精品解析：浙江杭州市弘益中学2026-2027学年上学期九年级10月独立练习 数学

杭州市弘益中学2026学年第一学期10月独立练习 数学试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类，熟练掌握定义是解题的关键．根据事件的分类，结合数学知识，生活经验解答即可． 【详解】解：A、明天早上会下雨，是随机事件，不符合题意； B、掷一枚硬币，正面朝上，是随机事件，不符合题意； C、任意一个三角形，它的内角和等于，是必然事件，符合题意； D、一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等，是不可能事件，不符合题意； 故选∶C． 2. 抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（　　） A. （2，8） B. （8，2） C. （﹣8，2） D. （﹣8，﹣2） 【答案】B 【解析】 【分析】根据顶点式的特点可直接写出顶点坐标． 【详解】因为y＝﹣（x﹣8）2+2是抛物线的顶点式， 根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（8，2）． 故选B． 【点睛】主要考查了求抛物线的顶点坐标的方法． 3. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 【答案】C 【解析】 【分析】通过比较点到圆心的距离与圆半径的大小关系，判断点与圆的位置关系． 【详解】解：∵点A到圆心O的距离为7，的半径为6，且， ∴点A在外． 4. 二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，理解在大量反复试验下频率的稳定值即为概率值是解题的关键．根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴估计此二维码中黑色阴影的面积为， 故选：C． 5. 点在抛物线上，且点到轴的距离为3，此抛物线上满足上述条件的点有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】点到轴距离为，说明点的纵坐标是或者，分别代入抛物线解析式求解，统计解的个数． 【详解】解： 点到轴的距离为， 点的纵坐标为或． 当时， 原式 解得，对应个点． 当时， 原式 解得，，对应个点． 综上，满足条件的点共有个． 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 7. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口向上，对称轴为直线，结合点到对称轴的距离的大小可得结论. 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵， ∴点到对称轴的距离满足， ∵开口向上的抛物线上，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ∴. 8. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形两锐角互余性质，用α表示∠CBD，进而由圆心角与圆周角关系，用α表示∠COD，最后由角的和差关系得结果． 【详解】解：∵OA⊥BC， ∴∠AOB＝∠AOC＝90°， ∴∠DBC＝90°﹣∠BEO ＝90°﹣∠AED ＝90°﹣α， ∴∠COD＝2∠DBC ＝180°﹣2α， ∵∠AOD+∠COD＝90°， ∴β+180°﹣2α＝90°， ∴2α﹣β＝90°， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆周角定理以及直角三角形的两个锐角互余的关系，熟练掌握圆周角定理是解决本题的关键． 9. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】设长为，根据墙长限制确定的取值范围，再结合一元二次方程和二次函数性质逐条判断． 【详解】解：设的长为，则的长为， 由题意得， 解得 对于①，， 的长不可以为，故①错误； 对于②，令， 整理得， 解得， ， ，此时，即的长只有一个值，故②正确； 对于③，设面积为，则， 抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 当时，取最大值，最大值为， ， 面积不能达到，故③错误， 综上所述，正确的结论只有②，个数为 1． 10. 如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（ ） A. 拱桥的水面跨度为4米 B. 拱桥的半径为4米 C. 点在该函数图象上 D. 该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 【答案】C 【解析】 【分析】根据图象与轴交于点，可得当时，，进一步可得A不符合题意；设拱桥的半径是r，可得，进一步可得B不符合题意；当水位上升米时，如图，可得，，进一步可得C符合题意；当水面上涨的高度为（单位：）时，可得，可得D不符合题意. 【详解】解：∵图象与轴交于点， ∴当时，， ∴（米），故A不符合题意； 设拱桥的半径是r， 则由垂径定理知，于F， ∴，， 由勾股定理知，， 则：， 解得：； 即桥拱的半径为5米；故B不符合题意； 当水位上升米时，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即当时，， ∴点在该函数图象上，故C符合题意； 当水面上涨的高度为（单位：）时， 同理可得：， ∴， ∴该函数图象是某一个二次函数图象的一部分，故D不符合题意. 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：将代入，得， ∴该图象与y轴的交点坐标为． 12. 在半径长为的内有长为的弦，这条弦所对的圆心角的度数是________． 【答案】##60度 【解析】 【分析】已知的半径与弦长度相等，可通过等边三角形的定义判断的形状，进而求得圆心角度数． 【详解】解：∵、是的半径，且半径长为， ∴， ∵弦的长为， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 13. 如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，画树状图，共有6种等可能的结果，能让两个灯泡发光的有4种，然后由概率公式求解即可，掌握概率公式是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中能让两个灯泡发光的结果数为4， ∴能同时使2盏小灯泡发光的概率是：， 故答案为：． 14. 若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 【答案】5 【解析】 【分析】确定二次函数的对称轴为y轴，利用函数值相等的两个不同自变量对应的点关于对称轴对称的性质，推导得到的取值，再代入解析式计算对应函数值 【详解】解：在中，其对称轴为直线， 当取、时对应的函数值相等， ∴、对应的点关于对称轴对称， ∴， ∴， ∴当时，代入解析式得，． 15. 如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 【答案】60 【解析】 【分析】根据中心对称性质可知，结合隔风玻璃夹角为及始终隔离空气的条件，可得与之和不能超过，从而求解． 【详解】解：∵和关于圆心中心对称， ∴， ∵3翼隔风玻璃所成的夹角为，且在转动过程中始终使大厅内外空气隔离， ∴通道和不能同时与隔风玻璃连通， ∴， ∴， ∴， ∴通道所对圆心角的度数的最大值为． 16. 设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据原函数与x轴的交点求出对称轴，计算得到h的值，再结合抛物线平移规律得到与x轴的交点坐标，最后根据开口方向确定时x的取值范围． 【详解】解：∵原函数与轴的交点坐标为、． ∴该函数的对称轴为直线． ∵顶点式二次函数的对称轴为直线． ∴原函数的对称轴满足，解得． ∴函数的对称轴为直线． ∵两个函数的二次项系数、常数项完全一致，仅对称轴位置存在差异． ∴的图象是由原函数图象向右平移个单位长度得到的． ∴与轴的交点坐标为原交点向右平移4个单位，即，． ∵，抛物线开口向上． ∴当时，自变量的取值范围是． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接用概率公式，符合条件数量除以总数量； （2）画树状图列举全部等可能结果，统计含华罗庚图案的结果数，求出概率． 【小问1详解】 解：共有张卡片，其中是数学家刘徽邮票图案的有张， 故抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是． 【小问2详解】 解：从，，，四张卡片中随机抽取张卡片，画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有种结果， 故（小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案）． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 【答案】（1）二次函数解析式为 （2）图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出解析式即可； （2）根据二次函数解析式写成顶点式，根据性质得出结论； 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象经过点， ∴把代入， 则， 解得：， ∴二次函数解析式为； 【小问2详解】 解：∵二次函数解析式为， ∵， ∴这个函数图象开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为． 19. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 【答案】（1）0.6 （2）24 （3）10 【解析】 【分析】（1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此可得； （2）用总球数乘以摸到白球的概率即可得出答案； （3）根据概率公式和摸到白球的个数，即可求出x的值． 本题主要考查利用频率估计概率，解题的关键是掌握大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【小问1详解】 解：根据表中的数据可知，估计当n很大时，摸到白球的概率为0.6； 【小问2详解】 估算盒子里约有白球（个）， 故答案为：24； 【小问3详解】 根据题意知，， 解得， 答：可以推测出x最有可能是10． 20. 如图，在中，半径，线段交于点，连接． （1）若，求弧的度数． （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由直角三角形锐角互余，求出，根据等边对等角，得，再由三角形内角和定理求出即可； （2）作，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形对应边成比例求出，根据垂径定理求出，进而即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，连接， ，， ， ， ， ． 即弧的度数为； 【小问2详解】 解：，，， ， 如图，作，垂足为D， ，， ， ，即， 解得， ， ， ， 21. 在平面直角坐标系中，已知点、在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意得出对称点，根据对称点确定对称轴； （2）根据函数解析式表示出的值，然后列出不等式组，求出的取值范围，最后根据抛物线对称轴公式求解即可． 【小问1详解】 解：当时，点、关于对称轴对称， ∴对称轴为直线； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 解得， ∵对称轴为直线， ∴． 22. 已知二次函数（为常数）的图象为抛物线． （1）当时， ①求该抛物线与轴的两个交点坐标； ②直线与该抛物线的两个交点为、，求的长度； （2）当取不同的值时，猜想该抛物线的顶点的运动轨迹，并求出该运动轨迹的表达式． 【答案】（1）①抛物线与轴的两个交点坐标为和； ②的长度为 （2）该抛物线顶点的运动轨迹是抛物线，表达式为 【解析】 【分析】（1）①令，解一元二次方程得到交点横坐标，进而得到与轴的交点坐标； ②令，求出直线与抛物线两交点的横坐标，利用纵坐标相同的两点距离为横坐标差的绝对值计算长度； （2）通过配方法得到用表示的顶点坐标，消去参数即可得到轨迹的表达式． 【小问1详解】 解：当时，抛物线解析式为， ①令，得， 因式分解得， 解得，， ∴抛物线与轴的两个交点坐标为，； ②令，得， 整理得， 解得，， ∵点、的纵坐标均为， ∴； 【小问2详解】 解：将抛物线解析式配方，得， ∴抛物线的顶点坐标为， 设顶点坐标为，则， 将代入，得，即， ∴该抛物线顶点的运动轨迹是抛物线，表达式为． 23. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 【猜想】 （1）根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用________函数表示，与之间的关系可以近似地用________函数表示．（选填：一次、二次） 【实践】 （2）根据猜想求出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】 （3）当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 【答案】（1）解：图象如图所示： 由图可得与之间的关系可以近似地用一次函数表示，与之间的关系可以近似地用二次函数表示． （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）描出图象后，根据图象判断函数关系即可； （2）使用待定系数法求出解析式，并代入一组数据进行验证； （3）当弹珠速度等于小车速度时，弹珠追上小车，则取最大值，用（2）中的二次函数模型计算出小球运动的路程，减去同时间电动小车的运动路程即得结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， 将，和，代入， 得：， 解得， ， 验证：当时，，与表格中数据一致； 设， 将，；，；，代入， 得：， 解得， ， 验证：当时，，与表格中数据一致； 【小问3详解】 解：由题意知，当弹珠速度等于小车速度时，弹珠追上小车，则取最大值， 令弹珠速度， 解得， 此时弹珠运动路程， 小车运动路程为， ， 即的最大值是． 24. 已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点． （1）如图1， ①求证：； ②若，，求的长； （2）若直线与直线交于点，且，求的度数． 【答案】（1）①证明：如图：连接， ∵是弧的中点， ∴． ∴． ∵， ∴是的垂直平分线，即． ②． （2）或 【解析】 【分析】（1）①如图：连接，再说明，结合圆的性质可得是的垂直平分线，从而证明结论；②如图：设与交于点H，连接，利用垂径定理可得，由题意可得，设，则，根据勾股定理得，据此列出方程求解可得，最后利用勾股定理求解即可； （2）先利用圆周角定理、等边对等角、等角对等边证明，再分点G在线段上和延长线上两种情况，分别连接，设，再利用三角形外角的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 ①略． ②解：如图：设与交于点H，连接， ∵内接于，， ， ∴，即， ， ， 设，则， ， ，解得：， ∴， ， ． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ， ∵， ， ， ， ∴， ∴； ①如图，点G在线段上时，连接， 设， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ， ∵，，， ∴， ， ∵， ， ， ，解得：， ； ②如图，点G在延长线上时，连接， 设， ， ∵是的垂直平分线， ， ， ∵， ， ∵，，， ∴， ， ， ，解得：， ． 综上，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市弘益中学2026学年第一学期10月独立练习 数学试题卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 明天早上会下雨 B. 掷一枚硬币，正面朝上 C. 任意一个三角形，它的内角和等于 D. 一个图形旋转后所得的图形与原图形不全等 2. 抛物线y＝﹣（x﹣8）2+2的顶点坐标是（　　） A. （2，8） B. （8，2） C. （﹣8，2） D. （﹣8，﹣2） 3. 已知的半径为6，点到圆心的距离为7，则点与圆的位置关系为（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 不确定 4. 二维码成为广大民众生活中不可或缺的一部分．飞飞将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　）． A. 160 B. 240 C. 120 D. 5. 点在抛物线上，且点到轴的距离为3，此抛物线上满足上述条件的点有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 6. 函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E．设∠AED＝α，∠AOD＝β，则（　　） A. 3α+β＝180° B. 2α+β＝180° C. 3α﹣β＝90° D. 2α﹣β＝90° 9. 如图，小聪借助直角墙角建一个矩形花园，花园两边由总长为的篱笆围成，墙长，． ①的长可以为；②的长只有一个值满足花园面积为；③花园面积可以达到．其中，正确结论的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 10. 如图1，一圆弧形桥拱的圆心为，拱桥的水面跨度为，桥拱到水面的最大高度为2米．汛期水面上涨的过程中，设水面上涨的高度为（单位：），为（单位：），如图2，是关于的函数图象的一部分，图象与轴交于点，且经过点．下列选项正确的是（ ） A. 拱桥的水面跨度为4米 B. 拱桥的半径为4米 C. 点在该函数图象上 D. 该函数图象是某一个一次函数图象的一部分 二．填空题（每小题3分，共18分） 11. 二次函数的图象与轴交点坐标是________． 12. 在半径长为的内有长为的弦，这条弦所对的圆心角的度数是________． 13. 如图是某电路的示意图，随机闭合开关，，中的任意两个，能同时使两盏小灯泡发光的概率是_____． 14. 若二次函数，当取，时，函数值相等，则当时，函数值为________． 15. 如图①为某酒店的圆形旋转门，可看成如图②由外围的和3翼隔风玻璃组成，外围圆有通道和，且它们关于圆心中心对称，圆内的3翼隔风玻璃可绕圆心转动，且所成的夹角，3翼隔风玻璃在转动过程中，始终使大厅内外空气隔离，起到对大厅内保温作用．例如：当隔风玻璃转到如图②位置时，大厅内外空气被隔风玻璃，隔离．则通道所对圆心角的度数的最大值为________． 16. 设函数与轴的交点坐标为，，若函数，则时自变量的取值范围是________． 三．解答题（共8小题，共72分） 17. 数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片，，，，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事． （1）从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是_______________； （2）小明从这四张卡片中随机抽取张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率． 18. 已知二次函数的图象经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）说出这个函数图象的开口方向，对称轴和顶点坐标； 19. 在一个不透明的盒子里装着除颜色外完全相同的黑、白两种小球共40个，小明做摸球试验，他将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，如表是试验中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000 摸到白球的次数m 70 128 171 302 481 599 1806 摸到白球的频率 0.7 0.64 0.57 0.604 0.601 0.599 0.602 （1）请估计当n很大时，摸到白球的概率为（精确到0.1）． （2）估算盒子里有白球 ___________个． （3）若向盒子里再放入x个除颜色以外其他完全相同的球，这x个球中白球只有1个，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.5，那么可以推测出x最有可能是多少？ 20. 如图，在中，半径，线段交于点，连接． （1）若，求弧的度数． （2）若，，求的长． 21. 在平面直角坐标系中，已知点、在二次函数的图象上，设抛物线的对称轴为直线． （1）当时，求的值； （2）若，求的取值范围． 22. 已知二次函数（为常数）的图象为抛物线． （1）当时， ①求该抛物线与轴的两个交点坐标； ②直线与该抛物线的两个交点为、，求的长度； （2）当取不同的值时，猜想该抛物线的顶点的运动轨迹，并求出该运动轨迹的表达式． 23. 跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快慢、路程随时间变化的关系”开展深入探究．先设计方案，再进行实验，利用所学知识对实验数据进行分析，并进一步应用． 【设计实验方案】如图1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静止释放．从弹珠运动到点处开始，用计时器、测速仪等测量并记录弹珠在水平轨道上的运动时间、运动快慢、运动路程的数据． 【收集整理数据】 运动时间 0 4 8 12 16 20 ．．． 运动快慢 12 10 8 6 4 2 ．．． 运动路程 0 44 80 108 128 140 ．．． 【数学建模探究】 【猜想】 （1）根据表格中的数据分别在图2、图3的平面直角坐标系中描点、连线，观察图象并猜想：与之间的关系可以近似地用________函数表示，与之间的关系可以近似地用________函数表示．（选填：一次、二次） 【实践】 （2）根据猜想求出与，与之间的函数关系式，并代入一组数据进行验证． 【应用】 （3）当弹珠到达水平轨道上点时，前方点处有一辆电动小车以的速度在匀速向前直线运动，若弹珠能追上小车，那么的最大值是多少？ 24. 已知内接于，，是弧的中点，连结，交于点，射线交的延长线于点． （1）如图1， ①求证：； ②若，，求的长； （2）若直线与直线交于点，且，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $