精品解析：贵州贵阳市第一中学2026-2027学年高二上学期教学质量监测卷（一）数学试题

贵阳一中2026—2027学年高二年级第一学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则. 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量的概念逐项判断即可. 【详解】选项A：若，，则与不一定平行，如在正方体中， 满足，，此时，故A说法错误； 选项B：表示与共线的向量，表示与共线的向量，所以与不一定相等，B说法错误； 选项C：向量的数量积满足乘法分配律，所以，C说法正确； 选项D：若，则与模长相等，方向不一定，所以与不一定相等，D说法错误； 故选：C 3. 已知圆：关于直线：对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】圆：关于直线：对称，则圆心在直线上. 【详解】根据题意可知：圆：的圆心在直线：上，所以，即. 4. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合空间向量基本定理，利用向量运算得，利用数量积的运算律，根据即可求得的长. 【详解】因为，所以， 所以 ， 所以，即的长为． 5. 已知长度为4的线段的两个端点和均在圆：上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆的垂径定理，结合勾股定理求出AB中点到原圆圆心的距离为定值，进而得到中点的轨迹方程. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径， 设线段的中点为，根据垂径定理可得， 已知，故半弦长， 在中，由勾股定理得，其中， 代入数值可得，解得， 由于为点到圆心的距离，故， 因此中点的轨迹方程为. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积．已知在中，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用余弦定理结合已知条件求出的值，再由基本不等式求得的最大值，最后代入秦九韶三斜求积公式计算面积的最大值即可. 【详解】由余弦定理得，代入可得 ， 将代入上式，得，即， 由基本不等式可得对正实数有，当且仅当时等号成立， 将代入三斜求积公式，得 ， 当取最大值8时，取最大值， 代入得 ，因此面积的最大值为. 7. 在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】不妨设直线的倾斜角为，则直线的斜率分别为，由得到，由，得到的方程，计算得解. 【详解】不妨设直线的倾斜角为， 则直线的斜率分别为， ，， 又，，即． 又，， 化简得， 解得（负值舍去）． 故选：D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，关于的方程恰好有7个不同的实数根，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用时的解析式结合偶函数图象特征，画出函数的草图，利用换元法化简目标方程，统计不同t值所对应的x的个数，结合题干要求逆推t需满足的特定值，利用韦达定理求出m、n. 【详解】当时，函数， 是以为对称轴，顶点的抛物线，； 当时，函数单调递增，，. 又函数是定义域为的偶函数，故函数图象关于y轴对称， 令，方程可化为， 当时，每个t对应2个x，当时，每个t对应4个x， 当时，每个t对应6个x，当时，每个t对应3个x， 当时，每个t对应0个x， 关于t的一元二次方程最多有2个根，从以上情况中选择两个t的特定值，使得x有7个不同实数解， 即， 由韦达定理，，解得，所以. 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形是圆 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，若，则； 对于B，设复数，， 即，所以只要满足的复数都满足题意， 不只有或，故B错误； 对于C，若点的坐标为，所以对应的复数， 所以，在复平面对应的点为为第三象限，故C正确； 对于D，设复数，则点的坐标为， ， 所以， 即，所以点的集合所构成的图形是圆心为，半径为的圆. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：恒过定点 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是： D. 直线倾斜角的范围是 【答案】CD 【解析】 【详解】对A，直线：，过定点，故A错误； 对B，经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为或，故B错误； 对C，因为， 因为直线过点，且与点的距离最远， 所以直线，所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，化简得，故C正确； 对D，直线的斜率为， 因为，所以，所以. 设直线的倾斜角为，，则，所以，故D正确. 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则不存在点，使得 B. 若，则 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】通过建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，利用空间向量共线、垂直的判定，球面上的点到定点的距离最值，以及面面平行性质和三棱锥体积计算，空间向量模的坐标表示逐一判断选项. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 因为正方体棱长为1，所以 选项A，，若，即， 则存在实数，使得，即，又，故， 所以，故若，则不存在满足条件的点，故A正确； 选项B，由，则， 当时，，所以，即，故B正确； 选项C，由，当时，可知共面， 即点在平面中，如图所示， 由正方体的性质可知， 所以平面平面，可得三棱锥的体积为定值， 即，正方体棱长为1，则，故C错误； 选项D，由可知，点在以为球心、半径的球面上， 又， 故的最小值为，所以D正确. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与向量同向的单位向量为___________________． 【答案】 【解析】 【详解】，则， 与向量同向的单位向量为. 13. 函数是偶函数，且对任意都有，当时，，则____________ 【答案】 【解析】 【分析】利用周期性把化到已知区间附近,再利用偶性把自变量化为正数. 【详解】由知是的一个周期,所以. 因为是偶函数,所以. 又,故. 14. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则直线与平面所成的角的正弦值为______． 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示的平面过点， 所以. 所以平面的方程为，其法向量为， 又， 设直线与平面所成的角为， 则. 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，， （1）求所在的直线的方程； （2）求过，，三点的圆的一般方程； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形对边平行且相等,利用,,的坐标求出的坐标,再由两点求斜率、点斜式写出直线的方程,最后化为一般式. （2）设圆的一般方程为,把,,三点的坐标分别代入,解出,,即可. 【小问1详解】 因为四边形为平行四边形,所以. 由,,得. 设,则,所以,,即. 由,得直线的斜率. 由点斜式得,即. 化为一般式得直线的方程为. 【小问2详解】 设过,,三点的圆的一般方程为. 将的坐标代入,得. 将的坐标代入,得. 将的坐标代入,得. 后两式分别减去第一式,得,,解得,. 把,代入,得. 所以所求圆的一般方程为. 16. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的女性人数与男性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 【答案】（1）. （2）众数为，平均数为. （3）. 【解析】 【分析】（1）根据频率和为1求的值. （2）利用频率分布直方图估计众数和平均数. （3）先确定满意度评分值在内男性与女性的人数，再结合古典概型求概率. 【小问1详解】 由，解得. 【小问2详解】 最高的小矩形对应的区间是，其底边中点为，因此估计这组数据的众数为 估计平均数为：. 【小问3详解】 由题意，满意度评分值为的人有人， 其中女性人，记为，，；男性有人，记为，. 从这5人中随机抽取2人进行座谈，所有的样本点有：，，，， ，，，，，共10个. 记“恰有1名女性”为事件，则事件包含：，，，，，6个样本点. 所以. 17. 如图，在正四棱锥中，，为侧棱上的点且 （1）求正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1） （2）存在，. 连接BD交AC于点O，连接OS， 又正四棱锥，故有面，， ，， 以O为原点，OC、OD、OS为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系， ， ，，P为SD上靠近D的4等分点，， 设，则E在SC上，， ，， 设平面PAC的一个法向量为， ，解得，令，则，， 要使得平面，即， ，解得， 故，存在这样的点E. 【解析】 【分析】（1）正四棱锥的表面积由4个全等的等腰三角形及底面正方形构成，利用底面对角线算出底面边长进而得到底面正方形面积，再算出侧面的高得到一个侧面三角形面积，进而得到正四棱锥表面积； （2）以底面中点O为原点，OC、OD、OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设出E点坐标，求平面PAC的法向量，利用线面平行的方向向量与法向量关系求解E点的位置比例. 【小问1详解】 由题，正四棱锥底面为正方形，侧面为4个全等的等腰三角形， ，即，解得，则有， ， . 侧面上的高， . 【小问2详解】 略 18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和单调递减区间： （2）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积与三角恒等变换求出函数的解析式，结合对称轴间距求出周期确定，再根据余弦函数单调性求解递减区间. （2）先利用三角函数图像平移伸缩变换得到，分离参数，转化成求最值即可. 【小问1详解】 ，， ， 由相邻对称轴之间的距离为，可知函数的半周期为，即周期， 因此，解得，故函数解析式为， 令，解得， 因此的单调递减区间为； 【小问2详解】 将函数的图象上的所有点向右平移个单位可得到，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍可得到， 即， ∵，， ∴对任意的恒成立， 可化为对任意的恒成立， 由可得， 要使不等式恒成立，只需大于等于在区间上的最大值， ， 由得，在上单调递增， 因此在（即）时取得最小值，即取得最大值为1，所以的最大值为1， 因此，即的取值范围为. 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 【答案】（1） （2）①因为四面体内接于球，所以， 因为，所以，所以 等式两边同时平方得，所以，即， 所以，且，，，在同一平面内． 如图所示，以为原点，，所在的直线分别为，轴建立平面直角坐标系， 则点，，所以，， 将其代入中，得， 所以 ， 由“向量”的定义，得，都是向量组，，的“向量”． ② 【解析】 【分析】（1）根据题干信息求出，再代入题干关系得到不等式，解得的取值范围； （2）①由结合向量的运算可得，且，，，在同一平面内，随之将问题转化为平面向量的问题，再依次分析，，哪个满足“向量”的定义； ②由①可知过球心，平面时，四面体的体积取得最大值. 【小问1详解】 因为，，， 所以，，． 又因为是向量组，，的“向量”， 所以，所以， 解得， 所以实数m的取值范围为． 【小问2详解】 ①略 ②由①得，且，，，在同一平面内，所以在过球心的截面上， 又因为，所以， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 同理可得， 等式两边同时平方可得， 所以，所以， 则 当平面时，四面体的体积取得最大值， 此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳一中2026—2027学年高二年级第一学期教学质量监测卷（一） 数学 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、考号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用23铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效． 3．考试时间120分钟，满分150分． 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 2. 对任意的空间向量，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. C. D. 若，则 3. 已知圆：关于直线：对称，则实数的值为（ ） A. 2 B. -2 C. 1 D. -1 4. 如图，在平行六面体中，，则的长为（　　） A. B. 5 C. D. 5. 已知长度为4的线段的两个端点和均在圆：上滑动，则线段的中点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 6. 我国南宋著名数学家秦九韶发现了“三斜”求积公式，即的三个内角、、所对的边分别为、、，则的面积．已知在中，，，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 在平面直角坐标系中，已知四边形为正方形，所在直线的斜率存在且分别为．若，则（ ） A. B. C. 2 D. 8. 已知函数是定义域为的偶函数，当时，，关于的方程恰好有7个不同的实数根，那么的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题（每小题6分共18分） 9. 设复数在复平面内对应的点为，为坐标原点，为虚数单位，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则或 C. 若点的坐标为，则对应的点在第三象限 D. 若，则点的集合所构成的图形是圆 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线：恒过定点 B. 经过点且在轴和轴上截距都相等的直线方程为 C. 直线过点，且与点的距离最远，则直线的方程是： D. 直线倾斜角的范围是 11. 边长为1的正方体中，向量，则（ ） A. 若，则不存在点，使得 B. 若，则 C. 若，则三棱锥的体积为定值 D. 若，则的最小值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 与向量同向的单位向量为___________________． 13. 函数是偶函数，且对任意都有，当时，，则____________ 14. 在空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为．已知点，若方程为的平面过点，则直线与平面所成的角的正弦值为______． 四、解答题（共77分） 15. 在平面直角坐标系中，已知平行四边形的顶点，， （1）求所在的直线的方程； （2）求过，，三点的圆的一般方程； 16. 国务院2026年印发的《关于推进服务业扩能提质的意见》，将物业服务纳入社区服务的重点提升领域．某社区为提升物业服务质量，随机选取了100名业主就小区物业服务情况进行问卷调查，并将业主的满意度评分值（百分制）按照，，，…，分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求图中的值； （2）估计这组数据的众数与平均数； （3）已知这100名业主中满意度评分值在内的女性人数与男性人数的比为．若在满意度评分值为的人中随机抽取2人进行座谈，求恰有1名女性的概率． 17. 如图，在正四棱锥中，，为侧棱上的点且 （1）求正四棱锥的表面积； （2）侧棱上是否存在一点，使得平面.若存在，求的值；若不存在，试说明理由． 18. 已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． （1）求函数的解析式和单调递减区间： （2）将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再保持纵坐标不变，横坐标伸长到原来的两倍，得到函数的图象，若对任意的恒成立，求的取值范围． 19. 已知一组空间向量，，，，，记，如果存在（），使得，那么称是该向量组的“向量”． （1）已知，，，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围． （2）四面体内接于以为球心，为半径的球，且. ①记，，，向量组，，中是否存在“向量”？若存在，指出哪个是“向量”并证明；若不存在，请说明理由． ②求四面体体积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $