精品解析：天津市南开中学中关村科技城学校2026-2027学年高一年级上学期10月月考数学试题

天津市南开中学中关村科技城学校2026至2027学年度第一学期高一年级第一次阶段性练习 数学 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系，有理数、无理数的分类，数集与点集的区别及集合的无序性逐项判断即可.  【详解】 对于A，集合的唯一元素为实数，是不含任何元素的集合，故A错误； 对于B，表示有理数集，是无限不循环小数，属于无理数，因此，B错误； 对于C，集合是元素为实数的数集，集合是元素为平面点的点集， 二者元素类型不同，不存在包含关系，C错误； 对于D，与元素完全相同，是相等集合，根据集合的性质，任意集合都是其自身的子集，故成立，D正确. 2. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定规则，替换量词并否定结论判断即可. 【详解】命题为存在量词命题，存在量词命题的否定为全称量词命题， 因此为，，A正确. 3. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：， 结合交集的定义可得：. 4. 已知集合，，若，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，则或，解得，故， 所以，故集合的真子集个数为. 5. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】求出的等价条件，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】由可得且， 因为“”“且”，“”“且”， 因此，“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 6. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由充分必要条件的定义可知，“”的一个充分不必要条件，即选项中对应的集合为集合的真子集即可. 【详解】因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，A错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的充分不必要条件，B正确； 因为集合与集合之间不存在包含关系，所以是的既不充分也不必要条件，C错误； 因为集合是集合的真子集，所以是的必要不充分条件，D错误. 7. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过特殊值排除ABD选项，利用不等式的性质证明C选项. 【详解】对于A，当时，不等式不成立，所以A错误． 对于B，当时，满足，但，所以B错误． 对于C，因为，所以，则，所以C正确． 对于D，当时，，不符合，所以D错误． 故选：C. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用“1”代换及基本不等式即可求得结果. 【详解】因为， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为9. 故选：B. 9. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 10. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为命题“，使得”是假命题，所以其命题的否定“，使得”是真命题： 当时，不等式即，符合题意； 当时，命题为真等价于，解得， 综上所述，. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 【答案】0或1 【解析】 【详解】集合只有一个元素，即在实数范围内只有一个解，分两种情况讨论： 当时，方程为，解得，集合只有1个元素，符合题意， 当时，只有一个解等价于判别式，解得，符合题意， 综上，的值为或. 12. 含有三个实数的集合，若且，求______． 【答案】 【解析】 【分析】利用集合元素的互异性求参数的值，然后代入求解即可． 【详解】因为中，为分母，所以． 又因为，所以． 因为，且，所以或． 当时，不满足集合的互异性，故舍去． 当时，集合为． 综上所述，，． 所以． 13. 若命题“,”为真命题，实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将全称命题为真转化为不大于函数在区间上的最小值，求解函数最小值即可得到的取值范围. 【详解】 命题为真命题等价于：对任意，恒成立，即，. 二次函数开口向上，对称轴为直线，且， 因此当时，取得最小值，为  ， 因此， 故实数的取值范围为. 14. 已知，，则的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【分析】先利用待定系数法得到，再利用不等式的性质即可得解. 【详解】设， 则，解得， 所以， 因为，， 所以，， 则，即. 所以的取值范围是. 故答案为： 15. 已知，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用换元法将分式转化为满足基本不等式适用条件的形式，根据基本不等式求解最小值即可. 【详解】令，则， ， 所以. 又，则，当且仅当即时等号成立， 因此，此时，满足，等号可取. 故原式的最小值为. 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 比较大小： （1）与； （2）与； （3）与． 【答案】（1）> （2） （3） 【解析】 【分析】采用作差法，然后根据差的结果判断正负，由此可判断(1) 、(2) 、(3)中两式的大小关系. 【小问1详解】 -= , 故 【小问2详解】 ）= ， 故； 【小问3详解】 = ， 故. 17. 设全集为，集合，集合. （1）求. （2）求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据并集的定义计算可得； （2）根据补集、交集的定义计算可得. 【小问1详解】 因为集合，集合， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 则 18. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1），=； （2） 【解析】 【分析】（1）将代入集合中，然后利用集合的基本运算法则运算即可； （2）由可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【小问1详解】 当时，， 由， 所以， 又因为或， 所以=. 【小问2详解】 由可得， 所以当时，有，解得， 当时，有，解得． 综上，所以的取值范围为． 19. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由推出，对集合是否为分类讨论，求解即得； （2）由是成立的必要不充分条件可得是的真子集，列出不等式组，求解即得. 【小问1详解】 由，可得， 因为， 当时，，解得，符合题意； 当时，则，解得， 综上，. 故实数的取值范围为． 【小问2详解】 由题意可得，是的充分不必要条件，故是的真子集， 又，， 则，解得， 故实数的取值范围是． 20. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 【答案】（1）14；（2）（i）（ii）4 【解析】 【详解】（1）由，所以，所以 当且仅当 即时，函数取到最小值14. （2）（i）因为正数x，y，由基本不等式得， 解得（当且仅当时取等号）， 所以的最大值； （ii） 当且仅当时，即取等号， 故的最小值为4. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市南开中学中关村科技城学校2026至2027学年度第一学期高一年级第一次阶段性练习 数学 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，，那么为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 设全集为R，集合，，则 A. B. C. D. 4. 已知集合，，若，则集合的真子集个数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. “”的一个充分不必要条件可以是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则下列式子一定成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知正实数a，b满足，则的最小值为（ ） A. B. 9 C. D. 9. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 10. 若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题4分，共20分） 11. 已知集合只有一个元素，则a的值为_______________． 12. 含有三个实数的集合，若且，求______． 13. 若命题“,”为真命题，实数的取值范围为______． 14. 已知，，则的取值范围是______ 15. 已知，的最小值为______． 三、解答题（每题12分，共60分） 16. 比较大小： （1）与； （2）与； （3）与． 17. 设全集为，集合，集合. （1）求. （2）求. 18. 已知，，全集． （1）若，求，； （2）若，求实数的取值范围． 19. 已知集合 （1）若，求实数的取值范围； （2）设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围． 20. （1）当时，求函数的最小值； （2）已知正数x，y满足. （i）求的最大值； （ii）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $