云南昆明市第八中学2025-2026学年度九年级上学期数学期中考试卷

2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷 一、单选题（共30分） 1．（本题2分）将一元二次方程化成一般式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（     ） A．3，， B．3，，1 C．3，2，1 D．3，2， 2．（本题2分）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 3．（本题2分）反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数图象上，则m等于（　　） A．2 B．4 C．6 D．12 4．（本题2分）已知反比例函数的图象位于第一、三象限，则k的取值范围是(   ) A． B． C． D． 5．（本题2分）一元二次方程用直接开平方法可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是，则另一个一元一次方程是（    ） A． B． C． D． 6．（本题2分）某市2021年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则符合题意得方程是（    ） A． B． C． D． 7．（本题2分）如果反比例函数的图象位于第二、四象限，那么k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．（本题2分）用配方法解一元二次方程，将它转化为的形式，则的值为（     ） A． B．2027 C． D．1 9．（本题2分）若方程用配方法可配成的形式，则直线不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．（本题2分）关于二次函数，下列结论中正确的是（    ） A．其图象的对称轴是直线 B．当时，y随x的增大而减小 C．若点是抛物线上的点，则点也是抛物线上的点 D．把该函数的图象先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后，图象经过点 11．（本题2分）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 12．（本题2分）已知方程的两根分别是和，则代数式的值为（     ） A．0 B． C． D． 13．（本题2分）已知关于x的方程有实数根，则k的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D． 14．（本题2分）已知a是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A． B． C． D．2024 15．（本题2分）三角形两边长分别是和，第三边长是一元二次方程的一个实数根，则该三角形的面积是（  ） A． B．或 C．或 D． 二、填空题（共8分） 16．（本题2分）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根，则________． 17．（本题2分）直角三角形的两直角边长是方程的两根，则它的斜边长为_______． 18．（本题2分）已知函数是反比例函数，则________． 19．（本题2分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是_________． 三、解答题（共62分） 20．（本题6分）用合适的方法解下列方程： (1)； (2)． 21．（本题6分）下面是小明同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：移项，得第一步 二次项系数化为1，得第二步 配方，得．第三步 第四步 由此可得．第五步 ，第六 (1)任务一： ①上述小明同学解此一元二次方程的方法是 ，依据的数学公式是 ； ②上述解题过程从第 步开始出现错误，错误的原因是 ． (2)任务二：请写出该方程正确的求解过程． 22．（本题7分）小海同学解一元二次方程的过程如下： 解：，， 或 所以，原方程的根是，． (1)小海的求解过程从 步开始出现错误． (2)请你写出这个方程正确的解题步骤，并求出方程的根． 23．（本题7分）已知关于的一元二次方程． (1)求证：不论取何值，此方程总有实数根； (2)若为整数，且方程的一个根小于，求的取值范围． 24．（本题8分）我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 25．（本题8分）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2023年的32万人增加到2025年的50万人． (1)求该市参加健身运动人数的年均增长率； (2)为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1400元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于998元．已知市政府向该公司支付货款20万元，求购买的这种健身器材的套数． 26．（本题8分）已知抛物线． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线图象经过点是抛物线与轴交点的横坐标，记，比较与的大小． 27．（本题12分）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 第1页（共4页） ◎ 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 《2025-2026学年度九年级上数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A A D C B C C C C 题号 11 12 13 14 15 答案 D D B D B 1．D 【分析】先将原方程整理为一元二次方程的一般形式，再分别确定二次项系数、一次项系数和常数项即可． 【详解】解：将原方程移项整理为一般形式， 移项可得， 二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 2．A 【分析】直接根据顶点式的特点写出顶点坐标． 【详解】解：∵为抛物线的顶点式， ∴根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了求抛物线的顶点坐标，掌握抛物线顶点式的特点是解题的关键． 3．A 【分析】本题利用反比例函数图象上的点满足函数解析式，先求出k的值，再代入待求点计算得到m的值. 【详解】解：∵ 反比例函数的图象经过点， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 ， ∴ 反比例函数解析式为 ， 又∵ 点在反比例函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 解得 4．D 【分析】本题考查反比例函数的图象性质，根据反比例函数图象位于第一、第三象限的条件，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴， ∴ 故选：D． 5．C 【分析】本题主要考查了开平方的方法解一元二次方程，根据题意把方程左右两边同时开方得到，则或，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴，即或， 故选：C． 6．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件．设年平均增长率为x，根据2023年底森林覆盖率2021年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：B． 7．C 【分析】根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，解不等式即可得到k的取值范围． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴比例系数， 解得． 8．C 【分析】将原方程通过移项、配方化为的形式，得到a和b的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴移项得， ∴方程两边同时加上一次项系数一半的平方，即，得 ， 整理得， 对比，得，， ∴． 9．C 【分析】本题考查一元二次方程配方及一次函数的性质，先配方得到，，再根据一次函数的性质判断即可得到答案； 【详解】解：方程配方得， ， ∴，， ∴直线经过一、二、四象限，不经过三象限， 故选：C． 10．C 【分析】本题考查了二次函数的性质等知识．求出抛物线的对称轴为即可得到A选项错误；根据抛物线的增减性即可得到B选项错误；根据点是抛物线上的点得到，把代入得到，即可得到C选项正确；把抛物线先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得到，即可得到点不在图象上，得到D选项错误，问题得解． 【详解】解：由二次函数得对称轴为，故A选项错误，不合题意； ∵， ∴抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴当时，y随x的增大而增大，故B选项错误，不合题意； ∵点是抛物线上的点， ∴， 当时，， ∴点也在抛物线上，故C选项正确，符合题意； 二次函数先向上平移2个单位长度，再向左平移3个单位长度后得， 当时， ∴点不在图象上，故D选项错误，不合题意． 故选：C 11．D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 12．D 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次化简，再利用根与系数的关系整体代入计算即可. 【详解】∵和是方程的根， ∴，， ∴， ∴. 13．B 【分析】分类讨论：方程为一元一次方程或一元二次方程，结合一元一次方程根的性质和一元二次方程根的判别式求解即可． 【详解】解：当方程为一元二次方程时， ，即， ∵方程有实数根， ∴， 化简得， 解得， 即此时且； 当方程是一元一次方程时， ，即， 方程为， 解得，方程有实数根，符合题意； 综上，的取值范围是． 14．D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，整体代入法求代数式的值，掌握一元二次方程根的概念是关键；由题意得，则有，，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴， ∴，， ∴ ． 故选：D． 15．B 【分析】此题考查了一元二次方程的解法、等腰三角形的性质与直角三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意分类讨论思想，小心别漏解． 由，可利用因式分解法求得的值，然后分别从时，是等腰三角形；与时，是直角三角形去分析求解即可求得答案． 【详解】， 解得：，， 当时，则三角形是等腰三角形，如图：，，是高， ，， ， 当时，如图，，，， ， 是直角三角形，， ． 故选：B． 16． 【分析】利用根与系数的关系求出x1+x2与x1x2，原式通分并利用同分母分式的加法法则计算，将各自的值代入计算即可求出值． 【详解】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2－4x－1＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝4，x1•x2＝－1， 则原式4． 故答案为：－4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 17．6 【分析】本题考查勾股定理，一元二次方程根与系数关系，熟练掌握一元二次方程根与系数关系是解题的关键． 设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与．根据一元二次方程根与系数关系可得，．再根据勾股定理即可求． 【详解】解：设直角三角形的斜边为，两直角边分别为与， 直角三角形两直角边是方程的两根， ，， 根据勾股定理可得：， （负值舍去）． 故答案为：6． 18．1 【分析】根据反比例函数的定义，列出关于的指数方程与系数不等式，求解后舍去不符合条件的解，即可得到的值． 【详解】解：函数是反比例函数， ∴， 解方程，得或， 解不等式，得 ∴． 19． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是关键．由二次函数的对称性可得与轴的另一个交点为，进而得到二次函数图象在轴上方部分的自变量取值，即可解不等式． 【详解】解：由图象可知，二次函数的对称轴为直线， 二次函数图象与轴的一个交点为， 另一个交点为， 二次函数图象在轴上方部分的自变量取值为， 不等式的解集是， 故答案为：． 20．(1)， (2)， 【分析】（1）利用直接开平方法求解即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ，． （2）解：， ， 或， ，． 21．(1)①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上 (2)，， ， 移项得：， 二次项系数化为1得：， 配方得：， 即， 由此可得：， ∴，． 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据题中所给解答过程求解①②小问即可； （2）根据配方法可进行求解方程． 【详解】（1）解：①上述小明同学解此一元二次方程的方法是配方法，依据的数学公式是完全平方公式； ②上述解题过程从第三步开始出现错误，错误的原因是等式的右边没有加上； 故答案为：①配方法，完全平方公式；②三，等式的右边没有加上； （2）略 22．(1)； (2)，． 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，掌握解法是解题的关键． （）根据原方程没有变形为一般形式就进行求解即可进行判断； （）先变形为方程的一般形式，再根据公式法求解即可． 【详解】（1）解：∵原方程没有变形为一般形式就进行求解， ∴小海的求解过程从第步开始出现错误， 故答案为：； （2）解：， ， ，，， ， ， ∴，． 23．(1)证明：一元二次方程， 根据根的判别式得， ， ∵恒成立， ∴此方程总有实数根． (2)且为整数． 【分析】（1）一元二次方程根的判别式判断即可． （2）利用因式分解方法解方程，再根据方程的一个根小于判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：一元二次方程， ， ， ， ， 或， 解得，， ∵方程的一个根小于2， ∴ ， ∴且m为整数． 24．(1)； (2)20． 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：， 的最大值为； （2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 25．(1) (2)套 【分析】（1）本题为增长率问题，设年均增长率为，利用两年后人数等于初始人数乘以增长率的平方列一元二次方程，舍去不符合题意的负根即可得到结果． （2）先判断购买套数超过100套，再根据优惠规则表示出每套售价，结合总货款列一元二次方程，求解后根据最低售价要求舍去不符合题意的解，即可得到最终结果． 【详解】（1）解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为，由题意得， 解得，(不符合题意，舍去)， 答∶该市参加健身运动人数的年均增长率为． （2）解∶(元)， 购买的健身器材套数大于100套， 设购买的健身器材套数为套， 根据题意，每套售价为， 列方程得， 整理得， 解得， 当时，每套售价为元，，符合题意， 当时，每套售价为元，，不符合题意，舍去， 若每套售价最低为998元，购买总套数不是正整数，不符合实际，该情况不存在， 综上所述，购买的这种健身器材的套数为200套， 答∶购买的这种健身器材的套数为200套． 26．(1) (2)当时，；当时， 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式求解即可． （2）将已知点代入解析式求a，求出函数的解析式，然后令求t值，再对进行变形化简，得出T关于t的表达式，最后分情况比较T与​​的大小． 【详解】（1）解：抛物线为， 对称轴为直线． 即抛物线的对称轴为直线． （2）解：图象经过点，把代入，则 解得：， 故抛物线解析式， 是抛物线与轴交点的横坐标， ， 解得：， ， ， ，故． 当时，，此时； 当时，，此时． 【点睛】本题考查二次函数的对称轴、待定系数法求解析式，抛物线与轴的交点以及代数式化简和大小比较．关键在于熟练运用公式及对进行合理变形 ． 27．(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $