精品解析：黑龙江哈尔滨市第七十二中学2026-2027学年上学期八年级期中考试数学试题

2026～2027学年度上学期八年级期中考试 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 3，4，8 D. 4，5，6 4. 如图，下列四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 5. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 8. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6 10. 下列命题中，真命题的个数为（ ） （1）等腰三角形的底角一定是锐角． （2）三角形两边中垂线的交点到三边的距离相等． （3）等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴． （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值． （5）同底数幂相加，底数不变，指数相乘． （6）有一个角是的三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：_____． 12. 如果等腰三角形的一个内角为，那么它的底角的度数为__________． 13. 如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为__度． 14. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 15. 如图，的边的垂直平分线交于点E，若，，则的周长为__________． 16. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件__________根据可判定． 17. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 18. 如图：中，，D，E分别在，上，且，，若，，则__________． 19. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为______． 20. 如图，中，，D在边上，E在上，且，连接并延长交于点F，连接、相交于点G，若，则下列说法中：①；②；③；④若，，，M，N分别为线段，上的点，则的最小值为3，其中结论正确的是__________．（填序号） 三、解答题（其中21题6分，22～24每题8分，25～27每题10分） 21. 化简求值：，其中． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．） （1）在上取一点，使； （2）作中线； （3）若，直接写出的长． 23. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 24. 若一个三角形中的一个内角是另一个内角的二倍，我们称此三角形为二倍角三角形，如图，中，，，是边上的点，，，垂足为． （1）直接写出图中所有的二倍角三角形； （2）如图，若，求证：． 25. 红刚中学欲购买纸和纸若干箱用于每日一题的复印，若购买2箱纸和7箱纸，则共需790元；若购买3箱纸和5箱纸，则共需690元． （1）求购买每箱纸和每箱纸各需多少元； （2）如果计划购买这两种纸共10箱，总费用不超过850元，问最少购买多少箱纸？ 26. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足． （1）求，两点坐标； （2）从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴正方向运动，设的运动时间为，的面积为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，为延长线上一点，且，从出发以相同速度沿线段运动至终点，与同时出发、同时停止，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，求线段的长． 27. 我们知道等腰三角形有个重要的性质，一般被称作“三线合一”，如图1．已知：在中，为边中线，若是等边三角形，则，，为了更好地研究此性质，清澜老师鼓励同学们尝试用逆命题的思想来思考，所以提出以下问题，期待聪明的你给出解答。 （1）【问题初探，感知特例】：如图2，为边中线，若，，求证是等边三角形； （2）【条件变换，探究证明】：如图2，为边中线，若，，求证是等边三角形； （3）【知识迁移，综合运用】：在（2）的条件下，如图3，E为内一点，且，，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026～2027学年度上学期八年级期中考试 数学学科试卷 （考试时间：120分钟 满分：120分） 考生须知： 1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟． 2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚． 3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效． 4．选择题必须使用2B铅笔填涂：非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写．字体工整、笔迹清楚． 5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀． 第Ⅰ卷 选择题（共30分）（涂卡） 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】区分同类项合并、同底数幂乘法、幂的乘方的运算规则，逐一验证选项． 【详解】解：∵ 与、与均不是同类项，无法合并， ∴ A、B选项运算错误， ∵ ， ∴ C选项运算正确， ∵ ， ∴ D选项运算错误． 2. 如图所示的图案中不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义，观察图形是否存在一条直线，使图形沿该直线折叠后两部分完全重合． 【详解】解：A.沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形； B.沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形； C.沿中间竖直直线折叠，左右两部分能完全重合，是轴对称图形； D.找不到任何一条直线使折叠后两部分重合，不是轴对称图形． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. 1，2，3 B. 1，，3 C. 3，4，8 D. 4，5，6 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：根据三角形任意两边之和大于第三边，只要两条较短的边的和大于最长边即可．故选D． 考点：三角形三边关系． 4. 如图，下列四个图形中，线段是的高的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形的高的定义，过顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段为三角形的高，观察各选项直接选择答案即可． 【详解】解：根据三角形高线的定义，只有A选项符合． 5. 点关于y轴的对称点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵所求点与点关于轴对称， ∴对称点横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为. 6. 如图，，，，则的长为（ ） A. 10 B. 8 C. 6 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质，对应边相等，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 7. 如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，若，则的面积是（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图与性质，熟记角平分线的性质是解题关键．作于E，利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：作于E，如图， 由题意得平分，而 ∴， ∴的面积． 故选：B． 8. ，两个小镇在河流的同侧，随着居民用水量的增加，现需要在河边上修建一个自来水厂，分别向两个小镇供水．要使所用水管总长度最短，则下列图形中，自来水厂的位置正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形最短线段问题，根据轴对称的性质作图即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【详解】解：作点关于直线的对称点，连接，交直线于点，可得， 则， 由两点之间线段最短，此时的值最小，即所用水管总长度最短， 故选：． 9. 如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 10. 下列命题中，真命题的个数为（ ） （1）等腰三角形的底角一定是锐角． （2）三角形两边中垂线的交点到三边的距离相等． （3）等边三角形是轴对称图形，三条高是其对称轴． （4）等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为定值． （5）同底数幂相加，底数不变，指数相乘． （6）有一个角是的三角形是等边三角形． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【详解】解：（1）∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角小于，一定是锐角，该命题为真命题． （2）三角形两边中垂线的交点到三个顶点的距离相等，到三边距离相等的是角平分线的交点，该命题为假命题． （3）对称轴是直线，等边三角形的三条高所在直线是其对称轴，高是线段，该命题为假命题． （4）设等腰三角形腰长为，面积为，底边上一点到两腰的距离分别为、，连接该点与顶角顶点，将等腰三角形分为两个小三角形，则，∴，为定值，该命题为真命题． （5）同底数幂相乘，底数不变，指数相加；同底数幂相加需合并同类项，该命题为假命题． （6）有一个角是的等腰三角形是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题为假命题． 综上，真命题共2个． 二、填空题（每题3分，共30分） 11. 计算：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查积的乘方，应用积的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如果等腰三角形的一个内角为，那么它的底角的度数为__________． 【答案】 ##度 【解析】 【分析】等腰三角形两底角相等，结合三角形内角和为，需先判断已知内角的位置，排除不符合内角和要求的情况后计算底角度数． 【详解】解：∵三角形内角和为，等腰三角形的两个底角度数相等， ∴若为底角，则两个底角的和为，大于，不满足三角形内角和要求，该情况不存在； ∴只能是等腰三角形的顶角， ∴底角的度数为． 13. 如图，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，则∠ADB的度数为__度． 【答案】85 【解析】 【分析】由AD是△ABC的角平分线求出，再通过三角形的内角和为，即可求出的度数． 【详解】解：是的角平分线， 在中， 故答案为：85． 【点睛】本题考查角平分线的定义及三角形内角和定理，属于基础题型． 14. 如图，在等边△ABC中，点D为BC边上的点，DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F，则∠EDF的度数为______． 【答案】60°##60度 【解析】 【分析】先根据等边三角形的性质得出∠A＝∠B＝60°，再由DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F得出∠BDE＝∠AFD＝90°，根据三角形外角的性质求出∠AED的度数，由四边形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝60°． ∵DE⊥BC交AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠BDE＝∠AFD＝90°． ∵∠AED是△BDE的外角， ∴∠AED＝∠B+∠BDE＝60°+90°＝150°， ∴∠EDF＝360°﹣∠A﹣∠AED﹣∠AFD＝360°﹣60°﹣150°﹣90°＝60°． 故答案为：60°． 【点睛】本题考查的是等边三角形，三角形内角和定理及直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 15. 如图，的边的垂直平分线交于点E，若，，则的周长为__________． 【答案】 7 【解析】 【分析】根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为进行计算. 【详解】解：∵是的垂直平分线 ∴ ∴的周长 ∵， ∴的周长 16. 如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知，，请你添加一个适当的条件__________根据可判定． 【答案】 【解析】 【分析】由已知两组对应边相等，可得若要根据判定，需添加这两边的夹角相等，即可得结论． 【详解】解：∵，， ∴需要根据判定，则添加这两边的夹角相等，即， 在和中， ， ∴． 17. 烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷、乙烷、丙烷、……、癸烷（当碳原子数目超过个时即用汉文数字表示，如十一烷、十二烷……）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为……，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十二烷的化学式为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据碳原子的个数，氢原子的个数，找到规律，即可求解． 【详解】解：甲烷的化学式为， 乙烷的化学式为， 丙烷的化学式为……， 碳原子的个数为序数，氢原子的个数为碳原子个数的2倍多2个， 十二烷的化学式为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律题，找到规律是解题的关键． 18. 如图：中，，D，E分别在，上，且，，若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】在线段上作交于点，设，根据三角形内角和定理以及外角定理，表示出相关角，然后根据等角对等边得出，，然后求出相关线段的长度，最后利用加减法求出线段长度． 【详解】解：如图所示，在线段上作交于点， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴， 又∵， 得， ∴． 19. 在中，，的垂直平分线与所在直线相交所得的锐角为，则的度数为______． 【答案】或 【解析】 【分析】此题考查了线段垂直平分线和等腰三角形的性质，解题关键是分类讨论，分当的垂直平分线与边相交和当的垂直平分线与的延长线相交两种情况求解即可． 【详解】解：当的垂直平分线与边相交时，如图①，边的垂直平分线与边交于点D，，则， ∵， ∴； 当的垂直平分线与的延长线相交时，如图②，边的垂直平分线与的延长线交于点D，，则， ∴． ∵， ∴； 综上所述：为或． 故答案为：或． 20. 如图，中，，D在边上，E在上，且，连接并延长交于点F，连接、相交于点G，若，则下列说法中：①；②；③；④若，，，M，N分别为线段，上的点，则的最小值为3，其中结论正确的是__________．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】设 ，则，利用等腰三角形性质和三角形内角和定理表示出相关角度，证明为等腰三角形判断①；利用外角性质和角度代换证明②；利用全等说明同位角相等证明③；利用轴对称性质和垂线段最短计算最小值判断④． 【详解】解：设 ，则 ， ， ， ， ， ． ， ． ， ， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ，故②正确； 延长至点，使，连接，过点作于点，过点作交延长线于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， 平分， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ，故③正确； 连接，过点作于点， ，， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， ， 即的最小值为， 错误； 综上所述，正确的结论是①②③． 三、解答题（其中21题6分，22～24每题8分，25～27每题10分） 21. 化简求值：，其中． 【答案】，. 【解析】 【分析】先展开整式并合并同类项化简原式，再代入计算求值． 【详解】解： ， 当时，原式． 22. 如图为的正方形网格，每个小正方形的边长均为，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，在给定的网格中按下列要求作图．（只用无刻度的直尺，保留作图痕迹．） （1）在上取一点，使； （2）作中线； （3）若，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解：以为一边，在网格中找到格点构造出与垂直且等长的线段，连接对应格点得到的线段与的交点即为点，如下图， 由格点三角形易知， ，，． ， ， ， ，， ． 【小问2详解】 解：三角形的中线是连接顶点与对边中点的线段．由网格易知，取格点，由网格易知是的平分线，连接并延长交于，因为等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高线重合，故即为所求作的中线． 【小问3详解】 解：由（2）得，，即面积为， 由网格可知面积为， ， ， ． 23. 已知，在中，，点D，点E在BC上，,连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，过点B作，交AD的延长线于点F，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个等腰三角形，使写出的每个等腰三角形的顶角都等于45°． 【答案】 （1）证明：如图1， ， ， 在和中， ， ∴（SAS）， ∴； （2）、、、． 【解析】 【分析】（1）可得，进而利用SAS证明，即可得出结论； （2）由已知计算出图形中角的度数，由等角对等边即可得出结论． 【详解】（1）略； （2）顶角为45°的等腰三角形有以下四个：、、、． 证明：∵，， ∴，， ∵，，即：是等腰三角形，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∴、即：、是等腰三角形，， ∵ ∴∠DBF=∠C=45°，， 又∵， ∴， ∴、即：是等腰三角形，． 【点睛】本题考查了等腰三角形性质和判定及全等三角形性质和判定，掌握等腰三角形性质和判定是解题关键． 24. 若一个三角形中的一个内角是另一个内角的二倍，我们称此三角形为二倍角三角形，如图，中，，，是边上的点，，，垂足为． （1）直接写出图中所有的二倍角三角形； （2）如图，若，求证：． 【答案】（1），，， （2）证明：，， ，因此，即． 如下图，在上取一点，使得，连接， ，， ． ，是线段的垂直平分线，可得， ． ， ，即，因此， 又， ． ，代入，， 可得，即． 【解析】 【分析】（1）求出图中三角形的各内角，再在各个三角形中逐一判断即可； （2）在上取一点，使得，连接，再根据等腰三角形性质，可得，从而得到，再根据三角形外角定理求得，因而，则最终得证． 【小问1详解】 解：，， 是等边三角形， ， ，， ，． ，， ． 在中，，，， 有，符合二倍角三角形的定义； 在中，，，， 有，符合二倍角三角形的定义； 在中，，，， 有，符合二倍角三角形的定义； 在中，，不符合二倍角三角形的定义； 在中，，，不符合二倍角三角形的定义； 在中，，，， 有，符合二倍角三角形的定义； 因此，二倍角三角形有，，，． 【小问2详解】 解：证明略． 25. 红刚中学欲购买纸和纸若干箱用于每日一题的复印，若购买2箱纸和7箱纸，则共需790元；若购买3箱纸和5箱纸，则共需690元． （1）求购买每箱纸和每箱纸各需多少元； （2）如果计划购买这两种纸共10箱，总费用不超过850元，问最少购买多少箱纸？ 【答案】（1）购买每箱纸需80元，每箱纸需90元； （2）最少购买5箱纸． 【解析】 【分析】（1）根据两次购买的数量与总费用的等量关系，列二元一次方程组求解两种纸的单价． （2）根据总费用不超过850元的限制列一元一次不等式，结合购买数量为正整数求纸的最小购买量． 【小问1详解】 解：设购买每箱纸需x元，每箱纸需y元， 由题意得，， 解得， 答：购买每箱纸需80元，每箱纸需90元； 【小问2详解】 解：设购买m箱纸，则购买箱纸， 由题意得，， 解得， ∴m的最小值为5， 答：最少购买5箱纸． 26. 已知：在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，且，满足． （1）求，两点坐标； （2）从点出发，以每秒1个单位长度的速度向轴正方向运动，设的运动时间为，的面积为，求与的关系式； （3）在（2）的条件下，为延长线上一点，且，从出发以相同速度沿线段运动至终点，与同时出发、同时停止，连结，将线段绕点逆时针旋转得到，连结，求线段的长． 【答案】（1），． （2）． （3）线段的长为． 【解析】 【分析】（1）由非负数的性质求出，的值，即可得到，两点的坐标； （2）用表示，以为底、点到轴的距离为高，求与的关系式； （3）由得，进而；先用反证法结合大角对大边证，得的取值范围；再以为边作等边三角形，用全等把转化为，即可求的长． 【小问1详解】 解：∵，，且， ∴，， 即，， ∴，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，点到轴的距离为． 由题意得， ∴， 即． 【小问3详解】 解：∵，在轴的负半轴上， 过点作轴于（如图）． ∵点在线段上，则点在轴的正半轴上， ∴． ∵点在的延长线上， ∴． 若，则（角所对的直角边等于斜边的一半，角大对边大）， ∴； 而是的斜边，，矛盾， ∴，即． ∴， ∴（大角对大边），即， ∴，即点在线段上． ∴． 以为边作等边三角形，使点与点在轴的同侧， ∴，，． 由旋转可得，，，又， ∴，， ∴． 在与中，，，， ∴， ∴，． ∵， ∴，，三点共线，且点在线段上， ∴． ∴线段的长为． 27. 我们知道等腰三角形有个重要的性质，一般被称作“三线合一”，如图1．已知：在中，为边中线，若是等边三角形，则，，为了更好地研究此性质，清澜老师鼓励同学们尝试用逆命题的思想来思考，所以提出以下问题，期待聪明的你给出解答。 （1）【问题初探，感知特例】：如图2，为边中线，若，，求证是等边三角形； （2）【条件变换，探究证明】：如图2，为边中线，若，，求证是等边三角形； （3）【知识迁移，综合运用】：在（2）的条件下，如图3，E为内一点，且，，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：∵，， ∴ ∴ ∵为边中线， ∴， ∵ ∴ ∴ ∵， ∴是等边三角形； （2）证明：在上分别取点，连接，使得， ∵为边中线， ∴， ∴， ∵ ∴为等边三角形， ∴， 设， 则在中，, ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，得到，再由等边三角形的判定定理证明即可； （2）在上分别取点，连接，使得，证明即可； （3）延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，先证明，然后证明，最后证明，再结合直角三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接，延长至点，使得，连接， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵等边中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $