精品解析：浙江省杭州学军中学海创园学校2026-2027学年高一上学期阶段性测试数学试卷

浙江省学军海创园2026-2027学年高一上学期 阶段性测试数学试卷 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】，故①正确；，故②错误；，故③正确；，故④正确； 故正确的个数是3. 2. 已知函数，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】通过换元法求得的解析式，代入即可. 【详解】因为，令，，即，所以. 故选：B 3. 已知集合 ，，则 （       ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，即，解得或， 所以或， 又，所以. 4. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】解不等式，求得，根据必要不充分条件的定义即可得出结果. 【详解】不等式可化为解得 则成立，反之不可以. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：A 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抽象函数的定义域即可得到答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，故， 所以函数的定义域为. 由，得. 故选：B. 6. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依据题意先将问题等价转化成在上恒成立，接着将恒成立问题转化成最值问题，再结合基本不等式即可求解. 【详解】，使得成立是真命题， 所以,恒成立. 所以在上恒成立， 所以， 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，所以，即实数的最大值为. 故选：B. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】将整理为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】可整理为，得， 再由基本不等式可得：，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 故选：C. 8. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．记．若集合是平衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数的奇偶性（ ） A. 与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B. 与无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C. 与无关，必为偶数 D. 与无关，必为奇数 【答案】D 【解析】 【分析】根据平衡集的定义得，因此的奇偶性相同，又因为存在为奇数，所以根据集合中元素总和与单个元素的奇偶性的规律，即可判断. 【详解】由已知得，因为集合是平衡集， 设去掉元素，根据题意得，其中， 不妨设集合和中的元素之和均为，所以，其中， 则，所以为偶数，其中， 因此的奇偶性相同； 因为存在为奇数，所以均为奇数， 由知也为奇数，且，所以也为奇数. 所以必为奇数 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查了新定义下的集合问题，需要正确理解定义，根据定义正确推理即可. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若非负实数，满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用基本不等式计算可判断ABC；利用对勾函数的单调性可求得 的最小值判断D． 【详解】由基本不等式得，代入，得， 当且仅当时取等号，故有最大值为1，故A正确； 由 ，结合，得 ， 当且仅当时取等号，故有最小值为2，故B正确； ， 由得 ，当且仅当时取等号， 故有最大值为2，故C错误； 由得，则 , 因为非负实数且 ，故 设，则， 函数 在单调递增， 故当，即时，取得最小值， 即 有最小值为，故D正确. 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，易知或；对于B，由题可得该集合中的元素有共5个，对于C，可求得，再根据交集计算即可；对于D，根据交集的结果可得，然后判断条件即可． 【详解】或有2个，故A错误； 该集合中的元素有共5个，故B正确; 因为，即， 所以，故C正确； 当时， 或或或或， 解得， 所以“”是“”的必要不充分条件，故D正确． 11. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为8 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用作差比较法，可判定A错误；根据基本不等式求最值，可判定B正确；将C转化为不等式，求得不等式的解集，可判定C正确；化简得，构造函数，利用导数求得函数的单调性，结合函数的单调性，可判定D正确. 【详解】对于A，由， 因为，可得，所以，即，所以A错误； 对于B，由于， 则， 当且仅当，且时，即时，等号成立，所以B正确； 对于C，由不等式两边同除，可得， 即，即，因为，解得，所以C正确； 对于D，由不等式，可得， 即，构造函数， 可得，所以函数在上单调递增， 因为，所以，即，所以D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题的否定：_____，并判断所得命题的真假：______． 【答案】 ①. ②. 假命题 【解析】 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，把任意改为存在，把结论否定，并分和两种情况，得到所得命题为假命题. 【详解】的否定为， 所得命题为假命题，理由如下： 若，则有，即，显然无解， 若，则有，解得，不合要求，舍去， 综上，不存在，使得，故所得命题为假命题. 故答案为：，假命题 13. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为一元二次型不等式恒成立问题，然后按照和分类讨论求解即可. 【详解】要使有意义，则有， 因为函数的定义域为，故在上恒成立， 当时，，恒成立； 当时，则有，解得； 综上，实数的取值范围为. 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先由基本不等式“1”的妙用求出，进而得到不等式，求出答案 【详解】，且， 故， 当且仅当，即，时成立， 要使原式恒成立只需， ，解得 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的定义域． （1）； （2）； （3）； （4）. 【答案】（1） （2）且 （3）且 （4） 【解析】 【分析】根据函数有意义的基本要求可构造不等式组求得结果. 【小问1详解】 若有意义，则，的定义域为. 【小问2详解】 由得：且， 的定义域为且. 【小问3详解】 由得：且， 的定义域为且. 【小问4详解】 由得：， 的定义域为. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求实数b的取值范围； （2）当时，求； （3）若，求实数b的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题令代入不等式运算得解； （2）先化简集合，再根据并集和补集运算求解； （3）由题可得，抓住与1的大小讨论求解. 【小问1详解】 由题意可得，所以. 【小问2详解】 当时，或， 又，得或， 所以. 【小问3详解】 若，所以. 对于， 当，即时，，显然，符合条件； 当，即时，或，则，解得； 当，即时，或，显然，符合条件. 综上所述，实数的取值范围是. 17. 为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值. 【答案】（1） （2）时，最小，最小值为 万元 【解析】 【分析】（1）先由时求出，再结合建造费用和20年垃圾处理费用，构建关于的函数即可； （2）利用均值不等式即可求出的最小值及此时的值. 【小问1详解】 因为该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理， 即时，，所以，即， 由题意，建造垃圾回收处理站的费用为， 因为每年花费的垃圾处理费用为万元， 那么20年所花费的垃圾处理费用为万元， 因此. 【小问2详解】 因为， 当且仅当，即时取等号， 所以时，最小，最小值为万元. 18. 对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. （1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值； （2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； （3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 【答案】（1）2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出在上的值域，再根据“倍值函数”的定义即可列方程求解； （2）易知对称轴为，分、讨论即可； （3）根据“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”分类讨论即可. 【小问1详解】 因为函数在上单调递增，且是 “倍值函数”. 所以，，其值域为. 则，又，解得. 【小问2详解】 函数，对称轴为. 设的 “倍值区间” 为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得： ，，. 所以，所以， 即， 同理可得， 所以方程在上有两个不等的实跟， 所以，解得； 若，在上单调递增， 则， 即有两个不同的大于等于的根. 令，则， 解得或， 解得，解得，此时无解. 综上，的取值范围是. 【小问3详解】 因为函数是 “倍值函数”， “倍值区间”为开口向下，对称轴为. 若，在上单调递减， 则，两式相减得: ，，， 代入得， ，，无解. 若，在上单调递增， 则，所以， 当，，则“倍值区间”的端点必须均为负数，此时“倍值区间”唯一，符合题意； 所以，且，则，得且. 又，， 消去得（无解），或者，解得或（舍去）； 所以. 19. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）具有性质；不具有性质； （2）最小值2,最大值5 （3）有；，，，，. 【解析】 【分析】（1）直接根据定义验证即可； （2）先证明单元素集合不符合要求，然后由（2）有一个2元素集合符合要求，可得集合元素个数的最小值；分析集合中的元素的最大值，当超过6时，根据题意得到无限集合，当最大是5时，构造得到符合要求的集合，从而得到集合元素个数的最大值； （3）分析含有大于7的奇数时，必然得到包含所有的正整数，没有大于7的奇数时，必有大于7的偶数，由此得到必须包含所有的偶数，这时奇数1，3，5是可选的，的分析可得有5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合. 【小问1详解】 对于，若使得​，只能是，此时，所以具有性质P。 对于，取，则，但​， 不满足条件②，所以不具有性质P。 【小问2详解】 取，具有性质. ，则∴， 若，，， 时，，， ∴∣A∣最小值为2； ​设中的最大值为，则， 时，，， 时， 是满足性质的， 再添加，就必须添加1，这样集合，， 时，∵，∴， ，∴， 再添加1，2，3，，，满足性质的， 若时，， ，,， ∴∣A∣的最大值为5. 【小问3详解】 ，是奇数，， 以此类推，一切小于的正奇数都属于A， ∵，∴，， 记，， 依此类推，可得到任意大的偶数属于A， ， ， 依此类推得到所有偶数属于A， ∴只要具有性质P且为无限集的集合A中含有大于等于7的奇数，则所有的正整数都属于集合A. 若没有大于等于7的奇数，则必有大于7的偶数，，时比更大的偶数，由此得出任意大的偶数属于A，从而属于A，于是得出所有的偶数都属于A， 这样一来，奇数1，3，5是可选的， ∵， ∴集合A中5时必有1，3，有3时必有1，从而分析得到所有的满足条件的无限集合： 有大于等于7的奇数时，只有一个， 没有大于7的奇数时有4个： ，， ，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省学军海创园2026-2027学年高一上学期 阶段性测试数学试卷 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列四个关系式：①；②；③；④.其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知函数，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知集合 ，，则 （       ） A. B. C. D. 4. 使 “”成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若，使得成立是真命题，则实数的最大值为（ ） A. B. C. 4 D. 7. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 8 B. 9 C. 11 D. 12 8. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为平衡集．记．若集合是平衡集，并且存在为奇数，则集合中元素个数的奇偶性（ ） A. 与相关，既可以是奇数，又可以是偶数 B. 与无关，既可以是奇数，又可以是偶数 C. 与无关，必为偶数 D. 与无关，必为奇数 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 若非负实数，满足，则（ ） A. 有最大值为1 B. 有最小值为2 C. 有最小值为2 D. 有最小值为 10. 已知集合，则（ ） A. 满足的有个 B. 集合中有个元素 C. 当时， D. “”是“”的必要不充分条件 11. 已知，则下列不等式中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 的最小值为8 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 写出命题的否定：_____，并判断所得命题的真假：______． 13. 若函数的定义域为，则实数m的取值范围为______． 14. 已知，且，若恒成立，则实数的范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 求下列函数的定义域． （1）； （2）； （3）； （4）. 16. 已知全集，集合，. （1）若，求实数b的取值范围； （2）当时，求； （3）若，求实数b的取值范围. 17. 为实行垃圾分类，节约使用资源，某企业拟新建一座垃圾回收处理站用于垃圾处理.已知该企业原来每年花费36万元用于垃圾处理，而新建的垃圾回收处理站可使用20年.建造垃圾回收处理站的费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）成正比，比例系数约为.已知该企业每年花费的垃圾处理费用（单位：万元）与垃圾回收处理站的面积（单位：）之间的函数关系是（，为常数）.记该企业建造这座垃圾回收处理站的费用与建造后20年所花费的垃圾处理费用之和为（单位：万元）. （1）写出关于的函数关系式； （2）当为何值时，最小？求出的最小值. 18. 对于定义域的函数，若存在区间，使得当时，函数的值域恰为，则称函数是上的 “倍值函数”，区间叫做“倍值区间”. （1）已知函数是上的“倍值函数”，求的值； （2）若函数是“倍值函数”且在“倍值区间”单调，求的取值范围； （3）设函数是“倍值函数”，且存在唯一的“倍值区间”，求的值. 19. 已知集合A是正整数集的真子集，若A满足如下两个性质，则称A具有性质P.条件①：存在，使得；条件②：对任意，且，都有. （1）判断下列两个集合是否具有性质；（无需过程）；. （2）若集合A具有性质P，且A为有限集，求集合A的元素个数的最小值和最大值； （3）是否存在具有性质P且为无限集的集合A?如果存在，求出满足条件的所有集合A；如果不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $