山西朔州市2026-2027学年九年级上学期期中阶段评估数学试卷（北师大版）

九年级数学（北师大版） 作答时间：120分钟 试题满分：120分 一．选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在下表中） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 1．下列方程一定是一元二次方程的是 A． B． C． D． 2．如图，这是一个蒙古包的几何体，则该几何体的俯视图是 A． B． C． D． 3．如图，在正方形网格中，五边形和五边形的顶点均在格点（网格线的交点）上，已知五边形五边形，则的值为 A． B． C． D． 4．如图，在菱形中，对角线和相交于点．若，，则菱形的边长为 A． B． C． D． 5．若一元二次方程的一个根为，则的值是 A． B． C． D． 6．如图，和是以点为位似中心的位似三角形，已知，，则的长为 A． B． C． D． 7．我市某校墙边有甲、乙两根立柱，同一时刻测得甲、乙两根立柱在太阳光下的影子的长度分别是米和米，乙立柱的高度为米，则甲立柱的高度为 A．米 B．米 C．米 D．米 8．如图，在边长为的正方形中，，分别为，的中点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的长为 A． B． C． D． 9．《九章算术》中记载：今有户不知高广，竿不知长短，横之不出四尺，纵之不出二尺，斜之适出，问户斜几何？意思是：今有门，不知其高宽，不知其长短．将一根竿子横放，竿比门宽长出尺；竖放竿比门高长出尺，斜着放，竿与门对角线恰好相等．问门高、宽、对角线长分别是多少．若设门对角线长为尺，则可列方程 A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，对角线和交于点，于点．若，，则矩形的面积为 A． B． C． D． 二．填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．若关于的方程是一元二次方程，则的值是________． 12．如图，这是一个几何体的三视图，则该几何体为________． 13．如图，直线，另外两条直线分别与这三条直线相交于点，，与点，，．若，，，则的长为________． 14．我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，经过两年的努力，计划我国年并网太阳能发电装机容量约为亿千瓦，则我国这两年并网太阳能发电装机容量的年平均增长率约为________． 15．如图，在中，是边上一点，平分交于点．若，，，则的长为________． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题共小题，每小题5分，共10分） （1）解方程：． （2）已知（，不为），求的值． 17．（本题7分）如图，在平行四边形中，点，分别在边，上，已知为等边三角形，且，求证：四边形是菱形． 18．（本题9分）如图，这是由个小正方体组合成的立体图形． （1）分别画出该立体图形的主视图、左视图和俯视图． （2）若将这个立体图形表面涂上红色（底面不涂），则需要涂________个面． 19．（本题8分）已知关于的一元二次方程的两实数根为，． （1）若，求的值． （2）若，求的值． 20．（本题7分）项目性学习 项目背景：山西省古建筑众多，某校九年级数学实践小组学习了《图形的相似》后，利用夜晚灯光，测量平遥古城迎薰门城楼的高度，形成了如下实验报告： 项目主题 灯光下测量平遥古城迎薰门城楼的高度 驱动任务 借助灯光实地采集数据，运用图形的相似完成高度测量 测量图形 测量说明 1．表示迎薰门城楼的高度，所在的直线表示水平地面，，点，，从左到右依次排在地面上．点为城楼顶端的灯泡的位置． 2．为标杆，为学生高度，且，． 3．学生左、右移动位置，使点，，恰好在同一条直线上 测量数据 经测量得米，米，米，米 反思 … 请根据表格中的数据，求迎薰门城楼的高度（结果精确到米）． 21．（本题8分）阅读与思考 阅读下列材料，完成后面的任务． 方花板的原理及应用 【简介】山西古建筑中有一个方花板，它是由一个正方形主体和一个矩形装饰条组合而成的．工匠师傅会让矩形装饰条的一边等于正方形的边长，另一条边长根据设计需要来调整，通过正方形和矩形的总面积，可以计算出装饰构件的尺寸． 【条件】如图，这是一种方花板，它是由一个边长为分米的正方形和一个矩形组合而成的，其中矩形的一边长等于正方形的边长，而另一边长比正方形的边长少2分米． 【问题】若方花板的总面积平方分米，则的值为 ▲ ． 任务：（1）问题中的横线上▲应填写________． （2）是否存在正整数，使得这种方花板的总面积为平方分米，并说明理由． （3）要使这种方花板的总面积大于平方分米，请直接写出满足条件的一个正整数． 22．（本题13分）综合与实践 【问题情境】 山西晋中市某古建筑实践研学小组，参观晋商大院时观察院内各式木质格栅框架（如图），这些可拆装的格栅由木条铰接而成，转动木条，能够变化出平行四边形、菱形、矩形、正方形等不同造型，小组围绕特殊的平行四边形开展探究学习活动． 如图，四边形是木条铰接而成的菱形格栅框架，对角线，交于点，是边的中点，连接，过点作交的延长线于点，连接． 【实践研究】 （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，求菱形的面积． 【拓展应用】 （3）如图，转动菱形格栅，当时，试判断四边形的形状，并说明理由． 23．（本题13分）综合与探究 【问题情境】 如图，在矩形中，，，是边上的一个动点（点不与点，重合），连接，过点作交直线于点，连接． 【初步探究】 （1）求证：． 【深入探究】 （2）如图，是否存在这样的点，使得为边的中点，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． （3）如图，当点在射线上运动（不与点，重合）时，连接，线段交直线于点，其他条件不变，当是线段的三等分点时，请直接写出的长． 学科网（北京）股份有限公司 $九年级数学（北师大版）参考答案 1.A2.C3.D4.B5.B6.C7.C8.D9.A10.B 11.312.三棱柱13.714.50% 15.5 16.(1)解：x(x-6)=0 x=0或x-6=0, .x=0x2=6 …5分 a b =k (2)解：设57 则a=5k,b=7k :a+b_5k+7k_12k=-6 a-b 5k-7k-2k …5分 17.证明：，△AEF为等边三角形， ∴.AE=AF,∠AEF=∠AFE=60° CE=CF,∴.∠CEF=∠CFE, …2分 :.180°-∠AEF-∠CEF=18O°-∠AFE-∠CFE,即∠AEB=∠AFD. :四边形ABCD是平行四边形，∠B=∠D.…4分 ∠B=∠D ∠AEB=∠AFD 在△AEB和△AFD中， AE=AF ∴.△AEB≌△AFD(AAS) .AB=AD :四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形. ….7分 18。解：(1)如图所示.…6分 产年●●。用中气带作中参年 主视图 左视图 俐况图 (2)38 ……9 19.解：(1)当k=6时，原方程为5x2+6x-2=0 6 2 4分 5, 4 X12=- (2) 5..x2=-2 …6分 将5=-2代入原方程可得5×(-2-2k-2=0 解得k=9 。。。。。。。。。。 8分 20.解：如图，过点E作EG⊥AB于点G,EG与CD相交于点H, 光线 G F B水平形而 易得四边形EFBG和四边形EFDH都是矩形. ∴.EG=FB=24.2米，BG=HD=EF=1.5米，EH=FD=2.5米. CD=3米，.CH=CD-HD=3-1.5=1.5(米).…2分 CD⊥FB,AB⊥FB,.CDI∥AB EH CH :△EHC∽△EGA,·EGAG, 2.51.5 “24.2AG,解得AG=14.52米， …5分 .AB=AG+BG=14.52+1.5=16.02≈16（米）. 答：迎薰门城楼的高度AB约为16米。 7分 21.解：(1)4.. …3分 (2)不存在. 4分 理由：根据题意得r+x(x-2)=48 整理得x2-x-24=0, .△=(-1)2-4×1×(-24)=97 :97不是完全平方数，∴正方形的边长x不是有理数， “不存在正整数×，使得这种方花板的总面积为48平方分米. …6分 (3)7(答案不唯一，只要大于6即可)· …8分 22.解：(1)证明：：E是边BC的中点，BE=CE .BFI∥AC..∠EBF=∠ECO 「∠EBF=∠ECO BE=CE 在△EBF和△ECO中， ∠BEF=∠CEO ∴.△EBF≌△ECO(ASA) ∴.BF=OC 2分 :BFIIOC,、.四边形OBFC是平行四边形. :四边形ABCD是菱形， ∴.AC⊥BD,.∠BOC=90°， 四边形0BFC是矩形.…4分 (2)EF=OE=5,BD=16, ·OF=2EF=10, OD=OB=-BD=8 由(1)得四边形OBFC是矩形， ∴.BC=OF=10 0A=0C=VBC2-B02=V102-82=6,…6分 ∴.AC=20A=2×6=12, ∴S装n-)4CBD=x12x16=96 菱形ABCD的面积为96.…8分 (3)四边形OBFC是正方形 9分 理由：：四边形ABCD是菱形，∠BAD=90° 四边形ABCD是正方形， ∴.∠BOC=90°，OB=OC :BFIOC,.∠EBF=∠ECO,∠EFB=∠EOC BE=CE,.△EBF2△EC0,…11分 ∴.BF=OC,.四边形OBFC是平行四边形. ∠BOC=90°，四边形OBFC是矩形. :BO=CO,四边形OBFC是正方形. …13分 23.解：(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠B=∠C=90°， .∠CEF+∠CFE=90° :AE⊥EF,∴.∠AEF=90° ∴.∠AEB+∠CEF=90° ∴.∠AEB=∠CFE. :∠B=∠C .△ABE∽△ECF …4分 (2)不存在这样的点E,使得F为边CD的中点…5分 理由：假设存在这样的点E,使得FC=DF,设BE=x .BC=3...CE=3-x :F为边CD的中点，CD=AB=4, :CF=DF=1CD=1x4=2 由(1)知△ABEn△ECF, .AB BE ∴ECCF,∴AB.CF=BE·EC, 4×2=x(3-),整理得2-3x+8=0. △=(-3)2-4×1×8=9-32=-23<0 方程没有实数根。 .不存在这样的点E,使得F为边CD的中点.… …9分 832 (3)3或3.… …13分 提示：G为线段EF的三等分点，.EG=2FG或FG=2EG. O如图l,当EG=2FG时，过点G作GH⊥BC于点H. D E HC 图 设BE=x,则CE=3-x. AB BE 由(1)可得△ABE∽△ECF,则有CECF, CF=x3-x) 3-x CF, 4 .GHIICF,.△EGH∽△EFC. GH EH EG CF EC EF EG 2 EG=2FG,EF3, GH EH EG 2 CF EC EF 3, BH-6-cH-0-).Gm-号cr .GH⊥BC.AB⊥BC.∴.GH∥AB, AB BC .43 △CABn△CGH,“GHCH,“GHCH, .on-fcuc-cu 3 Cr=20m=2×6-刘=6-) :cF-60:60-23-) 4, 4 3 :点E不与点B,C重合，∴≠3. x3-23- 8 由4 3 P ·BE的长为3： ②如图2，当FG=2EG时，则EG:EF=1:3,作GH⊥CE于点H. D H 图2 设BE=x,则CE=x-3. AB BE 由(I)易得△ABE∽△ECF,则有CECF, 3示，cr=-) 4 x 4 GHIICF,∴.△EGH∽△EFC, 是.Bnc--)om-cF CF EC 3. 3 3 Hc=2BH-号6x-3) :GHI∥AB,∴.△CAB∽△CGH. AB BC 43 GH CH,GH CH Gm-等c -号-)cr--) 3 …cr-》列- 4, 点E不与点B,C重合，x≠3， ..r_8 32 X= 43,解得3， 32 BE的长为3. 832 综上所述，BE的长为3或3.