精品解析：浙江省柯桥中学2026-2027学年高二第一学期10月考试数学试卷

柯桥中学2026-2027学年第一学期高二10月考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 2. “直线，相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】已知直线，相互垂直， 则，解得或， 若，则直线互相垂直，满足必要性； 两直线垂直时，或，不一定是，不满足充分性， 故“直线，相互垂直”是“”的必要不充分条件． 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量基本定理将用，和表示出来，对照各项系数计算即得. 【详解】∵，∴， ∴ ， 则，，，故． 故选：A. 4. 过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据的直线方程，求得其垂直平分线的方程，进而求得圆心坐标，利用圆心到点的距离等于半径求得半径，得到圆的方程． 【详解】过的直线方程为 ，的中点为，所以的垂直平分线为， 故，解得，即圆心坐标为， 半径为，所以圆的方程为， 故选：B 5. 两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】两个圆只有一条公切线，则两圆内切，利用圆与圆的位置关系可得，结合基本不等式求解即可. 【详解】两圆的标准方程为，和，圆心分别为和，半径分别为1和3， 又两圆和恰有一条公切线， 所以两圆内切，即， 得，则，当且仅当时取等号，即的最大值为1， 故选：A. 6. 已知直线：与直线：交于点，设点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】联立两直线方程可解出交点 （用 表示），再把 化为关于 的函数，用换元与基本不等式求其取值范围. 【详解】由 得 ，代入 得 . 因 ，得 ，回代得 . 所以 ，故 . 由 得 ，令 （），则 . 于是 . 当 时，由基本不等式 ，等号在 时成立，此时 . 当 时，，等号在 时成立，此时 . 所以 的取值范围是 . 7. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的性质分析过点的弦长情况，确定点的位置，最后计算符合条件的点构成的区域的面积. 【详解】圆方程可化为，圆心坐标，半径. 易知过点的弦中，直径是最长的弦，长度为. 不妨设过点所作的弦为，则，其中为圆心到弦的距离， 要使弦最短，则最大. 易知，当与弦垂直时取等号，所以当与弦垂直时，最大，弦最短. 根据圆的对称性，可知这7条长度为正整数的弦的长度分别是3,4,5,6,5,4,3， 要使长度为3的弦有两条，则最短弦的长不大于3；要使长度为2的弦不存在，则最短弦的长大于2， 因此过点的最短弦的长为内， 不妨设最短弦的长为，则时，， 则，所以. 所以点落在以为圆心，和分别为半径的圆所夹的圆环内， 所以该区域的面积为. 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明三棱锥的外接球球心为的中点，再建立空间直角坐标系，用向量法求出平面的法向量，从而求得点到平面的距离，利用勾股定理求得截面圆的半径，从而得截面圆的面积. 【详解】如图1，分别取的中点为，的中点为， 则，，连接， 因为底面为直角梯形，，，， 所以四边形为正方形，， 因为平面，， 所以平面，平面， 所以， 所以， 而平面，平面，则， 所以， 又为的中点，所以， 所以点到三棱锥各个顶点的距离均为， 故为三棱锥的外接球球心， 如图2，以为原点，所在直线分别作轴，建立空间直角坐标系， 因为平面，平面，则， 与底面所成的角为，则为等腰直角三角形，， 则，，，， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，可取， 因为， 所以点到平面的距离， 设截面圆的半径为，则， 所以截面圆的面积为. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦长有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定；对B，连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定；对C，由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定；对D，设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定. 【详解】如图： 对于A，由圆，可得圆心，半径， 由直线，可得，所以直线过定点，且点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线时，弦取得最小值，但，直线的斜率为， 所以无法成立，弦长没有最小值，故A错误； 对于B，因为是弦中点，连接，则， 所以点的轨迹是以为直径的圆（不含点），方程为，其中圆心为，半径， 所以的最大值为，故B正确； 对于C，因为，要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 由直线的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，故C正确； 对于D，设，且，，可得，， 所以， 因为动点的轨迹方程为，设，可得， 因为直线与圆必有公共点， 所以，即，解得， 所以的最大值为，故D正确. 11. 已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，.设，，则（ ） A. 时，平面 B. 时， C. 四面体的体积为3 D. 四棱锥的体积的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】由平面得到平面平面，与是平面和平面的交点矛盾即可判断A；由题设求出，进而得到D是平面与四棱锥的棱的交点即可分析判断B；由点P和点A到平面距离相等得到即可计算判断C；先由基底表示，进而结合共面定理得到，再由题设分析计算得到四棱锥的体积为，再由基本不等式即可计算求解判断D. 【详解】由题可知是平面和平面的交点， 当时，所以，又平面，在平面外， 所以平面，若平面， 则由、平面得平面平面， 则平面与平面无交点，与是平面和平面的交点矛盾，故A错误； 时，，因为为的中点，所以， 因为四边形是平行四边形，所以，则， 又因为平面、平面，则平面， 所以D是平面与四棱锥的棱的交点， 所以D与N重合，即，所以，故B正确； 因为为的中点，所以点P和点A到平面距离相等， 所以四面体的体积为， 所以四面体的体积为3，故C正确； 由题意可得， 因为共面，所以即， 设点P到平面的距离为d，则， 因为，， 所以点M到平面的距离为，点N到平面的距离为， 所以， ， 所以， 因为为的中点，所以点A和点P到平面的距离相等， 所以， 所以四棱锥的体积为， 当且仅当即时等号成立， 所以四棱锥的体积的最小值为4，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得， 所以离心率. 13. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据与垂直，求得，再由条件可求出. 【详解】因为，所以. 所以，解得. 所以. 14. 在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】设，设，然后根据垂直关系可求出的表达式，进而得到，然后化简得到关于的表达式，最后求出最小值即可. 【详解】因为点在直线上，所以设. 设，由得， 所以， 化简得 解得，所以. 所以. . 所以 要求的最小值，即求的最大值， 因为. 此时取最小值为. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点和直线：． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由得出两直线的斜率相等，再由点斜式得出直线的方程. （2）先排除直线与轴和轴平行的情况，然后由点斜式设出直线的方程，算出直线在轴上的截距和轴上的截距，列出方程解出斜率，然后求出直线的方程. 【小问1详解】 由，， 直线经过点， 直线的方程为， 整理得. 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，， 当时，直线在轴上没有截距，不满足条件. 当时，令，， 直线在轴上的截距为， 令，， 直线在轴上的截距为， 由题意得，，或， 直线的方程为或， 整理得或. 16. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，且． （1）求证：平面； （2）点是线段的三等分点（靠近点G），求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）因为，平面，平面，所以平面. 因为四边形是边长为2的正方形，所以， 又平面，平面，所以平面. 又因为，平面，所以平面平面. 又因为平面，所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可证平面平面，进而可证结论； （2）以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和直线的一个方向向量，利用向量法可求得直线与平面所成角的正弦值． 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为四边形是边长为2的正方形，所以. 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 又点是线段的三等分点（靠近点G），所以， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角， 所以. 所以直线与平面所成角的正弦值为． 17. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 【答案】（1）或；（2）圆过定点，；（3）当时，AB有最小值． 【解析】 【分析】（1）设，由，计算即可求得，得出结果； （2）因为A、P、M三点的圆N以MP为直径，所以圆的方程为，化简为，由方程恒成立可知，即可求得动圆所过的定点； （3）由圆和圆方程作差可得直线方程，设点到直线AB的距离，则，计算化简可得结果. 【详解】（1）由题可知，圆M的半径，设， 因为PA是圆M的一条切线，所以， 所以， 解得或， 所以点P的坐标为或． （2）设，因为， 所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径， 其方程为， 即， 由， 解得或， 所以圆过定点，． （3）因为圆N方程为， 即① 又圆② ①-②得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为 ． 点到直线AB的距离， 所以相交弦长 ， 所以当时，AB有最小值． 【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，考查定点问题和距离的最值问题，难度较难. 18. 如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置. （1）若，求证：平面； （2）记平面与平面的夹角为，求的最小值. 【答案】（1） 连接、，如下图所示： 因为，，所以四边形为平行四边形， 所以，，又因为， 所以，则，所以， 因为四边形为平行四边形，则， 由余弦定理计算得， ，所以， ，所以，故，因为，， 所以，所以，翻折前，翻折后则有， 因为，、平面， 所以平面，而平面，所以， 又因为，，、平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，推导出，进而得出，利用余弦定理求出、的长，结合勾股定理得出，证明出平面，可得出，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，设，其中，利用空间向量法结合基本不等式可求得的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为原点，、所在直线分别为、轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设，其中， 设平面的法向量为，，， 则，令，得， 设平面的法向量为，，， 则， 令，则， 所以， 令，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立，所以的最小值为. 19. 已知圆与圆：关于直线对称． （1）求圆的标准方程． （2）过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i）；（ii）点在定直线上 【解析】 【分析】（1）设圆心关于直线对称的圆心，即，解出即可求解； （2）（i）分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：，利用几何法求，再由面积公式和基本不等式即可求解；（ii）当直线的斜率不存在时，求出直线和交点，当斜率存在时，设的方程为：，设，与圆方程联立消元，利用韦达定理得，求直线和的方程，进而求交点即可求解. 【小问1详解】 设圆心关于直线对称的圆心， 由题意有，解得， 所以圆； 【小问2详解】 （i）当直线的斜率不存在时，，则， 所以，解出， 所以,, 所以，解得或， 所以，， 所以四边形的面积：； 当斜率存在时，设的方程为：，则的方程为：， 所以圆心到直线的距离为：， 所以， 同理得， 所以四边形的面积：， 令，则， 当且仅当时，即时等号成立， 由，可得，即时，四边形面积的最大值为； （ii）点在定直线上， 由题意有，理由如下： 当直线的斜率不存在时，由（i）有， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 所以，解得，所以； 当斜率存在时，设的方程为：，设， 所以，消元得， 所以， 所以， 所以直线的方程为：，直线的方程为：， 联立，消去,可得： ， 所以，即点在直线上. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 柯桥中学2026-2027学年第一学期高二10月考试数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（     ） A. B. C. D. 2. “直线，相互垂直”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，四棱锥为阳马，平面，且，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 4. 过点，且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 5. 两圆和恰有一条公切线，则的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 已知直线：与直线：交于点，设点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若过圆：内不同于圆心的点恰好可以作7条长度为正整数的弦，则所有符合条件的点P构成的区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，PB与底面ABCD所成的角为，底面ABCD为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球O，则平面PBC截球O所得截面圆的面积为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 已知圆：，直线：与交于，两点，点为弦的中点，，则（ ） A. 弦长有最小值 B. 有最大值为 C. 面积的最大值为 D. 的最大值为 11. 已知四棱锥的体积为12，四边形是平行四边形，为的中点，经过直线的平面与侧棱，分别交于点，.设，，则（ ） A. 时，平面 B. 时， C. 四面体的体积为3 D. 四棱锥的体积的最小值为4 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知椭圆的标准方程为，则其离心率是________． 13. 已知空间向量，，设，，与垂直，，，则_________． 14. 在平面直角坐标系中，点在圆： 上，点B在直线： 上，且 ，则 的最小值为________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知点和直线：． （1）若直线经过点，且，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上的截距的4倍，求直线的方程． 16. 如图，在空间几何体中，四边形是边长为2的正方形，平面，，，，且． （1）求证：平面； （2）点是线段的三等分点（靠近点G），求直线与平面所成角的正弦值． 17. 已知圆，点P是直线上的一动点，过点P作圆M的切线PA，PB，切点为A，B． （1）当切线PA的长度为时，求点P的坐标； （2）若的外接圆为圆N，试问：当P运动时，圆N是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求线段AB长度的最小值． 18. 如图，在等腰梯形中，，，点是边上靠近点的三等分点，将沿直线翻折至的位置. （1）若，求证：平面； （2）记平面与平面的夹角为，求的最小值. 19. 已知圆与圆：关于直线对称． （1）求圆的标准方程． （2）过点且与轴不重合的直线与圆交于，两点． （ⅰ）过点作与垂直的直线，与圆交于，两点，求四边形面积的最大值． （ⅱ）设圆与轴交于，两点，直线，相交于点，试判断点是否在定直线上．若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $