精品解析：甘肃省定西市通渭县平襄教育集团联考2025-2026学年八年级上学期10月期中数学试卷

2025～2026学年度八年级第一学期学习评价 数学（2） 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为估计池塘岸边A，B间的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A，B间的距离可能是（ ）． A. 3米 B. 4米 C. 10米 D. 15米 3. 如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（ ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 4. 等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 6. 随着甘肃省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 7. 《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 二、填空题：每题3分，共18分． 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 12. 如图所示的两个三角形全等，则x的值为______． 13. 如图，在中，，，若，则______． 14. 如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长多3 cm，若BC=8 cm，则AC=__________． 15. 如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔．树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离________． 16. 已知是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P，O同时在的内部时，若，则的度数为______． 三、解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 18. 如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 19. 如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 20. 如图，在中，，，于A，，求的长． 21. 如图，是小华用数学软件画的图形．其画图过程是：①用线段工具画，②用角平分线工具画的平分线，画的平分线，③用交点工具 画直线，的交点，④用度量工具测得．回答问题：若测量的度数会是多少？请说明理由． 22. 如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 四、解答题：本大题5个小题，共40分． 23. 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． 24. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 25. 阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 26. 如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 27. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度八年级第一学期学习评价 数学（2） 一、选择题：每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分． 1. 国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形． 根据轴对称图形的概念求解即可． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，不符合题意； B、该图形是轴对称图形，符合题意； C、该图形不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形不是轴对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 如图，为估计池塘岸边A，B间的距离，小杰在池塘的一侧选取一点O，测得米，米，则A，B间的距离可能是（ ）． A. 3米 B. 4米 C. 10米 D. 15米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，正确理解题意是解题的关键．连接，根据三角形的三边关系，可得到的取值范围即可获得答案． 【详解】解：如下图，连接， 根据三角形三边关系，可得， 即， 则选项A、B、D不符合题意，选项C符合题意． 故选：C． 3. 如图，已知是的平分线，点D为上任意一点，且于点E，于点F，，则的长度是（ ）． A. 2 B. 4 C. 5 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到该角的两边的距离相等，据此可得答案． 【详解】解：∵是的平分线，，， ∴， 故选：B． 4. 等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是， 其底角为． 故选：B． 5. 如图，与交于点O，与关于直线对称，点A，B的对应点分别是点C，D，下列结论正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，根据轴对称的性质即可得到答案． 【详解】解：∵与交于点O，与关于直线对称， ∴，故选项B正确，符合题意； 根据现有条件无法证明，，， 故选：B． 6. 随着甘肃省教育厅《关于保障中小学生每天综合体育活动不低于两小时的通知》规定的落地，学校的操场已成为学生们每日必到的“打卡地”．如图①是某校体育课上的侧压动作，可以抽象为如图②的几何图形，若，则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，三角形的一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数之和，据此求解即可． 【详解】解：由三角形外角的性质可得， ∵， ∴， 故选：D． 7. 《周礼考工记》中记载有：“…半矩谓之宣，一宣有半谓之欘…”意思是：…直角的一半的角叫做宣，一宣半的角叫做欘…．即：1宣矩，1欘宣（其中，1矩），图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组件的示意图，若矩，欘，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质：两锐角互余；由题意知是直角三角形，，则由直角三角形的性质可求得的度数． 【详解】解：由题意知是直角三角形，， 则； 故选：B． 8. 如图，将等边的边向两边延长，使，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形的内角和定理． 由是等边三角形得到，，从而得到，，因此，，再根据三角形外角的性质求出，，最后根据三角形的内角和定理即可解答． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ，， ∴，， ． 故选：A． 9. 如图，是的角平分线．按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与边相交于点；②以点为圆心，长为半径画弧，与边相交于点；③以点为圆心，长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点；④作射线，与相交于点，与边相交于点．则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要查了尺规作图，等腰三角形的判定，三角形外角的性质．由作法可得：，再结合三角形外角的性质，等腰三角形的判定解答，即可． 【详解】解：由作法得：， 根据题意无法得到与的大小关系， 所以无法确定与的大小关系，故A选项错误； ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴，故D选项正确； 题干中没有说明的大小关系， ∴无法判断的大小关系，则无法得到的度数，故B选项错误； 根据题意无法得到的大小关系，故C选项错误； 故选：D 10. 如图，在中，，，平分交于点D，点E、F分别是线段、上的动点，则的最小值为（ ）． A. 2 B. 3 C. 6 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出；在线段上截取，连接，可证明，得到，则当C、E、H三点共线，且时，有最小值，即此时有最小值，最小值为线段的长，据此利用含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 如图所示，在线段上截取，连接， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴当C、E、H三点共线，且时，有最小值，当，即此时有最小值，最小值为线段的长， 在中，， ∴， ∴的最小值为3， 故选：B． 二、填空题：每题3分，共18分． 11. “两直线平行，内错角相等”的逆命题是__________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【解析】 【详解】解：“两直线平行，内错角相等”的条件是：两条平行线被第三条值线所截，结论是：内错角相等． 将条件和结论互换得逆命题为：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行， 可简说成“内错角相等，两直线平行”． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 12. 如图所示的两个三角形全等，则x的值为______． 【答案】30 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据全等三角形对应角相等可得边长为3的边所对的角相等，据此根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵图中两个三角形全等， ∴边长为3的边所对的角相等， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在中，，，若，则______． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，首先根据“”证明，由全等三角形的性质可得，然后由求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 14. 如图，CM是△ABC的中线，△BCM的周长比△ACM的周长多3 cm，若BC=8 cm，则AC=__________． 【答案】5cm 【解析】 【详解】解：∵CM是△ABC的中线， ∴AM=BM， ∵△BCM的周长=BM+MC+BC，△ACM的周长=AM+MC+AC， ∴BM+MC+BC－(AM+MC+AC)=BC－AC=3cm， ∵BC=8cm， ∴AC=5cm． 故答案为：5cm． 15. 如图，小刚站在河边的A点处，在河的对面（小刚的正北方向）的处有一电线塔，他想知道电线塔离他有多远，于是他向正西方向走了30步到达一棵树处，接着再向前走了30步到达处，然后他左转直行，当小刚看到电线塔．树与自己现处的位置在一条直线时，他一共走了140步．如果小刚一步大约50厘米，估计小刚在点A处时他与电线塔的距离________． 【答案】40米 【解析】 【分析】根据题意所述画出示意图，根据AAS可得出△ABC≌△DEC，即可求出DE的长度，也就得出了AB的长度． 【详解】解：根据题意画出图形如图： 在与中， ， ， 小刚一共走了140步，AD=60步， DE=140-60=80(步)， 又一步大约50厘米， DE=80×50=4000(厘米)=40(米)， 故估计小刚在点A处时他与电线塔的距离为40米． 【点睛】本题考查了全等三角形的应用，像此类应用类的题目，一定要仔细审题，根据题意建立数学模型． 16. 已知是三边都不相等的三角形，点P是三个内角平分线的交点，点O是三边垂直平分线的交点，当P，O同时在的内部时，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，等边对等角，由线段垂直平分线的性质可得，则由等边对等角和三角形内角和定理可推出，即；由角平分线的定义得到，则． 【详解】解：如图所示，连接， ∵点O是三边垂直平分线的交点， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴； ∵点P是三个内角平分线的交点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题：本大题6个小题，共32分． 17. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，．画出关于y轴对称的，并写出点的坐标． 【答案】 解：如图所示，即为所求，则． 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得的坐标，描出，并顺次连接即可． 【详解】略 18. 如图，在中，，是上一点，过作，，垂足分别为、，且．求证：平分． 【答案】 证明：， ， ，， ， 在与中， ， ， ， 又，， 平分． 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，全等三角形的性质与判定，角平分线的判定，先证明，进而可得，根据角平分线的判定定理，即可得证． 【详解】略 19. 如图，在内找一点P，使点P到A，B两点的距离相等，并且点P到点C的距离等于线段的长．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明） 【答案】 点P即为所求： 【解析】 【分析】的垂直平分线上的点到A，B两点的距离相等，以点为圆心，为半径的圆上任意一点到点C的距离等于线段的长．据此即可作图． 【详解】略 【点睛】本题考查线段垂直平分线的尺规作图．掌握相关作图方法即可． 20. 如图，在中，，，于A，，求的长． 【答案】18 【解析】 【分析】先求解，再利用含的直角三角形的性质求解 再证明 从而可得答案. 【详解】解：∵ ，， ∴． ∵，， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，证明是解本题的关键. 21. 如图，是小华用数学软件画的图形．其画图过程是：①用线段工具画，②用角平分线工具画的平分线，画的平分线，③用交点工具 画直线，的交点，④用度量工具测得．回答问题：若测量的度数会是多少？请说明理由． 【答案】 解：测量的度数会，理由如下： ∵，分别是，的平分线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查角平分线定义，三角形内角和定理，由角平分定义得到，，因此，由三角形内角和定理推出，即可求出的度数． 【详解】略 22. 如图，用两个含角且大小相同的三角板（和）摆放在一起，两直角顶点重合，点D恰好落在边上．求证： （1）为等边三角形； （2）． 【答案】（1） 证明：依题意得，， ∴是等边三角形． （2） 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，平行线的判定，三角板中角度的计算，熟知等边三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据题意可得，，据此可证明结论； （2）根据等边三角形的性质和三角板中角度的特点可证明，据此可证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题：本大题5个小题，共40分． 23. 如图，直线l是线段AB的垂直平分线，P点在直线l的右侧，求证：PA＞PB． 【答案】 证明：连接PA交直线l于C，连接PB，BC， ∵直线l是线段AB的垂直平分线， ∴CA＝CB 在△CPB中 ∴AP＝CA+CP＝CB+CP＞PB， 即PA＞PB． 【解析】 【分析】连接交直线于，连接，，根据线段垂直平分线的性质可得，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】略 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和三角形的三边关系，熟练运用三角形的三边关系是解答此题的关键． 24. 如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，CE⊥AB于E，AD与CE交于点F，且AD=CD， （1）求证：△ABD≌△CFD； （2）已知BC=7，AD=5，求AF的长． 【答案】（1）证明：∵AD⊥BC，CE⊥AB， ∴∠ADB=∠CDF=∠CEB=90°， ∴∠BAD+∠B=∠FCD+∠B=90°， ∴∠BAD=∠ECD， 在△ABD和CFD中， ， ∴△ABD≌△CFD（AAS）， （2）3． 【解析】 【分析】（1）利用ASA，可证△ABD≌△CFD； （2）由△ABD≌△CFD，得BD=DF，所以BD=BC﹣CD=2，所以AF=AD﹣DF=5﹣2． 【详解】（1） 略 （2）∵△ABD≌△CFD， ∴BD=DF， ∵BC=7，AD=DC=5， ∴BD=BC﹣CD=2， ∴AF=AD﹣DF=5﹣2=3． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键点证明两个三角形全等. 25. 阅读与思考 下面是森森同学写的一篇数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日星期四 数学推理真有趣 今天数学课上学习了一个“二推一模型”，意思就是平行线、角平分线和等腰三角形，这三个条件只要已知其中的任意两个，就能推导出第三个． 第一种情况，已知：如图，，CE是的平分线．求证：是等腰三角形． 证明：∵，∴． ∵CE是的平分线，∴． ∴．∴．（依据）∴是等腰三角形． 第二种情况 第三种情况 （1）以上证明过程中，依据是______． （2）请你参照日记中的第一种情况，写出其余两种情况的已知和求证，并选择其中一种进行证明． 【答案】（1）两底角相等，则两腰相等； （2） 第二种情况，已知：如图，是等腰三角形，CE是的平分线．求证：． 证明：∵是等腰三角形， ∴． ∵CE是的平分线， ∴． ∴． ∴． 第三种情况，已知：如图，是等腰三角形，．求证：CE是的平分线． 证明：∵， ∴． ∵是等腰三角形． ∴． ∴， ∴CE是的平分线． 【解析】 【分析】根据角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定解题即可． 【小问1详解】 ∵．∴．依据是两底角相等，则两腰相等； 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查角平分线、平行线和等腰三角形的性质和判定.熟练掌握相关性质和定理是解题的关键． 26. 如图，在中，，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E． （1）求的度数； （2）判断的形状，并说明理由． 【答案】（1） （2） 解：为等腰三角形，理由如下： ∵， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）根据等边对等角和三角形内角和定理可得的度数，再由角平分线的定义可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案； （2）根据平行线的性质可得的度数，则可证明，据此可得结论． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 27. 如图，点分别是边长为的等边边上的动点，点从顶点，点从顶点同时出发，且它们的速度都为． （1）连接交于点，则在运动的过程中，变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数； （2）试求何时是直角三角形？ （3）如图，若点在运动到终点后继续在射线上运动，直线交点为，则变化吗？若变化，则说明理由，若不变，则求出它的度数． 【答案】（1）不变， （2）或 （3）不变，． 【解析】 【分析】（）根据是等边三角形得，，由题意得，从而证明，再用全等三角形的性质定理及三角形的角间关系、三角形的外角定理，可求得的度数； （）设时间为，则，，分别就当时；当时，利用直角三角形的性质定理求得的值； （）首先利用边角边定理证得，再利用全等三角形的性质定理得到，再运用三角形角间的关系求得的度数； 本题考查了等边三角形的性质，所对直角边是斜边的一半，全等三角形的判定和性质，熟练掌握知识点的应用及学会用分类讨论的思想是解题的关键． 【小问1详解】 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， 由题意得：， 在和中， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 设时间为，则，， 当时， ∵， ∴， ∴，得，解得：； 当时， ∵， ∴ ， ∴，得，解得：, 当第或秒或第一秒时，为直角三角形； 【小问3详解】 不变，理由： ∵是等边三角形， ∴，， ∴ ， 由题意得， 在和中， ， ∴， ∴，又， ∴ ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $