指数函数的应用专题训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

指数函数的应用专题训练 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 3．（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 5．（2025高二上·河南·学业考试）某市持续扩大绿色空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从年的增长到年的．设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，则（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 二、多选题 9．（25-26高一·全国·寒假作业）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 10．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）2025年11月7日，在第十五届全国运动会跳水男子双人10米跳台决赛中，陕西队队员以461.82分的成绩勇夺冠军，为陕西代表团摘得本次全运会首枚跳水金牌.如图是跳水运动员在下降过程中的位置变化示意图，已知运动员入水前后的运动轨迹可分别视为两段高度（单位：）关于水平位移（单位：）的函数，且则下列说法正确的有（  ） A． B． C．最大高度为 D．最大高度差为 11．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 三、填空题 12．（25-26高一上·天津·期末）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 13．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 14．（24-25高二上·安徽六安·阶段检测）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）某生态文明小镇2025年年底人口为20万人，人均住房面积为，计划2029年年底人均住房面积达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，该镇平均每年至少要新增住房多少万(精确到1万)． 16．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如下关系：当 时，；当 时，. (1)写出服药后每毫升血液中含药量 关于时间 的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.求服药一次后治疗疾病有效的时间长度； (3)若每毫升血液中含药量达到4微克以上时开始产生副作用，求服药后什么时候开始产生副作用. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数函数的应用专题训练 一、单选题 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近50年内减少了10%.如果按此规律，设2021年的耕地面积为，则2026年的耕地面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设某地的耕地面积每年减少率为,依题列出方程，再进行整体代入，即得2026年的耕地面积. 【详解】设某地的耕地面积每年减少率为，因为耕地面积在最近50年内减少了10%， 所以，所以， 因为2021年的耕地面积为， 所以，2026年的耕地面积为. 2．（26-27高一上·全国·课后作业）若将甲桶中的a L水缓慢注入空桶乙中，则x min后甲桶中剩余的水量符合衰减函数(其中).假设过5 min后甲桶和乙桶的水量相等，再过m min后，甲桶的水量为 L，则m的值为（    ）. A．5 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【详解】由题意，，∴， 又， 即， ∴， ∴. 3．（24-25高三上·四川泸州·阶段检测）已知某种食品保鲜时间与储存温度有关，满足函数关系(为保鲜时间，为储存温度)，若该食品在冰箱中0的保鲜时间是144小时，在常温20的保鲜时间是48小时，则该食品在高温40的保鲜时间是（    ） A．14小时 B．16小时 C．18小时 D．20小时 【答案】B 【分析】根据已知的两组温度与对应保鲜时间列出方程组，求解得到与的值，整体代入计算时的保鲜时间即可. 【详解】依题意，将已知条件代入函数可得： 当时，， 当时，，将代入，解得， 当时，，将、代入得： . 4．（25-26高一上·山西吕梁·期末）汾酒产自山西省汾阳市．一般来说，年份越久的该品牌酒，其收藏价值越高．已知一箱原价元的该品牌酒，储存年后的收藏价值（单位：元）满足函数关系式（为常数）．若储存年的此种品牌酒整箱的收藏价值为元，则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】D 【分析】根据求出的值，再求即可. 【详解】由题意可得，即， 则此种品牌酒储存年后整箱的收藏价值为元. 故选： 5．（2025高二上·河南·学业考试）某市持续扩大绿色空间，打造宜居城市，该市人均公园绿地面积从年的增长到年的．设年期间该市人均公园绿地面积的年平均增长率为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据年平均增长率的定义直接计算可得年人均公园绿地面积，进而可得结果. 【详解】因为年人均公园绿地面积为，且该市人均公园绿地面积的年平均增长率为， 所以年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 年人均公园绿地面积为； 因为年人均公园绿地面积为，所以. 故选：C. 6．（25-26高三上·四川·阶段检测）一种质量为的物质，在化学分解中，经过时间（单位：）后，所剩的质量（单位：）与时间t的函数关系为（，均为参数，且）.已知的该物质，在化学分解中，经过后，所剩的质量为，再经过后，所剩的质量为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件列出指数方程，再利用指数的运算得到之间的关系. 【详解】本题考查函数的应用，考查数学运算的核心素养. 由题意可得 ， 所以，解得. 故选：A 7．（25-26高一上·山东枣庄·阶段检测）把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（    ） A．3min B．4min C．5min D．6min 【答案】D 【分析】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D 8．（25-26高一上·浙江温州·期中）从盛有纯酒精的容器中倒出，然后用水填满；再倒出，又用水填满……连续进行次后，容器中纯酒精剩下不到，则至少是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据已知分析第次倒出，剩下纯酒精为，再列不等式，结合指数函数的性质求参数值. 【详解】由题意，第一次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第二次倒出，剩下纯酒精为， 加满水后含酒精，第三次倒出，剩下纯酒精为， ， 连续进行次后，第次倒出，剩下纯酒精为， 令，，故至少是4. 故选：A 二、多选题 9．（25-26高一·全国·寒假作业）当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数可能是（    ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】CD 【分析】设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，可得经过个“半衰期”后的含量为，由，解不等式即可求解. 【详解】设该死亡生物体内原有的碳14的含量为1，则经过个“半衰期”后的含量为， 由，得， 所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到， 则它至少需要经过10个“半衰期”. 故选：CD 10．（25-26高一上·陕西榆林·阶段检测）2025年11月7日，在第十五届全国运动会跳水男子双人10米跳台决赛中，陕西队队员以461.82分的成绩勇夺冠军，为陕西代表团摘得本次全运会首枚跳水金牌.如图是跳水运动员在下降过程中的位置变化示意图，已知运动员入水前后的运动轨迹可分别视为两段高度（单位：）关于水平位移（单位：）的函数，且则下列说法正确的有（  ） A． B． C．最大高度为 D．最大高度差为 【答案】ACD 【分析】将入水点的坐标代入解析式求出可判断A；代入二次函数部分可判断B；利用二次函数性质求出最大值可判断C；根据最大值与最小值可得最大高度差，可判断D. 【详解】对A，由题可知，入水时的坐标为，即，解得，正确； 对B，将点代入得，解得，错误； 对C，当时，， 当时，，正确； 对D，易知时，， 所以最大高度差为，正确. 故选：ACD 11．（24-25高三上·湖南衡阳·开学考试）2008年世界卫生组织的事故调查显示，大约的交通事故与酒后驾驶有关.在中国，每年由于酒后驾车引发的交通事故达数万起；而造成死亡的事故中以上都与酒后驾车有关，酒后驾车的危害触目惊心，已经成为交通事故的第一大“杀手”.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100血液中酒精含量达到20~79的驾驶员即为酒后驾车，80及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了.如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，则（    ） A．若血液中的酒精含量为，则在停止喝酒后经过了2个小时 B．4小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 C．5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下 D．设小时后，血液中的酒精含量为，则 【答案】ACD 【分析】由题意，D选项正确；A选项，当时求的值；BC选项，时求的取值. 【详解】设小时后，血液中的酒精含量为，则，D选项正确； 当时，由，解得，A选项正确； 当时，当时， 所以5小时后，血液中的酒精含量可以降低到以下，B选项错误C选项正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·天津·期末）一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时的速度减少，为了保障交通安全，某市根据《道路交通法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过，则一个喝了少量酒后的驾驶员，至少经过______小时，才能开车.（精确到1小时） 【答案】6 【分析】首先设至少经过小时才能开车，依题意得到，再根据指数函数的性质确定的范围. 【详解】设至少经过小时才能开车，此时血液中的酒精含量为， 令，即， 因为在上单调递减， 当时，；当时，； 所以满足要求的最小正整数为，即至少要经过个小时才能开车. 故答案为： 13．（25-26高一上·上海·期中）某牛奶的保鲜时间（单位：小时）与储存温度（单位：）满足函数关系（ 为自然对数的底数，为常数）．若该牛奶在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是________ 小时(四舍五入，精确到整数部分)． 【答案】23 【分析】由初始条件求得参数值，再代入计算可得． 【详解】由题意，所以，即， 所以时，， 故答案为：23. 14．（24-25高二上·安徽六安·阶段检测）某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数.若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时，则该食品在时的保鲜时间是___________小时. 【答案】1 【分析】利用待定系数法求出代入即可求得食品在时的保鲜时间. 【详解】某食品的保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：）满足函数关系为自然对数的底数，为常数， 若该食品在时的保鲜时间是100小时，在时的保鲜时间是10小时， 则，解得，当时，， 所以该食品在时的保鲜时间是1小时. 故答案为：1. 四、解答题 15．（26-27高一上·全国·课后作业）某生态文明小镇2025年年底人口为20万人，人均住房面积为，计划2029年年底人均住房面积达到，如果该镇将每年人口平均增长率控制在，那么要实现上述计划，该镇平均每年至少要新增住房多少万(精确到1万)． 【答案】万. 【详解】2029年年底的人口为万人，所需住房总面积为万. 设平均每年新增住房万，由原有住房面积加上四年新增面积等于2029年所需面积， 得. 解得，精确到万为万. 16．（25-26高一上·安徽阜阳·期末）某医药研究所研发一种新药，据监测，如果成人按规定剂量服用，服药后每毫升血液中的含药量 （微克）与时间 （小时）之间近似满足如下关系：当 时，；当 时，. (1)写出服药后每毫升血液中含药量 关于时间 的函数关系式； (2)据测定：每毫升血液中含药量不少于2微克时治疗疾病有效.求服药一次后治疗疾病有效的时间长度； (3)若每毫升血液中含药量达到4微克以上时开始产生副作用，求服药后什么时候开始产生副作用. 【答案】(1) (2) 小时 (3) 小时 【分析】（1）由题意利用分段函数知识可得函数解析式； （2）解不等式结合题设可得答案. （3）解不等式结合题设可得答案. 【详解】（1）设含药量关于时间的解析式为， 则； （2）当 时，； 当时，. 综上，服药一次后治疗疾病有效的时间长度为 小时； （3）当 时，； 当时，. 则服药后开始产生副作用的时间为服药后的小时. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $