精品解析：云南昆明市第十中学2026-2027学年上学期期中学情评估九年级数学试卷

2026—2027学年上学期初三年级期中学情评估 数学学科 （满分：100分，评估时间：120分钟） 一．选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，3，2 C. 1，3， D. 0，， 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 5. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴 C. 顶点 D. 当，随增大而增大 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 8. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A. 该反比例函数图像经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 9. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约人次，第三个月进馆约人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 13. 已知二次函数，点，，在该函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点，若，则k的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 15. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 二．填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________． 17. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 18. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 19. 如图，在中，，于D，若，，则长为________．     二．解答题（本题共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 21. 如图，的各个顶点的坐标分别是，，， （1）画出关于原点对称的；并写出点的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转后的；并写出点的坐标． 22. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗不超过吨，那么这片甘蔗至少要砍多少天？ 23. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，若一元二次方程有两个根，分别为、，则、与系数、、有关．请根据上述发现解决下列问题： （1）直接应用：方程的两个根为，，则________，________； （2）间接应用：已知实数，是方程的两个根，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足，，且．求的值． 24. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点，求证：． 25. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，根据市场调查，当销售单价为元时，每周的销售量为本，售价每提高元，每周的销售量就减少本．设每本纪念册的售价为（元），每周的销售量为（本），每本纪念册的售价不低于元且不高于元． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 26. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 27. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027学年上学期初三年级期中学情评估 数学学科 （满分：100分，评估时间：120分钟） 一．选择题（本题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 我国古代数学的发展历史源远流长，曾诞生了很多伟大的数学发现．下列与我国古代数学发现相关的图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】中心对称图形是在平面内，把一个图形绕某一定点旋转，能够与自身重合的图形．轴对称图形是在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形．依据定义判断． 【详解】解：A、杨辉三角图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、赵爽弦图是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C、割圆术示意图既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D、洛书图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（ ） A. 1，， B. 1，3，2 C. 1，3， D. 0，， 【答案】A 【解析】 【详解】解：二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，，． 3. 如图，直线，直线和被，，所截，，，，则的长为（ ） A. 2 B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行线分线段成比例定理，解答即可． 【详解】解：， ， ，，， 解得． 4. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，则的度数为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由旋转可知，， ∵， ∴． 5. 二次函数，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴 C. 顶点 D. 当，随增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：二次函数中，，对称轴为直线，顶点坐标为． ∵， ∴抛物线开口向下，A错误； 对称轴为直线，B错误； 顶点坐标为，C正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随增大而减小，D错误． 6. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线平移的“左加右减，上加下减”规律求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得，再向下平移3个单位，得． 7. 如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出结果． 【详解】解：， 和的相似比为， ． 8. 关于反比例函数的图像，下列说法正确的是（　　） A. 该反比例函数图像经过点 B. y随x的增大而增大 C. 该反比例函数图像经过第一、三象限 D. 该反比例函数图像关于原点对称 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．根据反比例函数的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴该反比例函数图像不经过点，不符合题意； B、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，原说法错误，不符合题意； C、∵， ∴此函数图像的两个分支分别位于第二、四象限，原说法错误，不符合题意； D、∵此函数是反比例函数， ∴该反比例函数图像关于原点对称，正确，符合题意． 故选：D． 9. “立身以立学为先，立学以读书为本”为了鼓励全民阅读，某校图书馆开展阅读活动，自阅读活动开展以来，进馆阅读人次逐月增加，第一个月进馆约人次，第三个月进馆约人次，若进馆人次的月增长率相同，求进馆人次的月增长率．设进馆人次的月增长率为，依题意可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用月增长率表示第三个月进馆人次，结合已知条件列方程． 【详解】解：第一个月进馆人次，月增长率为， 第二个月进馆人次为， 第三个月进馆人次为， 第三个月进馆人次， ． 10. 如图是某校实验室中“小孔成像”的演示装置，保持蜡烛与光屏平行，测得点O到蜡烛、光屏的距离分别为，．若长为，则长为（ ） A. cm B. cm C. 10cm D. cm 【答案】D 【解析】 【分析】运用相似三角形的性质可得结论 【详解】如图，过点作，， 由题意可得：， ， ， ，，， ， ． 11. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，列关于的不等式求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 整理得， 解得． 12. 如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据得出，再由相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， A、∵，， ∴，故选项不符合题意； B、，， ∴，故选项不符合题意； C、∵， ∴， ∵， ∴，故选项不符合题意； D、∵，与的大小无法判定， ∴无法判定，故选项符合题意． 13. 已知二次函数，点，，在该函数图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ∵， ∴． 14. 如图，A为反比例函数图象上一点，AB垂直x轴于B点，若，则k的值为（ ） A. 6 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设点A的坐标为(m,n)，把A点坐标代入解析式，可得k=mn，再根据，可得，据此即可求得解． 【详解】解：设点A的坐标为(m,n)， 把A点坐标代入解析式，得k=mn， ， 故mn=6或mn=-6， 又∵该函数的图象在第二象限内， ∴k=mn=-6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴的垂线，所得矩形面积为|k|，体现了数形结合的思想，做此类题一定要正确理解k的几何意义． 15. 如图，抛物线对称轴是直线，经过点，下列结论正确的是（ ） ①；②；③；④． A. ①③ B. ①② C. ②③ D. ③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向、对称轴公式、与坐标轴交点个数及特殊点坐标进行判断. 【详解】解：①由图象可知，抛物线与轴交于正半轴， ∴，故①错误； ②∵抛物线对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线与轴有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根， ，故③正确； . ④∵抛物线对称轴为直线，且经过点， ∴当时，， ∴当时，，故④错误， 综上，正确的结论是②③. 二．填空题（本题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________． 【答案】1 【解析】 【分析】将代入方程，得到关于的等式，变形后即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程得 ， 移项可得 ， 因此代数式的值为． 17. 为丰富学生的课余生活，提高学生的身体素质与团队协作能力，增强班级凝聚力与集体荣誉感，促进学生间的交流与互动，弘扬体育精神．某校决定举行排球比赛，一共需要组织场比赛，赛制是参赛的每两个队之间都要比赛一场．设有个球队参加比赛，则可列方程为_______________________． 【答案】 【解析】 【分析】赛制为单循环（每两个队之间仅比赛一场），已知总比赛场次为28，设参赛球队数为x，需根据单循环场次的计数逻辑建立等量关系列方程. 【详解】解：∵ 共有x个球队参赛，每个球队需与除自身外的个球队各进行一场比赛， ∴ 若不剔除重复计数，所有球队的比赛累计场数为， ∵ 每一场比赛由两个球队参与，上述累计计数中每场比赛被重复计算了2次， ∴ 实际总比赛场数为累计场数的一半，即， 已知总比赛场数为28，因此可列方程. 18. 如图，一名男生将实心球从A处掷出，球所经过的路线是抛物线的一部分，则这个男生将球掷出的水平距离为___________m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用——投球问题．解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系． 球的落地点为，解一元二次方程即可． 【详解】时，， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴球掷出的水平距离OB为， 故答案为：10． 19. 如图，在中，，于D，若，，则长为________．     【答案】 【解析】 【分析】证明得到，则，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴或（舍去）． 二．解答题（本题共8小题，共62分） 20. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）用因式分解法解方程即可； （2）用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解： 解得，； 【小问2详解】 解： 或 解得，． 21. 如图，的各个顶点的坐标分别是，，， （1）画出关于原点对称的；并写出点的坐标； （2）画出绕原点顺时针旋转后的；并写出点的坐标． 【答案】（1）如图所示，即为所求； 点的坐标为； （2）如图所示，即为所求； 点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据关于点对称图形的画法找出对应点，然后顺次连接即可； （2）根据旋转图形的画法，画图，然后读出点的坐标即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 金秋收获季，芳林甘蔗喜获丰收，工人们平均每天砍甘蔗的速度（吨/天）与砍完这片甘蔗地所需时间（天）之间是反比例函数关系，其图象如图： （1）求这个反比例函数的解析式； （2）如果工人们每天砍甘蔗不超过吨，那么这片甘蔗至少要砍多少天？ 【答案】（1） （2）10天 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求出解析式即可； （2）把代入（1）中所求函数解析式求出对应的的值即可． 【小问1详解】 解：设与的函数解析式为， 依题意得：， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：把代入，得； 即这片甘蔗至少要砍10天． 23. 我们在探究一元二次方程根与系数的关系中发现，若一元二次方程有两个根，分别为、，则、与系数、、有关．请根据上述发现解决下列问题： （1）直接应用：方程的两个根为，，则________，________； （2）间接应用：已知实数，是方程的两个根，求的值； （3）拓展应用：已知实数，满足，，且．求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求出代数式的值； （3）由题意可知实数，是方程的两个根，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，再利用整体代入法求出代数式的值． 【小问1详解】 解：方程的两个根为，， ，； 【小问2详解】 解：实数，是方程的两个根， ，， ； 【小问3详解】 解：实数，满足，，且， 实数，是方程的两个根， ，， ． 24. 如图，将绕点逆时针旋转得到，点在边上，． （1）求的大小； （2）若，与交于点，求证：． 【答案】（1） （2）证明：由（1）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质得出，，利用等边对等角及等量代换得出，结合图形即可求解； （2）由（1）得：，结合图形得出，再由三角形内角和定理确定，再由旋转的性质确定，利用全等三角形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：∵绕点逆时针旋转得到，点在边上， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略． 25. 某文具店购进一批纪念册，每本进价为元，根据市场调查，当销售单价为元时，每周的销售量为本，售价每提高元，每周的销售量就减少本．设每本纪念册的售价为（元），每周的销售量为（本），每本纪念册的售价不低于元且不高于元． （1）请求出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； （2）将该纪念册的销售单价定为多少时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）与的函数关系式为，的取值范围是 （2）销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元 【解析】 【分析】（1）根据售价每提高元，每周的销售量就减少本，直接列式即可作答； （2）设利润为w，每一本的利润为：元，根据总利润等于每一册的利润乘以册数（销售量），列式，再将二次函数化为顶点式，结合自变量的取值范围即可作答． 【小问1详解】 解：根据售价每提高元，每周的销售量就减少本， 可得：，； 【小问2详解】 设利润为w，每一本的利润为：元， 根据题意有：， 化为顶点式有：，即抛物线开口朝下， ∴时，w随着x的增大而增大， ∵， ∴当时w取最大值，最大值为， 即销售单价定为28元时，每周所获利润最大，最大利润为192元． 26. 已知二次函数的图象过点． （1）求该二次函数的解析式及对称轴； （2）若，该二次函数的最大值与最小值的差为，求的值． 【答案】（1）二次函数的解析式为，对称轴为直线 （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，即可求出解析式，再根据抛物线的对称轴公式即可作答； （2）先确定函数的增减性，再分类讨论第一类：当时，；第二类：当时，；第三类：当时，；确定每一类中最大值和最小值，问题即可作答． 【小问1详解】 解：将代入，得：， 解得：， ∴二次函数解析式为：， 即对称轴为：； 【小问2详解】 解：， 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大； 分类讨论： 第一类：当时，， 此时当时，y有最大值，；当时，y有最小值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，与矛盾，舍去； 第二类：当时，， 此时当时，y有最小值，；当时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：，不满足，舍去； 第三类：当时，， 此时当时，y有最小值，； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（负数不满足，舍去）； 若时，y有最大值，， ∵最大值与最小值的差为， ∴， 解得：（不满足，舍去）； 综上所述：的值为或． 27. 综合探究 （1）和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； （2）和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）的长为 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【小问1详解】 解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； 【小问3详解】 解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $