精品解析：河北唐山市遵化市阳光燕山学校2026-2027学年九年级上学期第一次质量检测 数学 试卷

2026-2027 学年九年级第一次学业质量检测 时间：90 分钟 满分：100 分 一、选择题（共 12 小题，24 分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则 与 的面积比是（ ） A. B. C. D. 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 12. 《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 二、填空题（共 3 小题，12 分） 13. 如图，直线，另两条直线分别交，，于点A，B，C及点D，E，F，且，，，则________． 14. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是：_____． 15. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步． 16. 如图，在矩形 中，，，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 、 两点移动时间为 （）． （1）________，____________（用含 的式子表示）； （2）当运动时间为________秒时， 与 相似． 三、解答题（共 9 小题，64 分） 17. 解方程 （1） （2） 18. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 20. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）请写出图中所有与相似的三角形______； （2）若的面积为2，求的面积． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． （1）若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价． 23. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？ 24. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年九年级第一次学业质量检测 时间：90 分钟 满分：100 分 一、选择题（共 12 小题，24 分） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的解的定义，把代入已知方程列出关于的一元一次方程，通过解该一元一次方程即可求的值，解题的关键是正确理解一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为， ∴，解得：， 故选：． 3. 如图，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质和三角形的内角和定理，根据相似三角形的对应角相等，然后由三角形的内角和定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 没有实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等的实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，通过计算判别式的值，判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：对于方程，其判别式为： 由于，根据判别式的性质，方程有两个不相等的实数根． 故选：B 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 根据已知条件，（），再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 【详解】解:因为 ， 设 ，（） 则 ， 故选C． 6. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，那么较小三角形的周长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据最长边分别为和确定相似比，相似三角形的周长比等于相似比，再根据周长之和为即可求解． 【详解】解：两个相似三角形的最长边分别为和， 相似比为， 较大三角形与较小三角形的周长比为：， 它们的周长之和为， 较小三角形的周长为：， 故选：B． 7. 如图，将的边与刻度尺的边缘重合，点，，分别对应刻度尺上的整数刻度，已知，，下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，列出比例式，分别计算出线段，，，的长度，对每个选项进行判断即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，，． ， 四边形为平行四边形， ，， ∵， ∽， ， ， ， ， A选项不正确，符合题意；B选项正确，不符合题意； ， C选项正确，不符合题意； ， D选项的结论正确，不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 8. 用配方法解一元二次方程，配方正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案． 【详解】解：， 移项得， 二次项系数化1的， 配方得， 即， 故选：A． 【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 9. 如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理：两角对应相等，两三角形相似；两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A．是阴影三角形与的公共角，且有一个角与相等，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意， B．是阴影三角形与的公共角，且有一个角与相等，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意， C．长度不确定，不满足相似三角形的条件，故本选项符合题意， D．，，，且夹角都为，故阴影三角形与相似，该选项不符合题意． 10. 如图，已知 与 是位似图形，点 是位似中心，若 是 的中点，则 与 的面积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据位似的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，，，且相似比为， ∴与的面积比是． 11. 有一种“微信点名”活动，需要回答一系列问题，并将问题和自己的答案在朋友圈中发布，同时还规定“@”一定数量的其他人，邀请他们也参与活动．小明被邀请参加一次“微信点名”活动，他决定参与并按规定“@”其他人，如果收到小明邀请的人也同样参与了活动并按规定“@”其他人，且从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动．设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，根据从小明开始算起，转发两轮后共有91人被邀请参与该活动列出一元二次方程即可． 【详解】解：设参与该活动后规定“@”x人，则可列出的方程为， 故选：D． 12. 《九章算术》中记载：今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：邑方几何？译文：如图，一座正方形城池北、西边正中，处各开一道门，从点往正北方向走40步刚好有一棵树位于点处，若从点往正西方向走810步到达点处时正好看到此树，则正方形城池的边长为（ ） A. 360步 B. 270步 C. 180步 D. 90步 【答案】A 【解析】 【分析】先根据平行线的性质得出，再根据相似三角形的判定与性质得出，然后求解即可． 【详解】设正方形城池的边长为步 则 即 或（不符实际，舍去） 即正方形城池的边长为360步 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，依据题意，找出两个相似三角形是解题关键． 二、填空题（共 3 小题，12 分） 13. 如图，直线，另两条直线分别交，，于点A，B，C及点D，E，F，且，，，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得． 故答案为：． 14. 如图，某水库堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：，堤坝高BC＝50m，则迎水坡面AB的长度是：_____． 【答案】100m． 【解析】 【分析】根据题意可得＝，把BC＝50m，代入即可算出AC的长，再利用勾股定理算出AB的长即可 【详解】∵堤坝横断面迎水坡AB的坡比是1：， ∴＝， ∵BC＝50m， ∴AC＝50m， ∴AB＝＝100m， 故答案为100m． 【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用﹣坡度问题，关键是掌握坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比． 15. 《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八百九十一步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为891平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多_________步． 【答案】6 【解析】 【分析】设长为x步，则宽为 (60-x) 步，根据长方形的面积公式列出方程进行求解即可得出答案． 【详解】解：设长为x步，则宽为(60-x) 步， ， 整理得，， 解得，，， ∴当 时， ，长<宽，不合题意，舍去； ∴当 时， ，即长为33步，宽为27步，符合题意， ∴长比宽多：33-27=6 (步)， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 16. 如图，在矩形 中，，，动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动，同时动点 以 的速度从点 出发，沿 向点 移动．设 、 两点移动时间为 （）． （1）________，____________（用含 的式子表示）； （2）当运动时间为________秒时， 与 相似． 【答案】 ①. ②. ③. 或 【解析】 【分析】（1）在矩形  中求出对角线的长度，进而解题； （2）分与两种情况进行讨论即可． 【详解】解：（1）由题意知，， ，， ∴； （2）如图，当时， 有， 即， 解得； 如图，当时， 有， 即， 解得； 综上所述，当运动时间为或秒时， 与  相似． 三、解答题（共 9 小题，64 分） 17. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】此题考查解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键： （1）利用因式分解法解方程； （2）利用因式分解法解方程 【小问1详解】 解： ∴或， ∴； 【小问2详解】 ∴或 ∴ 18. 如图，． （1）若平分，求的度数； （2）若，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，角平分线的定义，解题的关键是掌握角平分线的性质． （1）根据角平分线的性质得出，然后再利用相似三角形的对应角相等，即可求解； （2）利用线段的和差求出，然后再利用相似三角形的对应边成比例，即可求解． 【小问1详解】 解：∵平分， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，（负值已舍）． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）证明：不论为何值时，方程总有实数根； （2）若该方程有一个根为，求的值． 【答案】（1） 证明： ， ， 不论为何值时，方程总有实数根； （2）． 【解析】 【详解】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义以及根的判别式，熟练掌握相关公式是解题关键． ()根据根的判别式即可求出答案； ()把代入方程中即可求出答案． 【小问1】略 【小问2】解：该方程有一个根为， ， 解得：； 的值为． 20. 如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． （1）请写出图中所有与相似的三角形______； （2）若的面积为2，求的面积． 【答案】（1）， （2）的面积为8 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质． （1）根据平行四边形的性质得到，，即可证明，； （2）根据平行四边形的性质得到，则，根据相似三角形的性质得到，即可求出的面积． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即的面积为8． 21. 如图，某校准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园，现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． （1）的长为_________；的取值范围是_________； （2）当为何值时，可使矩形花园的面积为； （3）嘉嘉说：“矩形花园的面积可以为.”请你判断嘉嘉的说法正确吗？并说明理由. 【答案】（1）；； （2）当为时，矩形花园的面积为； （3） 嘉嘉的说法不正确， 理由：根据题意得. ∵， ∴该方程无实数根， ∴矩形花园的面积不可以为， 即嘉嘉的说法不正确． 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性可得到，即可得到BC的表达式，再根据BC大于零并小于等于即可得到x的取值范围； （2）根据花园的面积建立一元二次方程，先解方程，再根据（1）中x的取值范围进行取舍即可； （3）根据花园的面积建立一元二次方程，判断方程的解得情况即可得到答案． 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 由题意得矩形花园的面积为， 当时， 整理得， 解得（舍），， ∴当时，可使矩形花园的面积为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是根据题意建立一元二次方程． 22. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商若以每个元的价格购进此种头盔，销售大数据分析表明：当每个头盔售价为元时，平均每月售出个；若售价每下降元，其月销售量就增加个． （1）若售价下降元，每月能售出________个头盔，若售价下降元（），每月能售出____________个头盔； （2）为迎接“双十一”，该经销商决定降价促销，在库存为个头盔的情况下，若预计月获利恰好为元，求每个头盔的售价． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先算出每降价元多卖的头盔数量，再用原有销量加上增加的销量，得到对应销量和表达式； （2）设降价元，表示出单件利润和销量，列利润方程求解，再根据库存上限舍去不合题意的解，算出最终售价． 【小问1详解】 解：已知售价每下降元，其月销售量就增加个， 则售价每下降元，其月销售量就增加个， 可知售价每下降元，每月能售出个头盔， 故售价下降元，每月能售出个头盔． 【小问2详解】 解：设每个头盔降价元， 降价以后每个头盔的利润为元， 降价后头盔的销售量为个， 根据题意可得，即， 解得，， 已知库存为个头盔， 可得， 解得， 则， 故每个头盔的售价为元． 23. 一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在上． （1）求这个正方形零件的边长； （2）如果把它加工成矩形零件如图2，当时，这个矩形的面积是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查矩形和正方形的性质、三角形相似的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）根据正方形的性质可证，由相似三角形的性质可得，设，然后代入比例式求解即可； （2）设，利用矩形的性质可得、易得，即，可求得，最后根据矩形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：四边形EFHG是正方形， ， ，， ； ， 设， ， ， 正方形零件的边长为． 【小问2详解】 解：如图：设， 四边形是矩形， ，，即， ，， ， ， ， ∴，解得：， ， ∴这个矩形的面积是． 24. 某班进行了一次数学实践活动，探索测量校园围墙的高度． （1）如图，小慧组把一根长为米的竹竿斜靠在墙上，量出距竹竿点米的点离地面的高度为米，请你求出墙的垂直高度． （2）如图，小聪组用平面镜来测量另一处墙的高度示意图点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到墙的顶端处，已知、、在同一条直线上，，如果测得米，米，米，请求此处墙的垂直高度． 【答案】（1）墙的垂直高度为米 （2）墙的垂直高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的判定和性定理即可得到结论． 【小问1详解】 ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米； 【小问2详解】 ，， ， ， ， ， ， ， 答：墙的垂直高度为米． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $