云南玉溪师范学院附属中学2026-2027学年高二上学期10月期中考试数学试题

玉溪师院附中2028届高二上学期期中考试数学试卷 出题：范晓艳 审题：石玉 姚君 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则(    ) A. B. C. D. 2.在复平面内，复数是虚数单位所对应的点位于(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.设，则“”是“”的(    ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为(    ) A. B. C. D. 5.无论为何值，直线恒过定点，则点的坐标为(    ) A. B. C. D. 6.已知两个正数，满足，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 7.在直三棱柱中，，，，，且三棱柱的所有顶点都在同一球面上，则该球的表面积是(    ) A. B. C. D. 8.若直线与两坐标轴的交点为，，则以为直径的圆的方程是(    ) A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列说法中正确的是(    ) A. 若直线的斜率，则倾斜角 B. 过点且与直线垂直的直线方程为 C. 过任意两点，的直线都可以用方程表示 D. 直角坐标系内的任意直线都可以用方程表示 10.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(    ) A. B. C. 是函数的一条对称轴 D. 是函数的对称中心 11.如图，二面角的大小为，点在半平面内，点，均在半平面内，于点，于点，于点，，，则(    ) A. B. 平面 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.某公司从名员工含甲、乙两人中随机选名参加消防知识竞赛，则甲、乙两人都没有被选中的概率为          ． 13.已知点为圆上一点，，则的最大值为          ． 14.已知函数若方程有四个不同的解，，，，则实数的取值范围是          ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题分某校对名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成，，五组，得到如图所示频率分布直方图． 求图中的值；估计该校高一学生这次数学成绩的众数； 估计该校高一学生这次数学成绩的分位数． 16.本小题分已知直线，，其中为实数． 若，求与之间的距离； 当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程． 17. 本小题分已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上 求圆的标准方程 若线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，求的中点的轨迹方程． 18.本小题分已知函数，． 求的最小正周期； 求在区间上的最大值和最小值； 若，，求的值． 19.本小题分如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，平面平面，平面平面，点是棱的中点，点是棱上的一点不包含端点． 求证：平面； 若，且平面与平面的夹角的余弦值为，求三棱锥的体积． 玉溪师院附中2028届高二上学期期中考试数学试卷1 /4 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪师院附中2028届高二上学期期中考试数学答案和解析 1.【答案】  【解答】，． 2.【答案】 【解答】解：． 复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第二象限．故选：． 3.【答案】  【解答】解：由，解得或，故”是“”的充分不必要条件，故选：． 4.【答案】  【解答】解：，，则，， 故向量在向量上的投影向量为．故选：． 5.【答案】D 6.【答案】  【解答】解：根据题意，正数，满足， 则， 当且仅当时，取到等号，即的最小值是．故选C． 7.【答案】  【解答】解：直三棱柱的所有顶点都在同一球面上， 且，，， 可将棱柱补成长方体，长方体的对角线，即为球的直径， 球的半径为，球的表面积为． 8. 【答案】  【解答】在中，由得，由得，，，以为直径的圆的圆心是，半径，以为直径的圆的方程是，即故选A． 9. 【答案】  【解答】解：对于，由条件可知，又， 当时，；当时，，故A正确； 对于，直线的斜率为，其垂线的斜率为， 所以过点且与直线垂直的直线方程为， 即，故B错误； 对于，当直线垂直于坐标轴时，不能用方程表示，故C错误； 对于，任何直线的方程都有一般式，故D正确．故选：． 10.【答案】 【解答】解：设函数的最小正周期为，根据函数的部分图象知， ，故，因为，故，故A正确； 由，得，； 解得，；又，所以，故B错误； 由，令，；解得，； 当时，是函数的一条对称轴，故C正确； 令，；解得，； 所以是函数的对称中心，故D正确．故选：． 11.【答案】  【解答】以为原点，在平面内过作的垂线为轴，直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系． 由题意得，，，；二面角的平面角为，，故． 对选项A，，与方向一致，又且， 由线面平行判定定理得，故 A正确． 对选项B，由，，，得平面， 又，故平面，故 B正确． 对选项C，，平面的法向量为， 因为与法向量不平行，故不垂直于， C错误． 对选项D，，，即，故 D正确． 12.【答案】  13.【答案】 【解析】圆，即， 记圆心为，半径， 因为点为圆上的点，又 所以， 14.【答案】  【解析】作出的图象，如图所示． 因为方程有四个不同的解，，，，所以的图象与直线有四个不同的交点，又，，所以由图可知实数的取值范围是． 15.【答案】解：由于组距为，所以有； 众数为． 因为到的频率和为，到的频率和为， 所以第百分位数为分  16.【答案】由得，解得，经检验，符合题意， 故，． 所以与之间的距离． 当时，，联立解得 即直线，的交点为又直线的斜率为， 故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，即． 17.【答案】解：设圆心的坐标为， 则有，整理求得， 故圆心为，半径满足， 则圆的方程为． 设线段中点，，由知：，， 点在圆上运动，， 的轨迹方程为．  【解析】本题考查线段的中点的轨迹方程的求法，考查代入法的运用，确定坐标之间的关系是关键，为中档题． 设出圆心的坐标，利用半径相等求得，进而利用两点的距离公式求得半径，则圆的方程可得． 线段中点，，由题意知，，由点在圆上运动，能求出点的轨迹方程． 18.【答案】                ，     的最小正周期为  ． 因为  ，所以  令  ，得  ，令  ，得  ， 所以  在  上单调递减，在  上单调递增     且  ，  ，  ， 所以，  的最大值为  ，最小值为  ． 因为，  ，所以，  ， 又因为   所以，  ， 故  ，  ，             所以，    ．  【解析】本题主要考查了三角函数的图象和性质，三角恒等变换，属于中档题． 由三角恒等变换可得，再由正弦函数的周期性和单调性可得结果； 利用正弦型函数的单调性可得最值； 由同角三角函数的基本关系和两角和的正弦公式可得结果． 19.【答案】解：证明：因为底面是边长为的正方形，所以，， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 又因为，，平面，所以平面． 由知平面，又，平面，所以，，又， 则以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示空间直角坐标系， 可得：，，，，， 所以，，， 设， 则． 设平面的法向量为，则 即 取，解得，，则， 因为平面，所以是平面的一个法向量． 因为平面与平面的夹角的余弦值为， 所以， 解得或舍，所以， 所以三棱锥的体积 ． 【解析】利用面面垂直可证明线面垂直，从而可证明线面垂直； 利用空间向量法来求两平面夹角的余弦值，再计算空间体积即可． 1 学科网（北京）股份有限公司 $