精品解析：贵州遵义市第四中学2026-2027学年高二上学期入学质量监测数学试题

遵义四中2028届高二上学期入学质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. -1 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简复数，再利用复数的概念求解. 【详解】因为复数， 所以复数的实部为. 故选：A 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将对数化成指数，使用指数运算求解. 【详解】由，得，即， 因为，所以，得 3. 已知角的终边上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据余弦函数的定义和二倍角公式求解． 【详解】由题意，，解得． 4. 已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据投影向量的定义可得，将数据代入计算，即可得到答案； 【详解】由，得， ，于是， 因此在方向上的投影向量为. 5. 在锐角三角形中，，，所对的边分别为，，.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， 所以， 所以， 所以， 又因为是锐角三角形，所以， 所以，所以，所以. 6. 在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得正三棱台的高，进而求得正三棱台的体积. 【详解】设等边三角形的中心为，等边三角形的中心为， 则是棱台的高.设分别是的中点，连接， 过作，垂足为，则， ， ，所以， 所以， 所以， ， 所以棱台的体积为. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正弦、余弦的二倍角公式，诱导公式，两角和的余弦公式分析即可. 【详解】因为， 所以由得：， 又因为，所以， 所以有：， 即，也即， 又，所以， 所以， 当时，则， 当时，则， 又，所以此时不存在， 故， 又，所以，所以， 当时，. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求证，再结合函数的单调性得出在上恒成立，再构造函数，求函数最值即可. 【详解】， 函数的定义域为，且 ， 则可化为， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以在上单调递增，则在上恒成立， 令，则恒成立， ①若， 则当时，， 当时，， 当时，， 故，得； ②若， 则当时，， 当时，， 当时，， 故，得； ③若，则在上恒成立，符合题意； 综上，实数的取值范围是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A，若，当时，则，A错误； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，C正确， 对于D，， 因为，所以，所以，D正确. 10. 下图是函数的部分图像，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知：，则，所以不选A, 不妨令, 当时，， 解得：， 即函数的解析式为： . 而 故选：BC. 【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法： (1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ. (2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求. 11. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记，分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“，中至少有一个为偶数”为，事件“，中至少有一个为奇数”为，事件“”为，事件“”为，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据互斥事件、独立事件的定义，结合并事件、交事件的定义逐一判断即可. 【详解】A：因为表示事件为：，中有一个为偶数，一个为奇数，显然， 所以与是互斥事件，因此本选项说法正确； B：抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，用表示，结果为： ，共个基本事件， 事件包含以下事件： ，共个， 事件包含以下事件： ，共个， 事件包含以下事件： ，共个， 因为， 所以有，因此与不相互独立，所以本选项说法不正确； C：表示两次出现的点数都是偶数，表示两次出现的点数都是奇数， 所以，因此本选项说法正确； D：事件包含的基本事件为 ， 所以事件包含的基本事件为： ，共个， 所以，因此本选项说法正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用诱导公式分别化简已知条件和待求表达式，再结合同角三角函数平方关系与角的象限确定符号求解可得. 【详解】，所以. ， 所以. 则. 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 14. 已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】通过建立平面直角坐标系，设出各点坐标后将表示为关于点横坐标的二次函数，利用二次函数最小值在​处取得的条件求出点纵坐标的绝对值，最终代入三角形面积公式计算得到结果. 【详解】以为原点，所在直线为轴，建立如图所示平面直角坐标系，则，， 由，，得， 设上任意点（），， 则，， 因此，这是关于的开口向上的二次函数， 由，可知二次函数的最小值在处取得， 即二次函数对称轴为，即 ，解得，即， 已知，所以，化简得，即， 所以三角形的面积. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最大值，并求出取得最大值时的取值集合； （2）设，求函数的最小正周期和单调递减区间. 【答案】（1） 最大值为，取得最大值时的取值集合为. （2） 最小正周期为，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合二倍角的正弦和余弦公式化简函数，根据正弦函数的性质即可求解； （2）根据题意，先化简函数，根据余弦函数的性质即可求解； 【小问1详解】 已知函数，利用二倍角公式：，， 代入得： ， 当，即时，，所以取得最大值. 【小问2详解】 已知， 最小正周期，令，解得， 因此的单调递减区间为. 16. 为了解学生身体素质情况，某市从，两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，测试成绩在为“合格”，测试成绩不小于90分为“优秀”.现分别统计两所学校全部学生的测试成绩（成绩均在），并整理得到如下图表，其中校测试成绩为“不合格”的有10人 分组 频数 10 40 20 10 校测试成绩频数分布表 校测试成绩频率分布直方图 （1）求图表中，的值，并估计校全部学生测试成绩的平均值和方差（频率分布直方图中同一组数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）现采用分层随机抽样方法，从，两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中随机抽取6人.若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率. 【答案】（1），，平均值为，方差为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图面积之和为1求，根据样本容量求，利用组中值计算平均数和方差； （2）确定分层抽样中两校抽取的人数，利用古典概型概率公式计算即可. 【小问1详解】 由频率分布直方图性质可知，， 解得. 因为校测试成绩为“不合格”的人数为10人，对应的频率为， 所以每所学校抽取的学生人数为. 因为，两校抽取相同数量的学生， 所以校抽取的学生人数也为100，则，解得. 估计校全部学生测试成绩的平均值为：   . 方差为：    . 【小问2详解】 由题意可知，校测试成绩为“优秀”的学生有10人， 校测试成绩为“优秀”的学生有人. 采用分层随机抽样方法从两校“优秀”学生中抽取6人， 则从校抽取的人数为人，记为， 从校抽取的人数为人，记为. 从这6人中任选2人，所有可能的结果有： ，，，，， ，，，， ，，， ，，，共15种. 其中2人来自同一学校的结果有： ，，，，，，，共7种. 故所求概率. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． （1）画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若函数，求函数的最小值． 【答案】（1） 函数的递增区间为， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的定义直接画出图形，结合图形即可得出的增区间； （2）利用函数的奇偶性求解函数的解析式即可； （3）由题意可得，对称轴为，结合二次函数的图象与性质，分类讨论求出当、、时的即可. 【小问1详解】 函数是定义在上的偶函数， 即函数的图象关于轴对称，其递增区间为，； 【小问2详解】 根据题意，令，则，则， 又由函数是定义在上的偶函数， 则，则； 【小问3详解】 根据题意，，则， 则，其对称轴为， 当时，即时，在区间上为增函数，； 当时，即时，； 当时，即时，在区间上为减函数，， 则． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意根据正弦定理可得，进而根据余弦定理化简即可求解； （2）由余弦定理及中线可得，结合三角形外接圆性质得到，，根据垂直关系的向量表示及向量数量积的运算律得到，，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意可得， 由正弦定理可得，即， 所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由（1）可得， 因为是边的中点，所以， 即，， 所以， 取边的中点为，边的中点为，由点为的外接圆圆心得，， ， ， 所以. 19. 定义在上的函数满足，，. （1）证明：方程在上有唯一解. （2）设，，，. （ⅰ）证明：若，，则；若，则. （ⅱ）求的最小值. 【答案】（1）由二次函数性质可知在上单调递增， 由反比例函数性质可知在上单调递减， 令，在上单调递增， 因为，所以方程在上有唯一解. （2）（ⅰ）设，，则， 由已知可得，即， 令，则，代入上式可得，， 要证，即， 只需证，即， 因为，， 所以成立，即， 若，则， 因为，所以， 由题意可知， 即， 令，则，代入化简可得， 要证，即证，即证， 化简可得， 因为，， 所以成立，即成立， 综上，若，，则；若，则得证； （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据基本函数的单调性判断函数单调性，进而判断零点个数； （2）（ⅰ）由已知条件及需要证明的条件互相转化即可证明； （ⅰⅰ）先由（1）中提示算出尽可能小的数，即全部为4时的的大小，再通过反证法证明不能同时为4时存在矛盾，即可得到的最小值. 【小问1详解】 证明：由二次函数性质可知在上单调递增， 由反比例函数性质可知在上单调递减， 令，在上单调递增， 因为，所以方程在上有唯一解. 【小问2详解】 （ⅰ）证明：设，，则， 由已知可得， 即， 令，则， 代入上式可得，， 要证，即， 只需证， 即， 因为，， 所以成立，即， 若，则， 因为，所以， 由题意可知， 即， 令，则 代入化简可得， 要证，即证，即证， 化简可得， 因为，， 所以成立，即成立， 综上，若，，则；若，则. （ⅱ）设，不等式可写为. 当（即时），我们已证（即）， 为了使最小，我们尝试让尽可能小. 由 (1) 知，当时，，且，等号成立， 如果所有，则，此时没有集合，全部在集合中，符合条件； 若存在，则，， 由于在交替时，根据的极值分析， 当时，的最小值在处取得， 因为，不能同时取到4，矛盾， 所以的最小值在对于任意，都有时取得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 遵义四中2028届高二上学期入学质量监测 数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不能使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的实部为（ ） A. B. C. -1 D. 1 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知角的终边上有一点，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知向量，满足，，且，则向量在方向上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在锐角三角形中，，，所对的边分别为，，.若，则（ ） A. B. C. D. 6. 在正三棱台中，，，，则该棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 10. 下图是函数的部分图像，则 （ ） A. B. C. D. 11. 抛掷两枚大小相同质地均匀的骰子，记，分别为抛出的第一枚和第二枚骰子正面朝上的点数，设事件“，中至少有一个为偶数”为，事件“，中至少有一个为奇数”为，事件“”为，事件“”为，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与相互独立 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则__________. 13. 有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 14. 已知中，，，是上一个定点，满足，且对于边上任意一点，恒有，则的面积为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最大值，并求出取得最大值时的取值集合； （2）设，求函数的最小正周期和单调递减区间. 16. 为了解学生身体素质情况，某市从，两所学校随机抽取相同数量的学生进行体育达标测试，测试成绩满分100分，且规定：测试成绩小于60分为“不合格”，测试成绩在为“合格”，测试成绩不小于90分为“优秀”.现分别统计两所学校全部学生的测试成绩（成绩均在），并整理得到如下图表，其中校测试成绩为“不合格”的有10人 分组 频数 10 40 20 10 校测试成绩频数分布表 校测试成绩频率分布直方图 （1）求图表中，的值，并估计校全部学生测试成绩的平均值和方差（频率分布直方图中同一组数据用该组区间的中点值作为代表）； （2）现采用分层随机抽样方法，从，两所学校测试成绩为“优秀”的所有学生中随机抽取6人.若从抽取的6人中任选2人，求这2人来自同一学校的概率. 17. 已知函数是定义在上的偶函数，且当时，．现已画出函数在轴左侧的图象，如图所示，并根据图象． （1）画出在轴右侧的图象并写出函数的增区间； （2）写出函数的解析式； （3）若函数，求函数的最小值． 18. 在中，角，，的对边分别为，，，已知. （1）求； （2）若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 19. 定义在上的函数满足，，. （1）证明：方程在上有唯一解. （2）设，，，. （ⅰ）证明：若，，则；若，则. （ⅱ）求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $