指数函数的单调性专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数的单调性专题训练 一、单选题 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】充分性：因为是定义域内单调递增函数，即可以推出，充分性成立； 必要性：当时，可以推出成立，必要性成立. 2．“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出两个命题成立时的取值范围，结合充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】设命题：幂函数在单调递增，当为真命题时， ， 命题：指数函数 在上单调递增，当为真命题时， ， 判断充分性：若成立即，取，此时指数函数 在上单调递减， 即不成立，充分性不成立. 判断必要性：若成立即，则命题成立，必要性成立. 综上所述，是的必要不充分条件. 3．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质结合指数函数的单调性即可判断 【详解】由，得， ． ． 4.已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先画出指数函数和一次函数的大致图象，再根据不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围，进而数形结合即可得到答案． 【详解】由是上单调递增的指数函数，且，， 又是上单调递增的一次函数，且，， 所以与的大致图象如下： 则不等式的解集等价于的图象在的图象下方时的取值范围， 数形结合，不等式的解集为． 5．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围. 【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增， 要让整体在上单调，只需保证在上单调即可， 令，则函数开口向上，对称轴为， 单调递减区间是，单调递增区间是， 在上单调，只需满足对称轴不在内部， 即：或，解得或， 故的取值范围. 6．设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一次函数、指数函数和对勾函数的性质可得函数在上单调递增，且有，作出图象，结合图象求解即可. 【详解】当时， 单调递增，所以； 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 又因为， 令，则， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以当时，单调递增，且， 所以函数在上单调递增， 作出函数的图象，如图所示： 又因为，且， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 7．若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 【答案】C 【分析】先化简函数表达式，再依据奇偶性定义判断奇偶性，结合复合函数单调性规律判断单调性即可确定选项 【详解】根据题意， ，定义域为，关于原点对称 对任意，有 ， 因此为奇函数，排除B、D选项； 因为为上的增函数，故为上的增函数，且恒成立； 所以，为上的减函数，为上的增函数； 所以，为上的增函数，排除A选项， 所以，为奇函数，且为上的增函数. 8．若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题设条件判断是上的严格减函数，再根据分段函数为减函数的要求，列不等式求解的取值范围. 【详解】已知函数， 对任意，，说明是上的严格减函数，需同时满足以下三点： ①当时，一次函数单调递减，因此一次项系数小于，即，解得； ②当时，指数函数单调递减，因此底数满足，解得； ③在分段点处，左段函数在趋近于左侧处的取值不小于右段函数在处的取值， 由于在趋近于左侧时，，所以， 化简得，移项整理得，解得； 将三个解集取交集，得实数的取值范围为，故A正确. 二、多选题 9．关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 【答案】BCD 【分析】令，求函数的值域即可判断AB；根据同增异减判断复合函数的单调性判断CD. 【详解】令，则， 因在上单调递增，则， 即的值域为，故正确，错误； 在上单调递增，在上单调递减， 则的增区间为，减区间为，故CD正确. 故选：BCD 三、填空题 10．函数的递增区间是________________． 【答案】 【详解】因为是减函数，在上单调递减，在上单调递增， 根据复合函数的单调性，所以函数的递增区间是. 11．若函数的单调递增区间是，则______. 【答案】2 【详解】设， 因为函数的对称轴为，其单调递增区间为， 且函数为上增函数， 则依题意可得，解得. 12．已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 【答案】 【分析】先通过已知条件代入函数表达式，解方程即可求出参数的取值；换元令，结合已得的值化简，通过分析函数单调性构造同构关系，即可解出不等式得到解集. 【详解】由得 ，即，解得， 则，函数的定义域为， 由可知函数为奇函数， 对于，因函数为上的增函数且恒为正数， 则可得在上单调递增，且当时， 设函数，则由， 可得是偶函数.因为当时，单调递增，单调递增且 ， 则在上单调递增. 又因，则不等式等价于， 可得，解得或， 故不等式的解集为. 四、解答题 13．已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】（1）先去掉解析式中的绝对值，再利用平移变换作图． （2）根据图象，结合函数单调性，即可判断. 【详解】（1）由题意，， 所以的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 的图象可由的图象向左平移个单位，再截取的部分得到． 所以函数的图象如图： . （2）由图象可知其单调递增区间为；单调递减区间为． 14．求函数的单调区间． 【答案】单调递减区间为，单调递增区间为． 【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论. 【详解】函数的定义域为， 令，时，． ，， 函数为增函数， 当时，，函数在上单调递增， 当时，，函数在上单调递减， 由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增． 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为． 15．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)定义域为，值域为 (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递增 【分析】（1）根据函数解析式直接求解定义域和值域； （2）结合指数函数的性质，利用定义法直接判断函数单调性即可. 【详解】（1）由，， 所以的定义域为， 又， 因为，所以，， 所以，， 即函数的值域为. （2）由（1）知，， ，则 ， 当时，单调递减，， 当时，单调递增，， 又因为， 所以当时，，即， 此时在上单调递减； 当时，，即， 此时在上单调递增. 16．已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 【答案】(1) 任取，设， ， 又，，所以， 故，即， 函数在上是增函数. (2) 【分析】（1）利用作差法证明函数在 上单调递增； （2）由偶函数性质将不等式转化为绝对值不等式，平方后可解得解集. 【详解】（1）略 （2）因为，所以为偶函数， 则由，可得， 即，即，解得. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数的单调性专题训练 一、单选题 1．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．“幂函数在单调递增”是“指数函数 在上单调递增”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4.已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（） A． B． C． D． 6．设函数，则满足的实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．若函数的定义域为，则（    ） A．为奇函数，且为上的减函数 B．为偶函数，且为上的减函数 C．为奇函数，且为上的增函数 D．为偶函数，且为上的增函数 8．若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．关于函数 下列说法正确的是（ ） A．值域 B．值域 C．单调增区间 D．单调减区间 三、填空题 10．函数的递增区间是________________． 11．若函数的单调递增区间是，则______. 12．已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______. 四、解答题 13．已知函数. (1)画出该函数的图象； (2)由图象指出其单调区间． 14．求函数的单调区间． 15．已知（，且）． (1)求函数的定义域、值域； (2)讨论函数的单调性． 16．已知函数. (1)用定义证明函数在上是增函数； (2)解不等式. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $