精品解析：浙江杭州市钱塘区养正实验学校2026-2027学年九年级上学期学情自测数学试卷（10月 ）

2026-2027学年浙江省杭州养正学校九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，掌握二次函数顶点式的顶点坐标为成为解题的关键． 直接根据顶点式写出顶点坐标即可． 【详解】解：二次函数的解析式为的顶点坐标是． 故选C． 2. 下列成语描述的事件中，是必然事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类． 必然事件指一定发生的事件．瓮中捉鳖比喻事情必然成功；水中捞月不可能发生；守株待兔和百步穿杨是随机事件，非必然． 【详解】解：必然事件是概率为1的事件． A．瓮中捉鳖：鳖在瓮中，捉取必然成功，是必然事件； B．水中捞月：月亮不在水中，捞取不可能成功，是不可能事件； C．守株待兔：是随机事件； D．百步穿杨：是随机事件； 故选：A． 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换、相似三角形的性质．根据位似图形的概念得到，，证明，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ∴，， ∴， ∴， ∴与的面积比为：， 故选：D． 4. 如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵为一个小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 5. 1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（ ） A. 2000 B. 2500 C. 3500 D. 4000 【答案】B 【解析】 【分析】先计算各次试验“针与直线相交”的频率，确定出随着抛掷次数的增加，频率趋于稳定的值的大小，最后将这一数值乘以8000，即可求解． 【详解】解：各次试验“针与直线相交”的频率，依次为： ，，， ，， 随着抛掷次数增加，频率稳定在附近， 即投掷次时，频数约为， 该数值最接近． 6. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例设a＝2k，则b＝3k(k≠0)，然后代入比例式进行计算即可得解． 【详解】解：∵， ∴设a＝2k，则b＝3k(k≠0)， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了比例的性质．利用“设k法”求解更简便． 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意列出点数之和为5，6，7，8的结果数，然后比较即可得出答案， 【详解】解：点数之和为5的结果有，共4种， 点数之和为6的结果有，共5种， 点数之和为7的结果有，共6种， 点数之和为8的结果有，共5种． ∵， ∴点数之和为7的出现可能性最大． 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了比较反比例函数值的大小．反比例函数的图象在一三象限，且在每个象限内，y随x到增大而减小．据此可判断． 【详解】解：反比例函数的图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x增大而减小； A、两点在同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； B、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； C、反比例函数图象是关于原点的中心对称图形，若，则，正确，本选项符合题意； D、两点在不同一象限时，若，则，原说法错误，本选项不符合题意； 故选：C． 9. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】观察网格，设点、，将点、代入反比例函数得到，结合、均为正整数，且，据此解答即可． 【详解】解：观察网格，设点、， 将点、代入反比例函数得 ， 整理得， 由于点，在格点上，且在轴右侧， 则、均为正整数，且， 当时，，解得，， ∴点，， 则点，满足； ∴． 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过B作桌面的垂线，垂足为F，先利用勾股定理求得，再证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：过B作桌面的垂线，垂足为F，则， ∵，，， ∴， 由题意，，，， ∴， 又， ∴ ∴，即， 解得， 即此时水面高度是． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的一次项系数是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：函数的一次项系数为． 12. 下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为__________mm． 【答案】2 【解析】 【详解】∵， ∴. ∴. ∵， ∴. 【点睛】错因分析 较易题.失分原因：①没有掌握相似三角形的性质；②误以为. 13. 如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有________个实数根． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查函数与方程的关系，根据函数图象交点的个数即为两解析式联立方程的解得个数解答即可． 【详解】解：在同一平面直角坐标系中作出与的图象，结合图像可得有三个交点， ∴方程有3个实数根． 故答案为：3． 14. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性求出最小值和最大值即可． 【详解】解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴时，取得最大值为5， 时取得最小值为， ∵， ∴y的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的增减性和对称性，确定出对称轴从而判断出取得最大值和最小值的情况是解题的关键． 15. 如图，一个小球从杨辉三角的顶部下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点的概率为___________． 【答案】 【解析】 【分析】小球从顶部下落至最后一行共经过5次分叉，每次分叉有2种选择，总共有种等可能的路径，画出相关的图进行推断求解即可． 【详解】解：由图可知，小球从顶部下落至最后一行共进行了5次向左或向右的选择， 小球下落的所有可能路径总数为（种）， 如下图： 由图可得，从左边落下时总共有6种可能， 同理可得，从右边落下时也总共有6种可能， ∴总共有12种可能到达点A， 小球最终下落至点A的概率． 16. 已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______ 【答案】 【解析】 【分析】过点P作，交的延长线于点E，设，则，，证明为等边三角形，可得，再证明，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：过点P作，交的延长线于点E， ∵为等边三角形， ∴， ∴可设， ∵， ∴，则， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，17题至21题各8分，22题、23题各10分，24题12分，共72分） 17. 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 【答案】（1） （2）这个游戏规则对甲、乙双方不公平， 列表如下： 甲 乙 红1 红2 白 红1 （红1，红1） （红1，红2） （红1，白） 红2 （红2，红1） （红2，红2） （红2，白） 白 （白，红1） （白，红2） （白，白） 由上表可知，共有9种等可能的结果，其中颜色相同的结果有5种，颜色不同的结果有4种． ∴P（甲胜），P（乙胜）． ∵（或）， ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平． 【解析】 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）列表得出共有9种等可能的结果，其中摸到颜色相同的结果有5种，摸到不同颜色的结果有4种，通过对两种情况的概率进行比较，即可得出答案． 【小问1详解】 解：在不透明的袋子中共有3个球，其中红球有2个， 由题意可知，甲摸到红球的概率为． 【小问2详解】 略 18. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 【答案】（1） （2）点在反比例函数的图象上 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数解析式，反比例函数的性质． （1）根据表格数据待定系数法求解析式，即可求解； （2）将代入解析式，即可求解． 【小问1详解】 解：设反比例函数的关系式为（）， 由表可知，， ， 反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 解：当时，， 点在反比例函数的图象上． 19. 如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 【答案】（1）6； （2） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴ ∴，即． 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解答的关键． （1）根据平行线分线段成比例可得，再结合已知数据求解即可； （2）根据平行线分线段成比例定理得到、，进而证明结论． 【小问1详解】 解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴． 【小问2详解】 略 20. 如图，在矩形中，点是边上任意一点，连接，． （1）若，，，点是的中点，连接，求的长； （2）若，，，求的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据可推断出，使用勾股定理计算出，结合点是的中点可得，； （2）设，则，结合矩形的性质和可证明，则，解方程求出的值即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， 在直角中，， ∵点是的中点， ∴； 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 化简，得， 解得，，， ∴或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质，直角三角形的性质，三角形的内角和定理以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定定理与性质是解题关键． 21. 阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． （1）仿照上述方法，求代数式的最小值，并求出此时的值； （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）代数式的最小值为9，此时； （2）当时，花园的面积最大，最大面积为 【解析】 【分析】（1）仿照示例求解即可； （2）设花园的面积为，根据长方形的面积公式用含x的式子表示出S，再利用配方法求解即可． 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴代数式的最小值为9，此时； 【小问2详解】 解：设花园的面积为， 由题意得， ， ∵， ∴， ∴，当且仅当，即时取得等号， 当时，，满足题意， 答：当时，花园的面积最大，最大面积为． 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，最后利用待定系数法求出一次函数的解析式即可； （2）连接，设一次函数与y轴交于点C，求出点C的坐标，根据列式求解即可； （3）根据函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：把点A的坐标代入反比例函数的解析式得，解得， ∴反比例函数的解析式为， 在中，当时，， ∴， 把点A和点B的坐标代入一次函数的解析式得， ∴， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示，连接，设一次函数与y轴交于点C， 在中，当时，， ∴， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时，的取值范围为或． 23. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是这个函数的“幸运数”，求的值； （2）若，求这个函数的“幸运数”； （3）若此函数有两个相异的“幸运数”，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2）这个函数的“幸运数”为或； （3） 【解析】 【分析】（1）根据新定义得到抛物线经过点，将点代入求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）由题意得抛物线经过点，并在直线上，令，根据求得，而，则当时，，即可求解． 【小问1详解】 解：若7是这个函数的“幸运数”，则抛物线经过点， ∴将点代入，得， 解得：． 【小问2详解】 解：时，二次函数为， 由题意得，即， 解得，， 这个函数的“幸运数”为或； 【小问3详解】 解：由题意得抛物线经过点，并在直线上， 令， 整理得， ∵函数有两个相异的“幸运数”、， ∴方程得有两个不相等的实数根， ， 解得， 设， ，二次项系数， 图象开口向上， 时，， 解得， 综上，的取值范围是． 24. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当为何值时，？ 【答案】（1）证明：与都是等边三角形， ， ， ， ； （2）①；②当或时， 【解析】 【分析】（1）由与均为等边三角形，可得，利用角的和差关系推导，两组对应角分别相等，即可证得； （2）①由得比例式，代入、、、，整理得；结合点D不与端点重合，确定自变量取值范围为； ②先证，由面积比，得相似比的平方为；结合等边三角形边相等的性质推得，进而得，代入解析式解方程得到两个符合条件的x值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①， ， ，，， ， ； ②与都是等边三角形， ，， ∴， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， 解得，， 当或时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年浙江省杭州养正学校九年级（上） 月考数学试卷（10月份） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 二次函数的解析式为，则它图象的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 下列成语描述的事件中，是必然事件的是（ ） A. 瓮中捉鳖 B. 水中捞月 C. 守株待兔 D. 百步穿杨 3. 如图，和是以点为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 1777年，法国数学家布丰做过一个投针试验：把画有等距平行线的白纸平铺在桌面上，将长度为该平行线间距一半的小针，随机投掷到该白纸上．记录针与直线相交的情况，得到部分数据，如表： 抛掷次数 1000 2000 3000 4000 5000 “针与直线相交”的频数 314 620 945 1257 1570 若投掷的次数为8000，则“针与直线相交”的频数可能最接近（ ） A. 2000 B. 2500 C. 3500 D. 4000 6. 已知，则的值是（　　） A. B. C. D. 7. 同时掷两枚质地均匀的骰子，将朝上的两个点数相加，则“点数之和”出现可能性最大的是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知点，都在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 9. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，x轴，y轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点M，N在格点上，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，将一个装有水的杯子倾斜放置在水平桌面上，其截面可看作一个宽，长的矩形．当水面触到杯口边缘时，边恰有三分之一露出水面，则此时水面高度是（　　　　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 函数的一次项系数是______． 12. 下图是测量玻璃管内径的示意图，点D正对“10mm”刻度线，点A正对“30mm”刻度线，DE∥AB．若量得AB的长为6mm，则内径DE的长为__________mm． 13. 如图是抛物线的图象，结合图象，可知方程有________个实数根． 14. 二次函数，当时，y的取值范围是________． 15. 如图，一个小球从杨辉三角的顶部下落，每一步向左、向右的概率均为，则小球最终下落至最后一行左起第3个点的概率为___________． 16. 已知：如图，为等边三角形，点 P、D分别在边的延长线上，连接，若．，则______ 三、解答题（本大题共8小题，17题至21题各8分，22题、23题各10分，24题12分，共72分） 17. 一只不透明的袋子中装有2个红球1个白球，这些球除颜色外其他都相同．甲、乙两人玩摸球游戏，甲先从袋中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，乙再从中任意摸出1个球． （1）求甲摸到红球的概率（请直接写出答案）； （2）有人设计了如下游戏规则：两人摸出球的颜色相同则甲胜，两人摸出球的颜色不同则乙胜，请问这个游戏规则对甲、乙双方公平吗（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）？ 18. 已知反比例函数的关系如下表所示． （1）求反比例函数的表达式． （2）判断点是否在该反比例函数的图象上． 19. 如图，，，． （1）求的值； （2）求证：． 20. 如图，在矩形中，点是边上任意一点，连接，． （1）若，，，点是的中点，连接，求的长； （2）若，，，求的长． 21. 阅读理解：求代数式的最小值． 解：因为， 所以当时，代数式有最小值，最小值是1． （1）仿照上述方法，求代数式的最小值，并求出此时的值； （2）某居民小区要在一块一边靠墙（墙长）的空地上建一个长方形花园，花园一边靠墙，另三边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 22. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． （1）求一次函数的解析式； （2）连接，求的面积； （3）根据图象，直接写出当时，的取值范围． 23. 定义：对于一个函数，自变量取时，函数值也等于，则称是这个函数的“幸运数”．已知二次函数． （1）若7是这个函数的“幸运数”，求的值； （2）若，求这个函数的“幸运数”； （3）若此函数有两个相异的“幸运数”，且，求的取值范围． 24. 如图，已知与都是等边三角形，点在边上（不与重合），与相交于点． （1）求证：； （2）若，设； ①求关于的函数解析式及自变量的取值范围； ②当为何值时，？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $