5.4 角平分线的性质性质定理及其逆定理教学设计 2026-2027学年湘教版数学八年级上册

2026-11-01

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普通

湘教版八年级上册 5.4 角平分线的性质教学设计

（1课时 · 教学评一体化设计 · 配套课件《八上数学_5-4_角平分线的性质_v3.pptx》）

课题	角平分线的性质（性质定理及其逆定理）	课型	新授课
年级	八年级	教材	湘教版（2025秋版）八年级上册第5章直角三角形 5.4
课时安排	按1课时设计	授课教师

一、课程标准要求

《义务教育数学课程标准（2022年版）》“图形的性质”中与本课有关的要求：理解角平分线的概念，探索并证明角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等；反之，角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上。

二、教材分析

本课在全等三角形和“斜边、直角边”定理之后学习。先通过画图、度量发现角平分线上的点到角两边的距离相等，用“角角边”证明得到性质定理；再研究它的逆命题，用“斜边、直角边”证明得到逆定理，并强调“角的内部”这一前提；最后得到“三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等”，并用两个定理证明与计算。教学顺序、两个定理的证明、例2（平行线中的角平分线）和三角形三条角平分线的探究参考同类教学资料（5.4 角平分线的性质）。

课件共20页：第3页复习；第4、5页性质定理的探究、证明与表述；第6、7页逆定理的证明与表述；第8—10页例1—例3；第11—14页当小老师、变式、拓展和易错汇总；第15—20页检测、答案、小结、板书、评价量表和作业。课件中的角、三角形、平行线都是在幻灯片中用线段和形状画出的，没有使用外部图片。

三、学情分析

学生已掌握全等三角形的判定、“斜边、直角边”定理和尺规作角平分线。预计困难：用定理时漏掉“垂直”条件；把点到顶点的长度当成距离；分不清性质定理与逆定理的条件和结论；用逆定理时忽略“角的内部”。

四、学习目标

1. 能通过画图、度量，发现角平分线的性质。（几何直观）

2. 能证明角平分线的性质定理及其逆定理。（推理能力）

3. 会用两个定理证明线段或角相等、求距离和面积。（推理能力、运算能力）

4. 知道三角形的三条角平分线交于一点，这点到三边的距离相等。（推理能力）

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五、评价任务设计（教学评一体化）

学习目标	评价任务	评价方式	达成证据与标准
目标1 发现	第3、4页	画图、度量	能说出 PD 与 PE 的关系
目标2 证明	第4、6页；检测第1、3题	说理、板演	能说出全等的依据
目标3 应用	例2、例3；检测第2、5题	独立完成后交流	能找准作为距离的垂线段
目标4 交点	例1；检测第4题	口答	能说出交点的特征

六、教学重点与难点

重点：角平分线的性质定理及其逆定理。

难点：区分两个定理的条件与结论；逆定理中“角的内部”。

七、教学准备

1. 课件《八上数学_5-4_角平分线的性质_v3.pptx》（20页）。

2. 学具：直尺、圆规、量角器、三角板。

八、教学过程

（一）教学流程（教师活动·学生活动·设计意图·评价方式）

环节	1	2	3	4	5	6	7	合计
内容	复习两个概念	证明性质定理	探究并证明逆定理	例1：三角形的三条角平分线	例2、例3：证明与计算	当小老师、错例诊断与变式	当堂检测与小结
时间（分钟）	4	8	8	6	9	5	5	45

环节1 复习两个概念（4分钟）
教师活动（提问·追问·板书）	出示第3页：什么是角平分线？什么是点到直线的距离？
	提问：OC 平分 ∠，P 在 OC 上，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，PD 与 PE 有什么关系？
	板书：点到直线的距离——垂线段的长度
学生活动（预设回答·典型错误）	学生口答两个概念，用刻度尺量 PD、PE。
	预设：PD、PE 量得相等。
	典型错误：把 PO 当作点 P 到 OA 的距离。
设计意图	复习概念，由测量提出猜想。
评价方式	提问两名学生。
环节2 证明性质定理（8分钟）
教师活动（提问·追问·板书）	第4页：已知 OC 平分 ∠，P 在 OC 上，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，求证。
	第5页：给出性质定理、几何语言、两个条件和作用。
	板书：△ ≌ △（AAS）→ ；平分 + 垂直 ⇒ 相等
学生活动（预设回答·典型错误）	学生独立书写证明。
	预设：∠ ∠°，∠ ∠，，AAS。
	典型错误：几何语言漏写 PD ⊥ OA，PE ⊥ OB。
设计意图	用全等证明猜想，明确定理的两个条件。

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评价方式	检查几何语言是否写全。
配套图形	图1　性质定理：OC 平分 ∠，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB（课件第4页）
环节3 探究并证明逆定理（8分钟）
教师活动（提问·追问·板书）	第6页：已知点 P 在 ∠ 内，PD ⊥ OA，PE ⊥ OB，，求证 P 在 ∠ 的平分线上。提问：用上节课的哪个定理？
	第7页：给出逆定理，强调前提“点在角的内部”。
	板书：△ ≌ △（斜边、直角边）→ ∠ ∠；垂直 + 相等 ⇒ 平分
学生活动（预设回答·典型错误）	学生小组讨论后写证明。
	预设：作射线 OP，用斜边、直角边证全等。
	典型错误：漏写；忘记“在角的内部”。
	预设：学生说出逆定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上，并能区分性质定理和逆定理的条件和结论。
设计意图	运用上节课的定理，体会互逆定理。
评价方式	小组汇报，教师追问前提。
配套图形	图2　逆定理：点 P 在角内，（课件第6页）
环节4 例1：三角形的三条角平分线（6分钟）
教师活动（提问·追问·板书）	例1（第8页）：求证三角形的三条角平分线交于一点，且这点到三边距离相等。提问：先用哪个定理，再用哪个定理？
教师活动（提问·追问·板书）	板书：， → → P 在 ∠ 的平分线上（逆定理）
学生活动（预设回答·典型错误）	学生独立完成。
	预设：两次用性质定理，一次用逆定理。
	典型错误：把交点说成到三个顶点距离相等。
设计意图	得到三角形角平分线的重要结论，与垂直平分线的结论对比。
评价方式	请学生说出与 4.6 节结论的区别。

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