专题06勾股定理的探究、勾股定理的逆定理同步培优讲义（重点知识梳理+13大核心题型+分层练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题06勾股定理的探究、勾股定理的逆定理同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理：网格图形面积探究→猜想→定理内容→面积法证明（赵爽弦图）→直角三角形 2.已知两边求第三边，分类讨论（已知直角三角形两边，不确定斜边） 勾股定理的逆定理： 3.由三边数量关系猜想直角三角形→逆定理内容→依据边长判定直角三角形 勾股数：定义、 4.常见勾股数、勾股数的整数倍性质 勾股定理与逆定理：勾股定理由形推数，逆定理由数判形; 5.综合应用：线段长度计算、判断三角形形状、简单几何证明 ✺学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，会用割补法计算网格中正方形的面积，体会从特殊到一般的数学思想；熟记勾股定理，能规范写出对应的几何语言。 2.明确勾股定理的适用条件，能利用勾股定理求解直角三角形的未知边长，理解赵爽弦图的面积证明思路。 3.掌握勾股定理的逆定理，能根据三角形三边长度判断三角形是否为直角三角形，准确找到直角对应的顶点。 4.理解勾股数的概念，记住常用勾股数，掌握勾股数的基本性质。 5.区分勾股定理与其逆定理的条件和结论，感受数形结合思想，能完成基础与中档几何计算和简单推理。 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 2.勾股定理的验证 方法一（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 方法三（伽菲尔德证法）：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 知识点二、勾股定理逆定理 1.定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 知识点三、勾股定理与逆定理对比 对比维度 勾股定理（正定理） 勾股定理逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足平方关系 推导结论 三边满足a2+b2=c2 三角形为直角三角形 定理作用 边长计算、求未知边 判定直角、判断三角形形状 推理方向 由“形”推“数” 由“数”推“形” 知识点四、常见勾股数 能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三个数的最大公因数为1的一组勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组仍是勾股数。 易错提醒 1.勾股定理不能直接用于任意三角形，使用前先要确定三角形为直角三角形，分清直角边与斜边。 2.使用逆定理判断直角三角形时，必须选取最长边作为公式中的c，不能随意代入边长计算。 3.勾股数要求三个数为正整数，如0.3,0.4,0.5虽然满足等式，但不是勾股数。 4.勾股定理与它的逆定理是互逆定理，条件和结论相反，不可混淆。 5.没有说明直角时，不能默认某个角是直角，不能直接套用勾股定理。 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，在中，， ， ， ，， 2．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 【答案】 【分析】构造直角三角形，作高，先利用直角三角形性质求出、，再在中用勾股定理求，线段相加得到长． 【详解】解：过点作于点， 由题意可得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？ 【答案】 【分析】根据勾股定理求出，然后计算与的差即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴居民走小路比沿草坪边缘走近． 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，若正方形、的面积分别为16和4，则正方形的面积是（     ） A．4 B．20 C． D．12 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出三个正方形的面积关系即可． 【详解】解：如图： ， ， 这些四边形都是正方形， 、、， 、， ， 因此，正方形C的面积是12． 2．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 【答案】7 【分析】由正方形的面积公式得到，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：∵甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23， ∴， 在中，， ∴由勾股定理得， ∴或（舍去）． 3．根据勾股定理知识迁移，完成下列问题． (1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由； (2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)解：，理由如下： 如图，设直角三角形的三边长分别为，则：， ， ； (2) 【分析】（1）设直角三角形的三边长分别为，根据半圆的面积公式判断即可； （2）利用勾股定理求出的长，阴影部分面积半圆半圆直角三角形面积半圆，求出即可． 【详解】（1）略 （2）解：如图： 在中，，， ∴， 则 ． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在中，，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ． 2．在中，斜边，则________． 【答案】18 【分析】由直角三角形结合勾股定理得到的值，即可得出结果． 【详解】解：∵中，斜边， ∴， ∴． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意运用数形结合思想进行求解问题． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可． 【详解】（1）解：如图，设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点G，连接，则， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， 即代数式的最小值为的长， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值为13； 故答案为：13 （2）解：设，，点A在的上方，且，点D在的下方，且，对于任意一点B，过点D作，交延长线于点H，连接，则，， ∴代数式表示， ∵的最小值为的长， ∴代数式的最小值为的长， ∵， 即代数式的最小值为． 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【详解】解：，， ∴，， ∴， 故选： D． 2．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 【答案】或 【分析】分两种情况，根据勾股定理、“和美三角形”的定义计算即可． 【详解】解：在Rt中，， ∴， 当时， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值已舍去）， 当， ∴，， ∵Rt是“和美三角形”， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了勾股定理，“和美三角形”的定义，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3．综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 【答案】(1)13 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据勾股分割点的定义可知，以，，为边的三角形是一个直角三角形，且是斜边，，是直角边，于是直接利用勾股定理即可得解； （2）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理即可得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，首先可证明是直角三角形，然后利用可证得，于是可得，在中利用勾股定理可得到一个关于的一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：以，，为边的三角形是一个直角三角形，且，， 是斜边，，是直角边， ； （2）证明：， ， 又， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 点，是线段的勾股分割点； （3）， ， 又， ， ， 如图，将绕点逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可知： ，，，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， 解得：． 题型5.勾股定理的证明方法 1．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 【答案】D 【分析】拼接前后图形的总面积不变，则边长为c的正方形面积为，即边长为c的正方形的边长为，则可证明，根据图形可知分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，据此可得答案． 【详解】解：A．由题意得，拼接前后图形的总面积保持不变，原说法错误，不符合题意； B．∵拼接后的大正方形面积等于两个正方形纸片的面积， ∴拼接后的大正方形的面积为， ∴拼接后大正方形的边长为，原说法错误，不符合题意； C．拼接过程中，分割出的所有三角形不一定都是全等的直角三角形，原说法错误，不符合题意； D．∵拼接后大正方形的边长为，又为c， ∴，即，原说法正确，符合题意． 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质与判定，第一种方法，这个图形的面积等于三个直角三角形的面积；第二种方法，可证明，进而推出B、C、D三点共线，则这个图形的面积等于梯形的面积，两种方法分别表示出这个图形的面积即可得到答案． 【详解】解；这个图形的面积等于三个直角三角形的面积，即为； 如图所示，∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴B、C、D三点共线， ∴这个图形的面积等于梯形的面积，即为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 【答案】解：选图1 ， ， ， ； 或选图2 ， ， ， ； 或选图3 ， ， ， ， ． 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简即可． 【详解】略 题型6.以弦图为背景的计算题 1．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 【答案】D 【分析】根据题意确定延长的直角边，利用勾股定理求出“数学风车”叶片的斜边长，再根据周长公式计算即可． 【详解】解：，，， 为较短的直角边， 将较短的直角边向外延长一倍， 延长部分， 新直角三角形的直角边， 在中，由勾股定理得：， “数学风车”的周长为． 2．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质及正方形的性质可得出，；由勾股定理得出，设，解方程，得出，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， ∴， 设， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴正方形的边长是． 3．我国汉代数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，这是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标．如图所示的“赵爽弦图”中的四个直角三角形是全等的．如果这四个直角三角形中较小的锐角均为，求小正方形的边长与大正方形的边长的比值． 【答案】 【分析】设较短的直角边（即角）所对直角边长为，由含角的直角三角形的性质求出斜边长，即大正方形的边长，再由勾股定理求出较长直角边的长，即可求出小正方形的边长，从而求出小正方形的边长与大正方形的边长的比值． 【详解】解：设较短的直角边（即角）所对直角边长为，斜边长为，即大正方形边长为， 较长直角边， 小正方形边长=， ． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分两种情况讨论：当箭竖直放置时直接求解；当箭斜着放置时结合勾股定理求解即可． 【详解】解：当箭竖直放置时，如图所示： 箭在投壶外面部分长度； 当箭斜着放置时，如图所示： 在中，，，则由勾股定理可得， 箭在投壶外面部分长度； 综上所述，的取值范围是． 2．文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 【答案】13 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由题意得，，，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得，，， ∴， ∴， 即要挖到该文物至少要挖， 故答案为：． 3．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图1，过点作于点，则，，利用勾股定理可求得，再利用线段的和差求解即可； （2）先利用线段的和差求得，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点，则，， 在中，，， 由勾股定理得：， ． （2）解：如图2：， ， ． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理求出，则，即可得到答案． 【详解】解：如图， 在中，，， ∴， ∵， ∴点P表示的数是． 2．如图，数轴上点A表示的实数是__________． 【答案】/ 【分析】根据图得到两直角边长度为1和2，利用勾股定理求出斜边长度，再根据点在数轴的位置即可求出结果． 【详解】解：由图可知，两直角边长度为1和2， ∴斜边长度为：， ∴数轴上点表示的实数是． 3．数轴上无理数的表示，请在数轴上作出的对应点 【答案】 解：如图，即为所求. 【分析】本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是构建直角三角形. 根据勾股定理，，构建直角三角形，然后用尺规在数轴上作图即可. 【详解】略 题型9.勾股数（数）问题 1．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】利用勾股数的定义进行分析即可．此题考查了勾股数，关键是掌握满足的三个正整数，称为勾股数． 【详解】解：A、， ， 故不是勾股数； B、各数不是整数，不是勾股数； C、，是勾股数； D、，不是勾股数． 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 【答案】9 【详解】解：∵所有的四边形都是正方形， ∴图中所有三角形都为直角三角形， 由勾股定理得：正方形E的面积． 【点睛】 3．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 【答案】（1）是勾股数，理由： ，，（k是正整数）， ， ，，是一组勾股数； （2）是勾股数，理由： a，b，c是一组勾股数， ∴，，（k是正整数）也是一组正整数， ， ， ∴，，（k是正整数）也是一组勾股数； （3）是勾股数，理由： 表示大于1的整数， 由，，得到、、均为正整数； 又， 而， ， 、、为勾股数． 【分析】本题考查了勾股数的定义，欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和等于最长边的平方； （1）直接利用勾股数的定义去验证即可； （2）根据勾股数的定义得出，推出的成立即可； （3）得到即可得到这是一组勾股数． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 题型10.判断三边能否构成直角三角形 1．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用勾股定理的逆定理，验证每组中两短边的平方和与最长边平方是否相等． 【详解】解： A、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； B、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C、，，，不能构成直角三角形，不符合题意； D、，，，能构成直角三角形，符合题意． 2．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 【答案】 【详解】解：， ， 由勾股定理逆定理得是直角三角形，， 设，由垂直平分线的性质知， ， 在直角三角形中， 由勾股定理得，即， 解得，即． 3．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) 是直角三角形，理由如下： 由（1）知， ， ， ， 是直角三角形． 【分析】（1）在直角中利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】（1）解： ， ， 在 中，， 在 中，； （2） 略． 题型11.在网格中判断直角三角形 1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 【答案】A 【分析】考查了勾股定理的逆定理，解答此题要用到勾股定理的逆定理：已知三角形的三边满足，则三角形是直角三角形．根据勾股定理求得各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状． 【详解】解：设正方形地砖边长为1， ， ， ， 在中， ，， ， 是直角三角形． 故选：A 2．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查了在网格中判断直角三角形，根据方格的特点准确的数出直角三角形的个数是解题的关键． 根据如图所示的方格图，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，然后数一数直角三角形的个数即可得出答案． 【详解】解：在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，构成的直角三角形有： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个， 故答案为：． 3．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据网格的特点，分别求得、和，然后根据，即可求解； 【详解】解：由题意可得：，，， ∵， ∴； 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 1．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是，，，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 【答案】B 【分析】利用勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵ 三角形三边长为，，， 而， 即两条较短边的平方和等于最长边的平方， 这种由边长关系判定直角三角形的依据是勾股定理的逆定理． 2．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 【答案】 【分析】连接，利用勾股定理的逆定理可得，从而利用四边形的面积等于两个直角三角形的面积之和求解即可. 【详解】解：连接， ∵，，， ∴ ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴. 3．一块试验田的形状如图所示，，，，，， (1)判断的形状 (2)求这块试验田的面积． 【答案】(1)是直角三角形 (2) 【分析】（1）根据题中的已知条件，运用勾股定理的逆定理可证为直角三角形； （2）代入三角形的面积公式可将两个直角三角形的面积求解出来，两个直角三角形的面积和即为此块试验田的面积． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 又∵， 即， ∴为直角三角形． （2）解：， ， ∴这块试验田的面积． 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 1． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 2．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2) 解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）略 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 3．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． ✺分层练习 一、单选题 1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先利用勾股定理求出（如图），再根据数轴求出答案． 【详解】解：如图， 由勾股定理知， ． 又点在数轴的负半轴上， 的值为． 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据勾股定理、列出方程是解题的关键． 设绳索尺，则尺，再根据题意运用勾股定理列出关于的方程求解即可． 【详解】解：设绳索尺，则尺，尺， 根据题意得：， 所以，解得：， 所以绳索的长为尺． 故选C． 3．如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点D作于E，利用勾股定理逆定理可得，再利用角平分线性质求出，根据即可求解． 【详解】解：如图，过点D作于E， 在中，， ， ， 平分，， ， ． 4．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A．12 B．10 C．8 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的面积公式得，进而得，再由勾股定理得：，则，进而得，由此即可得出答案． 【详解】解：根据正方形的面积公式得：， ， ， ∵在中，， ， ， ， ∴． 二、填空题 5．如图，在中，．以AC为直径作半圆，该组合图形的面积为_______（结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，首先根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后依据圆的面积公式直接解答． 【详解】解：在中， ∵， ∴是直角三角形， ∴该图形的面积为：． 故答案为：． 6．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 【答案】 【分析】已知勾为，弦与股相差，根据勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设该勾股数的股为，则弦为， 根据勾股定理可得， 展开等式右边得， 消去后整理得， 解得， 因此弦为． 7．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 【答案】 【分析】根据所给出的图形求出的长以及的度数，再根据三角形的面积公式列出方程进行计算即可． 【详解】解：根据图形可得：，， ∴， ∴是直角三角形，且， 设中的高是x， 则， ∴， 解得， 故答案为：． 【点睛】此题考查了勾股定理的逆定理，用到的知识点是勾股定理的逆定理、三角形的面积公式，关键是根据三角形的面积公式列出关于x的方程． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理得，再由勾股定理逆定理得出是直角三角形，，再由计算即可得出结果． 【详解】解：连接，如图： ∵， ∴由勾股定理得， ∵， ∴是直角三角形，， ∴ ． 9．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 【答案】水池深度为12尺，芦苇的长度是尺 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水池深度为尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解． 【详解】解：设水池深度为尺，则芦苇高度为尺， 由题意有：尺； 为中点，且丈尺， (尺)； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：； (尺) ∴水池深度为12尺，芦苇的长度是尺． 10．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查勾股定理的证明及运用，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）通由勾股定理得，，得到，结合得到，最后根据阴影部分的面积求解即可； （2）由题意得，，，得到，再代入计算即可； （3）由勾股定理得到，即，再代入求值即可． 【详解】解：（1）由勾股定理得，， 即， 因为， 所以， 由图形可知，阴影部分的面积， 所以阴影部分的面积； （2）由题意得，， 所以， 因为正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24， 所以， 所以， （3）由题意可知：，，，， 如解图，连接， 在和中，， 即， 所以． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理的探究、勾股定理的逆定理同步培优讲义 ✺知识框架 1.勾股定理：网格图形面积探究→猜想→定理内容→面积法证明（赵爽弦图）→直角三角形 2.已知两边求第三边，分类讨论（已知直角三角形两边，不确定斜边） 勾股定理的逆定理： 3.由三边数量关系猜想直角三角形→逆定理内容→依据边长判定直角三角形 勾股数：定义、 4.常见勾股数、勾股数的整数倍性质 勾股定理与逆定理：勾股定理由形推数，逆定理由数判形; 5.综合应用：线段长度计算、判断三角形形状、简单几何证明 ✺学习目标 1.经历勾股定理的探究过程，会用割补法计算网格中正方形的面积，体会从特殊到一般的数学思想；熟记勾股定理，能规范写出对应的几何语言。 2.明确勾股定理的适用条件，能利用勾股定理求解直角三角形的未知边长，理解赵爽弦图的面积证明思路。 3.掌握勾股定理的逆定理，能根据三角形三边长度判断三角形是否为直角三角形，准确找到直角对应的顶点。 4.理解勾股数的概念，记住常用勾股数，掌握勾股数的基本性质。 5.区分勾股定理与其逆定理的条件和结论，感受数形结合思想，能完成基础与中档几何计算和简单推理。 ✺知识梳理 知识点一、勾股定理 1.定理内容：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。 若在Rt△ABC中,∠C=90°，a、b为直角边，c为斜边。 公式表达：若直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则=。 适用条件：仅限直角三角形使用，锐角三角形、钝角三角形均不满足此边长平方关系。 核心用途：已知直角三角形任意两边长，可求解第三边长。 完整变形公式：a2=c2-b2，b2=c2-a2； 开方求值：c=，a=，b=。 2.勾股定理的验证 方法一（赵爽弦图）：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。 方法三（伽菲尔德证法）：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。 知识点二、勾股定理逆定理 1.定理内容：若三角形的三边长分别为a、b、c，且满足两条较短边的平方和等于最长边的平方，即=，则该三角形为直角三角形，最长边c所对的内角为直角。 适用条件：适用于任意已知三边长的三角形，是判定直角三角形的代数方法。 核心用途：根据三角形三边长，判断该三角形是否为直角三角形，是几何判定直角的重要方法。 知识点三、勾股定理与逆定理对比 对比维度 勾股定理（正定理） 勾股定理逆定理 已知条件 三角形是直角三角形 三角形三边满足平方关系 推导结论 三边满足a2+b2=c2 三角形为直角三角形 定理作用 边长计算、求未知边 判定直角、判断三角形形状 推理方向 由“形”推“数” 由“数”推“形” 知识点四、常见勾股数 能够构成直角三角形三边长的一组正整数，称为勾股数。 勾股数具有倍数性质：一组勾股数的正整数倍，仍然是勾股数。 常用基础勾股数：(3,4,5)、(5,12,13)、(6,8,10)、(7,24,25)。 最简勾股数：三个数的最大公因数为1的一组勾股数，如(3,4,5)、(5,12,13)，最简勾股数同时乘以同一个正整数，得到的新数组仍是勾股数。 易错提醒 1.勾股定理不能直接用于任意三角形，使用前先要确定三角形为直角三角形，分清直角边与斜边。 2.使用逆定理判断直角三角形时，必须选取最长边作为公式中的c，不能随意代入边长计算。 3.勾股数要求三个数为正整数，如0.3,0.4,0.5虽然满足等式，但不是勾股数。 4.勾股定理与它的逆定理是互逆定理，条件和结论相反，不可混淆。 5.没有说明直角时，不能默认某个角是直角，不能直接套用勾股定理。 ✺题型精讲 题型1.用勾股定理解三角形 1．在中，，且，若，则的值是（     ） A． B． C． D． 2．如图，国庆节期间，小明一家自驾到某景区游玩，到达地后，导航显示车辆应先行驶10千米至地，再沿北偏东方向行驶千米到达景区．小明发现景区恰好在地的正北方向，则、两地的距离为_____千米． 3．小区里有一块长方形草坪，小佳在经过的时候发现这块草坪的一角被居民踏出了一条小路（如图），已知，则居民走小路比沿草坪边缘走近多少米？ 题型2.以直角三角形三边为边长的图形面积 1．如图，若正方形、的面积分别为16和4，则正方形的面积是（     ） A．4 B．20 C． D．12 2．如图，在中，，分别以为边向外部作正方形，甲正方形的面积为26，乙正方形的面积为23，则的长为___________． 3．根据勾股定理知识迁移，完成下列问题． (1)如图1，分别以直角三角形的三边为直径向外侧作半圆，请写出它们的面积，，，之间满足的等量关系并说明理由； (2)如图2，直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边长为，分别以三边为直径作半圆．若，，求图中阴影部分的面积． 题型3.利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 1．在中，，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 2．在中，斜边，则________． 3．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式 的最小值． 分析：和 是勾股定理的形式， 是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和E重合（图2），这时， 问题就变成“点B在线段的何处时，最短？ ”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 (1)代数式 的最小值为 ； (2)变式训练：利用图3，求代数式 的最小值； 题型4.利用勾股定理证明线段平方关系 1．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（ ） A．14 B．15 C．16 D．17 2．定义：两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做“和美三角形”，若既是直角三角形，又是“和美三角形”，其三边长分别为a、b、c，且，则＝_____． 3．综合与实践 定义：如图1，点、把线段分割成，和，若以，，为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． 【初步感知】 (1)已知点、是线段的勾股分割点，，，若，，则_______； 【深入探究】 (2)如图2，在等腰直角中，，，，为线段上两点，满足，求证：点，是线段的勾股分割点． 【拓展延伸】 (3)如图3，在等腰直角中，，，若点在线段上，点在线段的延长线上，满足，，请直接写出的长． 题型5.勾股定理的证明方法 1．如图，在“剪拼正方形”的数学活动中，将两个边长分别为，的正方形纸片，通过分割、拼接组成一个边长为的大正方形（无重叠、无空隙）．下列说法正确的是（     ） A．拼接前后图形的总面积改变 B．拼接后大正方形的边长 C．拼接过程中，分割出的所有三角形一定都是全等的直角三角形 D．该剪拼过程可直观验证勾股定理 2．如图，由两个边长分别为、、的直角三角形和一个两直角边都是的直角三角形拼成一个新图形，使用不同的方法计算这个图形的面积，你发现了什么：___________ 3．综合与实践 “勾股定理”堪称几何学领域中一颗璀璨夺目的明珠，它是用代数思想解决几何问题的重要工具．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年历史．勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学定理中证明方法较多的定理之一． 上面三幅图中均可证明勾股定理，请你选择其中一幅图来证明勾股定理，写出你的证明过程． 题型6.以弦图为背景的计算题 1．中国数学会会徽以赵爽弦图为核心设计．如图，这是小文根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较短的直角边分别向外延长一倍得到的．若，，，则该“数学风车”的周长为（） A．40 B．42 C．48 D．56 2．如图，平平同学从刘徽设计的“青朱出入图”出发，将两个边长不等的正方形纸片，剪拼成一个大正方形纸片．，，为剪痕与原正方形边的交点，已知，．那么正方形的边长为_______． 3．我国汉代数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，这是我国古代数学的骄傲．“赵爽弦图”还曾经作为国际数学家大会的会标．如图所示的“赵爽弦图”中的四个直角三角形是全等的．如果这四个直角三角形中较小的锐角均为，求小正方形的边长与大正方形的边长的比值． 题型7.用勾股定理构造图形解决问题 1．《醉翁亭记》中写道：…射者中…，其中射指投壶，宴饮时的一种游戏，如图示，现有一圆柱形投壶内部底面直径是，内壁高，若箭长，设箭在投壶外面部分长度为，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．文物发掘是考古学的重要组成部分，是对过去历史遗迹和遗物的科学探索．如图，考古学家在某地探明一文物位于点正下方的点处，由于点地下有障碍物，无垂直下挖，于是他们从距离点处的点处斜着挖掘，那么要挖到该文物至少要挖__________． 3．【综合与实践】小明同学在延时课上进行了实践探究，并绘制了如下表格： 课题 在放风筝时测量风筝离地面的垂直高度 模型抽象 测绘数据（如图1） ①测得水平距离的长为15米 ②根据手中剩余线的长度，计算出风筝线的长为17米 ③牵线放风筝的手到地面的距离为1.6米 说明 点在同一平面内 请根据表格信息，解答下列问题． (1)求线段的长； (2)如图2，若想要风筝沿方向再上升12米（即米），则在长度不变的前提下，求的长． 题型8.勾股定理与无理数 1．如图，，点P表示的数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，数轴上点A表示的实数是__________． 3．数轴上无理数的表示，请在数轴上作出的对应点 题型9.勾股数（数）问题 1．下列四组数中，是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图是一株美丽的勾股树，图中所有的三角形都是直角三角形，所有的四边形都是正方形，若，，，，则正方形E的面积为_______． 3．（1）我们知道像3，4，5这样三个整数是一组勾股数，那么，，（k是正整数）是一组勾股数吗？请说明理由； （2）如果a，b，c是一组勾股数，那么，，（k是正整数）也是一组勾股数吗？请说明理由． （3）如果m表示大于1的整数，，，，请说明a，b，c为勾股数． 题型10.判断三边能否构成直角三角形 1．如图所示，下列三角形中是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，已知中，，，，的垂直平分线交于点，交于点，连接，则的长为__________． 3．如图，在中，，，，． (1)求的长； (2)请判断的形状，并说明理由． 题型11.在网格中判断直角三角形 1．如图，小明家铺的正方形地砖，连接其中的三个顶点，，构成一个三角形，则这个三角形是（   ） A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 2．在如图所示的方格图中，点A，B，C，D，E，F，G，H均在小方格的顶点上，以其中三个点为顶点，能构成______个直角三角形． 3．如图所示，在每个小正方形的边长为1的网格中，的顶点均在格点上，求的度数． 题型12.利用勾股定理的逆定理求解 1．李老师做了一个三角形教具，做好后量得三边长分别是，，，据此李老师判断这个教具的形状一定是直角三角形，李老师这样判断的依据是（     ） A．三角形两边之和大于第三边 B．勾股定理的逆定理 C．三角形内角和等于 D．勾股定理 2．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为_________． 3．一块试验田的形状如图所示，，，，，， (1)判断的形状 (2)求这块试验田的面积． 题型13.勾股定理逆定理的拓展问题 1． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 2．若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 3．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． ✺分层练习 一、单选题 1．如图所示，在数轴上点A所表示的数为a，则a的值为（     ） A． B． C． D． 2．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几．”此问题可理解为：如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离长度为1尺．将它往前水平推送10尺（即尺）时，秋千的踏板离地距离就和身高5尺的人一样高，且．若运动过程中秋千的绳索始终拉得很直，则绳索的长为（   ）． A．尺 B．14尺 C．尺 D．15尺 3．如图，在中，，，，平分交边于点D，则与的面积之比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，分别以的三边为边长向外作正方形，它们的面积分别为，若，则的值为（     ） A．12 B．10 C．8 D． 二、填空题 5．如图，在中，．以AC为直径作半圆，该组合图形的面积为_______（结果保留π）． 6．《周髀算经》中记录了一组“勾为三，股为四，弦为五”的勾股数．观察下列勾股数：、、；、、；、、；…，这类勾股数的特点是：勾为奇数，弦与股相差为，若某个此类勾股数的勾为，则其弦是________． 7．如图，将放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为），点，， 恰好在网格图中的格点上，那么中边上的高是____． 三、解答题 8．如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 9．《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，水池底面的宽丈，芦苇OC生长在AB的中点D处，高出水面的部分尺，将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即，求水池的深度和芦苇的长度（1丈等于10尺）． 10．勾股定理是人类最伟大的十大科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．某数学兴趣小组在学习了勾股定理之后，进行了如下探究． 【问题提出】 （1）如图①，在中，，分别以这个三角形的三边为边长向外作正方形，面积分别记为，，．如果，求阴影部分的面积； 【深入探究】 （2）如图②，四边形Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，都是正方形，三角形Ⅵ，Ⅶ都是直角三角形，若正方形Ⅰ，Ⅱ，Ⅳ的面积依次为6，10，24，求正方形Ⅲ的面积； 【应用】 （3）如图③，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若，，求的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $