精品解析：浙江杭州市萧山区第三高级中学2026-2027学年高二第一学期10月阶段考数学试题

浙江省萧山三中2026学年第一学期阶段考数学试题 高二数学 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据实数才能比较大小可得为实数，再利用复数的运算法则及概念计算求解即可. 【详解】因为，所以，即等式为. 设（），则， 因为，所以为实数， 因此虚部满足，即，所以. 将代入，得. 所以，解得， 所以，同时验证，满足条件. 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先讨论的情况，写出直线方程即可得倾斜角，再讨论的情况，将直线方程化为斜截式，根据斜率和倾斜角的关系用表示出，根据的范围即可求得的范围，两种情况的的范围取并集即可. 【详解】直线的方程为， 当()时，， 直线的方程为，此时直线的倾斜角为. 当()时，， 直线的方程可化为， 若倾斜角为，则斜率， 因为，所以， 所以， 又因为倾斜角， 所以， 综上所述，. 3. 已知点，，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据，设点，再利用空间向量的线性运算即可得到方程组，解出即可. 【详解】，. 设点，则，又， ， 解得，∴点C的坐标为. 故选：C. 4. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量的线性运算求解． 【详解】由已知， 故选：D． 5. 已知点，直线DE平行所在的平面，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意设，从而得到方程组，求出答案. 【详解】， 由已知可得，所以， 所以，解得. 故选：D 6. 某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（    ） 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 A. 52 B. 29.2 C. 10 D. 6.4 【答案】B 【解析】 【分析】利用分层抽样的方差公式计算即可. 【详解】由表格可知两个年级日阅读时间的平均数为：， 则其方差为：. 故选：B 7. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据容量不变，得到，再结合指对运算公式，化简求解即可． 【详解】由题意知：电池容量不变，则满足，又， 则. 8. 已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用数量积的运算律得，结合数量积的几何意义确定点的轨迹，进而求出面积. 【详解】在棱长为1的正方体中， ， 则，而，由数量积的几何意义知，在上投影的数量为， 因此点在与垂直的平面内，且点到该平面的距离为， 在正方体中易证平面，点到平面的距离为， 取的中点，易得平面平面， 则平面，且点到平面的距离为， 所以点的轨迹所形成区域为等边，面积为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件，，两两独立 C. 当事件时， D. 当事件时，事件包含10个样本点 【答案】AC 【解析】 【分析】A.可以由古典概型的概率计算判断；B. 由事件独立性的判定推断；C. 利用题干条件求解；D. 列举法可判断 【详解】A，样本空间包含 6 个样本点，事件，因此，正确； B，由题意得，故，而， 因，故事件A与B不独立，错误； C，事件时，，已知，， 代入得，，解得，正确； D，当事件时，，，事件C可以为， 包含4 个样本点，错误. 故选：AC 10. 直线l：，，，，下列选项中正确的有（ ）． A. 若，则l与射线PQ相交 B. 若，则l与射线PQ平行 C. 若，则l与射线PQ垂直 D. 若x存在，则Q在l上 【答案】AB 【解析】 【分析】若，则，或，根据点与直线的位置关系判定A；若，则，进而得到，根据两直线斜率的关系判断B；为两点到直线的距离，判断C；点在直线上，则点的坐标满足直线方程，从而得到，进而判断D． 【详解】若，则，或， 即点在直线的同侧，且直线与线段不平行．故A正确； 若，则，即， 若，则，过两点的直线与直线斜率都不存在，故平行， 若，则，，即过两点的直线与直线平行，故B正确； 因为，即为两点到直线的距离， 若，则，即两点到直线的距离相等，且直线l两侧， 但l与射线PQ不一定垂直，即C不正确； 若点在直线上，则， 结合题设及分母不为0，不存在实数，使点在直线上，故D不正确. 故选：AB 11. 已知直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 若平面将棱柱分成两部分的体积分别为，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量工具判断线线垂直、线面平行，计算点到平面距离，再通过分割法计算体积比，逐一验证选项. 【详解】选项A：以为原点，分别为，，轴建立坐标系，得，，， ，，所以，故与不垂直，A错误； 选项B：平面的两个向量：，， 设平面的法向量为， ， 解得，令，则，. ，， 且不在平面内，故平面，B正确； 选项C：，， .，C正确. 选项D：棱柱总体积，平面交于， 计算得较小部分，较大部分，故，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，，，且，，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】由向量的垂直和平行易得和的值，可得的坐标，由模长公式可得． 【详解】解：，，， ， ， 解得：， 又， ， ， ， 故答案为：3． 13. 若过点与的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜率与倾斜角的关系，结合直线的倾斜角为钝角，列出不等式组，即可求解. 【详解】因为过点与点的直线的倾斜角是钝角， 所以，解得，所以实数a的取值范围是． 故答案为：． 14. 在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，结合二面角的定义及球面的性质确定球心，进而求出球半径及球的表面积. 【详解】在Rt中，，则，， 由是的中点，得，为正三角形，， 令的外接圆圆心分别为，连接并延长交于，连接， 则，是二面角的平面角，， ，在中，由正弦定理得， 是正三角形，，在中，由余弦定理得， 令三棱锥外接球球心为，连接，则平面，而平面， 则，同理，而平面， 于是平面，而平面，则平面与平面重合， 即点四点共面，且这四点共圆，其直径为，由正弦定理得， ，三棱锥外接球半径， 所以三棱锥外接球表面积. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 【答案】（1）， （2）众数为，平均数为69.5，分位数为71.7 （3） 【解析】 【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求的值； （2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算； （3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题. 【小问1详解】 因为第三､四､五组的频率之和为0.7， 所以，解得， 所以前两组的频率之和为，即， 所以. 【小问2详解】 众数为 平均数为， 前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75， 所以分位数在第三组，且为. 【小问3详解】 第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人， 则第四组抽4人，记为，第五组抽1人，记为， 则从这5人中选出2人，有共10种结果， 两人来自不同组有共4种结果， 所以两人来自不同组的概率为. 16. 如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面是矩形，． （1）求证：三棱锥是正三棱锥； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：分别取AB，BC中点D，E，连接CD，AE交于点O，则点O为正三角形ABC的中心． 因为得， 又平面， 所以平面，又平面， 则； 取中点，连接，则四边形是平行四边形， 因为侧面是矩形，所以，又， 又平面， 所以平面，又平面，则； 又，平面，所以平面， 所以三棱锥是正三棱锥． （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理及性质定理，证明平面即可； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角正弦即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为三棱柱的体积为，底面积为，所以高， 以E为坐标原点，EA为x轴正方向，EB为y轴正方向，过点E且与平行的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系， 则， 设平面的法向量，因为． 则，取，可得， 又， 设直线与平面所成角为θ， 所以. 17. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意化简可得，即，根据正弦定理解三角形即可求解； （2）由题意可得是的重心，即，根据三角形面积公式计算即可求解. 【小问1详解】 在中，由得， ， ， ，， 又， ，，， 由正弦定理得或， ，，两个解均符合题意. 【小问2详解】 因为为锐角三角形，所以， ， ， 是的重心， ， 所以的面积为. 18. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的一般式方程. （2）求到直线的距离. （3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在，且 【解析】 【分析】（1）根据直线与平面所成的角求得，根据平面的点法式方程求得正确答案. （2）利用等面积法来求得到直线的距离. （3）设出点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案. 【小问1详解】 由于平面， 所以平面，所以是直线与平面所成的角， 所以，所以. 所以， 所以, ，设平面的法向量为， 则，故可设，平面， 则平面的方程为， 即. 【小问2详解】 在中，，， 设到的距离为，则， 由于平行四边形和平行四边形全等， 所以到直线的距离等于设到的距离， 即到直线的距离为. 【小问3详解】 ，，，， 即，而， 所以， 设，则，即， 所以，， ，， 设平面的法向量为， 则，故可设. 设平面的法向量为， 则，故可设， 若平面平面，则， 即， 解得，负根舍去， 所以存在符合题意的点，且. 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； （3）若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 【答案】（1）函数属于集合， （2）当时，；当时, （3）若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 【解析】 【分析】（1）先计算二次函数在闭区间上的最值，再根据题中所给的定义判断计算可得； （2）先由函数最值之差为2可得，再通过不等式两边夹逼求得函数解析式； （3）分单调递增和单调递减结合函数的最值分别证明可得． 【小问1详解】 对任意，所以， 又因为 ， 且， 所以，故函数属于集合． 由，， 由二次函数的性质可知，． 故. 【小问2详解】 由可知，存在满足． 又，故必有． 因此必有，且，所以， 又，，所以或 当时，， 由题意，对任意，，， 即，则， 又因为，即． 故. 当时，， 由题意，对任意，，，即， 又因为，，即， 故. 综上，当时，；当时；. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省萧山三中2026学年第一学期阶段考数学试题 高二数学 考生注意： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题纸规定的位置上. 2．答题时，请按照答题纸上“注意事项”的要求，在答题纸相应的位置上规范作答，在本试题卷上的作答一律无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数满足，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，C为线段AB上一点，且，则点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体中，，，，，为线段的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知点，直线DE平行所在的平面，则（ ） A. B. C. D. 6. 某校为了迎接此次活动，对本校高一高二年级学生进行了前期阅读时间抽查，得到日阅读时间（单位：分钟）的统计表如下：则估计两个年级学生日阅读时间的方差为（    ） 年级 抽查人数 平均时间 方差 高一 40 50 4 高二 60 40 6 A. 52 B. 29.2 C. 10 D. 6.4 7. Peukert于1897年提出蓄电池的容量（单位：）、放电时间（单位：）与放电电流（单位：）之间关系的经验公式，其中为Peukert常数.在电池容量不变的条件下，当放电电流时，放电时间，则当放电电流时，放电时间为（ ） A. B. C. D. 8. 已知正方体的棱长为1，点在正方体内（包含表面）运动，若，则动点的轨迹所形成区域的面积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 任意抛掷一枚骰子一次，观察它向上一面的点数，得到样本空间为，若事件，事件，事件满足，下列结论中正确的是（ ） A. B. 事件，，两两独立 C. 当事件时， D. 当事件时，事件包含10个样本点 10. 直线l：，，，，下列选项中正确的有（ ）． A. 若，则l与射线PQ相交 B. 若，则l与射线PQ平行 C. 若，则l与射线PQ垂直 D. 若x存在，则Q在l上 11. 已知直三棱柱中，，，，，分别为，的中点．（ ） A. B. 平面 C. 点到平面的距离为 D. 若平面将棱柱分成两部分的体积分别为，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设，向量，，，且，，则______． 13. 若过点与的直线的倾斜角为钝角，则实数a的取值范围是________． 14. 在Rt中，，是的中点，把沿翻折到，使得二面角的平面角为，则三棱锥外接球表面积是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同. （1）求的值； （2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和分位数（分位数精确到0.1）； （3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率. 16. 如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面是矩形，． （1）求证：三棱锥是正三棱锥； （2）若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知的三个内角，，的对边分别为，，，且，，. （1）求角； （2）若为锐角三角形，且，求的面积. 18. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为（其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，在四棱柱中，底面是平行四边形，，，两两垂直，，，直线与平面所成的角为，以为坐标原点，，，的方向分别是，，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. （1）求平面的一般式方程. （2）求到直线的距离. （3）在棱是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． （1）若，，判断函数是否属于集合，并求的值； （2）若，，且，，求的值及函数的解析式； （3）若，，令，且在上是单调函数．证明：对任意，恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $