浙江宁波市慈溪中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

慈溪中学高二上10月月考 班级： 姓名： 学号： 一、选择题 1.直线经过点A(-1,0),B(1,2V3,则直线的倾斜角为( ) A君 B司 c晋 D. 5π 6 2.如图，在正四棱锥P-ABCD中，E为棱PA的中点，设DA=d,Dd=6,D序=已，则用 d,b,2表示B为( B A+8-tB+8+c-+D-+ 3.若双曲线M:S-号=1(a>0)的渐近线方程为y=士2ac,则a=( ) A.8 B.4 C.2 D.1 4.已知直线l:x+y-3=0被圆C:(x-a)2+(y-a+1)2=1截得的弦长为2，则实数a= () A.-1 B.0 C.1 D.2 5方程、2 y 2+6十8 ,=1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为() A.k>-2 B.k<8 C.-2<k<8 D.-2<k<3 6.过抛物线y2=6x的焦点F作直线交抛物线于A(1,劝)，B(2,2)两点，如果c1十C2=6,那 么AB|=() A.10 B.9 C.6 D.4 7.已知E,F分别是双曲线E:系-素=1(a,b>0)的左、右焦点，过F作E的渐近线的垂线， 垂足为M.若M2=3b,则E的离心率为() A.6 B.V2 D.V3 2 2 8.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M在棱AD上，E,F均在棱B1C上，AM= E关CF=1,底面ABCD内有一动点P满足三V2,侧面BCCB,内有一动点 足QE+QF=4,点N是棱BC上一动点，则NP+NQ的最小值为() A D E A D B N A.8-V2+√ B.8-V2-V3 C.8+√2-3 D.8+V2+5 二、多选题 9.(多选)已知向量d=(1,-1,2),=(2,1,0),2=(0,1,-1),则下列说法正确的是() A.d,b的夹角为钝角 B.与向量d-同向的单位向量为(-，-号，) C.d在上的投影向量的长度为y 5 D.存在实数入，使得(d+入1b 0(多选)已知是双曲线红-兰二1的右焦点，P为其左支上一点，点40，-6，则 5 A.双曲线的焦距为6 B.点F到渐近线的距离为2 C.PA+PF的最小值为3v5+4 D.若PF=8,则△OPF的面积为3√15 11.(多选)已知曲线T:x2-x=入(y2-),给出下列四个结论，其中正确的结论是 () A.对任意入∈R,曲线T关于x轴、y轴、原点对称： B.当入=1时，曲线T是由两条直线和一个正方形组成的图形： C.当入=-1时，曲线T上任意两点距离的最大值为2v2: D.当入<0时，曲线T围成的区域面积最小值为4. 三、填空题 12.椭圆4x2+9y2=36的焦距为 13.已知圆C1:(x+2)2+(y+3)2=2(r>0)与圆C2:(x-1)2+(y-1)2=1没有公共点，则 的取值范围是 14.如图，抛物线E:y2=4x的焦点为F,过点M(2,0)的直线l1,l2与E分别相交于A,B和C,D ，直线AD过点F,设直线AD,BC的倾斜角分别为a,B,则tan(a-B)的最大值为 y珠 F 四、解答题 15.已知直线y=x+b（其中b为非零常数)与曲线C:x2=y交于A,B两点，在点A,B处的切 线分别为l1和l2,已知l1和l2分别与x轴交于点M,N,1与l2的交点为T. （1)求点T的横坐标： (2)已知△TAB与△TMN面积之比为5，求实数b的值 16.已知双曲线E:-素=1(a>0,b>0)的离心率为 2 ，且左焦点F到渐近线的距离为V3 ,过F作直线l1,l2分别交双曲线E于A,B(两点均在左支)和C,D(C在左支，D在右支)， 且线段AB,CD的中点分别为M,N. (1)求双曲线E的标准方程； (2)若直线，2斜率的乘积为-号，试探究：是否存在定圆G,使得直线MN被圆C截得的弦 长恒为4？若存在，请求出圆G的标准方程；若不存在，请说明理由. 17.已知椭圆C:器+=1(a>b>0)的短轴长为2V3,左、右焦点分别为F、乃，点B是椭 园上位于第一象限的任一点，且当B·R名=0时，B=号 （1)求椭圆C的标准方程： (2)若椭圆C上点A与点B关于原点O对称，过点B作BD垂直于x轴，垂足为D,连接AD并 延长交C于另一点M,交y轴于点N. (i)求△ODN面积最大值： (i)证明：直线AB与BM斜率之积为定值. 慈溪中学高二上10月月考（参考答案） 一、选择题 1.B 折：已知直线经过点A(-1,0),B1,23.∴k4B三2Y3=V8,设直线的倾斜角费 a∈0，，则tama=V,a=君 2.C 解析：由图可得：防=B才+A店-=-D心+号A市--D心+(D示-D动=-不+ 3.B 解斩折：双自线证：号-苦-1e>0,得双曲线的焦点在y抽上，渐近线方程为=±只 ，所以8=4号=2，所以6=2，a=4 4.D 解析：由题可得圆(x-a)2+(g-a+1)2=1的圆心为(a,a-1),半径为1，直线l被圆截 得的弦长为2，则直线l过圆心(a,a-1),圆心代入直线l得a+a-1-3=0,解得a=2. 5.D y 解析：方程25十8下1表示焦点在轴上的椭圆 .8-k>2+k>0,.-2<k<3, .·实数k的取值范围是(-2,3). 6.B 解折：散物线准线=多，Ar=1+多，D=2+,A川=AR+DA=1十 c2+3=9. 7.A 解析：如图所示，过F2作E的渐近线的垂线，垂足为N,左、右焦点为乃(-C,0),F2(c,0), b 双曲线的一条渐近线方程为g=-b,即bz+ay=0, 则F到渐近线的距离为M= 1b×(-c)+a×0l_bc Va2 +b2 =b,同理可得F2N|=b. 在Rt△OME中，IOM=V1OE2-IFM=Vc2-2=a,同理可得1ON|=a. 在Rt△MF2N中，由NF2+IMN2=MF22可得62+(2a)2=(36)2,即a2=2b2, 因为e2=1+2 -1+号-多所以B的高心*= 8.B 解析：如图建立空间直角坐标系，结合己知条件可得： A0,00,B(40,0,D0,4,0,C(44,0,M0,1,0,设Pe,0)在底面4BCD,由PA PM √2，平方得：x2+2=2[x2+(y-1)]整理配方得：x2+(y-2)2=2,即点P的轨迹是 圆心为(0,2)，半径r=√2的圆在底面ABCD内的部分， 因为直线BC在底面的方程是x=4,P到直线BC的距离为4-x,要最小化距离， 则取P的最大x坐标：xmax=0十√2=V√2，所以P到BC的最小距离为4-V2,且垂足为 N(4,2,0),又由已知得E(4,1,4),F(4,3,4),Q在侧面BCCB1,满足QE+QF=4>2, 由椭圆定义可知：2a=4,2c=EF=2,得a=2,c=1,b=V√a2-c2=V3, 所以点Q的轨迹是椭圆，且椭圆的中心为(4,2,4)，长轴沿y方向，短轴沿z方向， BC在侧面的方程是x=0,Q到BC的距离为之，z的最小值为4-V3,对应Q(4,2,4一√3)， 到BC的垂足也为N(4,2,0),两个垂足重合于N(4,2,0),因此最小值为：VPnin+ A E P B NOmin=(4-V2)+(4-V3)=8-√2-V3.← 二、多选题 9.B、C、D 解析：对于A,d.6=1×2-1×1+2×0=1>0,所以d,6的夹角不是钝角，故A 错误； 对于B,d-6=(-1,-2,2),1d-=√-1)2+(-2)2+2=3， 所以与向量云-洞向的单位向量为亡-君 1 22 d-司 333 故B正确； 对于C,d在6上的投影向量的长度为日： 1 v5 5, 故C正确： v5 对于D,d+入d=(1,-1+X,2-), 若(d+入1b,则(d+.b=2-1+入=0，入=-1，故D正确. 10.A、C 解析：如图： 由双曲线标准方程号-父=1，得a=2,6=V5,c=Va+尔=3，焦距为：2c=6,故 45 A正确： 双曲线新近线为测=土5，即V6士2=0，点FB,0到渐近线的距离为：A 3W5 =√5，故B错误： √5+4 设双曲线的左焦点为F,根据双曲线的定义：PF-PF=4, 所以PA+PF=PA+PF1+4≥AF|+4=V9+36+4=3V5+4,故C正确； 在△PFF中，由PF=8,PF|=8-4=4,|FF|=6, 由余弦定理得：cos∠FPR=PF+1PFPF_04+16-36_64+16-36 2PF PF '所以sin∠FPp=3V店 11 2×8× 2×8×4 1 3√15 16,所以S△PE=2×8X4 16 =3V5,所以SA0PF= 3v1 2 ,故D错误。 11.A、B、C 解析：对于A,因为曲线T:x2-z=入(g2-), 所以将(c,-y),(一，)，(-x,一代入曲线方程中，方程不变， 所以对于任意入∈R,曲线T关于x轴、y轴、原点对称，故A正确： 对于B,当入=1时，曲线Tx2-x=入(y-y）,整理为T:(x-y)(x+y-1)=0 即x=y或x+y=1,作出x=y和x+y=1的图象即该曲线T的图象如图所示： 所以当入=1时，曲线T是由两条直线和一个正方形组成的图形，故B正确： 对于C,当入=-1时，曲线T:x2-x=-(y2-l),即x2+y2-1-y=0, (e-2+(-)2=,x>0,y>0 则曲线C: -2+(y+2=x>0,y<0 e+2+o-2=,x<0,y>0 (z+}+(y+2=x<0,划<0 作出该曲线T图象如下图所示： 此时曲线T上两点的距离最大值即为AB引=2√2， 所以当入=-1时，曲线T上任意两点距离的最大值为2√2，故C正确： 对Dc0时.线r(国-)-A(-)-2之+ -》= 若0≥0.则A<-时r:色三+==为心是（传》 4入 长轴长为 4 2a=2V>1,短轴长为26=2V- 1-入 >1的椭圆在第一象限的部分， 因为曲线T关于x轴、y轴、原点对称，所以入<-1时作出曲线T完整图象形状如图所示： B/D 入=-1时，曲线T完整图象为C中所示图象： -1<入<0时，曲线T在第一象限图象为中心是 /11 长错长为=2>1 矩长为2功=2一>1的椭闵在给象限的部分 以综上由对称性曲线r围成的区域面积S<π(a+)∥ 11. (*) 恒成立， 所以sr(+) 所以当入<0时，曲线T围成的区域面积最小值不可能为4，故D错误. 三、填空题 12.2V5 解新折：由于箱时亏+兰-1则之=9护=4即=？-=5吸e=V5,故椭周焦 距为2c=2v5. 13.(0,4U(6,+0∞) 解析：圆C1的圆心坐标为C1(-2,-3),半径为r(r>0):圆C2的圆心坐标为C2(1,1),半径 为1，则CC2=V√(-2-1)2+(-3-1严=5，因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关 系为外离或内含，若外离： {5→0<<4若内 了lr-1>5 :>0 r>6 ,综上：r∈(0,4)U(6,+∞) 14.V2 4 解析：对抛物线y2=4x上的任意两点A(c1,y1),B(c2,2),若直线AB斜率存在，则k= 1一业一1一边 4 x1-2 琴- y1+y2 故直线AB方程为：y-1= 4 1+y2 (c-x1),即(1+)y-y1-12=4x-4x1 也即(1+2)y=4x+12+-4x1,又1-4c1=0,故AB方程为：(1+2)y= 4x+y1y2: 若直线AB斜率不存在，1+2=0,12=-V41×4x2=-4|x1=-4x1, 显然此时，直线AB方程亦可表示为：(1+2)y=4x+y1y2: 综上所述，AB方程可表示为：(y1+2)y=4x+y1y2: 又直线AB过点M(2,0),则y12=-8;设C,D两点坐标为(3,3)，(a4,4), 同理可得直线CD方程为：(3+y4)y=4x+4,直线AD方程为：(+y4)y=4x+ U14, 又直线AD过点F(1,0),则14=-4：又直线CD过点M(2,0),则34=-8： 综上可得：劝=84=4然 y4 若直线AD,BC斜率存在，设AD,BC斜率为k1,k2, 则1=红一班=班一4=4 4 1+42班-4,2=2二3=2二终 =4 x1-x4 2-好鉴-军 2+y3 4 显然k1=2k2, 2(m-升) 当a=0时，不满足题意： =,=(g-0)ueM‘ge4=Y‘0u吧4=Y'0<Yz=1H甲‘H‘03D 2 1V2 1+2k +26≤22=41 气且仅当=2，之0，也即%=V2 之，k1=V2时取得等号： 当a=时，易知A1,2,D1,-2,B4,4到，C44到，故此时8=tama-=0: 1-2 k2 当a∈（写）时，A=2k,<0,则tama-)=十k=1+2g <0. 家上所述：aa-的最大值为要 四、解答题 15)月 (26=1成-号 解析：(1)设A(c1,x),B(c2,),T(xr,r,联立直线和抛物线 y=E十b消去y y=x2 得： 2-t-b=0,西1十2=1,412=-6，△=1+4b>0得b>本 1 设直线l1:y-x子=1(x-1),与抛物线=x2联立得x2-1+k1x1-x子=0， 令△=k-4k11+4x子=0，得k1=21,直线l1:y-c=2c1(x-x1)即y=2c1c-x ，同理，直线2：y=22x-吃， 2 故虹点华标为 (2)1:y=2x-,令y=0得M(受，0)，同理N(受，0） Saww-方×aMNx-i-ia-×, 设B胖点为点，-士-安将带入二+将加 1 2 +6, 1.1 11 SAAB=Saa+SAmH=友×T团×四-豆+互×TH×西-2互×|TH× |E1-x2= S△TAB 1+46 ,1 = S△TMN 4+=5, 已知6>b≠0，解得6=1或-9 16. (1)22 6-3 =1. (2)证明见解析 y2 解折：《1)因为双曲线E:。三-怎=1的渐近线方程为bx±g=0,左焦点F(-c0), 所以 = s,则b=3,又a2+b2=c2,所以+3二号，得a2=6 abel 2 故双曲线E的标准方程为？_斐 6-3 1 (2)由题设知l1:y=k1(x+3),l2:y=2(x+3),设A(x1,),B(c2,y2), 则，=(+3 1x2-222=6 ，得(1-2k)x2-12kx-18-6=0,1-2k≠0，△>0，所以 12k号 c1+x2= 1-2' 又M是AB的中点，所以xM= 6号 6k号 1-262,3M=1 3k1 +3 1- 2k? 1-2k1 则M 6 3k1 同理N 6k 3k2 1- 2k'1-2k2 1- 2k'1-2k码 6k号 若xM=xN, 即、62 1-2k2 1-2k' 即k(1-2k)=k号(1-2)，即k好=号， 义k=写则片=号=君配时w=N=2,北时N:2=2, 由图形的对称性，猜测直线MN过x轴上一定点T(2,0) 3k1 下面，验证一般性：kMT= 1-2k2 3k1 3k2 3×(-六) -2109-2k7=10写-2 1-2k2 10(-)-2 3k1 10k2-2 则kMr=kT,所以M,T,N三点共线 综上，直线MN过定点T(2,O) 所以存在定圆G:(x-2)2+y2=4,使得直线MN被圆G截得的弦长恒为4. 17. (1) 2 4 =1: (2) (i) d i ()证明见解析 元2 解析：(1)设c,0,由BF·=0,得B1FAA.将x=代入。 2 =1,得 =公四叫-共-景-V饼特a=2所以C的标准方程为导+号 63 3 = 1: （2)设B(x1,1),M(c2,2),则A(-c1,-1),D(c1,0). (i),O为AB的中点，BD⊥x轴，则ON/BD,所以，ON为△ABD的中位线，所以 N包婴》，所以5ow引-ah又BeW满足苦+ =1,由基 本不等式可得1=生+红≥2V4·3 3 V至菩-9el…≤v.故eoN 怎9当且仅号=若助=an-要时取学号，所以00N 2 大值为 4 0 (i)直线AB的斜率为kAB=头，直线BM的斜率为kBM=驰-1 c2-c1 直线AM的斜率为AM= 2+1 ,.kAM·kBM= 十班.业-=-近 x2+x1 r2+1x2-x1x号-x ·B、M两点都在椭圆C上，则 + =1,两式作差得号好+吃，亚=0， + 3 4 3 x号-x 即kAM·KBM= 0-（-)= x2-c1 一：A、D、M三点共线，则kAM=kAD= x1-（-x1) 91 1 2x1 1 Q3 SAB KBM AB KBM号