精品解析：甘肃定西市通渭县平襄教育集团联考2026-2027学年八年级上学期10月期中数学试卷

26秋八年级学习评价数学（2） 注意事项： 1．满分120分，时间120分钟． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，能构成三角形三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，6 C. 1，2，2 D. 3，4，8 3. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 斜边及一条直角边对应相等 4. 如图，是的平分线，于点C，于点D，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图表示三角形的分类，则表示的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 三边都不相等的三角形 7. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 根据下列所给的各组条件，不能唯一确定的形状和大小的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 9. 下列命题：①若，则；②若，则或；③两直线平行，内错角相等．其逆命题是真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 10. 如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二．填空题：每题3分，共18分． 11. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 12. 如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． 13. 如图，若图中的两个三角形全等，依据所标数据，___________． 14. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中种了棵桂花树，分别以两条小路为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．若，两处桂花树的位置关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为___________． 15. 如图，在中，，，，则___________．（用含a，b的代数式表示） 16. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图），同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为______． 三．解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 如图，在中，，为过点A的一条直线，若平分．求证：． 18. 如图，，，．求证：． 19. 如图，已知，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） 20. 已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，若c为奇数，求这个三角形的周长． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出关于直线l对称的（要求：和A对应，和B对应，和C对应）； （2）在直线l上找一点P，使的值最小． 22. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 四．解答题：本大题5个小题，共40分． 23. 等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 24. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 25. 如图，在中，，，平分交AD于点D． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 26. 某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． （1）证明：； （2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 27. 如图1，已知为直线同侧的两点，连接，若，则称点为点关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为_____． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26秋八年级学习评价数学（2） 注意事项： 1．满分120分，时间120分钟． 2．答题前将密封线内的项目填写清楚． 一．选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 甲骨文是迄今为止我国发现的年代最早的成熟文字系统，下列甲骨文中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：不是轴对称图形，不符合题意； 不是轴对称图形，不符合题意； 不是轴对称图形，不符合题意； 是轴对称图形，符合题意． 2. 下列各组数中，能构成三角形三边长的是（ ） A. 1，1，2 B. 2，3，6 C. 1，2，2 D. 3，4，8 【答案】C 【解析】 【详解】解：A.，不能构成三角形，不符合题意； B.，不能构成三角形，不符合题意； C.，能构成三角形，符合题意； D.，不能构成三角形，不符合题意． 3. 使两个直角三角形全等的条件是（ ） A. 一个锐角对应相等 B. 两个锐角对应相等 C. 一条边对应相等 D. 斜边及一条直角边对应相等 【答案】D 【解析】 【分析】利用全等三角形的判定来确定．做题时，要结合已知条件与三角形全等的判定方法逐个验证． 【详解】解：A、一个锐角对应相等，利用已知的直角相等，可得出另一组锐角相等，但不能证明两三角形全等，故A选项错误； B、两个锐角相等，那么也就是三个对应角相等，但不能证明两三角形全等，故B选项错误； C、一条边对应相等，再加一组直角相等，不能得出两三角形全等，故C选项错误； D、两条边对应相等，若是两条直角边相等，可利用SAS证全等；若一直角边对应相等，一斜边对应相等，也可证全等，故D选项正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定方法；三角形全等的判定有ASA、SAS、AAS、SSS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 4. 如图，是的平分线，于点C，于点D，若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直得出直角，根据角平分线得出相等的角，利用证明，得出相等的边即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴． 5. 如图，等腰中，，为的中点，连接，，为上任意两点，连接，，，，已知，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】题目问阴影面积，而 、 的位置不确定，说明结果与 、 无关．由等腰三角形的“三线合一”得 ，；三块阴影分别以 、、 为底，三个高都是 ，三条底首尾相接恰为 ，相加即可． 【详解】解：∵ ， 为 的中点， ∴ ，． ∴ 点 、 到直线 的距离都是 ． ∴ ， ， ． ∴ ． 6. 如图表示三角形的分类，则表示的是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 三边都不相等的三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形按边分类，即可求解． 【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角形，三边相等的等边三角形）， 故选：． 【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键． 7. 如图，在中，边的垂直平分线交于点，交于点，连接，若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：，， ， 垂直平分， ． 8. 根据下列所给的各组条件，不能唯一确定的形状和大小的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【分析】将唯一确定三角形形状和大小的问题转化为判断三角形全等的条件问题，逐一验证各选项． 【详解】解：选项A，两边、及其夹角确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项B，直角三角形的斜边和直角边确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项C，两角、及其中一角的对边确定，符合判定定理，可唯一确定，不符合题意； 选项D，两边、及其中一边的对角确定，没有对应的全等判定定理，不能唯一确定的形状和大小，符合题意． 9. 下列命题：①若，则；②若，则或；③两直线平行，内错角相等．其逆命题是真命题的个数有（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】C 【解析】 【分析】明确逆命题改写规则：将原命题的题设和结论互换位置，即可得到原命题的逆命题，再结合相关性质定理判断逆命题的真假． 【详解】解：①原命题的逆命题为：若，则． 举反例：取，，满足，但， 故该逆命题为假命题． ②原命题的逆命题为：若或，则． ∵当时，；当时，， ∴该逆命题为真命题． ③原命题的逆命题为：内错角相等，两直线平行． 该逆命题为真命题． 综上，逆命题为真命题的有2个． 10. 如图，在下列三角形中，若 AB＝AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形的内角和定理以及等腰三角形的判定定理计算即可. 【详解】①中，作任意一底角的角平分线即可；②中，不能；③中，作底边上的高即可；④中，在BC边上截取CD=CA即可．故答案选D． 【点睛】本题考查三角形的内角和定理;等腰三角形的判定定理．运用三角形内角的度数来判断等腰三角形是解题的关键. 二．填空题：每题3分，共18分． 11. 写出命题“两个全等三角形的面积相等”的逆命题______． 【答案】两个三角形面积相等，则这两个三角形全等 【解析】 【详解】本题考查命题的逆命题，解题的关键是明确原命题的条件和结论，再交换条件与结论得到逆命题． 确定原命题“两个全等三角形的面积相等”的条件和结论，交换原命题的条件和结论，得到逆命题． 【分析】解：原命题“两个全等三角形的面积相等”中，条件是“两个三角形全等”，结论是“这两个三角形的面积相等”． 根据逆命题的定义，交换原命题的条件和结论，得到的逆命题为：“两个三角形面积相等则这两个三角形全等”． 故答案为：两个三角形面积相等，则这两个三角形全等． 12. 如图，，为的两个外角，，，则的度数为________． 【答案】 【解析】 【分析】由互补关系及三角形外角性质即可求解． 【详解】解：∵为的两个外角，且， ∴， ∵， ∴． 13. 如图，若图中的两个三角形全等，依据所标数据，___________． 【答案】##度 【解析】 【分析】两个三角形全等，对应角、对应边都相等．左图由、得第三个角为；再按三边的长短定出对应关系——最短的边所对的角最小，据此确定与哪一个内角对应． 【详解】解：∵左三角形的两个内角是、， ∴它的第三个内角为． ∵与所对的角分别是、，且， ∴左三角形中最短的边是角所对的边． ∵两个三角形全等， ∴右三角形的三条边分别与、及左三角形中最短的边相等，其中最短． ∴长为的边与左三角形中角所对的边对应， ∴长为的边所对的顶角为． ∴． 14. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中种了棵桂花树，分别以两条小路为轴、轴建立如图所示的平面直角坐标系．若，两处桂花树的位置关于轴对称，点的坐标为，则点的坐标为___________． 【答案】 【解析】 【详解】解：，两处桂花树的位置关于轴对称，点的坐标为， 点的坐标为． 15. 如图，在中，，，，则___________．（用含a，b的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】过点C作交的延长线于点D，在含角直角三角形中，可求得，利用面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点C作交的延长线于点D， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 添加辅助线是很多同学感觉比较困难的事情．如图1，在中，，是高，E是外一点，，，若，，，求的面积．同学们可以先思考一下…，小颖思考后认为可以这样添加辅助线：在上截取，（如图），同学们，根据小颖的提示，聪明的你可以求得的面积为______． 【答案】64 【解析】 【分析】按照提示截线段，先利用同角的余角相等得到等角，用证明三角形全等，把求面积转化为求的面积，再利用两个共高三角形面积相减求解． 【详解】解：如图所示，连接AF， ∵， ， ， ， ， 在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题是全等辅助线构造题，这种“截等线段”的辅助线思路，目的是构造全等，转移面积；直角三角形斜边上的高，经常用同角的余角相等找等角；全等不仅可以转移边长、角度，还可以转移面积，是面积题常用技巧． 三．解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 如图，在中，，为过点A的一条直线，若平分．求证：． 【答案】证明：， ， 平分， ， ， ． 【解析】 【分析】利用等腰三角形的性质及角平分线的性质得到，再由平行线的判定即可证明平行． 【详解】证明：略． 18. 如图，，，．求证：． 【答案】证明：，，， ， ， ． 【解析】 【分析】用证明，结合图形证明即可． 【详解】略 19. 如图，已知，作边的垂直平分线，交于点D，交于点E，连接．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】 解：如图所示，为所求． 【解析】 【详解】解：分别以B、C为圆心，大于长为半径在两侧画弧，两组弧各交于一点，连接两组弧的交点，交于点D，交于点E，连接，则为所求，作图略． 20. 已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a，b满足，若c为奇数，求这个三角形的周长． 【答案】12 【解析】 【分析】首先利用绝对值和平方的非负性得到，，然后利用三角形三边关系得到，结合c为奇数得到，然后求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， a，b，c是三角形的三边长， ∴，即， c是奇数， ， ， 该三角形的周长为12． 21. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上） （1）在图中作出关于直线l对称的（要求：和A对应，和B对应，和C对应）； （2）在直线l上找一点P，使的值最小． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P为所求． 【解析】 【分析】（1）分别作出各顶点关于直线l的对称点，再逐次连接即可； （2）连接与直线l的交点即为点P． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由对称得， ∴ ∴当点B，P，三点共线时，的值最小，即的长度 ∴点P即为所求． 22. 如图，在中，，是的平分线，于点，点在AC上，，证明： （1）； （2）． 【答案】（1） 证明：∵是的平分线，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2） 证明：在和中， ， ∴， ∴， 由（1）可知， ∴． 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答的关键． （1）根据角平分线的性质得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论； （2）利用证明，得出，结合（1）中结论，利用线段的和差关系即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四．解答题：本大题5个小题，共40分． 23. 等边中，点在△内，点在△外，且，，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】等边三角形， 理由：为等边三角形， ． 在与中， ， ． ，． ， ， 是等边三角形． 【解析】 【分析】先证得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】略 24. 如图，在中，平分，平分，与相交于点G，于点F，若，求与的度数． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线和高，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键．根据角平分线的定义得到，根据得到，进而求出；利用三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义得到，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 25. 如图，在中，，，平分交AD于点D． （1）求证：； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ； （2）的面积为6 【解析】 【分析】（1）根据垂直定义可得，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得，，再利用角平分线的定义可得，从而可得，最后利用对顶角相等可得，从而利用等量代换即可解答； （2）过点作，垂足为，利用角平分线的性质可得，然后利用三角形的面积进行计算即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解∶ 过点作，垂足为， 平分，，， ， ， 的面积， 的面积为6． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 26. 某综合实践小组设计了一个简易发射器，其示意图如图1所示，发射杆始终平分同一平面内两条固定轴所成的，且，，发射中心D能沿着发射杆滑动，、为橡皮筋． （1）证明：； （2）当由图2中的等边变成直角的过程中，发射中心D向下滑动的距离是多少? 【答案】（1） 证明：连接， ∵，平分， ∴是线段的垂直平分线， ∵点D在上， ∴； （2）发射中心D向下滑动的距离是． 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的性质． （1）连接，由等腰三角形的性质得到是线段的垂直平分线，再根据线段垂直平分线的性质即可证明； （2）分别求得和的长即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，是等边三角形， ∴， ∵是直角三角形，且，， ∴， ∴， ∴． 答：发射中心D向下滑动的距离是． 27. 如图1，已知为直线同侧的两点，连接，若，则称点为点关于直线的“等角点”． 【理解运用】 （1）如图2，在中，为上一点，点、关于直线对称，连接并延长至点，判断点是否为点关于直线的“等角点”，并说明理由； 【拓展提升】 （2）如图3，在中，，的平分线交于点，点到的距离为2，直线垂直平分边，点为，关于直线“等角点”，连接，，当时，的值为_____． 【答案】 （1）是点关于直线的“等角点”，理由如下： ∵点、关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴是点关于直线的“等角点”． （2）4 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角平分线性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质，理解新定义并正确运用新定义是解题关键； （1）由轴对称性质可得，结合已知推出，根据“等角点”的定义，可得出答案； （2）连接，，过点作于点D，由三角形平分线性质可得平分，即，得出，再由线段垂直平分线的性质得出，推出在同一条直线上，即可求得答案． 【详解】解：（1） 略 （2）连接，，过点作于点D，如图所示： ∵，的平分线交于点， ∴平分， ∴， ∵， ∴， ∵直线垂直平分边， ∴， ∵点P为O、B关于直线“等角点”， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴在同一条直线上， ∴． 故答案为：4． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $