培优01 指数与对数运算（专项训练）高一数学人教A版必修第一册

专题01 指数与对数运算 常考题型·精准突破 考点一 指数与对数的运算 题型1 指数幂的化简与求值 题型2 对数的运算与化简（重点） 题型3 指对数互化求值（高频） 题型4 给值求值（难点） 考点二 指对数方程与应用 题型5 指对数方程 题型6 指对数的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数与对数的运算 ◆题型1 指数幂的化简与求值 1．求值：__________. 2．计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 3．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． ◆题型2 对数的运算与化简（重点） 1．若，，则________（用、表示）． 2．计算：______________． 3．计算：. ◆题型3 指对数互化求值（高频） 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 3．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． ◆题型4 给值求值（难点） 1．已知（）且，则实数的值为_______________. 2．计算. 3．（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 考点二 指对数方程与应用 ◆题型5 指对数方程 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 3．若，则__________． 4．已知实数满足，且，则的值为___________. ◆题型6 指对数的实际应用 1．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 2．一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（   ）（精确到0.1小时，参考数据，） A．5.6小时 B．4.6小时 C．3.8小时 D．2.2小时 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 2．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 3．已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 1．已知，若，，则__________． 2．_____________． 3．若 且，则________． 三、解答题 1．（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 2．计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 3．设.且，求证：. 4．化简下列各式： (1)； (2)． (3)已知，求的值 5．（1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 6．化简或求值： (1)； (2)； (3)已知，求 7．计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 8．（1）化简求值： （2）已知，求的值 9．（1）； （2）已知，，求的值. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 指数与对数运算 常考题型·精准突破 考点一 指数与对数的运算 题型1 指数幂的化简与求值 题型2 对数的运算与化简（重点） 题型3 指对数互化求值（高频） 题型4 给值求值（难点） 考点二 指对数方程与应用 题型5 指对数方程 题型6 指对数的实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 考点一 指数与对数的运算 ◆题型1 指数幂的化简与求值 1．求值：__________. 【答案】 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 2．计算 (1)； (2)已知，求以及的值． 【答案】(1) (2)7；6 【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可； （2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。 【详解】（1） （2）由于，则， 即； ， 即， 则. 故；. 3．（1）计算：； （2）已知，，求的值； （3）实数，满足，求的最小值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）分别计算负指数幂、零次幂，利用对数运算性质合并对数项，再把偶次根式加绝对值化简，最后合并所有项； （2）利用换底公式得到，再代入对数式化简计算得到结果； （3）先根据指数幂的运算变形已知等式，得到，再利用基本不等式求最值，最后结合对数运算求出的最小值． 【详解】（1） ； （2）已知，，解得，， 则， 所以； （3）由得， ， 因为，由基本不等式得：， 当且仅当，即，时等号成立， 此时，即， 则， 所以的最小值为． ◆题型2 对数的运算与化简（重点） 1．若，，则________（用、表示）． 【答案】 【详解】因为，所以， 又因为，由换底公式可得. 2．计算：______________． 【答案】 【详解】原式 . 3．计算：. 【答案】 【详解】 . ◆题型3 指对数互化求值（高频） 1．已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数的运算性质和指数幂的运算性质即可求解. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 所以，所以 2．已知，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将对数式转化为指数式，再利用幂的运算法则计算即得. 【详解】因 ， 得 ，则 ，又， . 3．（1）已知，求和的值； （2）正实数满足，求和的值． 【答案】（1）6；（2）7； 【分析】（1）直接由指数幂的运算可得；（2）先将等式完全平方求出，再平方可得，由立方差的公式可求. 【详解】（1）； . （2）因为正实数满足，所以， 所以， . ◆题型4 给值求值（难点） 1．已知（）且，则实数的值为_______________. 【答案】 【详解】由题可知， 因为，所以， 又，所以， 所以，即， 所以，即. 2．计算. 【答案】 【分析】由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． 【详解】原式 . 3．（1）化简下式 （2）已知，，试用表示； （3）已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】（1） ． （2） ； （3）． ，． 所以． 考点二 指对数方程与应用 ◆题型5 指对数方程 1．已知 ，则的值为（   ） A．3 B．4 C． D．7 【答案】D 【详解】由，得，两边同时平方得， 所以，得，得，故. 2．若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将指数式转化为对数式，利用换底公式的倒数关系表示和，代入已知等式结合对数运算性质求解. 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，因为，所以. 3．若，则__________． 【答案】或 【分析】先利用对数运算性质换元转化为代数方程求解. 【详解】要使方程有意义，则且， 因为，， 设（，因为），则原方程可化为： 整理得， 即 解得或. 当时，，解得； 当时，，解得. 4．已知实数满足，且，则的值为___________. 【答案】18 【分析】根据给定条件，利用对数换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，则， 由，得，联立解得或， 因此或，所以. ◆题型6 指对数的实际应用 1．某课外小组想研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据发现，在相同条件下，这种植物每周以的增长率生长.若经过8周后，该植物的长度是原来的倍，则再经过12周，该植物的长度大约是原来的（ ） A．倍 B．倍 C．倍 D．倍 【答案】C 【分析】设植物原来的长度为，由已知可得出，求出 的值，利用指数运算可求得结果. 【详解】设植物原来的长度为，经过周后，该植物的长度为原来的倍， 即，即，即， 再过周后该植物的长度为 . 因此，再经过周，该植物的长度大约是原来的倍. 2．一种药在病人血液中的量不低于150mg有疗效，现给某病人静脉注射这种药250mg.若该药在血液中以每小时20%的比例衰减，为保持疗效，再次向病人的血液中注射这种药的最大时间间隔约为（   ）（精确到0.1小时，参考数据，） A．5.6小时 B．4.6小时 C．3.8小时 D．2.2小时 【答案】D 【详解】设应该间隔小时再次向病人血液中补充这种药，由题意知，所以，两边取以10为底的对数，得， 所以， 因需保证药物量不低于150mg，故对结果向下取近似值，得2.2小时. 综合攻坚·知能拔高 一、单项选择题 1．下列命题中正确的个数为（　　） ① 　② ，则 　③ 　④ A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【详解】① ，而 不一定等于 （如 时），①错误； ② 时底数为0，无意义，②错误； ③，③错误； ④ ，而，二者不相等，④错误. 所以正确的命题个数为 . 2．数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算，对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就．而位数是指一个自然数有效位的个数，例如：，所以的位数为；请你运用所学过的对数运算的知识，估计的位数是（ ） （） A．6697 B．6698 C．6699 D．6700 【答案】D 【详解】设，设它的位数为，根据位数定义，存在整数，满足， 则， 由，得，因为， 所以， 故，且，所以， 所以的位数是. 3．已知，若，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由，得，，. 令（且），则，，； ； 且，. ，即； ，即，解得. 二、填空题 1．已知，若，，则__________． 【答案】 【分析】本题考查对数换元法与指数方程联立求解，核心思路是“先通过换元法将对数方程转化为二次方程求出 a、b 的倍数关系，再代入指数方程联立求解具体值”，最后计算 a-b. 【详解】设 ，因为 ，所以 .由换底公式，. 代入已知条件 ，得 . 得 ，整理为 . 得 或 . 因为 ，舍去 ，所以 ，即 ，因此 . ，将 代入右边，得 . 化为 . 因为底数 ，指数函数 单调递增，所以指数相等：. 联立 与 ，得 ，即 ，. 因为 ，所以 ，代入 得 . . 【点睛】对数差问题优先用换元法转化为二次方程求解，求出 a、b 的倍数关系后，再代入指数方程联立求出具体值，注意利用底数大于1时指数函数的单调性. 2．_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 3．若 且，则________． 【答案】4 【详解】因为， 所以， 因为且，所以，解得． 三、解答题 1．（1）用分数指数幂表示； （2）； （3）已知，求：①；②；③. 【答案】（1） （2） （3）① ；② ；③ . 【详解】（1） . （2）原式 . （3） ①由， 平方得 ，故 . ② 由，平方得 ，故 . ③. 2．计算下列各式的值： (1)已知，求； (2)； (3). 【答案】(1)(2)(3) 【详解】（1）设 ，则 ，， 原式 ； （2）由，，， 设 ，则 ， 所以 ， 原式 ； （3）由，，，， 原式 ． 3．设.且，求证：. 【答案】设，因为，所以. 当时，有，此时成立； 当时，，，. 所以，，. 因为， 所以 ，所以. 综上可知，成立. 【分析】利用指数式与对数式的转化，表示出，再结合换底公式，表示出，利用即可探索的关系,即可证明. 【详解】略 4．化简下列各式： (1)； (2)． (3)已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂运算法则，化负指数为正指数，化小数为分数进行运算； （2）化根式为分数指数幂，然后进行乘除运算． （3）运用三次方公式进行化简后再代入求值. 【详解】（1）原式 （2）原式． （3） 5．（1）计算：①；②； （2）已知，，求，，，. 【答案】（1）①；② （2）；；； 【分析】（1）由指数幂的运算性质即可求解； （2）由指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）； ； （2）； ； ； 6．化简或求值： (1)； (2)； (3)已知，求 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意，利用根式和分数指数幂的运算，即可得解； （2）根据题意，利用分数指数幂的运算法则，准确化简，即可得解； （3）根据条件得出的值，进而求得的值，得到答案. 【详解】（1）根据指数幂的运算法则，可得 （2）根据指数幂的运算法则，可得. （3）因为，且，可得. 所以. 7．计算下列各式 (1)； (2)； (3)已知，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）（2）（3）应用有理数指数幂的运算性质化简求值； 【详解】（1）； （2）； （3）， ，则， . 8．（1）化简求值： （2）已知，求的值 【答案】（1）；（2）4 【分析】（1）根据指数幂的运算性质化简求值即可； （2）利用平方关系，整体代换求解. 【详解】（1） （2） . . . . . 9．（1）； （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用根式与指数幂的运算性质计算； （2）由两边平方可得，再平方可得，代入计算即可. 【详解】（1）原式 . （2）∵，∴，即， ∴，∴，即，∴， ∴. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $