的长度为、、。 （2）相邻两条线段的平方差为。若它们的长都是正整数、且，则，所以，与平方差为矛盾。因此不可能同时为正整数。 C2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，第步新作的直角边长为，其中、、、。 （1）求、、； （2）求的长，写出必要的计算过程。 【解析】（1），，， 故长度依次为、、。 （2）每一步满足。又，相减可得。 把这条关系从第步逐步接到第步，得到 ，所以。 C3． 如图，正方形的边长为。第一次依次连接、、、的中点 、、、，得到正方形； 第二次依次连接、、、的中点、、、，得到正方形； 第三次依次连接、、、的中点、、、，得到正方形。 （1）求正方形的面积； （2）求的长。 【解析】（1）三次中点操作使面积连续减半，故。第二次得到的正方形面积为，边长为，所以。 （2）过作于。，所以，。是中点，故，在等腰直角三角形中，。 在正方形中，，且，故。结合与的夹角为，得，所以、、在同一直线上。 ，。故。 C4． 按图依次构造正方形：先以正方形的一条边为斜边作直角三角形，再在两直角边上作正方形、；只对继续分支，得到、；再只对分支，得到、。已知、、、的边长依次为、、、。 求、、的边长， 并求图中这个正方形的面积之和。 【解析】从最末端往前合并面积。的面积为，故边长为；的面积为，故边长为；的面积为，故边长为。 全部个正方形的面积之和为。末端面积之和只有，不能代替所有正方形的面积之和。 C5． 从出发，依次向东、向北、向西、向南作线段，以后每四条线段都按此顺序重复。末端依次记为、、。若，其中为正整数，求和的长。 【解析】每四步向东的净间隔为，向南的净间隔为。完成组后，两方向间隔为、，故。 由且得。再向东、向北，末点在起点东侧、南侧处，所以。 C6． 如图，正方形的边长为，点、、、分别在边、、、上， 且。 连接、、、。 （1）证明四边形是正方形，并求它的边长； （2）再在正方形的各边上按同一方向取四等分点，按同样方法得到下一个正方形。求这个新正方形的面积。 【解析】（1）四个角处的直角三角形、、、的两条直角边都是、，由SAS可知它们全等，所以。 由全等得。在直角三角形中，，所以。、、共线，故。同理其余三个内角也都是。因此四边相等且四角都是直角，按定义是正方形。 由勾股定理，，其面积为。 （2）设当前正方形边长为。同样取四等分点，新边长的平方为。因此每次新面积为当前面积的。所求面积为。 C7． 一个直角三角形的三边长都是正整数，最短边长为。 （1）求所有可能的另外两边长； （2）求这类三角形的最小周长，并写出相应的面积。 【解析】（1）设另一条直角边为，斜边为，则，，并且，即。 令，。二者均为正整数，，且同为奇数或同为偶数。因为乘积为，不可能同为奇数，所以它们都是偶数。所有符合这一条件的因数对为 、、、、。 由、， 依次得到、、、、。 最后三组不满足，故只有另外两边为、，或、。 （2）两种周长分别为、，所以最小周长为，对应面积为。 C8． 按图①，从开始，每次在处作长为且垂直于的线段，再连接。 按图②，从面积为的正方形开始，每次连接各边中点作新正方形。完成次操作后正方形的面积记为。 若、都是正整数，且不大于，求满足的所有。 图① 图② 【解析】图①每次使平方增加，故。 因为为正整数且不大于，所以。 图②完成、、、、、次操作后的面积依次为、、、、、，以后面积继续减小。处在至之间的只有、、、。 逐一令等于这些面积，得到、、、，已列出全部可能。 D组 中考衔接 真题出处：D1为2025年东营市中考第18题；D2节选2026年安徽省中考第21题（1）至（3）；D3节选2025年广东省中考第22题（1）（2）。D4、D5为原创中考题型训练。 核对页面（公开转载或重排）：东营卷；安徽卷；广东卷。 中考真题 D1（2025年山东省东营市中考第18题）． 如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形， 其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为______。 【解析】每次以原正方形的一条边为等腰直角三角形的斜边，设斜边长为，直角边长为，则。新正方形的面积是，原面积是，所以每次面积减半。 ，从到进行了次操作，故。 D2（2026年安徽省中考第21题（1）至（3））． 项目式学习 【项目主题】一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为。 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数。本项目只研究形如的勾股数。 【规律探究】分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 … … … … 【规律应用】根据上表规律，请完成下列问题： （1），对应的勾股数是（______，______，______），序号为______； （2）勾股数对应的______，______； （3）序号为的勾股数是（______，______，______）。 【解析】（1）代入、，三个数分别为 、、。表中的最后一组是第组，所以下一组的序号为。 （2）由、，相加得，所以。因为为正整数，所以。再由得。 （3）、、、时分别列出、、、组，共组；时，依次取、、、、，对应第至第组。因此第组对应、，三个数是、、。 D3（2025年广东省中考第22题（1）（2））． 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”。下表中的每一组数都是勾股数。 10，______，26 （1）请补全上表中的勾股数。 （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明。 【解析】（1）设空缺的数为，则，所以。因为为正整数，所以。 （2）一种表示方法如下：令、、都是正整数，且。两直角边、按任一次序取、，斜边。两个直角边的位置可以交换，不能把表中第二行漏掉。 先验证三数的条件：使，所以三数均为正整数。 ，，所以最大；两直角边之和减斜边等于，所以它们能够组成三角形。 再验证平方关系：。因此所表示的三数确为勾股数。 最后逐项核对题表。以下每个小括号依次表示，每行五项与原表从左到右对应： 第一行：，，，，。 第二行：，，，，； 这一行都交换两直角边的次序。 第三行：，，，，。 第四行：，，，，。 这样已经覆盖原表中的全部组。这里只核对给定表格，不需要也不据此断言所有勾股数都能由上述方式表示。 中考题型训练（原创） D4（原创中考题型训练）． 从一个正方形开始，每次选取一个尚未分支的正方形，以它的一条边为斜边向外作直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个新正方形。 称没有继续分支的正方形为末端正方形。 经过两次操作，三个末端正方形、、的边长分别为、、，且所有已画正方形的边长都是正整数。 （1）求起始正方形的边长； （2）确定哪两个末端正方形由同一个正方形经过一次操作得到，并求所有已画正方形的面积之和（各正方形面积分别计入）。 【解析】（1）每次分支都使两个新正方形的面积之和等于原正方形面积。因此三个末端正方形的面积和等于起始正方形的面积，即。起始边长为。 （2）把起始正方形记为，第二次操作所取的正方形记为。三个末端正方形中，恰有两个由经过一次操作得到。 若选、，的面积为，边长为，是整数。若选、或、，的面积分别为或；因为，所以这两种情况下边长都不是整数。故只有、可以由同一个正方形经过一次操作得到。 此时，也满足第一次操作的直角三角形条件。共画出、、、、五个正方形，面积之和为。 D5（原创中考题型训练）． 在点的正东方向取点，。连续作等腰直角三角形：在处作，且，连接； 以后每一步都在处作，且，再连接。每一步均沿绕点的逆时针方向继续，射线与前一条射线的夹角为。 （1）求的长； （2）求的长； （3）求的长。 【解析】（1）每步新三角形的两条直角边都等于前一步斜边，所以。每两步使平方乘，于是长度乘。从出发，，。 （2）再按同一关系可得。从射线到共转过，两条射线方向相反，点在、之间。所以。 （3）。从射线到共转过，两条射线重合，且。所以。 1 / 29 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理中的规律探索问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 学习导航 一、逐次作直角三角形先看长度的平方 2 二、连续作正方形先求一次面积关系 4 三、树形分支分清每层与全部面积 7 四、按方向作线段先合并一组间隔 9 五、观察勾股数组再验证和检验条件 12 A组 基础巩固 13 B组 方法突破 17 C组 综合提升 20 D组 中考衔接 24 一、逐次作直角三角形先看长度的平方 知识梳理：先写一步，再看连续几步 适用条件：每次把上一条斜边作为新直角三角形的一条直角边，另一直角边的长度已知。必须先认清新三角形的直角在哪里，不能只凭图形看起来向外绕就直接相加。 如图，，。由勾股定理，，。将前式代入后式，得到。连续累加的是长度的平方，而不是长度。 如，，，则，所以。不必先把每一条中间斜边都开方。 若每步新增直角边都长，经过步，平方就增加个；若新增边按两种长度交替，先合并两步，再检查是否还有一步。反求步数后，要检查是否为符合起始编号的整数。 例1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 已知，每一条新作的直角边都长。 （1）求的长； （2）是否有某一步得到？若有，求；若没有，写出计算过程。 变式1-1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 每一条新作的直角边都长，且。求和的长。 变式1-2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。第、、、步新作的直角边长，第、、、步新作的直角边长。求和的长。 变式1-3． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。前步中，有条新作的直角边长为，另一条的长未知。若，求这条未知直角边的长。 二、连续作正方形先求一次面积关系 知识梳理：边长变化先转成面积变化 适用条件：每次都按同一个明确规则作新正方形。先求相邻两个正方形的关系，再数清从起始图到目标图经历了几次操作。图形序号与操作次数相差时不能混用。 设正方形边长为，、、、为各边中点。四个角处的直角三角形都有两条长为的直角边，由SAS可知它们全等；它们的锐角均为，所以四边相等，四个内角均为，按定义是正方形。 在直角三角形中，，所以新正方形的面积是原来的一半。若改用原正方形的对角线作新正方形的边，由可知新面积是原来的倍。 如正方形的面积为，先以对角线作边，再连接中点，两次操作后的面积 依次为、。这不是说各步边长都“乘、除以”；边长须由面积开方求出。 例2． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 已知的边长为。 （1）求的面积和对角线长； （2）第几个正方形的面积为？ 变式2-1． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的对角线长为， 求的周长。 变式2-2． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若与的面积之和为，求的边长。 变式2-3． 正方形的边长为。第次操作连接各边中点得到；第次操作以的一条对角线为边另作正方形；第次再连接各边中点，第次再以对角线为边另作正方形。以后两种操作交替进行。求和的面积。 三、树形分支分清每层与全部面积 知识梳理：一处分支的等式可以合并 适用条件：原正方形的一条边恰好是分支处直角三角形的斜边，两个新正方形分别作在它的两条直角边上。若三角形没有直角，这个面积关系不能套用。 设原正方形面积为，两个新正方形面积为、。面积就是相应边长的平方，由勾股定理可得。若两个新正方形分别再分支，把两处等式相加， 下一层的总面积仍等于。 如某处分支的原正方形面积为，一个新正方形面积为，则另一个面积为。但除非题设另给等腰条件，不能把两个新正方形的面积都写成。 求“某一层”只计那一层；求“所有已画出”要把每一层都计入。分支深浅不同，可从末端向前合并：每两个新正方形的面积和换回原正方形的面积。这里按每个正方形分别计算，不把可能的重叠部分扣除。 例3． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为。 （1）求第层所有正方形的面积之和； （2）求第层到第层已画出的全部正方形的面积之和。各正方形的面积分别计入，不扣除图形可能出现的重叠部分。 变式3-1． 一个边长为的正方形按图示方法分支：每次任选一个尚未分支的正方形，以它的一条边为斜边作直角三角形，再在两条直角边上各作一个正方形。 称没有继续分支的正方形为末端正方形。经过次操作后，共有个末端正方形，其中个的面积 分别为、、、。求另一个末端正方形的边长。 变式3-2． 边长为的正方形向外分支，第一次所作直角三角形的一条直角边长为，两条直角边上的正方形记为、，其中的边长为。随后只在这一支连续完整生长两层，在这一支完整生长一层。求所有已画正方形的面积之和（包括、、；各正方形的面积分别计入）。 变式3-3． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 每次都作等腰直角三角形。若第层至第层所有正方形的面积之和为，求第层正方形的边长，以及第层中每个正方形的边长。各正方形的面积分别计入。 四、按方向作线段先合并一组间隔 知识梳理：先合并东西、南北两个方向 适用条件：连续线段沿两组互相垂直的方向作出。东西方向的线段先互相抵消，南北方向也先互相抵消，得到起点、终点之间的两个垂直间隔。不能把折线总长当成两点距离。 如从先向东、向北、向西到，在东侧、北侧处。过作，由、得。 若方向和长度按若干步重复，先求完整一组造成的东西、南北间隔，再看目标步数包含几组、还剩几步。两个端点都不是起点时，须比较它们在同一方向上的位置，取两点的实际间隔后再用勾股定理。 方向有周期，不等于端点一定回到起点；只有一组中东西抵消、南北也抵消，才会返回。 例4． 从出发，依次向东作长为的线段、向北作长为的线段、向西作长为的线段、向南作长为的线段，所得端点依次记为、、、。以后每四条线段都按这四个方向和长度重复作图，端点依次记为、、。 求和的长。 变式4-1． 从出发，依次向东、向北、向西、向南作线段，以后按同样顺序反复作图。每作完一条线段，所得端点依次记为、、。求的长。 变式4-2． 从出发，按东、北、西、南的顺序连续作线段，第条长，第条长，第条长，以后第条长。各线段端点依次记为、、。求和的长。 变式4-3． 从出发，依次向东作长为的线段、向北作长为的线段、向西作长为的线段、向南作长为的线段，所得端点依次记为、、、。以后每四条线段都按这四个方向和长度重复作图，端点依次记为、、。 求的长。 五、观察勾股数组再验证和检验条件 知识梳理：猜测需要验证，参数需要限制 能够作为直角三角形三边长的三个正整数叫作勾股数。判断一组三个数时，先找最大数，再检验另外两个数是否满足。例如、、满足。 从前几组数中观察到的规律只是猜测。要证明含字母的表达式对允许的每个整数都成立，应代入和，利用整式运算把两边化为相同的式子；只验几个数不能代替证明。要否定“总是成立”，一个符合原条件但不符合结论的具体例子就足够。 若利用平方差，则。这能把两边的平方关系转成两个正整数的乘积。反求、后，还要检验整数性、正数条件和题目指定的最长边或最短边位置。 特别留意：题目只说“某条直角边”时，它可能对应两个不同表达式，不能只查其中一种。参数公式也不自动覆盖所有勾股数；只研究题目给定的那一类，不作未经证明的扩大。 例5． 把整数、、、依次代入、、，得到一组三个数，分别记为第组、第组、第组、。 （1）写出第组的三个数； （2）验证对任意整数，都满足，并说明这三个正数能组成直角三角形。 变式5-1． 已知一组三个正整数的第一数为奇数，另两个数、满足，且。 （1）当时，求、； （2）若改令，是否仍能找到这样的正整数、？写出计算过程。 变式5-2． 小明观察、、是一组勾股数，猜想“任意三个连续的正整数都是勾股数”。 （1）计算与，判断他的猜想； （2）若、、是勾股数，且，验证、、仍是勾股数。 变式5-3． 把每个整数代入、、，得到一组勾股数。若其中一条直角边长为，求所有可能的另外两边长。 A组 基础巩固 A1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，每条新作直角边长为，则的长是（　　）。 A． B． C． D． A2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 每条新作直角边长度相等。若，，则每条新作直角边长为______。 A3． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的面积为，则的面积为______。 A4． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 若的对角线长为，则的周长为______。 A5． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为，则第层所有正方形的面积之和为（　　）。 A． B． C． D． A6． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 每次所作三角形都是等腰直角三角形，第层正方形的边长为，则第层中每个正方形的面积为______。 A7． 从起，依次向东、向北、向西、向南作线段，按此顺序反复作图。每条线段的末端依次记为、、。则的长是（　　）。 A． B． C． D． A8． 将、、依次代入、、，可得三组勾股数。第三组的斜边长为______。 B组 方法突破 B1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，新作直角边的长按、、、、的顺序交替。 （1）求； （2）若，求。 B2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 。前步中，恰有一条新作直角边长，其余均长。 （1）求； （2）能否由的长度确定长为的直角边是在第几步作出的？分别将它放在第步和第步，计算所得的并作判断。 B3． 从正方形开始，依次连接它各边的中点，得到正方形；对作同样的操作，得到；如此继续。 与的边长之和为， 求的面积。 B4． 把一个正方形记为第层。以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个正方形，作为第层。以后对上一层每个正方形都作同样的操作，得到下一层。各次所作的直角三角形不必相同。 第层正方形的边长为。第层有个正方形，其面积分别为、、、；其中面积为和的两个正方形由第层的同一个正方形分支得到。求，并求第层两个正方形的边长。 B5． 从面积为的正方形开始，按以下三个操作循环：①以当前正方形的一条对角线为边另作正方形；②连接当前正方形各边中点得到新正方形；③再连接当前正方形各边中点得到新正方形。每完成一个操作，就以新正方形作为下一次操作的对象。 （1）求完成第次操作后 正方形的面积； （2）第一次得到面积为的正方形是在第几次操作后？ B6． 从出发，按东、北、西、南的顺序连续作线段， 长度依次为、、、、、、，即第条和第条都长。末端依次记为、、。求的长。 B7． 把正整数代入、、，可得到一组勾股数。 （1）验证、、是一组勾股数，并判断它能否由上述三个式子得到，写出计算过程； （2）求上述三个式子所表示的、斜边同样长的那组勾股数。 B8． 把整数代入、、，得到直角三角形的三边，其中是斜边。 （1）用含的式子表示三角形面积，并将所得式子写成三个连续正整数的积； （2）这类三角形中是否存在面积为的三角形？写出计算和检验过程。 C组 综合提升 C1． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，每条新作直角边长。 （1）在至中，哪些线段的长度是整数？写出下标和长度； （2）证明：任意相邻的与的长度不可能都是正整数。 C2． 按如下方法连续作直角三角形：在处作，连接； 在处作，连接； 以后每一步都在处作， 并连接。 各步均按图中同一绕行方向作图。 ，第步新作的直角边长为，其中、、、。 （1）求、、； （2）求的长，写出必要的计算过程。 C3．如图，正方形的边长为。第一次依次连接、、、的中点 、、、，得到正方形； 第二次依次连接、、、的中点、、、，得到正方形； 第三次依次连接、、、的中点、、 、，得到正方形。 （1）求正方形 的面积； （2）求的长。 C4． 按图依次构造正方形：先以正方形的一条边为斜边作直角三角形，再在两直角边上作正方形、；只对继续分支，得到、；再只对分支，得到、。已知、、、的边长依次为、、、。 求、、的边长， 并求图中这个正方形的面积之和。 C5． 从出发，依次向东、向北、向西、向南作线段，以后每四条线段都按此顺序重复。末端依次记为、、。若，其中为正整数，求和的长。 C6． 如图，正方形的边长为，点、、、分别在边、、、上， 且。 连接、、、。 （1）证明四边形是正方形，并求它的边长； （2）再在正方形的各边上按同一方向取四等分点，按同样方法得到下一个正方形。求这个新正方形的面积。 C7． 一个直角三角形的三边长都是正整数，最短边长为。 （1）求所有可能的另外两边长； （2）求这类三角形的最小周长，并写出相应的面积。 C8． 按图①，从开始，每次在处作长为且垂直于的线段，再连接。 按图②，从面积为的正方形开始，每次连接各边中点作新正方形。完成次操作后正方形的面积记为。 若、都是正整数，且不大于，求满足的所有。 图① 图② D组 中考衔接 中考真题 D1（2025年山东省东营市中考第18题）． 如图所示，正方形的边长为，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形， 其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为______。 D2（2026年安徽省中考第21题（1）至（3））． 项目式学习 【项目主题】一类勾股数有序表示的探究 【预备知识】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数称为勾股数，即满足的正整数，，是勾股数，记为。 设，为正整数，且，因为，所以为勾股数。本项目只研究形如的勾股数。 【规律探究】分别对，进行有序赋值，得到这类勾股数的一种排序方式，列表如下： 勾股数 … … … … 【规律应用】根据上表规律，请完成下列问题： （1），对应的勾股数是（______，______，______），序号为______； （2）勾股数对应的______，______； （3）序号为的勾股数是（______，______，______）。 D3（2025年广东省中考第22题（1）（2））． 《九章算术》是世界上较早给出勾股数公式的著作，掌握确定勾股数组的方法对研究直角三角形具有重要意义。若直角三角形的三边长，，都是正整数，则，，为一组“勾股数”。下表中的每一组数都是勾股数。 10，______，26 （1）请补全上表中的勾股数。 （2）根据上表中数据规律，用含字母（均为正整数）的代数式分别表示，，，使该组代数式能表示上表中所有的勾股数，并证明。 中考题型训练（原创） D4（原创中考题型训练）． 从一个正方形开始，每次选取一个尚未分支的正方形，以它的一条边为斜边向外作直角三角形，再分别以两条直角边为边向外作两个新正方形。 称没有继续分支的正方形为末端正方形。 经过两次操作，三个末端正方形、、的边长分别为、、，且所有已画正方形的边长都是正整数。 （1）求起始正方形的边长； （2）确定哪两个末端正方形由同一个正方形经过一次操作得到，并求所有已画正方形的面积之和（各正方形面积分别计入）。 D5（原创中考题型训练）． 在点的正东方向取点，。连续作等腰直角三角形：在处作，且，连接； 以后每一步都在处作，且，再连接。每一步均沿绕点的逆时针方向继续，射线与前一条射线的夹角为。 （1）求的长； （2）求的长； （3）求的长。 1 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $