精品解析：山西朔州市2026-2027学年九年级上学期期中阶段评估数学试卷（北师大版）

九年级数学（北师大版） 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】一元二次方程是只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程，据此逐项判断即可． 【详解】解：A． ，符合一元二次方程的定义，是一元二次方程； B． 含两个未知数，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； C． 未说明，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程； D． 是分式方程，不是整式方程，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程． 2. 如图，这是一个蒙古包的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：图中蒙古包的几何体下半部分是圆柱、上半部分是圆锥， 从上面看，圆柱的俯视图是圆，圆锥的俯视图是一个圆，且圆心处有一个点，组合后就是一个圆，且圆心处有一个点的图形，选项C符合题意． 3. 如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：设小正方形的边长为 ∵五边形五边形， ． 4. 如图，在菱形中，对角线和相交于点．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直且平分的性质，求出直角三角形两条直角边的长度，再通过勾股定理计算菱形边长． 【详解】解：四边形是菱形， ，，． ，， ， ． ∴在中，． 5. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把代入方程，求解即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的根， ∴， 解得． 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质列方程求解即可． 【详解】解：和是以点O为位似中心的位似三角形， ， ，， ， ． 7. 我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】利用同一时刻太阳光下物高与影长成正比的关系列比例式求解即可． 【详解】解：设甲立柱的高度为米． ∵同一时刻太阳光下物高与影长成正比， ∴，解得． 8. 如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正方形的性质、勾股定理求出的长，再利用中位线的性质解答即可． 【详解】解：如图，连接， 正方形的边长为， ， ，分别为，的中点， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ，分别为，的中点， ． 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将实际问题转化为直角三角形问题，利用勾股定理列方程． 【详解】解：设门对角线长为尺，则竿长为尺，门宽为尺，门高为尺， ∵门的宽、高与对角线构成直角三角形，对角线为斜边， ∴根据勾股定理，得． 10. 如图，在矩形中，对角线和交于点O，于点E．若，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，先根据矩形的性质证明，进一步求得，，再求出，即可得到答案． 【详解】解：设， ， ， ， 四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 矩形的面积为． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴未知数的最高次数为2，即， 解得. 12. 如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体为________． 【答案】三棱柱 【解析】 【分析】根据三视图的形状，底面视图为三角形，另外两个视图是矩形，对照常见立体图形的三视图特征判断几何体． 【详解】解：由俯视图是三角形，主视图、左视图都是矩形，可得该几何体是三棱柱． 13. 如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意得出，再代入求值即可． 【详解】解：∵直线， ， ∵，，， ， ． 14. 我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，经过两年的努力，计划我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，则我国这两年并网太阳能发电装机容量的年平均增长率约为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据等量关系（其中表示增长前的量，表示增长后的量，表示增长的周期数，是增长率），在得到方程的解后，要检验它是否符合实际意义． 【详解】解：设这两年并网太阳能发电装机容量的年均增长率为， 则由题意可得， 解得（不符合题意，舍去）， 即这两年并网太阳能发电装机容量的年平均增长率约为． 15. 如图，在中，是边上一点，平分交于点．若，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得出，求出即可求出结论． 【详解】解：∵， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ∵，， ， ， ． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解答下列各题： （1）解方程：． （2）已知（，不为），求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据比例性质，设，则，，进而代值求解即可． 【小问1详解】 解：， 或， ，． 【小问2详解】 解：设， 则，， ． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，已知为等边三角形，且，求证：四边形是菱形． 【答案】证明：为等边三角形， ，． ， ， ， 即． ∵四边形是平行四边形， ． 在和中， ， ， ． ∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】根据等边对等角及角的组合，可证明，由已知可知，，则可证，所以．已知四边形是平行四边形，则可证四边形是菱形． 【详解】略 18. 如图，这是由个小正方体组合成的立体图形． （1）分别画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图． （2）若将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三视图的定义，分别画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图即可． （2）把主视图、左视图和俯视图的正方形个数求和再乘以2，再加上主视图、左视图和俯视图没有反映出来的两个正方形，计算即可得这个立体图形表面涂上红色（底面不涂）所需要涂的面的个数. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：根据立体图形的三视图，结合立体图形得： （个）， ∴将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），所需要涂的面为36个. 19. 已知关于的一元二次方程的两实数根为，． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入原方程，得，根据根与系数关系得到，，代入求解即可； （2）由根与系数关系求得，代入原方程中求解即可． 【小问1详解】 解：当时，原方程为， 则， ，， ； 【小问2详解】 解：∵关于的一元二次方程的两实数根为，， ∴， ，， ． 将代入原方程可得， 解得， 经检验，满足题意． 20. 项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 【答案】迎薰门城楼的高度约为米 【解析】 【分析】作辅助线，结合已知垂直条件，先证明四边形与四边形为矩形，得到对应线段长度；再证明三角形相似，利用相似三角形对应边成比例求出，最后求出． 【详解】解：如图，过点作于点，交于点． ，， ． ， ． ，，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． ，， ，即． ，， ． ，， 四边形四个内角都是直角． 四边形是矩形． 米，米． 米， 米． ，， ． ． ． ． 解得米． 米． 答：迎薰门城楼的高度约为16米． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 方花板的原理及应用 【简介】山西古建筑中有一个方花板，它是由一个正方形主体和一个矩形装饰条组合而成的．工匠师傅会让矩形装饰条的一边等于正方形的边长，另一条边长根据设计需要来调整，通过正方形和矩形的总面积，可以计算出装饰构件的尺寸． 【条件】如图，这是一种方花板，它是由一个边长为分米的正方形和一个矩形组合而成的，其中矩形的一边长等于正方形的边长，而另一边长比正方形的边长少2分米． 【问题】若方花板的总面积平方分米，则的值为 ． （1）问题中的横线上应填写________． （2）是否存在正整数，使得这种方花板的总面积为平方分米，并说明理由． （3）要使这种方花板的总面积大于平方分米，请直接写出满足条件的一个正整数． 【答案】（1）4 （2）不存在． 理由：根据题意得， 整理得， ． ， 不是完全平方数， ∴正方形的边长不是有理数， ∴不存在正整数，使得这种方花板的总面积为平方分米． （3）（答案不唯一，只要大于即可） 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程求解； （2）根据题意列方程求解，验证根的情况即可； （3）根据题意列出的函数关系式，求出当时的值，由函数的性质即可解答． 【小问1详解】 解：由题意可得， 整理得， 解得，（舍去） 即的值为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由题意可知， 当时，， 解得，， 开口向上， 当或时，， 是正整数， ， ∴满足条件的一个正整数为（答案不唯一，只要大于即可）． 22. 综合与实践 【问题情境】 山西晋中市某古建筑实践研学小组，参观晋商大院时观察院内各式木质格栅框架（如图），这些可拆装的格栅由木条铰接而成，转动木条，能够变化出平行四边形、菱形、矩形、正方形等不同造型，小组围绕特殊的平行四边形开展探究学习活动． 如图，四边形是木条铰接而成的菱形格栅框架，对角线，交于点，是边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． 【实践研究】 （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 【拓展应用】 （3）如图，转动菱形格栅，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：是边的中点， ． ， ． 在和中， ， ， ． ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， ， 四边形是矩形． （2）菱形的面积为； （3）四边形是正方形， 理由：四边形是菱形，， 四边形是正方形， ，． ， ，． 在和中， ， ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． ， 四边形是正方形． 【解析】 【分析】（1）由全等证明四边形是平行四边形，再根据菱形的性质说明，从而得证； （2）分别求出菱形两条对角线的长，根据菱形面积等于两对角线长乘积的一半即可解答； （3）由全等证明四边形是平行四边形，根据说明四边形是矩形，再利用即可证明四边形是正方形． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：，， ，． 由（1）得四边形是矩形， ， ， ， ， 菱形的面积为． 【小问3详解】 略． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接． 【初步探究】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图，是否存在这样的点，使得为边的中点，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图，当点在射线上运动（不与点，重合）时，连接，线段交直线于点，其他条件不变，当是线段的三等分点时，请直接写出的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ， ． ， ， ， ． ， ． （2）不存在这样的点，使得为边的中点， 理由：假设存在这样的点，使得，设． ，． 为边的中点，， ． 由（1）知， ， ， ，整理得． ， ∴方程没有实数根． ∴不存在这样的点，使得为边的中点． （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据两角对应相等可证明题目； （2）利用反证法证明，假设存在这样的点，使得，设，则，，根据，可得，列方程，因为此方程没有实数根．所以假设错误，则题目可证； （3）因为为线段的三等分点，所以或，分两种情况解答即可； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：为线段的三等分点，或． ①如图，当时，过点作于点． 设，则． 由（1）可得，则有， ， ． ， ， ． ， ， ， ，，． ，， ， ， ， ， ， ， ． ， ． ∵点不与点，重合， ． 由， 解得， 的长为； ②如图，当时，则，作于点． 设，则． 由（1）易得， 则有， ， ． ， ， ， ，， ． ， ， ， ， ， ， ． ， ． ∵点不与点，重合， ， ， 解得， 的长为． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学（北师大版） 时间：120分钟 满分：120分 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，这是一个蒙古包的几何体，则该几何体的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在菱形中，对角线和相交于点．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 5. 若一元二次方程的一个根为，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，和是以点O为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 8. 如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知竿的长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，对角线和交于点O，于点E．若，，则矩形的面积为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 12. 如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体为________． 13. 如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 14. 我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，经过两年的努力，计划我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，则我国这两年并网太阳能发电装机容量的年平均增长率约为________． 15. 如图，在中，是边上一点，平分交于点．若，，，则的长为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 解答下列各题： （1）解方程：． （2）已知（，不为），求的值． 17. 如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，已知为等边三角形，且，求证：四边形是菱形． 18. 如图，这是由个小正方体组合成的立体图形． （1）分别画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图． （2）若将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 19. 已知关于的一元二次方程的两实数根为，． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 20. 项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 21. 阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 方花板的原理及应用 【简介】山西古建筑中有一个方花板，它是由一个正方形主体和一个矩形装饰条组合而成的．工匠师傅会让矩形装饰条的一边等于正方形的边长，另一条边长根据设计需要来调整，通过正方形和矩形的总面积，可以计算出装饰构件的尺寸． 【条件】如图，这是一种方花板，它是由一个边长为分米的正方形和一个矩形组合而成的，其中矩形的一边长等于正方形的边长，而另一边长比正方形的边长少2分米． 【问题】若方花板的总面积平方分米，则的值为 ． （1）问题中的横线上应填写________． （2）是否存在正整数，使得这种方花板的总面积为平方分米，并说明理由． （3）要使这种方花板的总面积大于平方分米，请直接写出满足条件的一个正整数． 22. 综合与实践 【问题情境】 山西晋中市某古建筑实践研学小组，参观晋商大院时观察院内各式木质格栅框架（如图），这些可拆装的格栅由木条铰接而成，转动木条，能够变化出平行四边形、菱形、矩形、正方形等不同造型，小组围绕特殊的平行四边形开展探究学习活动． 如图，四边形是木条铰接而成的菱形格栅框架，对角线，交于点，是边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． 【实践研究】 （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 【拓展应用】 （3）如图，转动菱形格栅，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 23. 综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接． 【初步探究】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图，是否存在这样的点，使得为边的中点，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图，当点在射线上运动（不与点，重合）时，连接，线段交直线于点，其他条件不变，当是线段的三等分点时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $