第三章函数的概念与性质单元测试基础卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

高一数学必修第一册人教A版第三章单元测试基础卷解析版 一、选择题答案速查表 题号 单选题答案 多选题答案 1 B — 2 B — 3 B — 4 A — 5 A — 6 B — 7 D — 8 C — 9：ACD 10：AC 11：BCD 二、单选题详解 第1题 题目： 已知集合 A = {-1, 0, 1}，B = {-1, 1, 2}，下列对应关系中，从A到B的函数为（ ） A. f: x → y = x + 1 B. f: x → y = x² + 1 C. f: x → y = 2x + 1 D. f: x → y = 2x² + 1 分析： 本题考查函数的定义。从集合A到集合B的函数需满足：① A中每个元素都有对应；② 每个元素的对应值都在B中；③ 每个元素只能对应一个值（唯一性）。 详解： · 选项A： f: x → y = x + 1 · x = -1 时，y = -1 + 1 = 0，但 0 ∉ B，不满足对应值在B中的要求 · 故A不是从A到B的函数 · 选项B： f: x → y = x² + 1 · x = -1 时，y = (-1)² + 1 = 2 ∈ B ✓ · x = 0 时，y = 0² + 1 = 1 ∈ B ✓ · x = 1 时，y = 1² + 1 = 2 ∈ B ✓ · A中每个元素都有唯一对应值且在B中，满足函数定义 · 故B是从A到B的函数 ✓ · 选项C： f: x → y = 2x + 1 · x = 1 时，y = 2 × 1 + 1 = 3，但 3 ∉ B · 故C不是从A到B的函数 · 选项D： f: x → y = 2x² + 1 · x = -1 时，y = 2 × (-1)² + 1 = 3，但 3 ∉ B · 故D不是从A到B的函数 答案：B 第2题 题目： 函数的定义域为（    ） A． B．［ C． D．［ 分析： 求函数定义域需考虑：① 分母不为零；② 偶次根号下非负。 详解： 要使函数有意义，需同时满足： 1. 分母 4 - x ≠ 0，即 x ≠ 4 2. 3x - 2 ≥ 0，即 x ≥ 取交集得：x ≥ 且 x ≠ 4 用区间表示为：[, 4) ∪ (4, +∞) 答案：B 第3题 题目：所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)妈妈离开家不久，发现自己把手机忘在家里了，于是返回家里找到了手机再去上班； (2)妈妈骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中因为一次交通堵塞而耽搁了一些时间； (3)妈妈从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①③④ B．④①② C．①②④ D．②③④ 分析： 本题需要根据实际情境分析”离开家的距离”随”时间”变化的图象特征。 详解： · 事件(1)： 妈妈离开家（距离增大）→ 发现忘带手机返回家（距离减小至0）→ 在家停留片刻（距离为0不变）→ 再去上班（距离再次增大） · 对应图象④：先上升→下降回横轴→水平段（距离为0）→再上升 · 事件(2)： 匀速行驶（直线上升）→ 交通堵塞（水平线段，时间增加但距离不变）→ 继续匀速行驶（直线上升） · 对应图象①：直线上升→水平段→直线上升 · 事件(3)： 缓缓加速行进（速度越来越快，即图象斜率越来越大，曲线越来越陡） · 对应图象②：从原点出发，曲线开口向上（斜率逐渐增大） 因此，(1)(2)(3)对应的图象顺序为 ④①②。 答案：B 第4题 题目： 下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 分析： 需要同时满足两个条件：① 偶函数（f(-x) = f(x)）；② 在 (0, +∞) 上单调递减。 详解： · 选项A： y = · 偶函数验证：f(-x) = = = f(x) 是偶函数 · 单调性：当 x > 0 时，y = ,-2<0,在 (0, +∞) 上单调递减 ✓ · 同时满足两个条件 ✓ · 选项B： y = -x³ · f(-x) = -(-x)³ = x³ ≠ f(x)，不是偶函数（是奇函数）✗ · 选项C： y = x² · 偶函数 ✓，但在 (0, +∞) 上单调递增 ✗ · 选项D： y = |x| · 偶函数 ✓，但在 (0, +∞) 上 y = x，单调递增 ✗ 答案：A 第5题 题目： 二次函数 f(x) = x² - 4x - 1 在区间 [0, 3] 上的最大值和最小值分别为（ ） A. -5, -1 B. -4, -1 C. -5, -4 D. 0, -1 分析： 求二次函数在闭区间上的最值，需要考察顶点和区间端点处的函数值。 详解： f(x) = x² - 4x - 1 = (x - 2)² - 5 对称轴 x = 2，开口向上，顶点为 (2, -5) 在区间 [0, 3] 上： - 顶点 x = 2 ∈ [0, 3]，f(2) = -5（最小值候选） 端点 x = 0：f(0) = 0 - 0 - 1 = -1 端点 x = 3：f(3) = 9 - 12 - 1 = -4 比较：f(2) = -5，f(3) = -4，f(0) = -1 最小值 = -5，最大值 = -1 答案：A 第6题 题目： 设函数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 分析： 先计算 f(1) 的值，再分段讨论解不等式。 详解： 首先计算 f(1)：因为 1 ≥ 0，所以 f(1) = 1² - 4 × 1 + 4 = 1 不等式 f(x) < 1 分段讨论： 当 x ≥ 0 时： f(x) = x² - 4x + 4 < 1 x² - 4x + 3 < 0 (x - 1)(x - 3) < 0 解得：1 < x < 3 当 x < 0 时： f(x) = x + 4 < 1 x < -3 综合两段解集：{x | x < -3 或 1 < x < 3} 答案：B 第7题 题目： 已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．-2 分析： 利用奇函数的性质 f(-x) = -f(x) 建立方程组求解 a, b 的值。 详解： 因为 f(x) 是奇函数，所以对定义域内任意 x，都有 f(-x) = -f(x)。 取 x > 0，则 -x < 0： f(-x) = (-x)² - (-x) = x² + x （使用 x ≤ 0 时的表达式） f(x) = -f(-x) = -x² -x= ax² -bx 比较两边同次幂的系数： 故 a = -1 b = 1 因此 a - b = -1 - 1 = -2 答案：D 第8题 题目：已知是R上的奇函数，且在区间上单调递减，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 分析： 利用奇函数的性质和单调性来比较函数值的大小。 详解： 已知 f(x) 是奇函数，且在 (-∞, 0) 上单调递减。 步骤1： 确定 f(0) 的值 因为 f(x) 是奇函数且定义域包含 0，所以 f(0) = 0。 步骤2： 比较 f(-1) 和 f(-0.5) 因为 f(x) 在 (-∞, 0) 上单调递减，且 -1 < -0.5 < 0， 所以 f(-1) > f(-0.5)。 步骤3： 确定 f(-0.5) 与 f(0) 的关系 因为 f(x) 在 (-∞, 0) 上单调递减，且 -0.5 < 0， 所以 f(-0.5) > f(0) = 0。 综合以上：f(0) < f(-0.5) < f(-1) 答案：C 三、多选题详解 第9题 题目： 下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数是同一个函数 C．命题：任意两个等腰三角形都相似；该命题的否定是：存在两个等腰三角形，它们不相似 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 分析： 本题综合考查不等式性质、函数同一性判断、命题否定、定义域求解等知识点。 详解： · 选项A： 若 ac² > bc²，则 c² ≠ 0（否则 0 > 0 不成立），故 c² > 0。两边同除以 c²（正数），得 a > b。✓ 正确 · 选项B： 两个函数是同一个函数需要定义域和对应关系都相同。 · h = 130t - 5t² 中，t 表示时间，实际定义域为 t ≥ 0 且 h ≥ 0，即 0 ≤ t ≤ 26 · y = 130x - 5x² 中，x ∈ R · 定义域不同，不是同一个函数。✗ 错误 · 选项C： 全称命题的否定是特称命题。 · 原命题：∀ 两个等腰三角形，它们相似 · 否定：∃ 两个等腰三角形，它们不相似 · 否定形式正确。✓ 正确 · 选项D： 求 y = f(x-2) + 的定义域 · f(x-2) 要求：-1 ≤ x-2 ≤ 4，即 1 ≤ x ≤ 6 · 要求：2 - x ≥ 0，即 x ≤ 2 · 取交集：1 ≤ x ≤ 2，即定义域为 [1, 2] · ✓ 正确 答案：ACD 第10题 题目： 下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 分析： 本题综合考查定义域、函数同一性、值域、换元法求解析式等知识点。 详解： · 选项A： ，分母不为零：x - 3 ≠ 0，即 x ≠ 3 · 根号下非负：x + 2 ≥ 0，即 x ≥ -2 · 定义域：[-2, 3) ∪ (3, +∞) ✓ 正确 · 选项B： · f(x) =的定义域为 {x | x ≠ 0}（分母不为零） · g(x) = x 的定义域为 R · 定义域不同，不是同一个函数。✗ 错误 · 选项C： y = · x² ≥ 0，所以 x² + 2 ≥ 2 · 0 < ≤ · 值域为 (0, ] ✓ 正确 选项D： f(3x+2) = · 令 t = 3x + 2，则 x = (t-2)/3 · f(t) = = t² - 3t + 1 · 所以 f(x) = x² - 3x + 1故D选项错误 · 答案：AC 第11题 题目： 下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递增，则 D．幂函数的图象都经过点和 分析： 本题要求找出不正确的说法，需要逐一判断每个选项的正误。 详解： · 选项A： 设 f(x) =，过点 (2, ) · = = 2⁻²，所以 a = -2 · f(x) = x⁻² ✓ 说法正确，不选 · 选项B： 幂函数的定义形式为 y = （系数必须为1） · 的系数为 a²+3 · 要使系数为1：a²+3 = 1，即 a² = -2，无实数解 · 所以该函数不是幂函数。✗ 说法不正确，选B · 选项C： 幂函数要求系数 m²-2m-2 = 1 · m²-2m-2 = 1 → m²-2m-3 = 0 → (m-3)(m+1) = 0 · m = 3 或 m = -1 · 在 (0, +∞) 上单调递增需 m > 0，故 m = 3 · 但选项说 m = 1，不正确。✗ 说法不正确，选C · 验证：m = 1 时 y = (1-2-2)x¹ = -3x，在 (0,+∞) 上单调递减，不满足条件 · 选项D： · 幂函数 y = 都过点 (1, 1)（因为 = 1）✓ · 但不都过点 (0, 0)：例如 y = x⁻¹ = 在 x = 0 处无定义 · ✗ 说法不正确，选D 答案：BCD 四、填空题详解 第12题 题目： 已知 f(x³) = x² + 1，则 f(8) = ________ 分析： 需要找到合适的 x 值使得 x³ = 8，然后代入计算。 详解： 令 x³ = 8，解得 x = 2 将 x = 2 代入 f(x³) = x² + 1： f(2³) = 2² + 1 f(8) = 4 + 1 = 5 答案：5 第13题 题目： 请写出一个定义域为 R 的幂函数 f(x)，满足 f(-x) - f(x) = 0，且对任意 x₁, x₂ ∈ (0, +∞)，当 x₁ ≠ x₂ 时，(x₁ - x₂)[f(x₁) - f(x₂)] > 0，则 f(x) = ________ 分析： 需要同时满足三个条件：① 定义域为 R；② f(-x) = f(x) 即偶函数；③ 在 (0, +∞) 上单调递增。 详解： 条件解读： 1. f(-x) - f(x) = 0 → f(-x) = f(x)，f(x) 是偶函数 2. (x₁ - x₂)[f(x₁) - f(x₂)] > 0（x₁ ≠ x₂）： 当 x₁ > x₂ 时，x₁ - x₂ > 0，需要 f(x₁) - f(x₂) > 0，即 f(x₁) > f(x₂) 当 x₁ < x₂ 时，x₁ - x₂ < 0，需要 f(x₁) - f(x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂) 综上，f(x) 在 (0, +∞) 上严格单调递增 设幂函数 f(x) = ： 定义域为 R：a 为非负整数（或更一般地，a = 其中 p, q 为奇数且 q > 0） 偶函数：需要 a 为偶数 在 (0, +∞) 上递增：a > 0 取 a = 2：f(x) = x² - 定义域为 R ✓ - f(-x) = (-x)² = x² = f(x)，偶函数 ✓ - 在 (0, +∞) 上，x₁ > x₂ > 0 时 x₁² > x₂²，单调递增 ✓ 答案：x²（答案不唯一，如 x⁶ 等也满足条件） 第14题 题目： 已知函数 f(x) = x² + ax + b 在区间 (-∞, 2] 上单调递减，在 [2, +∞) 上单调递增，且 f(m+2) < f(3)，则实数 m 的取值范围是________ 分析： 由单调性确定对称轴，再利用二次函数的对称性解不等式。 详解： f(x) = x² + ax + b 是开口向上的抛物线。 由题意，f(x) 在 (-∞, 2] 上递减，在 [2, +∞) 上递增， 所以对称轴为 x = 2，即 = 2，解得 a = -4。 f(x) = x² - 4x + b = (x - 2)² + b - 4 利用对称性：f(x) 关于 x = 2 对称，所以 f(3) = f(1)（3和1关于2对称）。 所以 答案：(-1, 1) 五、解答题详解 第15题 题目： 已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． (1) 求函数的定义域 分析： 需要同时满足根号下非负和分母不为零两个条件。 详解： 要使函数有意义： 1. x + 2 ≥ 0，即 x ≥ -2 2. x + 1 ≠ 0，即 x ≠ -1 定义域为：[-2, -1) ∪ (-1, +∞) (2) 详解： f() = + = (3) 当 a > 0 时，求 f(a)，f(a+1) 的值 详解： f(a) = + f(a+1) = + =+ 第16题 题目： 已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. (1) 判断函数 f(x) 在 (0, +∞) 上的单调性，并用单调性的定义证明 分析： 先通过变形判断单调性，再用定义严格证明。 详解： f(x) = = 1 - 判断： f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。 证明： 任取 x₁, x₂ ∈ (0, +∞)，且 x₁ < x₂ f(x₁) - f(x₂) = (1 - ) - (1 - ) = 因为 0 < x₁ < x₂： - x₁ - x₂ < 0 - x₁x₂ > 0 所以 f(x₁) - f(x₂) < 0，即 f(x₁) < f(x₂) 由单调递增的定义，f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增。 (2) 求关于 x 的不等式 f(2+x) < f(x²) 的解集 分析： 利用函数的单调性将函数不等式转化为代数不等式，同时注意定义域限制。 详解： 首先确定定义域： - 2 + x > 0，即 x > -2 - x² > 0，即 x ≠ 0 因为 f(x) 在 (0, +∞) 上单调递增， 所以： f(2+x) < f(x²) ⟺ 2 + x < x² 解 x² - x - 2 > 0即 (x - 2)(x + 1) > 0 解得：x > 2 或 x < -1 结合定义域 x > -2 且 x ≠ 0： 得 -2 < x < -1 或 x > 2 解集为：(-2, -1) ∪ (2, +∞) 第17题 题目： 已知函数． (1)若函数为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (3)求函数在区间上的最小值． (1) 若函数 f(x) 为偶函数，求实数 k 的值 详解： f(x) 为偶函数 ⟺ f(-x) = f(x) 对任意 x 成立 f(-x) = (-x)² - 2k(-x) + 1 = x² + 2kx + 1 f(x) = x² - 2kx + 1 f(-x) = f(x) x² + 2kx + 1 = x² - 2kx + 1 4kx = 0 对任意 x 成立 所以 k = 0 (2) 若函数 f(x) 在区间 [-1, 3] 上具有单调性，求实数 k 的取值范围 详解： f(x) = x² - 2kx + 1 对称轴为 x = k，开口向上。 要使 f(x) 在 [-1, 3] 上具有单调性，对称轴必须在区间 [-1, 3] 之外 对称轴在区间左侧：k ≤ -1 对称轴在区间右侧：k ≥ 3 所以 k 的取值范围为：(-∞, -1] ∪ [3, +∞) (3) 求函数 f(x) 在区间 [-1, 1] 上的最小值 详解： f(x) = (x - k)² + 1 - k²，对称轴 x = k 根据 k 与区间 [-1, 1] 的位置关系分类讨论： ① 当 k ≤ -1 时： 对称轴在区间左侧，f(x) 在 [-1, 1] 上单调递增 最小值 = f(-1) = (-1)² - 2k(-1) + 1 = 1 + 2k + 1 = 2 + 2k ② 当 -1 < k < 1 时： 对称轴在区间内部 最小值在顶点处取得 最小值 = f(k) = k² - 2k² + 1 = 1 - k² ③ 当 k ≥ 1 时： 对称轴在区间右侧 f(x) 在 [-1, 1] 上单调递减 最小值 = f(1) = 1 - 2k + 1 = 2 - 2k 综上： 当 k ≤ -1 时，最小值为 2 + 2k 当 -1 < k < 1 时，最小值为 1 - k² 当 k ≥ 1 时，最小值为 2 - 2k 第18题 题目： 已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. (1) 求出函数 f(x) 的解析式 详解： 当 x > 0 时，-x < 0，所以： f(-x) = (-x)² - 2(-x) = x² + 2x 因为 f(x) 是奇函数，f(x) = -f(-x) f(x) = -(x² + 2x) = -x² - 2x 所以： (2) 画出函数 f(x) 的图象，并写出函数的单调区间 详解： 单调区间：单调递减区间：(-∞, +∞)（在整个定义域上单调递减） (3) 根据图象写出使 f(x) < 0 的 x 的取值集合 详解： 当 x ≤ 0 时： f(x) = x² - 2x = x(x - 2) 因为 x ≤ 0，所以 x ≤ 0 且 x - 2 ≤ -2 < 0 x(x - 2) ≥ 0（两个非正数之积为非负） 所以当 x ≤ 0 时，f(x) ≥ 0，f(x) < 0 无解 当 x > 0 时： f(x) = -x² - 2x = -x(x + 2) 因为 x > 0，所以 x > 0 且 x + 2 > 0 -x(x + 2) < 0 所以当 x > 0 时，f(x) < 0 恒成立 综上，f(x) < 0 的解集为 (0, +∞) 第19题 题目： 如图，是边长为4的等边三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为． (1)求函数的解析式； (2)画出函数在区间上的图象 (1)求函数的解析式； 详解：① 时， ② 时， ③时， 综上可得： (2) 画出函数 y = 在区间 (0, +∞) 上的图象 详解： 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学必修第一册人教A版第三章单元测试基础卷 一、单选题 1．已知集合，下列对应关系中，从到的函数为（　　） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（    ） A． B．［ C． D．［ 3．所给4个图象中，与下列所给3件事吻合最好的顺序为（   ） (1)妈妈离开家不久，发现自己把手机忘在家里了，于是返回家里找到了手机再去上班； (2)妈妈骑着车离开家后一路匀速行驶，只是在途中因为一次交通堵塞而耽搁了一些时间； (3)妈妈从家出发后，心情轻松，一路缓缓加速行进． A．①③④ B．④①② C．①②④ D．②③④ 4．下列函数中，既是偶函数，又在 上单调递减的是（    ） A． B． C． D． 5．二次函数在区间上的最大值和最小值分别为（    ） A． B． C． D． 6．设函数，则不等式的解集是（    ） A． B．或 C． D．或 7．已知函数为奇函数，则等于（    ） A． B．1 C．0 D．-2 8．已知是R上的奇函数，且在区间上单调递减，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列说法正确的是（   ） A．若，，则 B．表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数是同一个函数 C．命题：任意两个等腰三角形都相似；该命题的否定是：存在两个等腰三角形，它们不相似 D．已知函数的定义域为，则函数的定义域为 10．下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域为 B．和表示同一个函数 C．函数的值域为 D．已知，则 11．下列说法不正确的有（   ） A．若幂函数过点，则 B．函数是幂函数 C．若幂函数在上单调递增，则 D．幂函数的图象都经过点和 三、填空题 12．已知 ，则 ________. 13．请写出一个定义域为的幂函数，满足，且对任意，当时，，则__________． 14．已知函数在区间上单调递减，在上单调递增，且，则实数m的取值范围是________． 四、解答题-问答题 15．已知函数. (1)求函数的定义域； (2)求的值； (3)当时，求，的值． 16．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并用单调性的定义证明； (2)求关于x的不等式的解集. 17．已知函数． (1)若函数为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上具有单调性，求实数的取值范围； (3)求函数在区间上的最小值． 18．已知函数是定义域为的奇函数，当时，. (1)求出函数的解析式； (2)画出函数的图象，并写出函数的单调区间； (3)根据图象写出使的x的取值集合. 19．如图，是边长为4的等边三角形，记位于直线（）左侧的图形的面积为． (1)求函数的解析式； (2)画出函数在区间上的图象 答案第2页（共3页） 答案第3页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $