精品解析：陕西西安市育才中学2026-2027学年高一上学期第一次月考数学试卷

西安市育才中学 2026—2027 学年度第一学期 高一年级第一次月考　数学试题 时　间：120 分钟　　满　分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 【答案】B 【解析】 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 3. 已知集合，则集合的真子集的个数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， 则集合的真子集的个数为个． 4. 设命题，则为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据幂函数的单调性即可判断得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增， 在定义域内任取两实数，令， 则，因此充分性成立； 若，则， 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 6. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例即可求解ABD，根据不等式的传递性即可求解C. 【详解】对于A,取，则故，所以A错误， 对于B，取则，此时，故B错误， 对于C，由于，故，因此，C正确， 对于D,取，则，此时，故D错误， 故选：C 7. 已知，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】时，， 当且仅当时取等， 则的最小值为． 8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 元.若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件 【答案】B 【解析】 【详解】设每批生产件，则每批的生产准备费用为元，仓储总费用为元， 平均到每件产品的费用之和为， 由基本不等式，， 当且仅当，即，时取等号， 故每批应生产产品件. 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知 ，，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A选项，根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上或减去同一个实数，不等号方向不变，因为，且，所以一定成立，故A正确； 对于B选项，可举反例，令，，满足，但此时，，，故B错误； 对于C选项，可举反例，令，，满足，但此时，，，故C错误； 对于D选项，因为，已知 ，所以，又因为， 因为，，且由可知不可能同时为，所以恒成立， 即，所以一定成立，故D正确. 10. 设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 或 【答案】ABC 【解析】 【详解】已知全集，集合，集合， 对于A选项，，故A正确； 对于B选项，，故B正确； 对于C选项，由A选项知，则其在实数集上的补集或，故C正确； 对于D选项，根据德·摩根定律，，由B选项知，其补集为或，故D错误. 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设全集，集合，则_______． 【答案】 【解析】 【详解】根据补集的定义可得． 13. 若 ，则 与 的大小关系为 __________（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】通过作差法将两个分式作差可比较大小. 【详解】由，可得，， 因此，所以. 14. 已知集合 ，，若 中恰有 2 个元素，则实数 的取值范围为______________． 【答案】 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到整数集合，化简集合，再根据交集恰有2个元素的条件确定参数的取值范围. 【详解】 ，因式分解得，解得，又，可得， ，得，故； 由恰有2个元素，得，得，则实数 的取值范围为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合 ，，全集为 ． （1）当 时，求 及 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 当 时，. 由 ，得 . 又全集为，则 ，所以. 【小问2详解】 由""是""的必要不充分条件，知 是的真子集（即 且 ）. 由 ，，要使 ，需满足 解得 . 又 为开区间、 为闭区间，二者不可能相等，故 恒成立. 所以实数 的取值范围为 . 16. 已知 ，，且 ． （1）求 的最大值； （2）求证：； （3）求 的最小值． 【答案】（1） （2）证明：由完全平方公式得，则， 将代入得， 由（1）可知，则， 即，当且仅当时等号成立 （3）4 【解析】 【小问1详解】 因为，，所以，即，，当且仅当时等号成立， 的最大值为 . 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以， 因为，，由基本不等式得， 当且仅当时等号成立，所以， 当时等号成立， 的最小值为4. 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：； （3）求的最小值． 【答案】（1） （2）， 由基本不等式， ， 当且仅当时，即时，等号成立. 故得证. （3）8 【解析】 【小问1详解】 已知，，，由基本不等式有， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 已知，，，由基本不等式有， ，当且仅当时等号成立， 的最小值为8. 18. 要制作一个容积为 、高为 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价为每平方米 20 元，侧面造价为每平方米 10 元．设底面矩形的长、宽分别为 ，（，），总造价为 元． （1）求 关于 ， 的表达式，并写出 ， 满足的关系式； （2）证明：当 时，该容器的总造价最低，并求最低造价； （3）若底面造价降为每平方米 16 元，侧面造价不变，其他条件不变，求此时该容器的最低总造价． 【答案】（1），满足（） （2）证明成立，最低总造价为元 （3）最低总造价为元 【解析】 【小问1详解】 由题意，容器为无盖长方体，底面矩形的长、宽分别为 、（，），高为 ，容积为 . 由容积不变得 ，即 ， 满足的关系式为 （，）. 底面面积为，底面造价为 元；四个侧面的总面积为 ，侧面造价为 元. 故总造价 （元）. 【小问2详解】 由（1）知 ，故 . 因为 ，，由基本不等式得 ，当且仅当 时等号成立. 所以 ，当且仅当 时等号成立. 故当 时，该容器的总造价最低，最低造价为元. 【小问3详解】 若底面造价降为每平方米 元，侧面造价不变，则总造价 . 由 得 . 由基本不等式 （当且仅当 时等号成立），得 . 故此时该容器的最低总造价为 元. 19. 已知，，都是正数，且． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1），，，都是正数， . 由重要不等式有， ，当且仅当时等号成立， ，即. ，即， ，当且仅当时等号成立， 得证. （2），，，都是正数， . 由基本不等式有， ，当且仅当时等号成立， ， ，当且仅当时等号成立， 得证. （3），，，都是正数， ，即. 由（1）知，，当且仅当时等号成立， ， ，即，当且仅当时等号成立， 得证. 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市育才中学 2026—2027 学年度第一学期 高一年级第一次月考　数学试题 时　间：120 分钟　　满　分：150 分 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：，；命题q：，，则（ ） A. p和q都是真命题 B. 和q都是真命题 C. p和都是真命题 D. 和都是真命题 3. 已知集合，则集合的真子集的个数为（　　） A. B. C. D. 4. 设命题，则为 A. B. C. D. 5. 设，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知，则下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的最小值为（　　） A. B. C. D. 8. 某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为 元.若每批生产 件，则平均仓储时间为 天，且每件产品每天的仓储费用为 元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（　　） A. 60 件 B. 80 件 C. 100 件 D. 120 件 二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9. 已知 ，，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 10. 设全集 ，集合 ，，则下列结论正确的是（　　） A. B. C. 或 D. 或 11. 若x，y满足，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分. 12. 设全集，集合，则_______． 13. 若 ，则 与 的大小关系为 __________（填“”或“”）． 14. 已知集合 ，，若 中恰有 2 个元素，则实数 的取值范围为______________． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设集合 ，，全集为 ． （1）当 时，求 及 ； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 16. 已知 ，，且 ． （1）求 的最大值； （2）求证：； （3）求 的最小值． 17. 已知，，且． （1）求的最小值； （2）证明：； （3）求的最小值． 18. 要制作一个容积为 、高为 的无盖长方体容器，已知该容器的底面造价为每平方米 20 元，侧面造价为每平方米 10 元．设底面矩形的长、宽分别为 ，（，），总造价为 元． （1）求 关于 ， 的表达式，并写出 ， 满足的关系式； （2）证明：当 时，该容器的总造价最低，并求最低造价； （3）若底面造价降为每平方米 16 元，侧面造价不变，其他条件不变，求此时该容器的最低总造价． 19. 已知，，都是正数，且． （1）证明：； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $