浙江杭州市第十四中学2026-2027学年高一上学期第一次阶段性检测数学试卷

2026年杭十四中高一第一次阶段性检测数学卷 考生须知： 1．本试卷分试题卷和答题卷两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2．请用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡指定的区域（黑色边框）内作答，超出答题区域的作答无效！ 3．考试结束，只需上交答题卡． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1．设全集，集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，，，则是成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．函数的图象大致为（ ） A． B． C． D． 4．函数的单调递减区间为（ ） A． B． C． D．， 5．已知函数的定义域和值域都是，则函数的定义域和值域分别为（ ） A．和 B．和 C．和无法确定 D．和无法确定 6．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．已知关于的一元二次不等式的解集为，为常数，且， 则的最小值为（ ） A． B． C． D． 8．若函数在定义域上的值域为，则称为“函数”．已知函数是“函数”，则实数的最大值是（ ） A．10 B．12 C．14 D．16 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列四个命题是真命题的是（ ） A．幂函数的图象都过点和 B．若幂函数在单调递增，则 C．函数的值域为 D．函数的值域为 10．已知关于的不等式的解集为，则下列结论正确的是（ ） A． B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意，都存在，使得，那么称为集合的聚点．则在下列集合中，以0为聚点的集合有（ ） A． B． C． D．整数集 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为________． 13．函数的图象的对称中心为________． 14．设是定义在上的单调函数，若，，则函数在区间上的值域为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知集合，或． （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16．函数是上的增函数，对任意的，都有． （1）求的值； （2）证明为奇函数； （3）解不等式：． 17．杭州某企业原来生产某种产品x（万件）可获利（万元），且满足如下关系 ．现该企业计划引进新的生产设备和新的产品方案优化产品，优化后的产品的其他成本总投入为万元．由市场调研分析得知，当前产品供不应求．记该企业优化后的产品的利润为（单位：万元）． （1）求函数的解析式； （2）当优化后的产品产量为多少万件时，该企业的利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 18．已知函数，． （1）恒成立，求实数a的取值范围； （2）若方程有两个不相等的实数根、，且，求的取值范围； （3）若存在使方程有四个不同实根，求实数a的取值范围． 19．若函数与满足：对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是在区间上的“m阶伴随函数”；对任意的，总存在唯一的，使成立，则称是区间上的“m阶自伴函数”． （1）判断是否为区间上的“2阶自伴函数”？并说明理由； （2）若函数为区间上的“1阶自伴函数”，求b的值； （3）若是在区间上的“2阶伴随函数”，求实数a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年杭十四中高一第一次阶段性检测数学卷参考答案 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分． 1．C 2．C 3．A 4．A 5．B 6．A 7．A 8．C 二、多选题（本大题共3小题，共18分．在每小题有多项符合题目要求） 9．BCD 10．BC 11．BC 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12． 13． 14． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（1）（2） （1）解：由集合，或， 若，则满足，解得，所以实数的取值范围为． （2）解：当时，则，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足或，前者无解，后者解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为． 16．（1）；（2）证明：令，则由，得， 即得，故是奇函数．（3）或． （1）由题设，令， 由恒等式得，解得， （2）证明：令，则由，得， 即得，故是奇函数． （3）由得，又，所以 ，又，所以，因为函数是上的增函数，所以，即，解得或，所以不等式的解集为或． 17．（1）（2）生产3万件产品时利润最大，最大利润为390万元 【详解】（1）由题意得， （2）当，，故当时，取最大值，； 当时，，当且仅当，即时，为最大值．因此，优化后产品产量为3万件时，企业获最大利润390万元 18．（1）（2）（3） （1）由得恒成立，故不等式对任意的恒成立， 当时，恒成立，符合题意；当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为． （2）由可得，整理得，由题意可知，且，解得或，由韦达定理可得，，可得，故， 所以，因为，所以，所以， 故的取值范围是． （3）当时，令，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时取等号，依题意可得关于的方程有四个不等实根，令，则， 则问题转化为存在使得关于的方程有两个不同正根、， 所以，因为，则，由可得，由 可得或，故，由知，存在使不等式成立，把看成主元代入，可得，即，解得或，综合可得，故实数的取值范围是． 19．（1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，取，，由， 得，显然此方程无实数解，所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”． （2）1； （3） （1）假定函数是区间上的“2阶自伴函数”，取，，由， 得，显然此方程无实数解，所以函数不是区间上的“2阶自伴函数”． （2）函数为区间上的“1阶自伴函数”，则对任意，总存在唯一的， 使得，即，整理得，显然函数在上单调递减， 且当时，，当时，，因此对内的每一个，在内有唯一值与之对应，而，于是，则有，解得，即， 所以的值是1． （3）由函数在上单调递减，得函数的值域为， 由函数是在区间上的“2阶伴随函数”， 得对任意的，总存在唯一的时，使得成立， 于是，则在区间上的值域必定包含区间， 且的值域在对应的自变量是唯一的，而函数图象开口向上，对称轴为， 显然，，①当时，在上单调递增，则， 即，解得；②当时，在上单调递减，则， 即，解得；③当时，在上单调递减，在上单调递增， 则，即，解得；④当时，在上单调递减， 在上单调递增，则即，解得， 所以的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司 $