精品解析：云南昆明市五华区云南师范大学附属中学西山学校2026-2027学年上学期期中考试九年级年级数学试卷

云南师大附中西山学校2026-2027学年上学期期中考试 初三年级 数学 试卷 （考试用时120分钟，满分100分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 9. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 10. 某企业年的利润为万元，计划到年利润达到万元．设这两年利润的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 11. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 12. 如图，是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是（ ） A. x1=-1，x2=5 B. x1=-1，x2=4 C. x1=-1，x2=3 D. x1=-1，x2=2 13. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（） A. B. C. D. 15. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 17. 如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于_______． 18. 如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值为________． 19. 从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，经过的时间是______s． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的；并写出点的坐标________； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为________． 22. 如图，双曲线过点． （1）求双曲线的解析式； （2）当时，求的取值范围． 23. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 25. 自贡拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 26. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）． 根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 27. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，求二次函数的解析式； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南师大附中西山学校2026-2027学年上学期期中考试 初三年级 数学 试卷 （考试用时120分钟，满分100分） 考生注意： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 3．考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单选题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C选项图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； D选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2. 已知反比例函数的图像经过点，那么这个反比例函数的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将已知点的坐标代入反比例函数一般式，求出系数k即可得到函数表达式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 解得， ∴反比例函数的表达式为． 3. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 或， ，． 4. 反比例函数的图象经过（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】反比例函数的图象位置取决于比例系数k的符号，当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴图象经过第二、第四象限． 5. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 6. 已知抛物线的开口向下，则的取值范围是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与其系数之间的关系，开口向下的二次函数满足其解析式中二次项系数为负数，据此求解即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转角求得，再根据计算的度数． 【详解】解：绕点按逆时针方向旋转得到， ． ， ． 8. 将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，则所得的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】把抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位， ∴所得的抛物线解析式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象平移变换，函数图象平移的规律是左加右减，上加下减．此类题目，利用顶点的变化求解更简便． 9. 若是方程的根，则的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】C 【解析】 【分析】利用方程根的定义得到的值，整体代入求值． 【详解】解：∵是方程的根， ∴， ∴， ∴． 10. 某企业年的利润为万元，计划到年利润达到万元．设这两年利润的年平均增长率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均增长率公式列式即可． 【详解】解：已知利润的年平均增长率为， 则年的利润为，年的利润为， 根据题意可得． 11. 已知二次函数，下列说法错误的是（ ） A. 顶点坐标为 B. 对称轴为直线 C. 函数图像与x轴有2个交点 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】先将二次函数解析式整理为顶点式，再根据二次函数的顶点坐标、对称轴、与x轴交点个数、增减性逐一判断选项，找出错误说法即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，对称轴为直线，故A、B选项说法正确，不符合题意； 令，则， 解得， ∴函数图像与x轴只有1个交点，故C选项说法错误，符合题意； ∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故D选项说法正确，不符合题意． 12. 如图，是抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的一部分，已知抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0），则方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是（ ） A. x1=-1，x2=5 B. x1=-1，x2=4 C. x1=-1，x2=3 D. x1=-1，x2=2 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的两个交点坐标关于对称轴对称，进一步可求出另一交点，在根据函数图象与x轴的交点的横坐标为方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根，即可解答． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线x=2，与x轴的一个交点是（-1，0）， 抛物线与x轴的另一个交点是（5，0）， 方程的两根是． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键． 13. 已知点，和都在二次函数的图象上，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将各点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，比较大小即可． 【详解】解：将代入，得， 同理，得，. ， ． 14. 如图，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线，以下结论正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点情况确定的符号及关系，结合图象与轴交点个数及对称性逐项判断 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，，与轴交于负半轴，. 对称轴为直线， ，即. ， . ，故A选项错误. ， . ， ，故B选项错误. 抛物线对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线与轴的另一个交点为. 当时，，即，故C选项错误. 抛物线与轴有两个不同的交点， ，故D选项正确. 15. 某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现．如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点．根据图象可知，下列说法不正确的是（ ） A. 当时， B. 与的函数关系式是 C. 当时，的取值范围是 D. 当时， 【答案】A 【解析】 【分析】题目围绕电流I与电阻R的关系展开，因此先确定I与R的函数关系式，再借助该函数的增减性逐一验证选项． 【详解】解：由图象可知，I与R的图象是双曲线的一支，故I与R成反比例关系，设（）． 将点代入，得，解得 所以I与R的函数关系式是（），选项B正确，不符合题意． 因为，图象位于第一象限，所以I随R的增大而减小． 选项A，由增减性分析，当时，应有，选项A说法有误，符合题意． 选项C，当时，；当时，．由增减性分析，当时，的取值范围是，选项C正确，不符合题意． 选项D，当时，由得，选项D正确，不符合题意． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 已知点，那么点关于原点的对称点的坐标是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据关于原点对称的点的坐标规律，横纵坐标均互为原坐标的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，关于原点对称的点的横、纵坐标分别是原横、纵坐标的相反数， ∴点关于原点的对称点的坐标是． 17. 如图，将绕点A顺时针旋转一定角度得到，若线段，则的长等于_______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由旋转的性质可直接进行求解． 【详解】解：由旋转的性质可知：； 故答案为5． 18. 如图，是反比例函数图象上的一点，轴于点，轴于点，若矩形的面积为4，则的值为________． 【答案】4 【解析】 【分析】设点P的坐标为，根据反比例函数解析式得出，分析矩形的边长与坐标的关系，建立面积与k的关系，根据图象所在象限求解k的值． 【详解】解：设点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴． ∵轴，轴， ∴矩形的面积， ∴． ∵矩形的面积为4， ∴． ∵图象在第一象限， ∴， ∴． 19. 从地面竖直向上抛出一小球，小球距离地面的高度与小球的运动时间之间的关系式是．当小球到达最高点时，经过的时间是______s． 【答案】2 【解析】 【分析】已知高度与时间的关系式为二次函数，小球到达最高点对应二次函数的顶点，顶点的横坐标即为所求的运动时间． 【详解】解：， 该二次函数的二次项系数，一次项系数， ，抛物线开口向下，顶点处取得最大值，对应小球到达最高点的时刻， 顶点的横坐标为， 当小球到达最高点时，经过的时间是． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得，； 【小问2详解】 解：， ， ， 或， 解得，． 21. 如图，已知在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，． （1）画出关于原点对称的；并写出点的坐标________； （2）画出关于轴对称的； （3）的面积为________． 【答案】（1）如图所示： ； （2）如图所示： （3） 【解析】 【分析】（1）分别画出点，，关于原点的对称点，依次连接即可； （2）分别画出点，，关于轴的对称点，依次连接即可； （3）将补成正方形，利用面积和差求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图， 22. 如图，双曲线过点． （1）求双曲线的解析式； （2）当时，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先设反比例函数解析式，将点代入求出，得到双曲线解析式． （2）根据判断第二象限内随增大而增大，分别代入、算出对应的和，得到的取值范围是． 【小问1详解】 解：设双曲线的解析式为， 由图可知，双曲线经过点， 把代入解析式，得， 解得 ， ∴双曲线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵在函数中，， ∴在第二象限内，随的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围是． 23. 某校为贯彻落实教育部《关于全面加强中小学生劳动教育的意见》，更好地培养学生的劳动兴趣和劳动技能，计划在校园内开辟一块劳动教育基地．一面利用学校的墙（墙的长度为），用长的篱笆，围成一个如图所示的矩形菜地，供同学们进行劳动实践．若围成的菜地面积为，求此时的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，先设的长为，则的长为，结合面积公式列式，解得，即可作答． 【详解】解：依题意，设的长为， 则的长为， 根据题意得：， 解得或， 当时，， ∴的长为5米，不合题意舍去； 当时，，符合题意． 答：的长为； 24. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，， ∴， ∵， ∴无论取何值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）的值为 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式进行证明； （2）利用根与系数的关系进行求解． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 解：在方程中， ，，， ∴， 代入得， ， 解得． 25. 自贡拥有丰富的旅游资源．某景区研发一款纪念品，每件成本为30元，投放景区内进行销售，规定销售单价不低于成本且不高于54元，销售一段时间调研发现，每天的销售数量y（件）与销售单价x（元/件）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价x（元/件） … 35 40 45 … 每天销售数量y（件） … 90 80 70 … （1）直接写出y与x的函数关系式； （2）当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）设每天所获利润为w元，根据题意可列出关于w与x的关系式，再利用二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 设y与x的函数关系式为， 根据表格可得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为； 【小问2详解】 设每天所获利润为w元， 根据题意有：， ∵，， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴当销售单价为54元时，每天获利最大，最大利润是1248元． 【点睛】本题考查一次函数，二次函数的实际应用．理解题意，掌握利用待定系数法求函数解析式和正确的找出等量关系，列出等式是解题关键． 26. “新定义”问题就是给出一个从未接触过的新规定，要求同学们现学现用，更多考查阅读理解能力、应变能力和创新能力．新定义：方程是一元二次方程的倒方程，其中，，为常数（且）． 根据此定义解决下列问题： （1）一元二次方程的倒方程是________； （2）若是一元二次方程的倒方程的解，求出的值； （3）若是一元二次方程的倒方程的一个实数根，求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义进行求解； （2）根据新定义得出原方程的倒方程，将方程的解代入方程求参数； （3）根据新定义得出原方程的倒方程，将方程的解代入方程，并利用等式的基本性质进行求解． 【小问1详解】 解：一元二次方程的倒方程是； 【小问2详解】 解：一元二次方程的倒方程为， ∴将代入得，， 解得； 【小问3详解】 解：一元二次方程的倒方程为， ∵是方程的一个实数根， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 在二次函数中， （1）若它的图象过点，求二次函数的解析式； （2）当时，的最小值为，求出的值； （3）如果，，都在这个二次函数的图象上，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入求出t的值即可； （2）由解析式得二次函数开口方向、对称轴位置，结合分情况讨论，根据最小值为列方程求解t； （3）由，关于对称轴对称得，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧；确定抛物线与y轴交点，此交点关于对称轴的对称点为，结合已知确定出；再分类讨论：A，B都在对称轴左边时，A，B分别在对称轴两侧时，分别列出不等式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入，得：， 解得， 二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：开口向上，对称轴为：直线， 若，则当时，取最小值， ， 解得， ， ； 若，则当时，取最小值， ， 解得（不合题意，舍去）， 综上可得，； 【小问3详解】 解：，关于对称轴直线对称， ，即，且A在对称轴左侧，C在对称轴右侧， 当时，， 抛物线与y轴交点， 对称轴为直线， 点关于对称轴的对称点为，即， ，， ，解得， 当A，B都在对称轴左边时， ， ， ； 当A，B分别在对称轴两侧时， ， B到对称轴的距离大于A到对称轴的距离， ， 解得， ， 综上可得，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $