1.5 全称量词与存在量词 题型讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

1.5 全称量词与存在量词（解析版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 全称量词命题与存在量词命题 短语“所有”“任意一个”在逻辑中称为全称量词，用符号 表示；“存在一个”“至少有一个”称为存在量词，用符号 表示。 全称量词命题：形如“对 M 中任意一个 x，p(x) 成立”，记作 ；存在量词命题：形如“存在 M 中的元素 x，p(x) 成立”，记作 。 2. 含量词命题的真假判断 全称量词命题为真：M 中每个元素都使 p(x) 成立（一个反例即判假）；存在量词命题为真：M 中找到一个使 p(x) 成立的元素即可（全不成立才判假）。 3. 含量词命题的否定 图 1 两种量词命题的否定 否定口诀：改量词、否结论——全称与存在互换，结论变成其否定。两次否定还原原命题：。 二、典型例题 题型一 判断量词命题的真假 例1 判断真假：（1）；（2）；（3）；（4）。 【解】（1）真（任何实数平方非负）；（2）假（）；（3）真（1、2 都小于 3）；（4）假（1、2 都不大于 3）。 【点评】全称命题找反例，存在命题找实例，找不到就要给出证明或反证。 题型二 写含量词命题的否定 例2 写出下列命题的否定：（1）；（2）。 【解】（1）；（2）。 【点评】“>”的否定是“≤”，“<”的否定是“≥”，等号不能丢。 题型三 含参数的量词命题为真 例3 已知命题 p： 为真命题，求 m 的取值范围。 【解】恒成立要求开口向上且判别式小于零：，解得 。 例4 已知命题 q： 为真命题，求 m 的取值范围。 【解】存在 等价于抛物线能到 x 轴下方：，即 ，得 或 。（与例 3 的答案互为补集——两个命题恰为彼此的否定。） 【点评】“对任意 恒成立”看最小值，“存在 有解”看能突破：开口定后用判别式衔接。 三、易错警示 1. 否定只否结论不改条件、或只改量词不否结论，都是错的；两者必须同时做。 2. “≥”的否定是“<”，不是“>”：等号归哪边要盯紧。 3. 全称命题的真假与集合 M 有关：M 为空集时 规定为真。 4. 含参数时先明确“对谁恒成立/存在”，转化为最值或判别式问题再动笔。 四、方法小结 问题类型 方法要点 真假判断 全称找反例，存在找实例 写否定 量词互换 + 结论取反（> 变 ≤） 对任意 型恒成立求参 化为最小值 ≥ 常数；二次型用 存在 型存在求参 化为最大值 > 常数（或最小值 < 常数）；二次型用 【考点精讲练】 考点一　全称与存在量词命题的识别 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少存在一个 ，使得 成立 B．对任意 ，，都有 C．， D．菱形的两条对角线长度相等 【答案】B 【详解】选项，此命题中有量词“至少存在一个”，∴是存在量词命题，错误； 选项，此命题中有量词“任意”，∴是全称量词命题， 且 恒成立，是真命题，正确； 选项，此命题中有量词“”，∴是存在量词命题，错误； 选项，此命题中隐含量词“任意”，∴是全称量词命题， 但菱形的对角线不一定相等，是假命题，错误． 【例2】（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．， B．对， C．有些实数的相反数是其本身 D．三角形至少有两个锐角 【答案】BD 【详解】对于A，存在实数，使得，是存在量词命题，错误； 对于B，所有实数都满足，是全称量词命题，正确； 对于C，有些实数的相反数是其本身，是存在量词命题，错误； 对于D，表示所有三角形至少有两个锐角，是全称量词命题，正确 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（ ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．，x2+x≤2 【答案】B 【详解】选项A.存在量词命题，故错误；     选项B.全称量词命题，故B正确；         选项C.存在量词命题，故C错误； 选项D.存在量词命题，故D错误. 【变式训练2】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示． （2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示． 【答案】 全称量词 存在量词 【分析】略 【详解】略 【变式训练3】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．， B．所有大于的平方数都是合数 C．， D．在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 【答案】ABD 【详解】对于A选项，命题“，”为全称量词命题， 因为，，所以，A正确； 对于B选项，命题“所有大于的平方数都是合数”为全称量词命题， 所有大于的平方数都是合数，不妨取正整数， 则至少有三个约数、、，故为合数，B正确； 对于C选项，命题“，”为存在量词命题，C错误； 对于D选项，命题“在任意一组勾股数中，至少有一个偶数”为全称量词命题， 假设、、是任意一组勾股数，且， 假设、、都是奇数，则、、都是奇数，为偶数，等式不成立， 即假设不成立，故、、中至少有一个是偶数， 即在任意一组勾股数中，至少有一个偶数，D正确． 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题的是 （ ） A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．对任意实数，，，关于x的方程都有两个实数解 【答案】A 【详解】选项：含有存在量词“有些”，表示自然数集合中存在至少一个元素是偶数，属于存在量词命题，正确； 选项：“正方形是菱形”的完整含义是所有正方形都是菱形，隐含全称量词“所有”，是全称量词命题，错误； 选项：完整含义是所有能被6整除的数都能被3整除，隐含全称量词“所有”，是全称量词命题，错误； 选项：直接出现全称量词“对任意”，是全称量词命题，错误. 【提升练2】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）下列是全称量词命题且是真命题的是（   ） A．R， B．Q，Q C．R， D．，R， 【答案】A 【详解】C选项为特称量词命题，C错误； A选项，R， 为全称量词命题，且为真命题，A正确； B选项，当时，满足Q，但为无理数，B错误； D选项，时，，D错误. 【提升练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．“， ”的否定是“， ” D．命题“， ”是假命题 【答案】AB 【分析】逐项判断：A、B检验充分性和必要性两个方向；C注意全称量词命题的否定只否定结论、不改范围；D用零点存在定理判断方程是否有解． 【详解】对于A，，但时可能、，所以是充分不必要条件，故A正确； 对于B，当时，即；反之取，但不成立，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，“， ”的否定应为“， ”，故C错误； 对于D，令，，，所以方程在区间内有解，即，使，所以命题为真，故D错误. 【提升练4】（25-26高一·全国·寒假作业）全称量词命题：含有______的命题，叫做全称量词命题；“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：______． 【答案】 全称量词 ， 【分析】略 【详解】略 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 【答案】(1)全称量词命题 (2)存在量词命题 (3)存在量词命题 (4)全称量词命题 【详解】（1）由题意可知说的是所有凸多边形的外角和等于360°， 故为全称量词命题； （2）因为原命题中含有“有的”，故为存在量词命题； （3）因为原命题中含有“有一个”，故为存在量词命题； （4）由题意可知说的是所有菱形的对角线相互垂直， 故为全称量词命题； 考点二　全称与存在量词命题的真假 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山西·阶段检测）已知命题，，则下列说法正确的是（     ） A．是全称量词命题，且是假命题 B．是存在量词命题，且是真命题 C．是全称量词命题，且是真命题 D．是存在量词命题，且是假命题 【答案】B 【详解】由题可得命题，是假命题，则是存在量词命题，且是真命题. 【例2】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）下列说法中正确的有（     ） A．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 B．如果，那么 C．命题“”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】ABD 【详解】对于A，，解方程组可得 ，正确； 对于B，如果，则，正确； 对于C，命题“”，当时，，此时命题不成立，故为假命题，错误； 对于D，关于的方程有一正一负根，则， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，正确. 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．存在三个不同的无理数，其中任意两个之和为有理数 B．存在三个不同的无理数，其中任意两个之积为有理数 C．对于任意三个不同的无理数，这三者的和必为无理数 D．对于任意三个不同的无理数，这三者的积必为无理数 【答案】B 【分析】本题考查无理数的运算性质，通过代数推导和举反例的方法逐一判断命题真假. 【详解】A选项：假设三个无理数为， 且， 三式相加得到， 解得是有理数， 因为，所以是有理数， 因为，所以是有理数， 因为，所以是有理数， 和是无理数矛盾，故选项A错误； B选项：举例子：， （有理数）， （有理数）， （有理数）， 三个数互不相同，都是无理数，两两乘积都是有理数，故选项B正确； C选项：反例：，三者都是不同无理数， （有理数），故选项C错误； D选项：反例：，（有理数），故选项D错误. 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课前预习）已知命题“，使得 ”是______命题（填“真”或“假”） 【答案】假 【详解】取,此时. 于是,不等式不成立. 因此该命题是假命题. 【变式训练3】（26-27高一上·全国·期中）设命题：∀，−，则下列判断正确的是（    ） A．是真命题 B．是假命题 C．¬是“∃，−<” D．¬是“∀，−<” 【答案】AC 【分析】判断真假并写否定. 【详解】− − 对任意实数恒成立，是真命题（A对、B错）. 全称命题的否定是特称命题，¬为“∃，−<”（C对、D错）. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．∀，+1> B．∃，− C．∀， D．∃， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题和存在量词命题的定义逐一判断命题真假即可 【详解】对于A选项，，恒成立，故为真命题； 对于B选项，当时，成立，故∃，−为真命题； 对于C选项，当时，，故∀，为假命题； 对于D选项，当时，，故∃，为真命题. 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．∀， B．∃，− C．∀， D．∃， 【答案】A 【分析】逐一判断各选项命题真假即可. 【详解】对于，∀，恒成立，故命题为真； 对于，方程的判别式−<，所以无实根，故命题为假； 对于，取，不成立，故命题为假； 对于，的解为，均不是有理数，故命题为假. 【提升练3】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，有”的否定是“，使” D．对于方程，“是方程的根”的充要条件是“” 【答案】ACD 【详解】对于A，若，则成立， 而若，比如，不满足大于， 所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确； 对于B，由，则或； 当时，成立， 所以“”是“”的必要不充分条件，故B错误； 对于C，“，有”的否定是“，使”，故C正确； 对于D，当是方程的根，可得， 当时，可得是方程的根，故D正确. 【提升练4】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测），，命题为________命题（填“真”或“假”）． 【答案】真 【详解】因为恒成立， 所以，为真命题. 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 【答案】(1)全称量词命题，是真命题．命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集 (2)全称量词命题，是假命题， 命题的否定： (3)存在量词命题，是真命题，命题的否定： (4)全称量词命题，是假命题，命题的否定：，方程无解或至少有两解 【详解】（1）该命题是全称量词命题，是真命题．该命题的否定：存在一个非空集合，空集不是该集合的真子集． （2）该命题是全称量词命题，是假命题． 因为 ， 所以当时，， 该命题的否定：． （3）该命题是存在量词命题，是真命题． 因为当时，， 该命题的否定：． （4）该命题是全称量词命题，是假命题． 当时，方程才恰有一解． 该命题的否定：，方程无解或至少有两解． 考点三　全称与存在量词命题的否定 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（     ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在不是菱形的矩形 【答案】B 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 【例2】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列说法中正确的有（　　） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【答案】CD 【分析】选项A，直接写出存在量词命题的否定；选项B，利用充分条件，必要条件判断；选项C，取特殊值分析即可；选项D，利用充要条件分析即可. 【详解】对于A，命题，，则命题的否定是，，故A错误； 对于B，取，但是，故充分性不成立， 取，但是，故必要性不成立， 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误； 对于C，取，成立，即，，故C正确； 对于D，方程有一正一负根，解得：， 所以“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件，故D正确． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】命题“，”的否定是：，． 【变式训练2】（26-27高一上·广东深圳·期中）命题：“，”的否定是________________________________． 【答案】 ， 【分析】根据全称命题的否定为特称命题的规则，替换量词并否定结论即可得到结果. 【详解】根据含量词命题的否定的改写规则，先将量词“”替换为“”，再将“”改为“”， 得到命题“”的否定为“”. 【变式训练3】（26-27高一上·广西柳州·阶段检测）在下列四个命题中，正确的是（     ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时，的最小值是5 D．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 【答案】BC 【详解】对于A，命题“，使得”的否定是“，都有”，故A错误； 对于B，由，得或， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是5，故C正确； 对于D，因为命题“，”为假命题， 所以没有实数解，所以，解得，故D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河北廊坊·期中）命题 ，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】命题的否定为. 【提升练2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知命题:，则命题 的否定为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】存在量词改为全称量词，并否定结论，得 . 【提升练3】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，” B．集合 与集合 是同一个集合 C．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D．，则 的子集个数为 【答案】AD 【详解】逐项判断：A 考查存在量词命题的否定，B 考查集合元素的属性，C 注意 的情形，D 先求 的元素个数． 【解答】对于A项：存在量词命题的否定是全称命题，， 的否定为 ，，故A正确； 对于B项：是数集， 是点集，二者不是同一个集合，故B错误； 对于C项：由 得 ．当 时 ，符合；当 时 ，由 或 得 或 ， 所以 的取值集合是 ，故C错误； 对于D项：由 且 得 ，即 ，所以 ，其子集个数为 ，故D正确． 【提升练4】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）命题“”的否定是______. 【答案】， 【详解】根据全称量词命题的否定为存在量词命题可得： 命题“”的否定是“”. 【提升练5】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)：不论取何实数，方程必有实根； (2)：，，. 【答案】(1)：存在一个实数，使方程没有实数根；假命题 (2)：，，；真命题 【详解】（1）：存在一个实数，使方程没有实数根. 该方程的判别式恒成立， 为假命题. （2）：，，. ， 当时，成立， 为真命题. 考点四　由全称（存在）量词命题求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）已知命题，；命题，，若一真一假，则实数的可能值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】先求为真时的范围，进而得出一真一假时的范围，进而判断选项． 【解答】若为真，则；若为真，则，解得， 若一真一假，则或，则选项中只有5满足条件． 【例2】（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．与是同一个集合 B．若，则 C．已知全集为，若，则 D．若“”是真命题，则实数的取值范围是 【答案】BC 【分析】逐项判断，注意空集与含空集的集合的区别，以及存在量词命题为真的条件． 【详解】A 错误：中不含任何元素，而中含有一个元素，二者不是同一集合． B 正确：由 得 且 ，故 ． C 正确：∵，∴ 中的元素都不属于 ，故． D 错误：命题为真即，在上有解，∴， 故的取值范围是 ，不是 ． 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 ， 因为，且存在实数，使得成立， 所以. 【变式训练2】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 【答案】 【详解】命题为真，即存在实数使方程 成立， 也就是方程 有实数根，所以 ，解得 ． 故的取值范围是 ． 【变式训练3】（25-26高一上·四川乐山·期中）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“，”的否定是“” C．为真命题，则m的取值范围是 D．“”是“”的必要条件 【答案】BC 【详解】对于选项A：命题“”的否定是“”，故A错误； 对于选项B：命题“，”的否定是“”，故B正确； 对于选项C：若为真命题， 则，解得， 所以m的取值范围是，故C正确； 对于选项D：例如，满足，但， 即“”不能推出“”，所以“”不是“”的必要条件，故D错误. 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】写出命题的否定，注意内层区间非空. 【详解】原命题为假，等价于存在，使得对任意都有. 这需要的最小值小于的下界，即； 同时内层区间非空，，即. 故，即实数的取值范围为 【提升练2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】命题：“，”为假命题，它的否定：一定是真命题. 二次函数开口向上，对称轴为. 在区间上，当时取得最大值. 要让对所有恒成立，只需大于在该区间的最大值， 即，对应区间为. 【提升练3】（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】AD 【详解】由于集合，，则，所以，，故A正确； 对于B，由于B中所有元素都属于A，故B不正确； 对于C，取，则，，故C不正确； 对于D，由，即B中所有元素都属于A，故D正确． 【提升练4】（26-27高一上·云南·阶段检测）若命题“，”是假命题，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由特称命题与全称命题的真假关系转化命题，分离参数，借助基本不等式求最值，求解参数的范围. 【详解】命题“，”是假命题， 因此其否定“，”是真命题，即不等式在上恒成立. 分离参数得，即在上恒成立. 由基本不等式得，当且仅当，即时等号成立，此时的最小值为4. 所以的取值范围为. 【提升练5】（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题p：，；命题q：，. (1)若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由为真命题求出实数的取值范围； （2）分真假、假真两种情况求解. 【详解】（1）若p为假命题，则为真命题， 而为：，， 当，不等式变为解集为，满足； 若，则，解得， 所以实数的取值范围为， 所以当为假命题时，实数的取值范围为. （2）若命题为真，即，， 当时，取得最小值，即为， 故，即命题为真时，实数的取值范围为. 若真假，则，解得； 若假真，则，解得， 综上，若，中有且仅有一个为真命题，则实数的取值范围为. 【真题回顾】 1．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 【答案】B 【分析】由新定义求解曲线上任一点到定点距离的取值范围，当任意，都有时，曲线满足定义，结合椭圆与双曲线的性质判断， 【详解】对于①，不妨设椭圆方程为，， 则椭圆上一点到距离为， 当时，对称轴，可得， 总存在使得，此时满足题意，故任意椭圆都是“自相关曲线”，故①正确， 对于②，对于给定的双曲线和点，显然存在最小值，而横坐标趋近于无穷大时，趋近于无穷大，，故不满足题意，不存在双曲线是“自相关曲线”故②错误， 故选：B 【点睛】本题关键在于新定义的理解，转化为求曲线上任一点到定点距离的取值范围，再结合椭圆与双曲线的性质判断即可． 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【分析】对于两个命题而言，可分别取、，再结合命题及其否定的真假性相反即可得解. 【详解】对于而言，取，则有，故是假命题，是真命题， 对于而言，取，则有，故是真命题，是假命题， 综上，和都是真命题. 故选：B. 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5 全称量词与存在量词（原卷版） 【基础回顾】 一、知识要点 1. 全称量词命题与存在量词命题 短语“所有”“任意一个”在逻辑中称为全称量词，用符号 表示；“存在一个”“至少有一个”称为存在量词，用符号 表示。 全称量词命题：形如“对 M 中任意一个 x，p(x) 成立”，记作 ；存在量词命题：形如“存在 M 中的元素 x，p(x) 成立”，记作 。 2. 含量词命题的真假判断 全称量词命题为真：M 中每个元素都使 p(x) 成立（一个反例即判假）；存在量词命题为真：M 中找到一个使 p(x) 成立的元素即可（全不成立才判假）。 3. 含量词命题的否定 图 1 两种量词命题的否定 否定口诀：改量词、否结论——全称与存在互换，结论变成其否定。两次否定还原原命题：。 二、典型例题 题型一 判断量词命题的真假 例1 判断真假：（1）；（2）；（3）；（4）。 【解】（1）真（任何实数平方非负）；（2）假（）；（3）真（1、2 都小于 3）；（4）假（1、2 都不大于 3）。 【点评】全称命题找反例，存在命题找实例，找不到就要给出证明或反证。 题型二 写含量词命题的否定 例2 写出下列命题的否定：（1）；（2）。 【解】（1）；（2）。 【点评】“>”的否定是“≤”，“<”的否定是“≥”，等号不能丢。 题型三 含参数的量词命题为真 例3 已知命题 p： 为真命题，求 m 的取值范围。 【解】恒成立要求开口向上且判别式小于零：，解得 。 例4 已知命题 q： 为真命题，求 m 的取值范围。 【解】存在 等价于抛物线能到 x 轴下方：，即 ，得 或 。（与例 3 的答案互为补集——两个命题恰为彼此的否定。） 【点评】“对任意 恒成立”看最小值，“存在 有解”看能突破：开口定后用判别式衔接。 三、易错警示 1. 否定只否结论不改条件、或只改量词不否结论，都是错的；两者必须同时做。 2. “≥”的否定是“<”，不是“>”：等号归哪边要盯紧。 3. 全称命题的真假与集合 M 有关：M 为空集时 规定为真。 4. 含参数时先明确“对谁恒成立/存在”，转化为最值或判别式问题再动笔。 四、方法小结 问题类型 方法要点 真假判断 全称找反例，存在找实例 写否定 量词互换 + 结论取反（> 变 ≤） 对任意 型恒成立求参 化为最小值 ≥ 常数；二次型用 存在 型存在求参 化为最大值 > 常数（或最小值 < 常数）；二次型用 【考点精讲练】 考点一　全称与存在量词命题的识别 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（    ） A．至少存在一个 ，使得 成立 B．对任意 ，，都有 C．， D．菱形的两条对角线长度相等 【例2】（26-27高一上·青海西宁·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（     ） A．， B．对， C．有些实数的相反数是其本身 D．三角形至少有两个锐角 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·广东东莞·阶段检测）下列命题中为全称量词命题的是（ ） A．有些实数没有倒数 B．矩形都有外接圆 C．过直线外一点有一条直线和已知直线平行 D．，x2+x≤2 【变式训练2】（25-26高三·全国·一轮复习）（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示． （2）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作________，用符号“________”表示． 【变式训练3】（26-27高一上·江西南昌·阶段检测）下列命题是全称量词命题且为真命题的是（   ） A．， B．所有大于的平方数都是合数 C．， D．在任意一组勾股数中，至少有一个偶数 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河南周口·阶段检测）下列命题中，是存在量词命题的是 （ ） A．有些自然数是偶数 B．正方形是菱形 C．能被6整除的数也能被3整除 D．对任意实数，，，关于x的方程都有两个实数解 【提升练2】（26-27高一上·湖北襄阳·阶段检测）下列是全称量词命题且是真命题的是（   ） A．R， B．Q，Q C．R， D．，R， 【提升练3】（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）下列命题正确的是（    ） A．“ ”是“ ”的充分不必要条件 B．“ ”是“ ”的充分不必要条件 C．“， ”的否定是“， ” D．命题“， ”是假命题 【提升练4】（25-26高一·全国·寒假作业）全称量词命题：含有______的命题，叫做全称量词命题；“对中任意一个，有成立”可用符号简记为：______． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列语句是全称量词命题，还是存在量词命题： (1)凸多边形的外角和等于360°； (2)有的平行四边形是菱形； (3)有一个数是素数也是合数； (4)菱形的对角线相互垂直． 考点二　全称与存在量词命题的真假 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山西·阶段检测）已知命题，，则下列说法正确的是（     ） A．是全称量词命题，且是假命题 B．是存在量词命题，且是真命题 C．是全称量词命题，且是真命题 D．是存在量词命题，且是假命题 【例2】（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）下列说法中正确的有（     ） A．若用列举法表示集合，则集合可以表示为 B．如果，那么 C．命题“”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·上海奉贤·阶段检测）下列命题正确的是（     ） A．存在三个不同的无理数，其中任意两个之和为有理数 B．存在三个不同的无理数，其中任意两个之积为有理数 C．对于任意三个不同的无理数，这三者的和必为无理数 D．对于任意三个不同的无理数，这三者的积必为无理数 【变式训练2】（26-27高一上·全国·课前预习）已知命题“，使得 ”是______命题（填“真”或“假”） 【变式训练3】（26-27高一上·全国·期中）设命题：∀，−，则下列判断正确的是（    ） A．是真命题 B．是假命题 C．¬是“∃，−<” D．¬是“∀，−<” 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·全国·期中）下列命题中，是假命题的是（    ） A．∀，+1> B．∃，− C．∀， D．∃， 【提升练2】（26-27高一上·全国·期中）下列命题中，是真命题的是（    ） A．∀， B．∃，− C．∀， D．∃， 【提升练3】（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）下列结论正确的是（    ） A．“”是“”的充分不必要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．“，有”的否定是“，使” D．对于方程，“是方程的根”的充要条件是“” 【提升练4】（26-27高一上·河北沧州·阶段检测），，命题为________命题（填“真”或“假”）． 【提升练5】（26-27高一上·全国·课堂例题）判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，判断真假，并写出它们的否定： (1)空集是任何一个非空集合的真子集； (2)； (3)； (4)，方程恰有一解． 考点三　全称与存在量词命题的否定 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·宁夏银川·阶段检测）已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（     ） A．菱形是矩形 B．存在一个菱形，它是矩形 C．存在菱形不是矩形 D．存在不是菱形的矩形 【例2】（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）下列说法中正确的有（　　） A．命题，，则命题的否定是， B．“”是“”的必要不充分条件 C．“，”是真命题 D．“”是“关于的方程有一正一负根”的充要条件 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·内蒙古包头·阶段检测）命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·广东深圳·期中）命题：“，”的否定是________________________________． 【变式训练3】（26-27高一上·广西柳州·阶段检测）在下列四个命题中，正确的是（     ） A．命题“，使得”的否定是“，都有” B．“”是“”的充分不必要条件 C．当时，的最小值是5 D．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·河北廊坊·期中）命题 ，，则是（    ） A．， B．， C．， D．， 【提升练2】（26-27高一上·广东茂名·期中）已知命题:，则命题 的否定为（　　） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·湖北黄石·阶段检测）下列说法正确的是（　　） A．命题“，”的否定是“，” B．集合 与集合 是同一个集合 C．集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D．，则 的子集个数为 【提升练4】（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）命题“”的否定是______. 【提升练5】（26-27高一上·河北邯郸·阶段检测）写出下列命题的否定，并判断其否定的真假. (1)：不论取何实数，方程必有实根； (2)：，，. 考点四　由全称（存在）量词命题求参 【例题精讲】 【例1】（26-27高一上·山东烟台·阶段检测）已知命题，；命题，，若一真一假，则实数的可能值为（　　） A． B． C． D． 【例2】（26-27高一上·山东临沂·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．与是同一个集合 B．若，则 C．已知全集为，若，则 D．若“”是真命题，则实数的取值范围是 【基础巩固练】 【变式训练1】（26-27高一上·全国·期中）若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式训练2】（26-27高一上·安徽宣城·阶段检测）若命题“，”为真命题，则 的取值范围是 ________． 【变式训练3】（25-26高一上·四川乐山·期中）下列说法正确的是（   ） A．命题“”的否定是“” B．命题“，”的否定是“” C．为真命题，则m的取值范围是 D．“”是“”的必要条件 【能力提升练】 【提升练1】（26-27高一上·陕西宝鸡·阶段检测）已知“，，”为假命题，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【提升练2】（26-27高一上·四川内江·阶段检测）若命题：“，”为假命题，实数的取值范围（     ） A． B． C． D． 【提升练3】（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知集合，，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【提升练4】（26-27高一上·云南·阶段检测）若命题“，”是假命题，则的取值范围为______． 【提升练5】（26-27高一上·天津东丽·阶段检测）已知命题p：，；命题q：，. (1)若p为假命题，求实数a的取值范围； (2)若p，q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围. 【真题回顾】 1．（2023·上海·高考真题）在平面上，若曲线Γ具有如下性质：存在点M，使得对于任意点，都有使得．则称这条曲线为“自相关曲线”．判断下列两个命题的真假（    ） ①所有椭圆都是“自相关曲线”．②存在是“自相关曲线”的双曲线． A．①假命题；②真命题 B．①真命题；②假命题 C．①真命题；②真命题 D．①假命题；②假命题 2．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题p：，；命题q：，，则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $