勾股定理与折叠综合问题专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与折叠综合问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 学生版 本讲义围绕先后两次折叠、共同落点、面积计算和位置分类展开，配有基础巩固、能力突破、综合提升及中考精选。 内容导航 一、先后两次折叠的问题 1 二、两处折叠共用一个落点 4 三、折叠后的面积分清再计算 6 四、折叠后点的位置与分类讨论 9 A组 基础巩固 11 B组 能力突破 14 C组 综合提升 18 D组 中考精选 22 知识关系 先识别每次折叠的对应点与不动的点，再整理等长、直角和整段余段关系。两次操作需要衔接条件；同落点需要合并两套关系；求面积先分清纸片与覆盖区域；出现直线或射线时先分类，再检查点的位置是否符合题意。 一、先后两次折叠的问题 适用条件　同一张纸片经过两次折叠，每次都有各自的折痕和对应点。先分别记录每次折叠中的对应边相等、对应角相等，再寻找两次操作共同出现的点或线段。第一次确定的点，在第二次操作中仍保留第一次得到的长度条件。 关键关系　题目写‘展开后再折叠’，第二次操作针对原来的纸片；题目没有写展开，则必须追踪第一次折后真正保留的位置，不能自行恢复原图。 易错提醒　折痕上的点到一对对应点距离相等。把两条相等的线段分别放进直角三角形，可以用勾股定理消去共同的平方项。最后检查折痕端点是否在指定边上。 例、在直角三角形纸片中，，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处；展开后，第二次折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。 （）求的周长； （）求第二条折痕的长。 变式、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，折痕交于点；展开后，再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求、的长，并求的面积。 变式、在直角三角形纸片中，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处；展开后，再折叠使点与点重合， 折痕交于点。已知，且点在、之间，求的长，并判断符合条件的纸片是否只有一种。 变式、在矩形纸片中，，。先折叠使边与边重合，展开后得到折痕，在上，在上；再沿直线折叠，使点的对应点为。求的长与的面积。 二、两处折叠共用一个落点 适用条件　两个顶点折到同一点时，这个落点分别属于两次折叠。若同一个折痕端点在两次操作中都不动，就能把两套等长关系连接起来。 例如同一点分别在两条折痕上，、都折到，则、，因而。 关键关系　把公共落点所在的整条线段分成两段时，必须核对点的顺序。只有在线段上，才能写；若在延长线上，应用差而不能应用和。 易错提醒　长方形的对角线或两点连线常把两个相邻方向的距离联系起来。先把边长、整段、余段表达清楚，再列勾股关系；求出数值还要检验落点及折痕端点都在纸片上。 例、在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上。将沿折叠，将沿折叠， 点、恰好落在线段上的同一点处。 （）求和的长； （）求四边形的面积。 变式、在矩形纸片中，，点为的中点，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。求的长及的面积。 变式、在矩形纸片中，，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，点、落在线段上的同一点处。求与的面积比，并求折叠后两块三角形纸片的公共部分面积。 变式、如示意图所示，有两张矩形纸片，第一张、， 第二张、。对每张纸片均尝试在上取点、在上取点，使沿折叠、沿折叠后，点、落在线段上的同一点处。分别判断能否实现；能实现的，求的长；不能实现的，写出计算依据。 三、折叠后的面积分清再计算 适用条件　折叠不会改变纸片本身的面积，但可能改变它在平面上盖住的区域。两层重叠的区域，在纸片总面积中计算两次，在盖住的区域面积中只计算一次。 关键关系　一块三角形折到纸片其余部分之内，且与原位置只共用折痕时，重叠部分就是折后的三角形。若有一部分折到纸片外，必须分清内、外两块，不能把整个三角形都算作重叠。 易错提醒　面积题仍要先找底和对应的高。图上的斜边不一定是高；折后保留的直角可以帮助确定高。面积条件也可以反过来确定线段，再用勾股定理求其余长度。 例、在矩形纸片中，，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处。 （）求和的长； （）求折叠后纸片盖住的区域面积； （）求该区域中只有一层纸的部分面积。 变式、在矩形纸片中，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处，。求原矩形的面积与折叠后重叠部分的面积。 变式、在矩形纸片中，，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处。求四边形与的面积比，并求折叠后纸片盖住的区域的周长。 变式、在矩形纸片中，，，点在上，。将沿折叠，点的对应点为。已知点在原矩形内部，求的面积与折叠后纸片盖住的区域面积，并求的长。 四、折叠后点的位置与分类讨论 适用条件　同一条直线上的点可能在线段内，也可能在两端的延长线上。题目只说‘在直线上’，不能擅自按‘在边上’处理。先用距离条件确定可能的位置，再分别检查折痕与纸片相交的边。 关键关系　勾股关系中出现一个距离的平方时，平方相同只表示距离相同，不能立即断定点在同一侧。例如点到的距离已知，在直线上时，通常要分别考虑的两侧。 易错提醒　检验包括：折痕是否穿过纸片、端点是否在指定边上、落点是否满足题干限制、所求三角形是否确有三个不同且不共线的顶点。算对数值还须验图形条件。 例、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）求所有可能的的长； （）分别确定折痕与矩形另一条边的交点，并求的长。 变式、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点。求与的长，并求的面积。 变式、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）若在射线上，求的所有可能值； （）若在射线上，求的所有可能值。 变式、如示意图所示，在矩形纸片中，沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）若，，判断这种折叠能否实现； （）若，求所有可能的的位置，并指出折痕。 A组 基础巩固 、在正方形纸片中，。先折叠使点与点重合， 展开后留下折痕，在上，在上；再折叠使点与点重合，展开后留下折痕，在上，在上。两折痕交于点，则的长为（　）。 A．　B．　C．　D． 、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，展开后 折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕交于点。 则的长为________。 、在矩形纸片中， ，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，点、落在线段上的同一点处。下列结论中正确的是（　）。 A．　B．　C．　D． 、在矩形纸片中， ，。沿折叠，点落在边上的点处，在上。则的面积为（　）。 A．　B．　C．　D． 、在矩形纸片中， ，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，则的所有可能值为________。 、在等边三角形纸片中， 。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。 则________，________。 、在矩形纸片中， ，。沿折叠，在上，，折后点落在矩形内部的点处。则折叠后重叠部分面积为________，只有一层纸的部分面积为________。 、在三角形纸片中，，，。先沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。则的度数为（　）。 A．　B．　C．　D． B组 能力突破 、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求四边形的周长。 、在矩形纸片中，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。已知的面积为，求、，并求两处折叠完成后纸片盖住的区域面积。 、在矩形纸片中，，。沿折叠，点落在上的点处，在上。将纸片展开，再折叠使点与点重合， 此时点的对应点为。求与的长。 、在等边三角形纸片中，。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求折叠后纸片盖住的区域面积和该区域的周长。 、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。若折痕与交于点，求的长及的面积。 、在直角三角形纸片中，，，。先沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。求，并求与的面积比。 、在矩形纸片中，，，点在上。 沿折叠，点落在上的点处。求与的面积之差，并求与的比。 、在矩形纸片中， ，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。 求、的长，并判断是否为直角三角形。 C组 综合提升 、在直角三角形纸片中，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。 （）求证：的周长等于 ； （）若，的周长为，求的长； （）在（）的条件下，求第二次折痕在纸片内的长度。 、在矩形纸片中，，，、均为正数。点在上，点在上，分别沿、折叠、， 使点、落在线段上的同一点处。 （）求证：是的中点； （）当、时，求与的面积； （）当时，求这种折叠能够实现时的取值范围。点允许与点重合，但不与点重合。 、在矩形纸片中，，。点在上，将沿折叠，点落在原矩形内部或边上的点处。 （）当在上时，求； （）当时，判断是否在原矩形内部，并求折叠后纸片盖住的区域面积； （）若重叠部分面积为，求，并核实点的位置是否符合题意。 、在矩形纸片中，。沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，，折痕与交于点。 （）求与； （）展开后，沿另一条过点的直线折叠，使点落在的延长线上的点处，折痕与交于点，求与； （）求与的面积比。 、在等边三角形纸片中，先折叠使点与点重合， 展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合， 折痕分别交、于点、。已知折叠后盖住的区域周长为。 （）求； （）求重叠部分面积与只有一层纸的部分面积； （）点、分别为、的中点，连接，求。 、在矩形纸片中，，。点在上，且不与、重合。将沿折叠，点的对应点为，连接。 （）当时，求与的周长； （）当落在边上时，求与折叠后重叠部分的面积； （）求在原矩形内部或边上时的取值范围。 D组 中考精选 （·江苏苏州·第题）、如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接、，则下列结论不正确的是（ ）。 A．；B．；C．的面积=的面积；D．四边形的面积=的面积。 （·四川凉山·第题）、如图，在矩形中，厘米，厘米。动点从点出发以厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点处停止。动点运动秒时，连接，将沿着直线折叠， 顶点的对应点是点，连接。当是直角三角形时，则为________秒。 （·重庆·第题）、如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点。和的 平分线、相交于点，连接，则的面积为（ ）。 A．；B．；C．；D．。 （·天津·第题（Ⅰ）、（Ⅱ）①节选）、将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴上， 点、分别在第一、第四象限， 且关于轴对称。 ，，。 （）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； 图① （）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上。设。如图②，若直线分别与边、相交于点、，当折叠后重叠部分为五边形时， 点、的对应点分别为、，与相交于点， 与相交于点。试用含有的式子表示线段的长， 并直接写出的取值范围。 图② 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与折叠综合问题 专题复习讲义 —学年苏科版八年级数学上册 教师版 本讲义围绕先后两次折叠、共同落点、面积计算和位置分类展开，配有基础巩固、能力突破、综合提升及中考精选。 内容导航 一、先后两次折叠的问题 1 二、两处折叠共用一个落点 5 三、折叠后的面积分清再计算 8 四、折叠后点的位置与分类讨论 10 A组 基础巩固 13 B组 能力突破 17 C组 综合提升 21 D组 中考精选 27 知识关系 先识别每次折叠的对应点与不动的点，再整理等长、直角和整段余段关系。两次操作需要衔接条件；同落点需要合并两套关系；求面积先分清纸片与覆盖区域；出现直线或射线时先分类，再检查点的位置是否符合题意。 一、先后两次折叠的问题 适用条件　同一张纸片经过两次折叠，每次都有各自的折痕和对应点。先分别记录每次折叠中的对应边相等、对应角相等，再寻找两次操作共同出现的点或线段。第一次确定的点，在第二次操作中仍保留第一次得到的长度条件。 关键关系　题目写‘展开后再折叠’，第二次操作针对原来的纸片；题目没有写展开，则必须追踪第一次折后真正保留的位置，不能自行恢复原图。 易错提醒　折痕上的点到一对对应点距离相等。把两条相等的线段分别放进直角三角形，可以用勾股定理消去共同的平方项。最后检查折痕端点是否在指定边上。 例、在直角三角形纸片中，，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处；展开后，第二次折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。 （）求的周长； （）求第二条折痕的长。 解析 （）两次折叠分别给出、。因此的周长为。 （）先说明为什么是直角三角形。由，得；由，得。又，而、、共线，所以。设，则，由勾股定理得，解得，。 过作，垂足为。由，得。设，；在直角三角形、中，，得，所以。第二条折痕垂直平分，故。在直角三角形中，，得。 变式、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，折痕交于点；展开后，再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求、的长，并求的面积。 解析 第一次折叠给出。过分别作、，垂足为、。四边形为矩形，所以、。直角三角形与中，斜边，且，故两三角形全等，，。于是，。 第二次折叠给出、。设，在直角三角形中，，得； 设，在直角三角形中，，得。的面积为。 变式、在直角三角形纸片中，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处；展开后，再折叠使点与点重合， 折痕交于点。已知，且点在、之间，求的长，并判断符合条件的纸片是否只有一种。 解析 折叠给出、。由两组等腰三角形的底角相等及，可得。于是，。由于在、之间，。因此符合条件的纸片只有一种；不能把算进来，因为那将使落在、之间。 变式、在矩形纸片中，，。先折叠使边与边重合，展开后得到折痕，在上，在上；再沿直线折叠，使点的对应点为。求的长与的面积。 解析 第一次折叠给出。第二次折叠给出、。过作，垂足为，设、。由及，分别得到、，所以。代入得，。 故，，。的面积为。辅助线的作用是把两条折叠等长分别放入直角三角形，共同的平方项相减后即可求高。 二、两处折叠共用一个落点 适用条件　两个顶点折到同一点时，这个落点分别属于两次折叠。若同一个折痕端点在两次操作中都不动，就能把两套等长关系连接起来。 例如同一点分别在两条折痕上，、都折到，则、，因而。 关键关系　把公共落点所在的整条线段分成两段时，必须核对点的顺序。只有在线段上，才能写；若在延长线上，应用差而不能应用和。 易错提醒　长方形的对角线或两点连线常把两个相邻方向的距离联系起来。先把边长、整段、余段表达清楚，再列勾股关系；求出数值还要检验落点及折痕端点都在纸片上。 例、在矩形纸片中，，，点在边上，点在边上。将沿折叠，将沿折叠， 点、恰好落在线段上的同一点处。 （）求和的长； （）求四边形的面积。 解析 （）由两次折叠得，所以。 又、，且在线段上，所以。设，则。在直角三角形中，，得。 （）四边形的面积等于矩形的面积减去的面积，即。 变式、在矩形纸片中，，点为的中点，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。求的长及的面积。 解析 折叠给出，故为的中点；，，故、。在直角三角形中，，故。 折叠保角，；又，所以的面积为。 变式、在矩形纸片中，，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，点、落在线段上的同一点处。求与的面积比，并求折叠后两块三角形纸片的公共部分面积。 解析 两次折叠给出、、。设，由直角三角形得，解得。 和以、为底时，有同一条高，所以面积比为。注意、、依次共线，两三角形分别在直线的两侧，只共用边，没有共同的面，故两块三角形纸片的公共部分面积为。 变式、如示意图所示，有两张矩形纸片，第一张、， 第二张、。对每张纸片均尝试在上取点、在上取点，使沿折叠、沿折叠后，点、落在线段上的同一点处。分别判断能否实现；能实现的，求的长；不能实现的，写出计算依据。 解析 如能实现，则，、，故。设，由直角三角形得，即。 第一张，得，满足。还需检验两块纸片的落点确实相同：取为中点，过作。先核实垂足的位置：，故垂足不能在端外或与重合；若垂足在端外或与重合，由两个直角三角形得，但，矛盾。因此垂足在线段内部。设。在两个直角三角形、中相减，得。又原图中，，所以，继而。 因此、，第一张能够实现。第二张，得，将超出边，不能实现。 三、折叠后的面积分清再计算 适用条件　折叠不会改变纸片本身的面积，但可能改变它在平面上盖住的区域。两层重叠的区域，在纸片总面积中计算两次，在盖住的区域面积中只计算一次。 关键关系　一块三角形折到纸片其余部分之内，且与原位置只共用折痕时，重叠部分就是折后的三角形。若有一部分折到纸片外，必须分清内、外两块，不能把整个三角形都算作重叠。 易错提醒　面积题仍要先找底和对应的高。图上的斜边不一定是高；折后保留的直角可以帮助确定高。面积条件也可以反过来确定线段，再用勾股定理求其余长度。 例、在矩形纸片中，，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处。 （）求和的长； （）求折叠后纸片盖住的区域面积； （）求该区域中只有一层纸的部分面积。 解析 （）折叠给出。在直角三角形中，，故，。设，则、，由直角三角形得，得。 （）折过去的完全在四边形内，所以盖住的区域就是四边形。其面积为。 （）重叠部分为，其面积等于的面积。只有一层纸的面积为盖住的面积减去重叠面积，即。不可只从原矩形面积减去一次。 变式、在矩形纸片中，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处，。求原矩形的面积与折叠后重叠部分的面积。 解析 设。折叠给出，。在直角三角形中， ，得，原矩形面积为。 设，由，在直角三角形中，，得。折过去的在原矩形内部，是重叠部分，面积为。 变式、在矩形纸片中，，，点在上。将沿折叠，点落在边上的点处。求四边形与的面积比，并求折叠后纸片盖住的区域的周长。 解析 由折叠得。在直角三角形中，，所以。设，由及直角三角形得， 解得、。 的面积等于的面积；四边形的面积为，所以面积比为。 折叠后盖住的区域就是四边形，的两条边、不属于该区域的外边界。由勾股定理，。所求周长为。 变式、在矩形纸片中，，，点在上，。将沿折叠，点的对应点为。已知点在原矩形内部，求的面积与折叠后纸片盖住的区域面积，并求的长。 解析 以为底，为高，面积为。在原矩形内部，所以完全落在四边形内，盖住的区域面积为。 过作，垂足为，设、。由、，分别得、。因此，解得、。，所以。 四、折叠后点的位置与分类讨论 适用条件　同一条直线上的点可能在线段内，也可能在两端的延长线上。题目只说‘在直线上’，不能擅自按‘在边上’处理。先用距离条件确定可能的位置，再分别检查折痕与纸片相交的边。 关键关系　勾股关系中出现一个距离的平方时，平方相同只表示距离相同，不能立即断定点在同一侧。例如点到的距离已知，在直线上时，通常要分别考虑的两侧。 易错提醒　检验包括：折痕是否穿过纸片、端点是否在指定边上、落点是否满足题干限制、所求三角形是否确有三个不同且不共线的顶点。算对数值还须验图形条件。 例、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）求所有可能的的长； （）分别确定折痕与矩形另一条边的交点，并求的长。 解析 （）折叠给出。因，在直角三角形中，，。可以在的下方或上方，所以分别为或。 （）当时，在边上，折痕交于。由，设，在直角三角形中得，解得。，在直角三角形中，。 当时，在的延长线上，折痕交于。由，设，则。在直角三角形中，，解得，。在直角三角形中，。两次所求交点均在相应边内。 变式、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，折痕与交于点。求与的长，并求的面积。 解析 折叠给出。在直角三角形中，。因在边上，；不能取延长线上的另一个点。 折痕上的点满足。设，则，解得。的面积为。 变式、在矩形纸片中， ，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）若在射线上， 求的所有可能值； （）若在射线上， 求的所有可能值。 解析 折叠给出，直角三角形中。两个候选位置分别在的下方处和的上方处。 （）射线从向方向延伸，仅包含下方的候选点，因此。（）射线从向方向延伸，两个候选点都在这条射线上，因此或。射线以首字母为端点，不能只凭字母相同把两条射线当成同一范围。 变式、如示意图所示，在矩形纸片中，沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。 （）若，，判断这种折叠能否实现； （）若，求所有可能的的位置，并指出折痕。 解析 （）不能实现。若在直线上，则不小于点到直线的距离；而折叠要求，矛盾。 （）当时，。由直角三角形中的勾股关系，得，所以与重合。正方形对角线把两个全等直角三角形、重合，折痕为。 A组 基础巩固 、在正方形纸片中，。先折叠使点与点重合， 展开后留下折痕，在上，在上；再折叠使点与点重合，展开后留下折痕，在上，在上。两折痕交于点，则的长为（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 两条折痕分别垂直平分、，所以，四边形为正方形，。在直角三角形中，，选。 、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，展开后 折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕交于点。 则的长为________。 解析 第一次折叠给出；第二次折叠给出。 设，则。在直角三角形中，，解得。 、在矩形纸片中， ，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，点、落在线段上的同一点处。下列结论中正确的是（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 两次折叠给出、、。设，则、。由勾股定理，，解得、，选。 、在矩形纸片中， ，。沿折叠，点落在边上的点处，在上。则的面积为（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 由折叠得，直角三角形中，所以。设，则、，故，解得。的面积等于的面积，为，选。 、在矩形纸片中， ，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处，则的所有可能值为________。 解析 折叠给出，故。在的两侧各有一个位置，或。 、在等边三角形纸片中， 。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。 则________，________。 解析 第一次折叠给出，；由勾股定理得。第二条折痕垂直平分。 第二次折叠给出，，所以。中另有，故它是等边三角形，。 同理、，所以，也是等边三角形，。 、在矩形纸片中， ，。沿折叠，在上，，折后点落在矩形内部的点处。则折叠后重叠部分面积为________，只有一层纸的部分面积为________。 解析 折叠保持面积，的面积等于的面积，为。由于在矩形内部，是重叠部分。原面积为，重叠的计了两层，所以只有一层纸的面积为。 、在三角形纸片中，，，。先沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。则的度数为（　）。 A．　B．　C．　D． 解析 因为，由勾股定理的逆定理得。两次折叠给出、，所以、。又、、共线，故，选。 B组 能力突破 、在直角三角形纸片中，，，。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求四边形的周长。 解析 第一次折叠使为中点。过作、，垂足为、。用直角三角形与全等，可得、。 第二次折叠给出、。 设，则，解得；设，则，解得。故、。 在直角三角形中，。原三角形，所求周长为。 、在矩形纸片中，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。已知的面积为，求、，并求两处折叠完成后纸片盖住的区域面积。 解析 由的面积为，得，故。两次折叠给出，所以。设，由、，得；勾股关系给出。 折过去的和都落在内，故盖住的区域是四边形。其面积为原矩形面积减去原来的和面积，即。 、在矩形纸片中，，。沿折叠，点落在上的点处，在上。将纸片展开，再折叠使点与点重合， 此时点的对应点为。求与的长。 解析 第一次折叠给出，，。设，则，，解得。 第二次折叠的折痕垂直平分。由于在上，折痕平行，点折到上的点处，并且、，。在直角三角形中，。 、在等边三角形纸片中，。先折叠使点与点重合，展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合，折痕分别交、于点、。求折叠后纸片盖住的区域面积和该区域的周长。 解析 第一次折叠给出、。第二次折叠给出、，结合可得，所以、、都是等边三角形，边长均为。 在四边形内部，因此盖住的区域是四边形，由上述三个边长的等边三角形拼成。每个三角形的高为，面积；盖住面积为，周长为。 、在矩形纸片中，，。沿过点的直线折叠，使点落在直线上的点处。若折痕与交于点，求的长及的面积。 解析 折叠给出，故。两个候选点对应或。 若，直线上满足的点应满足，得到，说明交点不在边上；也可注意边上任一点到的距离均大于它到该的距离。因此题设所指为在上方、的情况。 设，由得，解得。，点到直线的距离为，所以的面积为。 、在直角三角形纸片中，，，。先沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。求，并求与的面积比。 解析 两次折叠给出、。由等腰三角形、的底角相等，结合，得。设，由，解得、。 在处为直角，在处为直角，因此它们的面积分别为、。又，所以面积比直接等于。 、在矩形纸片中，，，点在上。 沿折叠，点落在上的点处。求与的面积之差，并求与的比。 解析 由折叠得，，所以。设，则，由得，，故。 以为底，对应高为，面积；面积等于面积。面积之差为。 、在矩形纸片中， ，，点在上，点在上。分别沿、折叠、，使点、落在线段上的同一点处。 求、的长，并判断是否为直角三角形。 解析 两次折叠给出、、。设，勾股关系给出，所以。 在直角三角形、中，，。因为，由勾股定理的逆定理知，是直角三角形。 C组 综合提升 、在直角三角形纸片中，，。第一次沿过点的直线折叠，使点落在上的点处；展开后再折叠，使点与点重合， 折痕交于点。 （）求证：的周长等于 ； （）若，的周长为，求的长； （）在（）的条件下，求第二次折痕在纸片内的长度。 解析 （）两次折叠分别给出、，所以的周长为。 （）由（）得。又、，分别利用两个等腰三角形的底角相等，可得。设，由，得、。 （）设第二条折痕交于。过作，垂足为。；设，两条勾股关系相减得，解得。由，得，故。第二条折痕垂直平分，故。由，得。 、在矩形纸片中，，，、均为正数。点在上，点在上，分别沿、折叠、， 使点、落在线段上的同一点处。 （）求证：是的中点； （）当、时，求与的面积； （）当时，求这种折叠能够实现时的取值范围。点允许与点重合，但不与点重合。 解析 （）由两次折叠得、，所以，为的中点。 （），，设。由直角三角形，，得，。折叠保角，，且，所以的面积为。 （）必要条件：同理可得，故。在上，允许点与重合，但不允许点与重合，所以，等价于。 再说明这些确实都可实现。对，取中点，在上取，记此长度为，则，且由勾股定理。过作。 因为，垂足不能在端外或与重合；若在端外或与重合，则由勾股定理得。但，矛盾。因此垂足在线段内部。由， 在两个直角三角形、中相减，可得、，继而。于是、，两次折叠能把、送到同一点。故所求范围为。 、在矩形纸片中，，。点在上，将沿折叠，点落在原矩形内部或边上的点处。 （）当在上时，求； （）当时，判断是否在原矩形内部，并求折叠后纸片盖住的区域面积； （）若重叠部分面积为，求，并核实点的位置是否符合题意。 解析 （）由及直角三角形得，。设，由得，解得。 （）先验证的位置。，而到直线的距离为，所以不能到达或越过。由于，直角三角形中，由折叠得，在下方；又，不可能在下方，且不与重合，所以在上方。折叠还使在右侧，故在原矩形内部。盖住的区域为四边形，面积。 （）题设要求在原矩形内或边上，因此重叠部分为。其面积等于的面积，故，。检查点的位置：，所以不能到达或越过；，得，在下方。又且不与重合，在上方；折叠使在右侧。因此确实在矩形内部，符合题意。 、在矩形纸片中，。沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，，折痕与交于点。 （）求与； （）展开后，沿另一条过点的直线折叠，使点落在的延长线上的点处，折痕与交于点，求与； （）求与的面积比。 解析 （）折叠给出，。由直角三角形得，所以。 设，由得，解得。 （）同样，。在的延长线上，故。设，由得，解得，。 （）连接以便分割面积。四边形既可分成和，也可分成和，所以=。以为底，点到直线的距离为，故面积为。所求面积比为。 、在等边三角形纸片中，先折叠使点与点重合， 展开后折痕交于点；再折叠使点与点重合， 折痕分别交、于点、。已知折叠后盖住的区域周长为。 （）求； （）求重叠部分面积与只有一层纸的部分面积； （）点、分别为、的中点，连接，求。 解析 （）设。第一次折叠给出，。第二次折叠给出、，由等腰三角形底角及原三角形的角，得、、都是边长的等边三角形。折叠后盖住的区域为四边形，其周长为。由，得。 （）重叠部分是边长的等边三角形，其高为，面积。只有一层纸的部分由、组成，面积共。 （），是中点；又第二条折痕垂直平分，所以也是中点。由，得。为中点，故。在直角三角形中，。 、在矩形纸片中，，。点在上，且不与、重合。将沿折叠，点的对应点为，连接。 （）当时，求与的周长； （）当落在边上时，求与折叠后重叠部分的面积； （）求在原矩形内部或边上时的取值范围。 解析 （）由折叠得，又，所以。过作，垂足为，设、。 由、，分别得、，因此，解得、。故，。的周长为。 （）在上时，，由折叠知平分，所以。直角三角形为等腰直角三角形，。完全在矩形内部或边上，重叠部分面积为。 （）记。因为不与、重合，所以，折叠给出。在的右侧，且，不可能越过右边。又到直线的距离为，，所以不可能在下方。只需判断是否越过上边。 当时，直角三角形中不大于，所以，于是，在下方或上。当时，，于是，在上方。因此所求范围为，等号对应第（）问的临界位置。 D组 中考精选 （·江苏苏州·第题）、如图，在正方形中，为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接、，则下列结论不正确的是（ ）。 A．；B．；C．的面积=的面积；D．四边形的面积=的面积。 解析 选。设正方形边长为。过作，垂足为，设、。折叠给出、。分别应用勾股定理得、，所以。代入得。与不重合，故、。 逐项核验。：由，为等腰三角形。设，折叠得，所以，。因此，正确。 ：过作，垂足为。，、。于是，，故， 正确。 ：的面积为；的面积为，正确。 ：四边形由和组成，面积为；的面积为。二者不相等，错误。 （·四川凉山·第题）、如图，在矩形中，厘米，厘米。动点从点出发以厘米/秒的速度在线段上运动，运动到点处停止。动点运动秒时，连接，将沿着直线折叠， 顶点的对应点是点，连接。当是直角三角形时，则为________秒。 解析 由折叠得、，且。、、要组成直角三角形，须分别考虑直角在哪个顶点，且。 ①当时，和都垂直，所以、、共线。 ，且。折叠使在的右侧，故不在经过后的延长线上；又，所以在线段上，。在直角三角形中，，解得。此时、、、， 符合条件。 ②当时，。折叠又给出，所以，落在上。于是，由得。检验：，，沿翻折后，在上，且， 符合条件。 ③当时，，应在直线上。但点到直线的距离为，任何这样的均有，与矛盾，所以无解。综上，为或秒。 （·重庆·第题）、如图，正方形的边长为，点是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点。和的 平分线、相交于点，连接，则的面积为（ ）。 A．；B．；C．；D．。 解析 选。连接。折叠给出、、。又、，两个直角三角形、有公共斜边，且，故由知两三角形全等，。 设，则、。在直角三角形中，，解得，所以、。 过分别作、、，垂足为、、。因为、分别平分、，由角平分线性质得，设为。三条高把分成三个以为顶点的小三角形，面积相加得到，解得。 所以的面积为。 （·天津·第题（Ⅰ）、（Ⅱ）①节选）、将一个四边形纸片放置在平面直角坐标系中，为原点，点在轴的正半轴上， 点、分别在第一、第四象限，且关于轴对称。 ，，。 （）填空：如图①，点的坐标为________，点的坐标为________； （）若为轴的正半轴上一动点，过点作直线轴，沿直线折叠该纸片，折叠后点的对应点落在轴的正半轴上。设。如图②，若直线分别与边、相交于点、，当折叠后重叠部分为五边形时， 点、的对应点分别为、，与相交于点， 与相交于点。试用含有的式子表示线段的长， 并直接写出的取值范围。 图① 图② 解析 先回顾一个可直接证明的关系：在直角三角形中，若、，延长到，使。由直角边相等可证，故；又，所以为等边三角形，得到。 （）由、关于轴对称及，得。在处为直角， 所以，由上述关系得，。 过作轴，垂足为。，故，。因此点的坐标为，点的坐标为。 （）先在题设五边形情形下求。直角三角形中，，所以。由及勾股定理，，得，。于是。 沿折叠，得到，且。因为，折叠后；又、反向，所以。故在处为，。 再检查范围。直线与、相交并穿过纸片内部，要求；时交点分别与、重合。若，则，即到达或越过；当时，，交点已越过，不能形成题设的五边形，时，、、都与重合。 当时，，故在线段内部；由关于轴的对称性，在线段内部。又，在线段内部，且、分别在原纸片的上、下两边外侧。折叠后的上半块纸片与原纸片相交后留下四边形，下半部与之对称；两部分合并的外边界依次经过、、、、，确为五边形。因此的取值范围为。 1 / 31 学科网（北京）股份有限公司 $