湖南长沙市雅礼中学2026-2027学年高三上学期10月阶段检测数学试题

高 三 数 学 二 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知命题：，，则命题的否定为 A．， B．， C．， D．， 2．样本数据，，，，，，，的分位数为 A．19 B．20 C．21 D．22 3．复数在复平面内对应的点位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．已知直线，，与平面，，则下列命题正确的是 A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 5．已知是抛物线：的焦点，，，三点在抛物线上，若，，成等差数列，则，，三点 A．横坐标成等差数列 B．横坐标成等比数列 C．纵坐标成等差数列 D．纵坐标成等比数列 6．设且，且，若，则的最小值是 A． B． C． D． 7．集合，集合，，则满足的集合对有 A．个 B．个 C．个 D．个 8．已知连续型随机变量服从正态分布，记函数（），则的图象 A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于点成中心对称 D．关于点成中心对称 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法错误的是 A．若，为两个事件，则“与互斥”是“与相互对立”的充分不必要条件 B．若，为两个事件，且与互斥，则 C．若，，则事件，相互独立与事件，互斥可以同时成立 D．若事件，满足，则与相互对立 10．已知等比数列的各项均为正数，公比为，记数列的前项积为，且，，则下列说法正确的是 A． B． C．当时，取最大值 D． 11．若函数有三个不同的零点，，，则下列说法正确的是 A． B． C．若，，成等差数列，则 D．若，，成等比数列，则 第Ⅱ卷 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若是直线：的一个法向量，则实数的值为 ． 13．在平面直角坐标系中，．设，则的最小值为 ． 14．已知实数，满足，则的取值范围为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 已知向量，，函数． （1）若，求函数的值域； （2）在锐角中，内角，，所对的边分别为，，，，，求的面积的取值范围． 16．（本小题满分15分） 已知椭圆：（）的离心率为，左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，．过右焦点的直线交椭圆于点，，且的周长为． （1）求椭圆的标准方程； （2）记直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 17．（本小题满分15分） 如图，是圆的直径，点是圆上异于点，的点，直线平面，点，分别是，的中点．记平面与平面的交线为． （1）证明：平面； （2）设直线与圆的另一个交点为，且点满足，记直线与平面所成的角、异面直线与所成的角、平面与平面的夹角分别为，，．证明：． 18．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）当时，证明：； （2）讨论的极值点个数； （3）若有两个极值点，（），证明：． 19．（本小题满分17分） 若存在正整数，使得对任意正整数，都有（），则称数列为阶跳跃等差数列． （1）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，． （ⅰ）求，； （ⅱ）求的前项和． （2）已知数列为阶跳跃等差数列，且，，，从的前（）项中任选项，记该项大于的概率为，证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $高三数学二参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 6 8 答案 A C D 0 C B D 三、填空题：本题共3小题， 每小题5分，共15分 1 12.2 13.2V5-3 14.(1,2] 四、解答题：本题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答 证明过程或演算步骤， f(x)=sin2x+3cos2x+1=2sinx+ +1 15.【解析】(1) 3 0≤x≤:π≤2x+ π4π 2…3 33 xo.e-5+ 0<B< <2B+<4 2 3 33 2B+T=5πB=T 36, 4，… a b 2 -=2W2 sinA sinC sinB√2 由正弦定理得 2 9 10 11 ACD BCD BC 解答时应写出文字说明、 …3分 …6分 …8分 a-2sin4. =22snc=25m4+4到 ac如8-9x23n42sm4+月到-2smm4+到 4 simxsin 4+c0s)=2sin+s cos4-sin24-cos24+1 2 …11分 0<A<受 0<C= -A<,:<A< :△ABC是锐角三角形， 4 2’ 4 2 元<2A-<3如 4 44， :5s如24-}s12sn2-+1s5+刊 4 .SAARC∈(2，V2+1 …13分 16.【解析】(1)由△FMN的周长为16，及椭圆的定义，可知4a=16,即a=4, e= c I 又离心率为a2,所以c=2, 所以b2=a2-c2=16-4=12, x2 y2 =1 所以椭圆C的方程为1612 .…5分 (2)依题意，直线1与x轴不重合， 设直线I的方程为x=my+2。 1612 联立x=mwv+2,整理得(3m2+4)2+12m-36=0 8分 因为点F在椭圆内，所以△>0， 即(12m)+4(3m2+4)x36>0 易知该不等式恒成立， 设M(x,y),N(,)】 -12m -36 y+y2= 由韦达定理得 3m2+4,= 3m2+4,… …10分 y k-+4-上(3-4=上(m,-2）_my当-2y 3业(x+4)y2(my+6)my2+62 又A(-4,0）,B(4,0）,则 x2-4 ,…12分 y+业=-12m_m 又当 2-363,即myy=3(+), k=my凸-2y=3(+)-2y=+3y=1 kmyy+6y23(4+y2)+6y23y+9523 k 所以为定值.… …15分 17.【解析】(1)在△PAC中，点E,F分别是PA,PC的中点，EF∥AC, 又EFC平面BEF,AC平面BEF,.AC∥平面BEF,…3分 又ACC平面ABC,平面BEF∩平面ABC=1,.1∥AC,…5分 又ACC平面PAC,1丈平面PAC,.1/∥平面PAC.…7分 (2)AB是圆O的直径，AC⊥BC, 由(1)知AC∥BD,BD⊥BC, :PC⊥平面ABC,BC,BD,CDC平面ABC, .PC⊥BC.PC⊥BD.PC⊥CD, 又PC∩BC=C,PC,BCc平面PBC,BD⊥平面PBC, 又BFC平面PBC,BD⊥BF, 又平面BEF∩平面ABC=BD,·∠CBF为平面BEF与平面ABC所成二面角的平面角， sinB=sin∠CBF=C F,… …10分 连接DF, DO-1CP-FP :四边形DFP为平行四边形，∴PO//DF 又EF∥BD,∠BDF为异面直线PO与EF所成的角， ∴.sina=sin∠BDF= BF DF …13分 :PQ∥DF,PC⊥平面ABC, 直线P与平面ABC所成的角即直线DF与平面ABC所成的角为∠CDF, ∴.sinO=sin∠CDF= CF DF, 'sinasin B= BF、CFCF DF BF DE .∴sin0=sinasinβ …15分 18.【解析】(1)证明：当a=0时，f(x)=xnx, 令8()=f()-(x-)=xInx-x+1,则8()的定义域为(0，+o）,8'()=nx, 当x∈(0,1)时，8'()<0：当x∈(，+o)时，g(x)>0, ∴g()在(0,1)上单调递减，在（L,+）上单调递增， “g(x)2g0)=0,即f(x)2x-1 …4分 (2)由题意知f()的定义域为(0，+o）,f'()=l血x+1-2ax …5分 令f)=0,则 =Inx+1 x, h(x)=Inx+1 x,则 '(x)=-Inx , 当x∈(0，)时，h()>0:当x∈(L,+o)时，h()<0, ∴h()在(0，)上单调递增，在（山，+0)上单调递减， h(x)s=h()=l,且当x→0时，h()→-0：当x→+o时，h)→0， 由此可得h()大致图象如图所示， h(x) ①当2a≤0，即a≤0时，y=2a与y=h()有唯一-交点(x,20） 则当x∈(0，x)时，2a>h(),即f'()<0:当x∈(，+o)时，2a<h(x),即f(x)>0. “()在(（0，)上单调递减，在(o,+0)上单调递增。 “f(~)有唯一的极小值点0，无极大值点： … …7分 0<a< ②当0<2a<1,即0<a<2时，y=2a与y=h(交于（，2），(3,2a)cx<)两点， 则当x∈(0，￥U(xto)时，2a>h(),即f'()<0,当xe(,x)时，2a<h()即f'(x)>0, f(x)在(0，x),(,+o)上单调递减，在，)上单调递增， ∴f()有一个极小值点无，一个极大值点：… 9分 ®当2a≥1，即a二2时.2a≥h()恒成立，即f(d≤0恒成立 “f()在(0，+∞)上单调递减，无极值点。 综上所述，当a≤0时，f(的极值点个数为1，当0<a 2时，f()的极值点个数为2：当“二2时。 f()的极值点个数为0， …11分 Inx 2ax-1, (3)证明：由(2)可知，若)有两个极值点，则 0<a< 2,此时lh=2a,-l, fh5+1-ag+) 2 f(x2)-f(x)_xInx-a(x-1)-xInx+a(xi-1) x2-x1 X2-X1 =52a,-)-x(2a--a+a_a5-a-+=ak+x）-1 X2-X1 X2-x1 ∴要证 作小 x2-x 1n++1-a(x+x)>a(x+x)-l ,只需证”2 1n+点>2a(x+)-2=(2ax,-1)+(2ax-1)=lnx+lnx=ln(x) 即证2 +x2x 1+1>2 只需证2 ，即证七2 …2a=2a=-h}-n X2 ………14分 .5=1 令m(0=(1-ln),则y=2a与y=m()交于两点(G,2a）,(飞，2a),其中x, 51 x2,则 0<t2<t, :m'()=-lnt,当1∈(0,1)时，m()>0,当1∈(，+o)时，m'()<0, ∴m(0在(0，)上单调递增，在山，+）上单调递减，0<5<1<4， 1+1>2 要证￥为“，只需证4+4>2，即证4>2-5， 4>1,2-4>1,m(0在（山+o)上单调递减，·只需证m(飞)Km(2-4), 又m()=m6）,只需证m)<m(2-6), 令G0=m()-m(2-)c0<i<1,则G(g=-lnt-ln(2-)=-ln(2t-t）. 0<1<1,21-<1,G()>-n1=0,G(0在(0，上单调递增， .G)<G(0)=0,又0<4<1，G6)<0, 62-.5.之 f(x,)-f(x) x2-X1 …17分 19.【解析】(1)(i1)由数列a}为1阶跳跃等差数列，得42-a,=2, 则a=4+2=3,a4=4+2=2,a,=a,+2=4 。。。。。。。。。。。。。。。。 …4分 (i)当n为偶数时，设n=2m(m∈N),前2m项包含m个奇数项和m个偶数项. 由(1)可知奇数项构成以4，=1为首项，以2为公差的等差数列，偶数项构成以4，=0为首项，以2为 公差的等差数列，所以am1=2m-1,a2m=2m-2,m∈N*, 6=1+3+5+…+(2m-1）-m0+2m--m 奇数项和 2 a=0+2++(2m-2）=m0+2m-2到=m2-m 偶数项和 -+=2w-a国8-2-；9 当n为奇数时， 8=5-+a0-e+1-2)=-+2 2 n2-n+2 n为奇数， S= 综上， ”为偶数. 2 …10分 (2)因为数列a,}为k阶跳跃等差数列，且d=2,所以0t1=a,+2. 因为4=1<2，a,=a,=…=a1=0<21 所以42=0+2=1+2*<21，a43=a44=…=a22=2<21， a3=a42+2=1+2*1>21,a2k4=a5==a43=2 ,…12分 当n>3k+3时，0>21 设/()=4-3k+)(k≥2)，则k+)-f()=3×4-3>0,则f()单调递增， 则f(k)≥f(2)=7>0,则4>3k+3, 所以a,的前4华≥2)项中不大于2的项数为3认+3-=头+2。A=1-+2 4 B+P++P4=k-1-夕3+2 则 名4 T= 3i+2-81114,,3k+2 设4++4 十…十 4 1m8.11.14,.3k+2 k 则41 ④+4+4++ 4+1 3k+2 则41 4+1 11 2+3x4413k+293k+6 1-1 4116-4+ 4 =、k+2 所以 所以P2+p++p1二去2=之+十2 44 k+2 >0 因为4，所 以B+乃++P>k- 4 …17分