第四章 整式的加减 单元复习- 2026-2027学年人教版七年级数学上册

第四章：整式的加减 2 知识点一 单项式 2 知识点二 多项式 2 知识点三 整式 3 知识点四 同类项、合并同类项 3 知识点五 去括号、添括号 3 知识点六 整式的加减 3 知识点高频易错点警示 3 4 【题型1 整式的判断与系数、次数的计算】 4 【题型2 同类项的识别与合并同类项】 5 【题型3 去括号与添括号】 6 【题型4 整式的加减运算】 7 8 【题型5 利用单项式与多项式的系数与指数求值】 8 【题型6 整式加减中“不含某项”问题】 9 【题型7 整式加减中“与某项无关”问题】 10 【题型8 整式的化简求值】 11 12 【题型9 整式加减的实际应用】 12 【题型10 单项式与多项式规律探索】 15 【题型11 新定义整式的运算】 15 17 一、单选题（共12个小题,每小题3分,共36分） 17 二、填空题（共4个小题,每小题3分,共12分） 18 三、解答题（共5个小题,共52分） 18 知识点一 单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．【例】：3，a，，，，0.15a，都是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【例】：单项式的系数是，的系数是 （1）系数包括单项式前面的符号； 【例】：的系数是-2 （2）只含有字母因数的单项式的系数是1或； 【例】：的系数是1；的系数是-1 （3）是一个数，不要将它当作字母． 【例】：的系数是 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数字的次数是0． 【例】：单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零 知识点二 多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 【例】：是多项式 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【例】：各项是、、，其中是常数项 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【例】：次数是五次 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【例】：是关于x的三次二项式，是关于x、y的四次三项式，2是关于x、y的八次四项式； 5．多项式升幂与降幂排列： 【例】：是按x的降幂排列；是按x的升幂排列 知识点三 整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】：a，，，是整式． 知识点四 同类项、合并同类项 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】：-6a与5a是一组同类项；与是一组同类项；6x、与也是一组同类项． 2．合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． 【例】： ， 知识点五 去括号、添括号 1.去括号：一个数与一个多项式相乘需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加． （1）0括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 【例】： （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【例】： 2.添括号：括号外是“+”，添括号不变号；括号外是“-”，添括号都变号． 知识点六 整式的加减 1.运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 知识点高频易错点警示 1.单项式、多项式系数与次数判断错误： （1）忽略系数符号(如的系数是不是)；混淆的属性(是常数，不是字母，如的次数是)； （2）忽略项的符号(如的项是、、，不是、、)。 2.去括号时符号处理错误： （1）括号前是“”，只变第一项符号(如；漏乘系数(如)。 3.同类项判断错误： （1）只看字母不看指数(如和不是同类项)；看字母排列顺序(如和是同类项)。 【题型1 整式的判断与系数、次数的计算】 1.核心知识点总结： （1）单项式定义：数或字母的积，单独的数/字母也是单项式； （2）多项式定义：几个单项式的和； （3）整式定义：单项式和多项式的统称； 2.高频考点整理： （1）区分整式与非整式（如判断、、是否为整式）； （2）分类区分单项式和多项式（如将、、分类）； （3）确定单项式的系数、指数以及多项式的项、常数项、次数。 1．对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 2．下列说法正确的有（     ）个 ①多项式的常数项是1；②多项式是五次二项式； ③是单项式；④是多项式；⑤6是整式； A．1 B．2 C．3 D．4 3．下列说法正确的是（     ） A．代数式是整式 B．单项式的系数是5，次数是2 C．是单项式 D．式子的系数是3，次数是2 4．下列说法中，正确的是（     ） A．的常数项是 B．单项式的次数是 C．多项式的三次项是 D．多项式是二次三项式 【题型2 同类项的识别与合并同类项】 1.核心知识点总结： （1）同类项“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同； （2）同类项“两无关”：与系数无关、与字母排列顺序无关； （3）常数项都是同类项； （4）合并法则：系数相加，字母及字母的指数不变； （5）合并步骤：标记同类项→移同类项→合并系数→整理结果。 2.高频考点整理： （1）直接判断同类项（如判断与、与是否为同类项）； （2）结合同类项定义补充条件（如与是同类项，求的取值）； （3）直接合并同类项。 1．下列各组中的两项，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．化简： (1) (2) 【题型3 去括号与添括号】 1.核心知识点总结： （1）括号前是“”：去括号后各项符号不变； （2）括号前是“”：去括号后各项符号都变； （3）括号前有系数：先乘括号内每一项，再去括号。 2.高频考点整理： （1）直接去括号化简（如去括号、）； （2）去多重括号化简（如去括号）； （3）添加括号改变运算符号：如已知2，求。 1．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 3．若，则代数式的值为_____． 4．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【题型4 整式的加减运算】 1.核心知识点总结： （1）整式加减实质：去括号+合并同类项； （2）运算步骤：去括号→合并同类项→整理最简结果。 2.高频考点梳理： （1）单项式与单项式的加减（如计算）； （2）单项式与多项式的加减（如计算）； （3）多项式与多项式的加减（如计算）。 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 2．已知，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 3．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 4．化简下列各式： (1)； (2) 【题型5 利用单项式与多项式的系数与指数求值】 1.核心知识点总结： （1）单项式次数：所有字母指数和，系数不为0（除非是0单项式）； （2）多项式次数：最高次项的次数，最高次项系数不为0； （3）求解：根据“次数”“项数”条件，求字母的值。 2.高频考点梳理： （1）单项式：已知是五次单项式，求； （2）多项式：已知是二次三项式，求； （3）综合：已知多项式是二次三项式，求。 1．若单项式与是同类项，则的值是　　 A．2 B．1 C． D． 2．已知多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．或3 3．若代数式是三次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则的值为（　　） A． B．1 C．2 D．5 4．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【题型6 整式加减中“不含某项”问题】 1.核心知识点总结： （1）“不含某项”含义：合并同类项后，该项的系数为0； （2）步骤：去括号→合并同类项→令不含项的系数=0→求字母的值。 2.高频考点梳理： （1）不含一次项：如多项式不含项，求； （2）不含二次项：如计算(，)，结果不含项，求； （3）不含多项：如多项式不含二次项和一次项，求。 1．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 2．当______时，关于，的多项式中不含项． 3．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 4．关于、的多项式合并后不含二次项，求的值． 【题型7 整式加减中“与某项无关”问题】 1.核心知识点总结： （1）“与某项无关”含义：合并同类项后，该字母所有项的系数和为0； （2）本质：与“不含某项”一致，针对“某字母的所有项”(如与无关，即所有含的项系数为0)。 2.高频考点梳理： （1）与字母无关：如代数式与无关，求； （2）与字母、无关：如(，)与、无关，求、。 1．多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 2．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 3．已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 4．已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【题型8 整式的化简求值】 1.核心知识点总结： （1）化简求值步骤：先化简(去括号、合并同类项)，再代入求值； （2）整体思想：将含字母的式子(如2)视为一个整体代入，避免求单个字母的值。 2.高频考点梳理： （1）直接代入：如化简，再代入、； （2）整体代入：如已知，求(整理为，代入)； （3）条件隐含：如已知，求(利用非负性求、)。 1．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 2．先化简，再求值：，其中，． 3．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 4．小颖同学善于总结反思，她发现在整式的化简求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知，求的值． 小颖同学提出了一种解法如下： 原式，把式子两边同时乘2，得． 仿照小颖同学的解题方法，回答下面的问题： (1)如果，则___________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【题型9 整式加减的实际应用】 1.核心知识点总结： （1）几何应用：用整式表示边长、周长、面积，再通过整式加减计算差值、和值； （2）经济应用：用整式表示单价、数量、总价，再计算费用、利润、优惠后的价格。 2.高频考点梳理： （1）几何类：通过列出面积的代数式，然后整理化简，代入数值； （2）经济类：通过列出价格的代数式；甲、乙两种收费方案，用整式表示费用，比较优劣。 1．甘肃省陇南市成县、徽县木偶戏（又称“木脑壳戏”）是甘肃省非物质文化遗产，也是陇南市特色戏．木偶戏属于民间小戏剧种，是秦腔的一种古老的表演形式，已经有数百年的历史，主要活跃于城乡舞台．如图，某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形木偶戏戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示木偶戏戏台的面积： ________平方米，________平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 2．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的折出售． (1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 3．某社区生活超市销售一种扫地机器人和智能垃圾桶，扫地机器人每台定价800元，智能垃圾桶每个定价200元．国庆期间超市决定开展促销活动，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台扫地机器人送一个智能垃圾桶； 方案二：扫地机器人和智能垃圾桶都按定价的付款． 现某客户要到该社区生活超市购买扫地机器人10台，智能垃圾桶个（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元，若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按以上两种方案中的哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 4．为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)分别求出方案一和方案二中菜地的面积 和（用含 a 的代数式表示），并求出的值； (3)已知培植园内可利用的墙长实际上只有，若班级用长度的篱笆按上述两种方案围菜地，请通过计算判断方案一和方案二是否都能成功实施? (4)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 【题型10 单项式与多项式规律探索】 1.核心知识点总结： （1）规律分析：从系数(符号、绝对值)、字母指数两方面找变化规律； （1）表达形式：用含(正整数)的整式表示第项，验证规律是否成立(时是否符合)。 2.高频考点梳理： （1）系数符号交替：如、、、…第项为； （2）系数绝对值成倍数：如、、、…第项为； （3）常数项规律：如、、、…第项为。 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 2．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 3．按一定规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 4．按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 【题型11 新定义整式的运算】 1.核心知识点总结： （1）新定义理解：根据题目给出的新规则(如“定义”“附属系数对”)，将新运算转化为整式的加减或乘除； （2）步骤：理解新定义→转化为整式运算→按整式加减规则计算。 2.高频考点梳理： （1）新运算定义：如定义，求； （2）新概念定义：如定义“有序实数对的附属多项式为”，求与的附属多项式的差。 1．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 2．对于有理数a、b，规定运算“★”如下：． (1)计算：的值； (2)比较与的大小． 3．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 4．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：该运算是否满足交换律？即与是否一定相等？说明理由； (4)计算． 一、单选题（共12个小题,每小题3分,共36分） 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 2．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 3．下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 4．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 5．下列式子：中，整式的个数是    (      ) A．6 B．5 C．4 D．3 6．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 7．已知，，且，则的值为(     ) A．3或7 B．或 C． D． 8．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 9．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 10．按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 11．若代数式的值与的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 12．如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则这两块阴影部分小长方形周长的和为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共4个小题,每小题3分,共12分） 13．已知单项式与的和为单项式，则________． 14．一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 15．若，，则______． 16．在如图所示的三阶幻方中，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，则______． 三、解答题（共5个小题,共52分） 17．（8分）化简： (1)； (2)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（12分）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如： 若， 则原式 (1)把看成一个整体，计算________； (2)已知， 求的值； (3)已知，， 求的值． 20．（12分）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 21．（12分）【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章：整式的加减 2 知识点一 单项式 2 知识点二 多项式 2 知识点三 整式 3 知识点四 同类项、合并同类项 3 知识点五 去括号、添括号 3 知识点六 整式的加减 3 知识点高频易错点警示 3 4 【题型1 整式的判断与系数、次数的计算】 4 【题型2 同类项的识别与合并同类项】 6 【题型3 去括号与添括号】 8 【题型4 整式的加减运算】 10 11 【题型5 利用单项式与多项式的系数与指数求值】 11 【题型6 整式加减中“不含某项”问题】 13 【题型7 整式加减中“与某项无关”问题】 15 【题型8 整式的化简求值】 17 20 【题型9 整式加减的实际应用】 20 【题型10 单项式与多项式规律探索】 25 【题型11 新定义整式的运算】 26 30 一、单选题（共12个小题,每小题3分,共36分） 30 二、填空题（共4个小题,每小题3分,共12分） 35 三、解答题（共5个小题,共52分） 36 知识点一 单项式 1．单项式：像，，，等，都是数与字母的乘积，这样的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式．【例】：3，a，，，，0.15a，都是单项式； 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数． 【例】：单项式的系数是，的系数是 （1）系数包括单项式前面的符号； 【例】：的系数是-2 （2）只含有字母因数的单项式的系数是1或； 【例】：的系数是1；的系数是-1 （3）是一个数，不要将它当作字母． 【例】：的系数是 3.单项式的次数：单项式中所有字母的指数和．单独一个非零数字的次数是0． 【例】：单项式的次数为四，的次数为六；9的次数是零 知识点二 多项式 1．多项式：几个单项式的和叫做多项式． 【例】：是多项式 2．多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项． 【例】：各项是、、，其中是常数项 3．多项式的次数：一个多项式中，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数． 【例】：次数是五次 4．多项式的命名：关于某字母的几次几项式． 【例】：是关于x的三次二项式，是关于x、y的四次三项式，2是关于x、y的八次四项式； 5．多项式升幂与降幂排列： 【例】：是按x的降幂排列；是按x的升幂排列 知识点三 整式 1．整式：单项式和多项式统称为整式． 【例】：a，，，是整式． 知识点四 同类项、合并同类项 1．同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项． 【例】：-6a与5a是一组同类项；与是一组同类项；6x、与也是一组同类项． 2．合并同类项：把同类项合并成一项，叫做合并同类项．合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母指数不变． 【例】： ， 知识点五 去括号、添括号 1.去括号：一个数与一个多项式相乘需要去括号，去括号就是用括号外的数乘括号内的每一项，再把所得的积相加． （1）括号前是“+”号，把括号和它前面的“+”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变； 【例】： （2）括号前是“”号，把括号和它前面的“”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变． 【例】： 2.添括号：括号外是“+”，添括号不变号；括号外是“-”，添括号都变号． 知识点六 整式的加减 1.运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 知识点高频易错点警示 1.单项式、多项式系数与次数判断错误： （1）忽略系数符号(如的系数是不是)；混淆的属性(是常数，不是字母，如的次数是)； （2）忽略项的符号(如的项是、、，不是、、)。 2.去括号时符号处理错误： （1）括号前是“”，只变第一项符号(如；漏乘系数(如)。 3.同类项判断错误： （1）只看字母不看指数(如和不是同类项)；看字母排列顺序(如和是同类项)。 【题型1 整式的判断与系数、次数的计算】 1.核心知识点总结： （1）单项式定义：数或字母的积，单独的数/字母也是单项式； （2）多项式定义：几个单项式的和； （3）整式定义：单项式和多项式的统称； 2.高频考点整理： （1）区分整式与非整式（如判断、、是否为整式）； （2）分类区分单项式和多项式（如将、、分类）； （3）确定单项式的系数、指数以及多项式的项、常数项、次数。 1．对下列的代数式进行分类（填序号） ①②③④⑤⑥⑦⑧． 单项式：____________________________； 多项式：____________________________； 整式：____________________________． 【答案】单项式：①③⑤； 多项式：②⑥⑧； 整式：①②③⑤⑥⑧． 【分析】由数或字母的乘积组成的代数式，单独的一个数或一个字母叫做单项式；几个单项式的和叫做多项式；单项式和多项式统称为整式，整式的分母中不含字母．根据单项式，多项式，整式的定义分类，需要注意是常数，分母含有字母的代数式不属于整式． 【详解】解：①是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ②是两个单项式的和，是多项式，属于整式； ③可写成，是数与字母的乘积，是单项式，属于整式； ④分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑤中是常数，属于单独的数，因此是单项式，属于整式； ⑥是三个单项式的和，是多项式，属于整式； ⑦分母含有字母，不是单项式，也不是多项式，不属于整式； ⑧可写成，是两个单项式的和，是多项式，属于整式； 2．下列说法正确的有（     ）个 ①多项式的常数项是1；②多项式是五次二项式； ③是单项式；④是多项式；⑤6是整式； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：①多项式的常数项为，故①错误， ②多项式中，最高次项的次数为，该多项式是三次二项式，故②错误， ③是单项式，故③正确， ④是多项式，故④正确， ⑤是整式，故⑤正确； ∴正确的说法共个. 3．下列说法正确的是（     ） A．代数式是整式 B．单项式的系数是5，次数是2 C．是单项式 D．式子的系数是3，次数是2 【答案】B 【详解】解：与的分母均含字母，不是整式，故A、D错误； 的系数为5，次数为，故B正确； 是多项式，不是单项式，故C错误． 4．下列说法中，正确的是（     ） A．的常数项是 B．单项式的次数是 C．多项式的三次项是 D．多项式是二次三项式 【答案】D 【分析】根据单项式的次数，多项式的项和次数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．多项式的常数项是，原说法错误，不符合题意； B． 单项式的次数是，原说法错误，不符合题意； C．多项式的三次项是，原说法错误，不符合题意； D．多项式是二次三项式，原说法正确，符合题意． 【题型2 同类项的识别与合并同类项】 1.核心知识点总结： （1）同类项“两相同”：所含字母相同、相同字母的指数相同； （2）同类项“两无关”：与系数无关、与字母排列顺序无关； （3）常数项都是同类项； （4）合并法则：系数相加，字母及字母的指数不变； （5）合并步骤：标记同类项→移同类项→合并系数→整理结果。 2.高频考点整理： （1）直接判断同类项（如判断与、与是否为同类项）； （2）结合同类项定义补充条件（如与是同类项，求的取值）； （3）直接合并同类项。 1．下列各组中的两项，是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】同类项与系数无关，从所含字母、相同字母的指数两方面判断各选项． 【详解】解：A选项与、C选项与中，相同字母的指数均不同，不是同类项； B选项中与所含字母相同，相同字母的指数也相同，是同类项； D选项中是常数项，含字母，不是同类项． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的定义以及合并同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； B．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； C．与不是同类项，不能合并，故该选项运算错误； D．，故该选项运算正确． 3．下列各组单项式中不是同类项的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：与是同类项，故A不符合题意； 与、与所含字母相同，相同字母的指数对应相同，都是同类项，故B和C不符合题意； 与中、的指数均不相同，不是同类项，故D符合题意． 4．化简： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先找出中的同类项，再把同类项交换并结合，最后合并同类项即可得答案. （2）先去的小括号，再去中括号，再找出同类项，再把同类项交换并结合，最后合并同类项即可得答案. 【详解】（1）解： （2）解： 【题型3 去括号与添括号】 1.核心知识点总结： （1）括号前是“”：去括号后各项符号不变； （2）括号前是“”：去括号后各项符号都变； （3）括号前有系数：先乘括号内每一项，再去括号。 2.高频考点整理： （1）直接去括号化简（如去括号、）； （2）去多重括号化简（如去括号）； （3）添加括号改变运算符号：如已知2，求。 1．下列各式中，不正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据去括号，添括号法则，解答即可. 解：A选项：，原题解答正确，不符合题意； B选项：，与等式右边不相等，原题解答错误，符合题意； C选项：，原题解答正确，不符合题意； D选项：，原题解答正确，不符合题意． 2．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：． 3．若，则代数式的值为_____． 【答案】 【分析】从已知等式变形得到的值，将所求代数式整理为含的整体形式，代入计算即可． 【详解】解：， 移项得， 将代数式提取公因式变形，可得， 把代入上式，计算得． 4．观察下列各式： ； ； ； ． (1)探索以上四个式子的变化情况，你能总结出添括号的法则吗？ (2)利用你探索出来的规律，解答下面的题目：已知，求的值． 【答案】(1)添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号 (2) 【分析】（1）注意观察等号两边的变化，等号右边添加了括号，然后观察符号的变化即可； （2）将所求式子添加括号变形为含有和的形式，然后再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵， ∴ ． 【题型4 整式的加减运算】 1.核心知识点总结： （1）整式加减实质：去括号+合并同类项； （2）运算步骤：去括号→合并同类项→整理最简结果。 2.高频考点梳理： （1）单项式与单项式的加减（如计算）； （2）单项式与多项式的加减（如计算）； （3）多项式与多项式的加减（如计算）。 1．化简的结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ． 2．已知，则的值为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】对所求式子去括号重组，整体代入已知条件求值． 【详解】解：∵，， ∴ ． 3．要使等式成立，内应填的项是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对等式左边去括号，再调整式子形式与右边对比，即可求出内的项． 【详解】解：， 对比，得． 4．化简下列各式： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 【题型5 利用单项式与多项式的系数与指数求值】 1.核心知识点总结： （1）单项式次数：所有字母指数和，系数不为0（除非是0单项式）； （2）多项式次数：最高次项的次数，最高次项系数不为0； （3）求解：根据“次数”“项数”条件，求字母的值。 2.高频考点梳理： （1）单项式：已知是五次单项式，求； （2）多项式：已知是二次三项式，求； （3）综合：已知多项式是二次三项式，求。 1．若单项式与是同类项，则的值是　　 A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【详解】分析：根据同类项的定义求出m、n的值，即可得的值. 详解： ∵单项式与是同类项， ∴m=2，n=3， ∴m-n=2-3=-1. 故选C. 点睛：本题考查了同类项的定义，熟知所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项是解题的关键. 2．已知多项式是关于x的二次三项式，则m的值为（    ） A．或2 B． C．2 D．或3 【答案】B 【分析】本题考查了多项式中的有关概念，由多项式为二次三项式，需满足且，即可求解． 【详解】解：∵多项式是关于x的二次三项式， 且， 解得且， ， 故选：B． 3．若代数式是三次多项式，单项式与该多项式的次数相同，则的值为（　　） A． B．1 C．2 D．5 【答案】A 【分析】本题考查多项式的次数，单项式的次数，根据单项式中所有字母的指数和为单项式的次数，多项式中最高项的次数为多项式的次数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∵单项式与该多项式的次数相同， ∴， ∴． 4．已知多项式，，若A，B两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数． (1)直接写出a，b的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据，两个多项式的次数相同，且最高次项的系数互为相反数，即可列关于a、b的方程，求解即可； （2）将题（1）求得的a、b的值代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵，两个多项式的次数相同，且最高次数项的系数互为相反数， ∴当时，， ∵两个多项式最高次项的系数互为相反数， ∴这种情况不存在； 当时，，， 综上，，； （2）解：当，时， ． 【题型6 整式加减中“不含某项”问题】 1.核心知识点总结： （1）“不含某项”含义：合并同类项后，该项的系数为0； （2）步骤：去括号→合并同类项→令不含项的系数=0→求字母的值。 2.高频考点梳理： （1）不含一次项：如多项式不含项，求； （2）不含二次项：如计算(，)，结果不含项，求； （3）不含多项：如多项式不含二次项和一次项，求。 1．若多项式中不含和项，则、的值为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】解：∵多项式不含项和项， ∴，． 解得，． 2．当______时，关于，的多项式中不含项． 【答案】 【分析】先合并同类项，再根据多项式不含项，即合并同类项后项的系数为，列式求出的值即可． 【详解】解：， ∵多项式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 3．多项式与多项式相加后不含二次项，那么m的值是______． 【答案】4 【分析】将两个多项式相加合并同类项，不含二次项说明二次项的系数为，据此建立等式求解即可． 【详解】解： 相加后不含二次项， 二次项系数等于，即 ． 4．关于、的多项式合并后不含二次项，求的值． 【答案】的值为 【分析】先对多项式进行合并同类项，然后根据题意可得，进而问题可求解． 【详解】解： ， ∵关于、的多项式合并后不含二次项， ∴， ∴， ∴． 【题型7 整式加减中“与某项无关”问题】 1.核心知识点总结： （1）“与某项无关”含义：合并同类项后，该字母所有项的系数和为0； （2）本质：与“不含某项”一致，针对“某字母的所有项”(如与无关，即所有含的项系数为0)。 2.高频考点梳理： （1）与字母无关：如代数式与无关，求； （2）与字母、无关：如(，)与、无关，求、。 1．多项式的值（     ） A．与x、y、z的大小都无关 B．与x、y的大小有关，与z的大小无关 C．与x的大小有关，与y、z的大小无关 D．与x、y、z的大小都有关 【答案】B 【分析】对多项式去括号、合并同类项化简，根据化简结果判断与字母取值的关系． 【详解】解： ． ∵ 化简结果含字母,，不含字母， ∴ 多项式的值与,的大小有关，与的大小无关． 2．关于的代数式的值与的取值无关，则的值为_____． 【答案】 【分析】首先利用整式的加减运算法则化简，然后根据题意得到，，求出a，b的值代入计算即可． 【详解】解： ∵关于的代数式的值与的取值无关 ∴， ∴， ∴． 3．已知多项式．若的结果与x的取值无关，求的值． 【答案】 【详解】解： ． 因为的结果与x的取值无关， 所以， 所以， 所以． 4．已知，是关于，的多项式，其中，为常数． (1)若，，化简； (2)若的值与的取值无关，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先合并同类项化简，再将、代入即可解答； （2）先计算并合并同类项，根据值与无关可得含项的系数为，求出、的值，然后代入代数式求值即可． 【详解】（1）解：∵，是关于，的多项式， ∴， ∵，， ∴． （2）解： ； ∵的值与的取值无关， ∴，，解得，， ∴． 【题型8 整式的化简求值】 1.核心知识点总结： （1）化简求值步骤：先化简(去括号、合并同类项)，再代入求值； （2）整体思想：将含字母的式子(如2)视为一个整体代入，避免求单个字母的值。 2.高频考点梳理： （1）直接代入：如化简，再代入、； （2）整体代入：如已知，求(整理为，代入)； （3）条件隐含：如已知，求(利用非负性求、)。 1．已知，，则整式的值为（     ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】将待求整式变形为含与的形式，整体代入已知条件计算． 【详解】解：， ∵，， ∴原式 ． 2．先化简，再求值：，其中，． 【答案】，28 【分析】先去括号合并同类项化简整式，再代入、的取值计算． 【详解】解： ， 当，时， 原式 ． 3．阅读：我们知道，，类似的，我们也可以将看成一个整体，则，请根据上面的提示和范例，解决下面的问题： (1)把看成一个整体，则将合并的结果为 ； (2)已知，求的值； (3)已知，，，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据合并同类项的计算法则求解即可； （2）根据，利用整体代入法求解即可； （3）把所求式子去括号，变形为，利用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 当时，原式； （3）解：原式 当，，时， 原式． 4．小颖同学善于总结反思，她发现在整式的化简求值问题中整体思想的运用非常广泛．如：已知，求的值． 小颖同学提出了一种解法如下： 原式，把式子两边同时乘2，得． 仿照小颖同学的解题方法，回答下面的问题： (1)如果，则___________； (2)已知，求的值； (3)已知，求的值． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）将变形为，然后将代入计算； （2）将变形为，再将的值代入即可； （3）将变形为，再将代入计算． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，原式； （2）解：∵ ， ∴当时， 原式 ； （3）解：∵ ， ∴当时， 原式 ． 【题型9 整式加减的实际应用】 1.核心知识点总结： （1）几何应用：用整式表示边长、周长、面积，再通过整式加减计算差值、和值； （2）经济应用：用整式表示单价、数量、总价，再计算费用、利润、优惠后的价格。 2.高频考点梳理： （1）几何类：通过列出面积的代数式，然后整理化简，代入数值； （2）经济类：通过列出价格的代数式；甲、乙两种收费方案，用整式表示费用，比较优劣。 1．甘肃省陇南市成县、徽县木偶戏（又称“木脑壳戏”）是甘肃省非物质文化遗产，也是陇南市特色戏．木偶戏属于民间小戏剧种，是秦腔的一种古老的表演形式，已经有数百年的历史，主要活跃于城乡舞台．如图，某地计划在一块长方形公园空地上修建两个长方形木偶戏戏台（阴影部分）． (1)用含m，n的代数式表示木偶戏戏台的面积： ________平方米，________平方米； (2)如果修建戏台的费用为200元/平方米，当米，米时，求修建戏台需要的总费用． 【答案】(1)， (2)元 【分析】（1）根据长方形的面积公式计算即可得出结果； （2）先求出修建戏台的总面积，再结合修建戏台的费用为200元/平方米，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得平方米，平方米； （2）解：修建戏台的总面积为（平方米）， ∵修建戏台的费用为200元/平方米， ∴当米，米时，修建戏台需要的总费用为（元）． 2．某楼盘准备推出一套小户型商品房，该户型商品房的单价是每平方米万元 ，售房部为购房者提供了以下两种优惠方案： 方案一：整套房的单价为每平方米万元，免费赠送厨房的面积； 方案二：整套房按原销售总金额的折出售． (1)用含的式子表示该户型商品房的面积及方案一、方案二中购买一套该户型商品房的总金额； (2)当时，通过计算说明哪种方案更优惠？优惠多少万元？ 【答案】(1)总面积：，方案一总金额：万元，方案二总金额：万元 (2)方案一更优惠，优惠万元 【分析】（1）先分别计算各区域面积，再计算总面积；按两种付款方案分别计算购买一套该户型商品房的总金额即可； （2）将代入方案一和方案二的代数式中，分别计算出两种方案的具体金额，再进行比较即可． 【详解】（1）解：各区域面积： 卫生间面积：（）， 厨房面积：（）， 客厅面积：（）， 卧室面积：（）， 总面积：（）， 方案一 付费面积：， 总金额：万元． 方案二 总金额：万元． （2）解：当时， 方案一：万元， 方案二：万元， 优惠：万元． 综上可得：方案一更优惠，优惠万元． 3．某社区生活超市销售一种扫地机器人和智能垃圾桶，扫地机器人每台定价800元，智能垃圾桶每个定价200元．国庆期间超市决定开展促销活动，向客户提供两种优惠方案． 方案一：买一台扫地机器人送一个智能垃圾桶； 方案二：扫地机器人和智能垃圾桶都按定价的付款． 现某客户要到该社区生活超市购买扫地机器人10台，智能垃圾桶个（）． (1)若该客户按方案一购买，需付款 元，若该客户按方案二购买，需付款 元；（用含的代数式表示） (2)若，通过计算说明此时按以上两种方案中的哪种方案购买较为合算？ (3)当时，你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方案，并计算需付款多少元？ 【答案】(1)， (2)按方案一购买较为合算 (3)先按方案一买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买30个智能垃圾桶，此时需付款元 【分析】（1）根据题意，分别按方案一和方案二列代数式化简即可解答； （2）将代入（1）中的两个代数式求值并比较即可解答； （3）按方案一先买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买30个智能垃圾桶即可． 【详解】（1）解：按方案一购买，需付款：元， 按方案二购买，需付款：元． （2）解：当时， 方案一：（元）， 方案二：（元）， ∵， ∴此时按方案一购买较为合算． （3）解：当时， 方法一：按方案一购买需付款（元）， 方法二：按方案二购买需付款（元）， 方法三：先按方案一买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买30个智能垃圾桶，此时需付款（元）． 答：更为省钱的购买方案为：先按方案一买10台扫地机器人，送10个智能垃圾桶，再按方案二购买30个智能垃圾桶，此时需付款元． 4．为贯彻落实教育部提出的五育并举，发展学生的劳动教育，七（1）班计划在培植园内规划一块长方形菜地．已知培植园有一面足够长的墙可以利用，班级准备用长度为的篱笆围成长方形菜地．同学们设计了以下两种方案： 方案一：如图1，利用墙体作为菜地的一条长边，左右两侧各用长的篱笆围成宽，在平行于墙的另一边开一个宽的小门（门不需要篱笆）．此方案围成的长方形菜地面积为； 方案二：如图2，利用墙体作为菜地的一条长边，在左右两侧各开一个宽的小门（门不需要篱笆），左右两侧各用长的篱笆围成宽，用剩余篱笆围成平行于墙的另一边．此方案围成的长方形菜地面积为． (1)图1中长方形的边长度为______m；图2中长方形的边长度为______m；（用含a的代数式表示） (2)分别求出方案一和方案二中菜地的面积 和（用含 a 的代数式表示），并求出的值； (3)已知培植园内可利用的墙长实际上只有，若班级用长度的篱笆按上述两种方案围菜地，请通过计算判断方案一和方案二是否都能成功实施? (4)七（1）班的同学们在计算过程中发现，的值与a无关．请判断这个发现是否正确，并说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)方案一：墙不够长，不能实施；方案二：可以实施 (4)该发现正确，理由： ， 结果等于常数60，不含字母，与无关，该发现正确 【详解】（1）解：方案一：两侧宽各，小门； 方案二：两侧小门各，两侧宽各；； （2）解： ，； （3）解：，墙长最大， 方案一：，，墙不够长，不能实施； 方案二：，，可以实施； （4）略 【题型10 单项式与多项式规律探索】 1.核心知识点总结： （1）规律分析：从系数(符号、绝对值)、字母指数两方面找变化规律； （1）表达形式：用含(正整数)的整式表示第项，验证规律是否成立(时是否符合)。 2.高频考点梳理： （1）系数符号交替：如、、、…第项为； （2）系数绝对值成倍数：如、、、…第项为； （3）常数项规律：如、、、…第项为。 1．按一定规律排列的代数式：，，，，，…，第n个代数式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察可知所有代数式的字母部分均为，系数为从3开始的连续奇数，据此可得答案． 【详解】解： 第1个代数式的系数为； 第2个代数式的系数为； 第3个代数式的系数为； ……， 以此类推，可知，第n个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 2．按一定规律排列的多项式：，，，，，…，第n个多项式是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题为规律探究题，将多项式拆分为含x的项和含y的项，分别找出两项指数随n变化的规律，即可得到第n个多项式． 【详解】解：∵第1个多项式中，x的指数为，第2个多项式中，x的指数为，第3个多项式中，x的指数为…… ∴第个多项式中，x的指数为，即含x的项为． ∵第1个多项式中，y的指数为，第2个多项式中，y的指数为，第3个多项式中，y的指数为…… ∴第个多项式中，y的指数为，即含y的项为． 综上，第n个多项式为． 3．按一定规律排列的多项式：，…，则第n个多项式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了与多项式有关的规律探索，观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连线的自然数，第二项是常数2，据此可得答案． 【详解】解：观察可知，多项式的第一项的系数和指数是从1开始的连线的自然数，第二项是常数2， ∴第n个多项式是， 故选：A． 4．按规律排列的单项式：x，，，，，…，则第8个单项式是______． 【答案】 【分析】观察给出的单项式，分别归纳符号、系数的绝对值、的次数与项数之间的规律，再根据规律推导得到第8个单项式即可． 【详解】解：观察，，，，，…，可得规律如下： 第个单项式中，当为奇数时符号为正，当为偶数时符号为负，系数的绝对值为，的次数为， 因为为偶数，所以第8个单项式的符号为负，系数绝对值为，的次数为，因此第8个单项式是． 【题型11 新定义整式的运算】 1.核心知识点总结： （1）新定义理解：根据题目给出的新规则(如“定义”“附属系数对”)，将新运算转化为整式的加减或乘除； （2）步骤：理解新定义→转化为整式运算→按整式加减规则计算。 2.高频考点梳理： （1）新运算定义：如定义，求； （2）新概念定义：如定义“有序实数对的附属多项式为”，求与的附属多项式的差。 1．定义一种新运算，观察下列算式： ；；；． 请你填一填． __________；__________； 若，则__________． 【答案】 0 9 【分析】归纳已知算式的新运算规则，观察已知算式，可总结新运算的通用规则为：运算结果等于前一个数的4倍加上后一个数．依次代入计算，利用整体代入求解最后一空，即可求解． 【详解】解： ．． ∵ ∴． 等式两边同时除以2，得． ． 2．对于有理数a、b，规定运算“★”如下：． (1)计算：的值； (2)比较与的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将对应数值代入新定义运算公式计算； （2）分别计算两个新运算式的结果，再比较大小． 【详解】（1） 解： 由题意得， 将，代入得：； （2）将，代入运算公式得：， 将，代入运算公式得： ， ∵， ∴． 3．定义一种新运算“※”：对于任意有理数a、b，规定． 例如：． (1)计算：； (2)若，求x的值； (3)试说明：与不一定相等（举例说明即可）． 【答案】(1)； (2)； (3)解：取，， 此时，， ∵， 与不一定相等． 【分析】（1）将，代入新运算定义式计算． （2）根据新运算定义列一元一次方程求解． （3）选取具体有理数代入新运算证明结论． 【详解】（1）解：由新运算定义，代入，得： ； （2）解：根据题意得：， 解得； （3）略． 4．用“”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定． 例如：． (1)求的值； (2)求的值； (3)探究：该运算是否满足交换律？即与是否一定相等？说明理由； (4)计算． 【答案】(1) (2) (3)该运算满足交换律，与一定相等， 理由如下：∵，， ∴； (4) 【分析】（1）根据题干所给的新定义运算即可得出结果； （2）根据题干所给的新定义运算即可得出结果； （3）分别计算出与的值，比较即可得出结果； （4）根据题干所给的新定义运算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：该运算满足交换律，与一定相等． 理由如下略． （4）解： ． 一、单选题（共12个小题,每小题3分,共36分） 1．下列是同类项的是（     ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫作同类项．根据定义逐项判断即可．常数项均为同类项． 【详解】解：A、和所含字母相同，但是相同字母的指数不同，不是同类项； B、和所含字母不同，不是同类项； C、和中，不是整式，不是同类项； D、1和都是常数，是同类项． 2．多项式 的次数及最高次项的系数分别是（    ） A．3， B．2， C．5，2 D．2，3 【答案】A 【分析】多项式中，次数最高项的次数是这个多项式的次数，可得出多项式的次数，再写出多项式的最高次项的系数即可． 【详解】解：多项式的次数是， 最高次项为， 因此最高次项的系数为． 3．下列运算正确的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，根据合并同类项法则进行解答即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，故不符合题意； B、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，故不符合题意； C、与不是同类项，不可以合并，原选项计算错误，故不符合题意； D、，计算正确，符合题意， 故选：D． 4．下列去括号正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据去括号法则计算各个选项，找出正确的结论得到答案． 【详解】解：5x2-（-3x+2y）=5x2+3x-2y，A错误； 2m+（3n-5）=2m+3n-5，B错误； a-（4b+3）=a-4b-3，C错误； -（m+2n-5）=-m-2n+5，D正确， 故选：D． 【点睛】本题考查的是去括号法则：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反． 5．下列式子：中，整式的个数是    (      ) A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解：整式有：，，-5x，0，一共有4个，故选C． 6．如果是关于x，y的四次三项式，那么（     ） A． B．或3 C．3 D． 【答案】A 【详解】解：∵是关于，的四次三项式 ∴，， 解得或，， ∴． 7．已知，，且，则的值为(     ) A．3或7 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】将转化为是解题关键，结合绝对值的定义确定a、b的取值后计算． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴，或，． 当，时，； 当，时，． 综上所述，的值为或． 8．如图所示，是本月份的日历表，任意圈出一横行或一竖列相邻的三个数，这三个数的和不可能是（    ）. A．24 B．43 C．57 D．69 【答案】B 【详解】分别求出圈出的是一横行、圈出的是一竖行三个数的和，进而判断即可． 【解答】解：若圈出的是一横行，则相邻的数相差1，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 若圈出的是一竖行，则相邻的数相差7，设中间的数为x，那么其他两个数为，，则三个数的和为； 由此可知三个数的和为3的倍数， 答案中只有43不是3的倍数． 9．已知，则代数式的值是（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 【答案】A 【分析】利用整体代入法求解，先将原式整理为含的形式，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ∴ ． 10．按一定规律排列的代数式：，，，，…第个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查代数式的规律探索，分别拆分系数和a的指数，找出对应变化规律即可求解． 【详解】解：∵ 观察给出的代数式： 第1个：， 第2个：， 第3个：， 第4个：， ... 可得，的指数等于该代数式的序号，系数是从1开始的连续奇数，第个奇数为， ∴ 第个代数式为． 11．若代数式的值与的取值无关，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的加减混合运算、求代数式的值．首先把多项式去括号、合并同类项，得到原式，根据代数式的值与的取值无关，可以求出、的值，再把、的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解： ， 代数式的值与的取值无关， ， 解得：， ． 故选： C． 12．如图，把四张形状大小完全相同的小长方形卡片不重叠地放在一个底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部，盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则这两块阴影部分小长方形周长的和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先设小长方形卡片的长为，宽为，再结合图形得出两部分的阴影周长加起来即可求出答案． 【详解】解： 设小长方形卡片的长为，宽为， ∴   ， ， ∴   两块阴影部分小长方形周长的和为 ， 故选． 【点睛】本题主要考查了整式的加减运算，在解题时要根据题意结合图形得出答案是解题的关键． 二、填空题（共4个小题,每小题3分,共12分） 13．已知单项式与的和为单项式，则________． 【答案】 【分析】两个单项式的和为单项式，说明二者是同类项，根据同类项定义得到相同字母的指数相等，列方程求解和，再计算即可. 【详解】解：∵单项式与的和为单项式， ∴两个单项式是同类项，相同字母的指数相等， ∴，解得：， ∴. 14．一个两位数的个位数字为，十位数字比个位数字的两倍多3，则这个两位数为______（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】根据题意先求出十位上的数字，再根据两位数的表示方法列出代数式，化简即可得到结果； 【详解】解：根据题意可知，个位数字为，十位上的数字为， 则这个两位数为； 15．若，，则______． 【答案】13 【分析】本题考查了去括号法则与整式的加减运算，解题的关键是熟练运用去括号法则将式子化简，易错点是去括号时符号的变化；先利用去括号法则去掉式子中的括号，再通过交换律和结合律将式子变形为含有与的形式，最后代入已知条件求值． 【详解】 故答案为13． 16．在如图所示的三阶幻方中，其每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，则______． 【答案】 【分析】本题考查列代数式，求代数式的值，根据每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，得到，变形即可解答． 【详解】解：∵每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共5个小题,共52分） 17．（8分）化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先去括号，然后合并同类项化简，再根据非负数的性质求出a、b的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴原式． 19．（12分）整体思想是中学数学解题中的一种重要思想，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛． 例如： 若， 则原式 (1)把看成一个整体，计算________； (2)已知， 求的值； (3)已知，， 求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了整体思想在多项式化简与求值中的应用． （1）将视为整体，直接合并同类项； （2）利用已知条件，将表达式变形后代入求值； （3）根据已知等式，通过线性组合构造所求表达式，整体代入求值． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解： ∵， ∴原式； （3）解：， ∵，， ∴原式． 20．（12分）【知识再现】 学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x，y看作字母，a看作系数，合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式为，所以，则． (1)【初步运用】关于x的多项式的值与x的取值无关，求m的值； (2)【类比迁移】已知，，且化简的结果与x取值无关，求m，n的值； (3)【拓展应用】图1是长为a，宽为b（）的小长方形纸片，将6张这种纸片按图2的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分是阴影部分（是两个长方形）．设左上角的阴影部分面积为，右下角的阴影部分的面积为，当的长度变化时，设，且S为定值，试探究a与b之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)1 (2)， (3) ， 理由：设， ∴，， ∴ ， ∵的长度变化时，S为定值， ∴S的值与x取值无关， ∴， ∴． 【分析】本题考查了整式的加减． （1）先合并同类项，再根据“关于x的多项式的值与x的取值无关”得到，进而求解即可； （2）求出的值，根据“结果与x取值无关”得到，，进而求解即可； （3）设，则，，求出，根据“S为定值”得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ∵关于x的多项式的值与x的取值无关， ∴， ∴； （2）解： ， ∵化简的结果与x取值无关， ∴，， ∴，； （3）略 21．（12分）【综合与实践】 【知识背景】为丰富市民和游客的文化生活，青秀山举办花灯展．花灯的制作方法主要包括以下步骤：①设计；②选材；③骨架制作；④裱糊（将绸缎等材料粘贴在骨架上）；⑤安装灯珠和电路；⑥装饰． 【目标设定】某兴趣小组模仿图1的造型制作花灯．如图2，花灯由4条骨架构成，依次记为，每条骨架包括半圆和两条垂直于地面的相等线段． 【步骤实施】的长为2米，半圆的半径为米，完成以下任务（取3）． 任务一：求中线段的长； 任务二：如图2所示，与的间距为米，相邻两条骨架的间距由内自外依次递增米，每条骨架的长度如下表所示，请直接写出骨架的长度； 任务三：求裱糊面积（即与地面所围成的图形面积）； 任务四：若装饰花灯需要裱糊材料和灯珠盏，在购买材料时有以下两种方案可供选择： 方案1：裱糊材料每平米30元，每盏灯珠10元； 方案2：裱糊材料每平米20元，每盏灯珠15元． 选择哪一种方案更划算？并说明理由． 骨架 骨架的长度（单位：米） 2 ▲ 【答案】任务一：米，任务二：；任务三：裱糊面积为7平方米，任务四：．两种方案费用相同，当时，是负数，表明方案2费用更低；当时，是正数，表明方案1费用更低 【分析】任务一：根据圆的周长公式列式计算即可； 任务二：用半圆的长度加两条线段的长度即可得出答案； 任务三：先分别求出半圆的面积和长方形的面积，然后相加即可； 任务四：先根据两种方案列出代数式，然后再根据a的取值范围比较大小即可． 【详解】解：任务一： （米）． 答：中线段AB的长为米． 任务二：（米）． 任务三：半圆面积为：（平方米）． 长方形面积为：（平方米）． 裱糊面积为（平方米）． 答：裱糊面积为7平方米． 任务四：方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 方案2的费用变形为． 当时，是负数，表明方案2费用更低； 当时，是正数，表明方案1费用更低． （方法二） 方案1的费用：元． 方案2的费用：元． 当时， 解得：． 所以两种方案费用相同． 令 ． 当时，为负数，表明方案1更划算； 当时，为正数，表明方案2更划算． 【点睛】本题主要考查了列代数式，有理数混合运算的应用，整式加减的应用，解题的关键是理解题意，列出代数式． 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $