专题17 勾股定理中的翻折模型（几何模型讲义）数学湘教版2024八年级上册

专题17 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，长方形的宽，长，将长方形沿着对角线折叠，点D 的对应点为，连接，与边交于点E，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 例2（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是 ． 例3（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 例4（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 例5（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 例2（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 例4（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 例5（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 例2（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 例3（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 例4（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为 ． 例5（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 例3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 例4（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为 ． 例5（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 例3（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 例4（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 例5（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（25-26八年级上·河北保定·月考）如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 例3（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕，则的长为 ． 例4（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 例5（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（　　） A． B． C．1 D． 8．（25-26八年级上·山西晋中·月考）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 9．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是 ． 10．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则点D到直线的距离为 ． 12．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 13．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 17．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 19．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 23．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 24．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 25．（21-22八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17 勾股定理中的翻折模型 翻折问题属于图形变换中的实际问题，也是近些年中考试卷出题老师青睐的题型。在解决翻折问题的有关的题目中，要注意隐含的已知条件比较多。比如翻折前后的图形全等，这样就好出现相等的线段和相等的角；因为大部分翻折问题是对矩形进行翻折，所以翻折后由于线段交错，出现的直角三角形也引起注意；因为翻折问题本身是轴对称的问题，所以翻折前后对应点所连线段会被折痕所在直线垂直平分；折痕还会平分翻折所形成的的两个角。总之，翻折问题并不复杂，只要要把隐含已知条件熟记于心，再结合其他有关知识就能让此类问题迎刃而解了。 1 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 5 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 6 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 9 模型4.三角形翻折之折痕为一个顶角的角平分线模型 11 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 12 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 14 16 翻折模型的历史来源可追溯至古代折纸艺术与几何学发展的结合，其演变过程主要包含以下关键阶段：工艺技巧→几何实践→数学理论的升华过程，其核心始终围绕‌轴对称变换的数学本质‌与‌现实应用的适应性‌展开。20世纪后，学者将折纸抽象为数学问题，聚焦“轴对称变换”的本质——翻折前后图形全等、对应点连线被对称轴垂直平分等核心性质。 （2024·四川雅安·中考真题）如图，把矩形纸片沿对角线折叠，使点C落在点E处，与交于点F，若，，则的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵折叠，，∵四边形是矩形， ，，， ，，在中，， ，解得，=，故答案为：． （2023·辽宁鞍山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，矩形的边，分别在轴、轴正半轴上，点在边上，将矩形沿折叠，点恰好落在边上的点处．若，，则点的坐标是 ．    【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，∴， ∵折叠，∴，在中， ∴，∴设，则， ∵折叠，∴，在中，，∴， 解得：，∴，∴的坐标为，故答案为：． 1）矩形翻折之折痕过对角线模型:如图，沿着矩形的对角线所在直线进行翻折. 条件：已知矩形ABCD中，以对角线AC为折痕，折叠ABC，点B的对应点为B’. 结论：①≌；②折痕AC垂直平方BB’；③AEC是等腰三角形。 证明：根据翻折易证：≌；折痕AC垂直平方BB’；∠BAC=∠B’AC。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAC=∠ACD。 ∴∠B’AC=∠ACD，∴EA=EC，∴AEC是等腰三角形。 2）矩形翻折之折痕过一个顶点模型：沿着矩形的一个顶点和一边上的点的线段所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以AE为折痕，点B的对应点为B’。 结论：①如图1，折在矩形内，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ②如图2，折在矩形边上，①≌；②折痕AC垂直平方BB’。 ③如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③AEF是等腰。 证明：由翻折易得：①②成立。 由翻折得：∠BAE=∠B’AE。 ∵四边形ABCD为矩形，∴AB//DC，∴∠BAE=∠DAE。 ∴∠B’AE=∠DAE，∴FA=FE，∴AEF是等腰三角形。 3）矩形翻折之折痕过边上任意两点模型：沿着矩形边上的任意两点所在直线进行翻折。 条件：已知矩形ABCD中，以E，F为折痕，点B的对应点为B’，点C的对应点为C’. 结论：如图1，折在矩形内，①≌；②折痕EF垂直平方BB’。 如图2，折在矩形边上，①四边形≌四边形；②折痕EF垂直平方BB’。 如图3，折在矩形外，①四边形≌四边形；②折痕AC垂直平方BB’；③GC’F是。 证明：由翻折易得：①②成立。 ∵四边形ABCD为矩形，∴∠C=90°。由翻折得：∠C’=∠C=90°。∴GC’F是直角三角形。 4）三角形翻折之折痕为一个顶点角平分线翻折模型 1）沿过点A的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为AD； 2）沿过点C的直线翻折使得点B的对应点为B’落在斜边AC上，折痕为CD； 3）沿过点B的直线翻折使得点A的对应点为E落在BC边上，折痕为BD。 5）三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 1）沿直线MN（N为斜边中点）翻折使得点A与点C重合； 2）沿中线BE翻折，使得点A落在点F处，连结AF，FC，AF与BE交于点O. 3）沿中线BE翻折，使得点C落在点D处，连结AD，CD. 6）三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 1）沿直线MN翻折，使得点C落在直角边的点D处，连结CD. 2）沿直线DE翻折使得点C与斜边AB上的点F重合； 模型4-6中的直角三角形翻折与矩形的翻折的结论和证明类似，故不再重复讲述。 模型1.矩形翻折之折痕过对角线模型 例1（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，长方形的宽，长，将长方形沿着对角线折叠，点D 的对应点为，连接，与边交于点E，则的面积为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据折叠的性质和等角对等边可得，设，则，然后在中，利用勾股定理建立方程，解之进而得到，即可计算三角形的面积． 【详解】解：∵长方形的宽，长， ∴，，， 根据折叠可知，，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴． 故选：B． 例2（25-26八年级上·广东梅州·月考）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠，勾股定理，等角对等边的运用，掌握矩形的性质是关键． 如图所示，设交于点，可证，设，则，在中，由勾股定理得到，代入计算得到，再根据面积的计算即可求解． 【详解】解：如图所示，设交于点， ∵四边形是矩形， ∴，，，，， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为， 故答案为：． 例3（25-26八年级上·福建泉州·月考）如图，在长方形中，，将沿翻折，得到，其中，与相交于点，则为 【答案】 【分析】本题主要考查折叠的性质与勾股定理，熟练掌握折叠的性质与勾股定理是解题的关键；由题意易得，然后可得，则可设，则有，进而根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可知：， 在长方形中，， ∴， ∴， 设，则有， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：， ∴； 故答案为． 例4（25-26八年级上·浙江台州·月考）如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段 ． 【答案】5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 例5（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 模型2.矩形翻折之折痕过一个顶点模型 例1（25-26八年级上·宁夏银川·期末）如图，折叠长方形，使点落在对角线上的点处，若，则线段的长度是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，先由勾股定理求出的长，再由折叠的性质可得，则可求出，设，则，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 例2（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，将长方形沿直线折叠，顶点D恰好落在边上的F点处．已知，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠与勾股定理，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．由题意可得，由折叠的性质可知，，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：， ， 由折叠的性质可知，，， ， 故选：B． 例3（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为.若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查知识点是翻折变换的性质和勾股定理，解决这类题目的关键会利用勾股定理列出方程．设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形 ∴ 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 故选：C 例4（25-26八年级上·山西晋中·期中）如图，在长方形纸片中，，，点E为边的中点，连接，点F在边上，连接，将沿翻折得到．若点恰好落在线段上，则线段的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理的应用、翻折的性质，作出正确的辅助线是解决本题的关键． 根据翻折的性质可得，，，再根据勾股定理可得，连接，设，根据勾股定理可求出，最后在中运用勾股定理可列出方程求解即可． 【详解】解：∵纸片是长方形， ∴， ∵将沿翻折得到， ∴，，， ∵点E为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 连接，如下图： 设， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴ ， 故答案为：． 例5（25-26八年级下·全国·周测）如图，在长方形纸片中，为的中点，连接，将沿折叠得到，连接．若，，求的长． 【答案】 【分析】连接交于点，由折叠可知：，，可得垂直平分，再证，得到，在中，利用等面积法求出的长，最后在中，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：如图，连接交于点． 将沿折叠得到， ，，垂直平分． 为的中点， ， ． ， ， ， ． 在中，由勾股定理，得， ， ． 在中，由勾股定理，得． 【点睛】本题主要考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，平行线的判定和性质等内容，熟练掌握翻折变换和勾股定理的应用是解题的关键． 模型3.矩形翻折之折痕过边上任意两点模型 例1（25-26八年级上·广东清远·月考）如图，在长方形中，E，F分别是边上的点，将沿折叠，点B的对应点G恰好落在边上．若，则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查翻折变换，勾股定理，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．过点E作，由折叠可知：，，由勾股定理可得，再得，设，则，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：如图，过点E作， 由题意可得：， 由折叠可知：，， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：D． 例2（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在长方形中，，，将此长方形沿折叠，使点与点重合，则的长度为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，解题的关键是理解，先表示出，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：长方形沿折叠，使点D与点B重合， ， ， 在长方形中，， ，即， 解这个方程得：， 故选：C． 例3（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，长方形纸片，将这张长方形纸片翻折，点落到边点处，点落到点处，折痕交边于点E，F，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质以及平行线的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 过点E作于点P，则，由折叠的性质以及平行线的性质可得，从而得到，在中，利用勾股定理可得的长，然后在中，求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点P，则， 根据题意得：，， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 故答案为： 例4（2025八年级上·吉林长春·专题练习）如图，长方形纸片ABCD，，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕为，若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据折叠的性质得到，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得到，， 四边形是长方形，，， ，， 在中，， ，解 得． 故答案为：． 例5（25-26八年级上·福建漳州·月考）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求BF的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 模型4.三角形翻折之过一个顶点所在直线（落点在一边上）翻折模型 例1（25-26八年级上·山东·期末）如图，中 ，，点D在边上，连接，沿翻折，使点C落在边点E上，则（    ） A．4 B．4.8 C．5 D．5.2 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理和翻折的性质，熟练掌握勾股定理列方程以及翻折的性质是解决本题的关键． 先由勾股定理逆定理得到，再由翻折可得，设，则，，在，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由、、，满足， 故是直角三角形，， 沿翻折后，落在上的点， 因此：，，， 即，设，则，； 又， 在中， ，即， 解得，即． 故选：C． 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，有一张直角三角形纸片，，，．将三角形纸片沿翻折，使点落在直角边延长线上的点处，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了折叠的性质与勾股定理，解题的关键是利用折叠的“对应边相等”，结合勾股定理求出线段长度． 利用折叠的性质得到对应边相等，结合已知边长计算的长度． 【详解】解：由折叠的性质可知，折叠后． 在中，，，， ∴． ∴． ∵， ∴． 故选：A． 例3（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，为直角，，，将直角边沿折叠，使它落在斜边上，点与点重合，则线段的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理和折叠，先根据勾股定理求出，根据折叠的性质得出，，，在中，根据勾股定理得出，然后解方程即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 例4（24-25八年级上·甘肃白银·期中）如图， 已知中，，，，点D是边上的一个动点．将沿所在直线折叠，点C的对应点为点E，若点E在边上，则的长度为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． 根据勾股定理求出，由折叠的性质得，，，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：∵，，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∴，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴． 故答案为：3． 例5（25-26八年级上·河南南阳·月考）如图．在直角三角形纸片中，，，，现将直角边沿过点的直线折叠，使它落在边上、若折痕交于点，点落在点处，你能求出的长吗？请写出求解过程． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，利用勾股定理求出，由折叠的性质可推出，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在直角三角形纸片中，，，， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 模型5.三角形翻折之过斜边中点所在直线翻折模型 例1（24-25八年级上·江苏无锡·月考）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接，，则线段的长等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了翻折变换，线段垂直平分线的判定与性质，直角三角形的斜边中线的性质，勾股定理等知识，延长交于点，作，垂足为，由勾股定理得，根据直角三角形的斜边中线的性质得，再通过等面积法求出，由翻折的性质可知，，，，则，，然后等面积法和等腰三角形的性质得出即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交于点，作，垂足为， ∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，解得， 由翻折的性质可知：，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 例2（25-26八年级上·广东河源·月考）如图，在中，，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕交于点，交于点，则线段的长为（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理．熟练掌握折叠的性质，勾股定理是解题的关键． 由题意知，，由折叠的性质设，则，由勾股定理得，，代入计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 由折叠的性质可知，， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 故选：B． 例3（24-25八年级上·江苏苏州·期中）如图，中，，，，点是的中点，将沿翻折得到，连接、，则线段的长等于 ． 【答案】 【分析】如图，延长交于点，由勾股定理求得，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由翻折的性质可知，，，可得是的垂直平分线，得到， ，设，则，在和中，由勾股定理得，即得到，解得，得到，，由，得到，，进而得到，最后利用勾股定理计算即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 在中，由勾股定理得， ∵为的中点， ∴， 由翻折的性质可知，，，， ∴是的垂直平分线， ∴， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，翻折的性质，等腰三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，正确作出辅助线是解题的关键． 例4（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，把沿直线折叠，使与重合： (1)若，则的度数为_____； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由折叠性质得，结合三角形内角和定理即可求解； （2）由折叠性质得，设，则，结合勾股定理即可得解． 【详解】（1）解：由折叠性质得， 中，， 即， 又，， ， 故答案为：； （2）解：由折叠性质得， 设，则， 中，， 即， 解得， 即． 【点睛】本题考查的知识点是折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理，解题关键是熟练掌握折叠性质． 例5（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，在纸片中，，，，折叠，使、两点重合，折痕为，、分别在、上，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查的是翻折变换和勾股定理，根据翻折的性质和勾股定理列出方程是解答此题的关键．设，则，在中，利用勾股定理列方程计算即可． 【详解】解：由折叠得，， 设，则， 在中， 由勾股定理得，， 即， 解得，， ． 答：的长为． 模型6.三角形翻折之过任意两点所在直线（落在其中一边）翻折模型 例1（25-26八年级上·河北保定·月考）如图，中，已知，将沿直线折叠，使点与点重合，点、点分别在边和上，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，由勾股定理得，由折叠得，设，则，再根据勾股定理解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴线段的长为， 故选：． 例2（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，把等边三角形沿折叠，使点恰好落在边上的点处，于点．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 根据折叠得到，进而得到，从而得到的长. 【详解】解：是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ． 由折叠的性质，得，， ， ， ． ， ， ． 故答案为：. 例3（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·月考）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，将折叠，使点B与点A重合，折痕，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是翻折变换，勾股定理． 先根据勾股定理求出的长，再由图形折叠的性质可知，，故可得出结论． 【详解】解：∵是直角三角形，两直角边，， ∴， ∵由折叠而成， ∴． 故答案为：． 例4（25-26八年级上·山西运城·期末）综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． (1)求边的长． (2)如图，若为的中点．求证：． (3)如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析； 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【详解】（1）解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； （2）证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）解：，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 例5（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边和边上的点．把沿着直线折叠，顶点B的对应点刚好落在边的中点上． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长度． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2)． 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理逆定理证明即可； （2）根据中点的定义得到，设，根据折叠的性质结合勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵， ∴， 即是直角三角形； （2）解：∵刚好落在边的中点上， ∴， 设， ∵把沿着直线折叠，顶点的对应点落在边中点上， ∴， ∴中，， ∴， 解得：． 1．（25-26八年级上·山东菏泽·月考）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边的延长线于点E，交边于点F，则的长为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠的性质． 设，由折叠可得，，然后对运用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设， 由折叠可得，， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 则． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南平顶山·期中）如图，长方形中，，，把这个长方形折叠，使点 B 与点 D 重合，是折痕，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理． 根据折叠的性质可得，利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵将此长方形折叠，使点B与点D重合， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（25-26八年级上·陕西汉中·期中）如图，有一张直角三角形纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，折痕为，则的长为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质得，设，则，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：由折叠的性质得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴的长为． 故选：C． 4．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在中，，，，把沿折叠，使点C落在边的点E处，则的长为（　　）． A． B．4 C．5 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，掌握折叠的性质是解题的关键． 先根据勾股定理得出，然后求出，设，则，根据勾股定理得出，再解方程求得x，进而求得的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， 根据折叠可知：，， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， ∴，解得：， ∴． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图所示，在一次折纸活动中，张老师把一张纸按如图所示的方式进行两次折叠，第一次折叠折痕为，点落在线段上的点处，第二次折叠折痕为，点与点恰好重合，此时与的比是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质及勾股定理，关键是线段的转换； 设，利用折叠及勾股定理可得，，由是等腰直角三角形及折叠可得，则可求. 【详解】解：设， 由折叠可知，是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∵矩形中， ∴， 由折叠可知：， ∵矩形中， ∴， ∴， 即：， ∴， ∴， 故选：B． 6．（25-26八年级上·江苏常州·期中）如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由得，由折叠得，，，，代换得，即可得，设，则，根据勾股定理列方程解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， 即． 故选：． 7．（25-26八年级上·广东深圳·期中）如图，在中，，，，将边沿翻折，使点落在边上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则线段的长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等，根据折叠的性质求得相等的角是本题的关键． 首先根据折叠可得，然后求得是等腰直角三角形，进而求得，，从而求得，在中，由勾股定理即可求得的长即可得到答案． 【详解】解：根据折叠的性质可知， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， 在中，，，，则由勾股定理得， ， ， ， ， ， 故选：B． 8．（25-26八年级上·山西晋中·月考）如图，将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点．若，则的长为（　　） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了折叠的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 根据长方形的性质可得，根据折叠的性质可得，，再运用勾股定理可得，进而得到；设，则，根据勾股定理列方程可得，即，最后再运用勾股定理求的长即可． 【详解】解：∵长方形纸片， ∴， ∵将一张长方形纸片折叠，使得点的对应点落在上，折痕与交于点， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：，即， ∴． 故选C． 9．（25-26八年级上·上海闵行·月考）如图，在三角形纸片中，，沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处；再折叠纸片，使点与点重合，若第二次的折痕与的交点为，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了折叠的性质、勾股定理等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键．先由折叠的性质得出， ， ， ，推出，再由勾股定理求出，设， 则，然后由勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：由折叠的性质得：， ， ， ， 在中，由勾股定理得： 设， 则， 在中，由勾股定理得： 即 解得： 故答案为：． 10．（25-26八年级上·上海宝山·月考）如图，已知中，．现将进行折叠，使顶点重合．则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，根据实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系；在中可得，在中可得，则，在中根据勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ ∵将进行折叠，使顶点重合 ∴， 设，在中， ∴ 解得： 则 ∴在中， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东青岛·月考）如图所示，有一块直角三角形纸片，，将斜边翻折，使点B落在直角边的延长线上的点E处，折痕为，则点D到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，翻折的性质，角平分线的性质定理，解一元一次方程，解题的关键是掌握翻折的性质和勾股定理． 利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，然后利用翻折的性质得出相等角和边，假设长为，表示出相关线段的长度，利用勾股定理列出方程求解，最后利用角平分线的性质定理进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴由勾股定理得， 由翻折的性质得，，， 假设长为，则，， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∵，， ∴点D到直线的距离等于的长度，即为， 故答案为：． 12．（25-26八年级上·山西·月考）如图，在中，，，，D，E分别是边上的两个动点．将沿直线折叠，使得点B的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为 ． 【答案】或5 【分析】本题主要考查勾股定理及折叠的性质，熟练掌握勾股定理及折叠的性质是解题的关键． 由题意可知或，然后分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点B的对应点落在边的三等分点处，， ∴或， 由题意，得， 如图1，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ； ②如图2，当时， 在中，由勾股定理，得：， ， ， ． 综上所述，线段的长为或5． 故答案为：或5． 13．（25-26八年级上·山东济南·期中）如图，在长方形中，点E，点F分别为边，上的点，将长方形纸片沿折叠，使点B与点D重合，若，，则折痕的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，，设与相交于点O，先求出，设，则，由折叠性质得，，，，证明四边形是菱形，在中，由勾股定理求出得，由菱形的面积公式得菱形的面积，即，据此可得折痕的长． 【详解】解：连接，，设与相交于点O，如图所示： ∵四边形是长方形，且，， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 由折叠性质得：，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， 由菱形的面积公式得：菱形的面积， ∴， 解得：， 即折痕的长是． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，理解图形的折叠变换及其性质，矩形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 14．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·江苏南京·期中）如图，矩形中，，，如果将该矩形沿对角线折叠，使点C落在点F处，那么图中阴影部分的面积是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，等角对等边，熟练掌握矩形的性质，是解题的关键．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，根据等角对等边得出，设，则，，根据勾股定理得出，再解方程即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，可得，， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵，即， 解得， ∴． 故答案为：． 16．（25-26九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，在中，，，，点D是边的中点，点E是边上一动点，连接，将沿折叠，使点C落在点F处，连接，若是直角三角形，则的长是 ． 【答案】7或 【分析】本题考查翻折变换，直角三角形的性质等知识．分两种情形：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：当时， ， ， ，，共线， ，， ， 设，则， 在中，则有 解得， ； 当时，， ， ， ， ， 综上所述，满足条件的的值为7或． 故答案为：7或． 17．（25-26八年级上·辽宁本溪·期末）如图，将长方形纸片，沿直线折叠，顶点恰好落在边上的点处．已知厘米，厘米，求的长． 【答案】10厘米 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，根据题意可得，厘米，，由折叠的性质可得厘米，，利用勾股定理求出的长，设厘米，则厘米，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，厘米，， 厘米， 厘米， 由折叠知厘米，， 在中，由勾股定理得厘米 设厘米，则厘米， 在中，由勾股定理得 ， 解得， 的长为10厘米． 18．（2026八年级下·全国·专题练习）如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． (1)求证：． (2)若，，则的面积为__________． 【答案】(1)见解析 (2)78 【分析】（1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用即可判定； （2）设未知数，将问题转化到中利用勾股定理建立方程求出结果即可． 【详解】（1）解：四边形是长方形， ，， ． 由折叠的性质，得，，， ，，， ． 在和中， ． （2）解：由折叠的性质，得． 设，则． 在中，， ，解得． ， ， ． 【点睛】本题属于折叠问题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理以及三角形面积的计算公式的运用，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案是解题的关键． 19．（23-24八年级上·广东揭阳·期末）如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． (1)求的面积． (2)求折痕的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键． （）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可； （）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，设， ∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点． ∴，， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得，， ∴， ∵， ∴． 20．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，，点分别在边上，沿着折叠长方形，使点分别落在处． (1)如图1，当落在线段的中点位置时，则 ； (2)如图2，若点与点重合，连接，当线段的值最小时，的长度为 ． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了翻折变换（折叠问题)，矩形的性质，勾股定理，掌握翻折的性质以及勾股定理是解题的关键． 由折叠的性质可得，设，则，在中，利用勾股定理求出x的值，即可求解； 当共线时，的值最小，为的长，线段的值最小时，点在上的点处，点在点处，在中，由勾股定理得，设，由折叠的性质得，，从而得到，在中，利用勾股定理求出y的值，即可求解． 【详解】（1）解：在长方形中，， 为线段的中点， ， 由折叠的性质，得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ． 故答案为：． （2）连接， ， 当共线时，的值最小，为的长， 此时，点在上的点处，点在点处，如图， ， 在中，由勾股定理得， 设， 由折叠的性质得，， ， 在中，由勾股定理得， ， 解得， 线段的值最小时，的长度为． 故答案为：． 21．（25-26八年级上·陕西咸阳·月考）如图，在中，，，，是边上一点，把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形．见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形折叠的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据已知条件，利用勾股定理逆定理即可证明三角形的形状； （2）根据折叠的性质得到，，然后得到的长度，在中根据勾股定理求出的长． 【详解】（1）解： 是直角三角形．理由如下： ， ． 是直角三角形，且． （2）由（1）得是直角三角形，且． 把沿折叠，使落在直线上，点的对应点为点， ． ． ， ， 解得． 22．（25-26八年级上·浙江金华·期中）如图，在长方形中，． (1)如图①，将长方形沿EF翻折，使点A与点C重合，点D落在点处，求的长； (2)如图②，将沿翻折，若交于点E，求的面积； (3)如图③，P为边上的一点，将沿翻折得到，，分别交边于点E，F，且，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定和性质，正确理解题意确定三角形的三边由勾股定理建立方程是解题的关键． （1）设，在中，根据，构建方程即可解决问题； （2）首先证明，设，在中，利用勾股定理构建方程，求出，再代入数值到进行计算，即可解决问题； （3）设，首先证明，推出，，由，推出，，，在中，可得，解方程即可解决问题； 【详解】（1）解：根据折叠的性质，得． ∵四边形是长方形， ∴． 设， 则， 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． （2）解：∵四边形是长方形， ∴． 根据折叠的性质，得． 又∵， ∴． ∵交于点， ∴， ∴， ∴． 设， 则． 在Rt中， ， ∴， 解得， ∴． ∴， ∴． （3）解：∵四边形是长方形， ∴． 由折叠的性质， 得， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， 设， 则， ∴． 在Rt中，， 解得， ∴． 23．（25-26八年级上·山西运城·期中）综合与实践 (1)如图1，在中，，，． ①求的长； ②是上一点，将沿着对折，点恰好落在上的点处，求的长． (2)如图2，在中，是边上的高，求的长． 【答案】(1)①10；② (2)12 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，灵活运用勾股定理列出方程是解题的关键． （1）①直接运用勾股定理求解即可；②由折叠的性质以及线段的和差可得，再根据勾股定理列方程求解即可； （2）设，则．由勾股定理可得、，然后列出关于x的方程求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴． ②由折叠得：， ∴， ∴． 在中，， ∴，解得：， ∴的长为． （2）解：设，则． ∵是边上的高， ∴． 在中，， 在中，， ∴，解得：， ∴． 24．（25-26八年级上·河南平顶山·月考）同学们，我们已经学过勾股定理，那是直角三角形特有的哦！ (1)填空：如图①，若直角边，直角边，则斜边________； (2)观察图②，其中两个相同的直角三角形边、在一条直线上，请利用几何图形的之间的面积关系，试说明； (3)如图③所示，折叠长方形的一边，使点落在边的点处，已知，，求的长． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)． 【分析】本题主要勾股定理的证明，几何图形面积的计算，矩形与折叠中勾股定理的运用． （1）运用勾股定理可得的值； （2）图②的面积，又图②的面积，由此即可求解； （3）根据折叠，长方形的性质，在中，运用勾股定理，可得，设，则，在中，运用勾股定理得，即可求解． 【详解】（1）解：根据勾股定理得，， 故答案为：； （2）证明：图②的面积， 又图②的面积， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，，即， 解得：， ∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， 即， 解得：， ∴． 25．（21-22八年级上·重庆北碚·月考）在长方形中，．P为上一点，将沿直线翻折至的位置（点B落在点E处）． (1)如图1，当点E在边上时，求的长度． (2)如图2，当点E在边外时，与相交于点F，与相交于点G，且，求的长． (3)如图3，已知点Q为射线上的一个动点，将沿翻折，点B恰好落在直线上的点处，求的长． 【答案】(1)3 (2) (3)4或16 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，再由勾股定理可得的长，从而得到的长，然后根据，即可求解； （2）证明，可得，从而得到，，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，根据折叠的性质以及等腰三角形的判定可得，再由勾股定理得的长，即可求解；当点Q在延长线上时，由勾股定理得的长，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 由折叠的性质得：，， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：； （2）解：由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， 即； （3）解：当点Q在线段上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当点Q在延长线上时，如图： 由翻折的性质得：， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， 即； 综上所述，的长为4或16． 【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的判定、分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握全等三角形的判定和性质、翻折变换的性质，由勾股定理得出方程是解题的关键，属于中考常考题型． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $