河北省唐县第一中学2026-2027学年高一创新班上学期10月期中数学试题

高一创新班数学试题 考试时间：120分钟.试卷满分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（每小题5分） 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．设是定义在上的偶函数，且满足．当时，，则（    ） A．4 B． C． D． 4．函数的图像大致为 (　　) A． B． C． D． 5．已知的外接圆圆心为，且，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，且在区间上单调递减，则整数（  ） A．1或2 B．1 C．2 D．3 7．在中，，则的最大值为（    ） A． B．1 C． D． 8．已知函数是定义在上的奇函数，对任意的，均有且，当时，，则方程的实根个数为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 二、多选题（每小题6分） 9．下列说法正确的有（   ） A．若二次不等式恒成立，则实数的取值范围为 B．函数的定义域为，则函数的定义域为 C．设x，，则“且”是“”的必要不充分条件 D．定义在上的函数满足，则 10．如图，函数的图象与轴的一个交点为，与直线的相邻两个交点为，，且，则下列说法正确的是（     ） A． B． C．若区间内包含了的零点与对称轴，则 D．若将的图象沿轴平移个单位长度得到一个偶函数的图象，则的最小值为 11．如图，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，D为边BC上一点，且，，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则角 C．若，，则 D．的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（每小题5分） 12．的值为________. 13．已知平面向量，，满足，且，则__________． 14．已知锐角满足，，则面积的取值范围为_________． 四、解答题 15．（13分）已知函数的最小正周期为． (1)求函数的单调递增区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值． 16．（15分）已知函数定义域为，且，，满足关系式：，且. (1)求的值； (2)求的解析式； (3)设，若不等式对任意实数恒成立，求实数的最大值. 17．（15分）如图，在中，，是线段的中点，过点的直线分别交线段，于，两点，，.    (1)求的值； (2)若，，且，，求的值. 18．（17分）已知锐角三个内角的对边分别是，若． (1)求的大小； (2)若平分交于点， （i）求的取值范围； （ii）若，求角平分线长的最大值． 19．（17分）若存在，使得函数对其定义域内的任意，都有恒成立，则称为“倒数对称函数”，为对称系数． (1)证明：为“5倒数对称函数”； (2)已知函数． （i）试问是否为“倒数对称函数”？若是，求出对称系数的值；若不是，请说明理由； （ii）若函数有唯一零点，求正数的取值范围． 第2页（共4页） 第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B 0 B & D C D D AB AD 题号 11 答案 BCD 12.V5. 13.4 14. 15【10-兮mosr-sac+号-or 31+cos2@x3 2 2 2 4 因为函数f(x)的最小正周期为π， 所以无-x→0=1，因此画数f()的解析式为f)-n（2x-到)月 20 (2）令2a2x-骨s2版+5keZ列=m是s+ez), 3 所以函数f(x)的单调递增区间为m-亚，k+ 5π ,k∈Z: 121 12 )当e2a引 -36'6 所以当2x骨时，即当x=时，函数f()有最大值君 当2x骨受时，即当=受时，题数因有最小值号 16.【解】(1)取x=0,y=1得f()=f(0)+1:取x=0,y=-1得f(-1)=f(0)+1, 又：f()=2,.2=f(0)+1,f(-1)=f(0)+1, f(0)=1,f(-1)=2 (2)令x=0,得f(y)=f(0)+y2, 由(1)知f(0)=1,f(y)=1+y2, 即f(x)=x2+1. (3)由题意，h(x)=f2)=4+1, h()≥k-h(2),.h(t)+h(2≥k,.42+4+2≥k, 第1页（共5页） 令u=4,则4护+4+2=+2，由1e训得ue存4 则y=2+u+2在 故k≤ 即实数的录大值为治 17.【解】(1)CAHCB=5,,△ABC为等腰三角形.设边AB的中点为M,则CM⊥AB. 如图，以点M为坐标原点，MB,MC所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系 又|AB=6,则A(-3,0),B3,0),C(0,4),CA=(-3,-4),CB=(3,-4) F F为△ABC的垂心，∴CF⊥AB,BF⊥AC,点F在直线CM上. M 设F0,0),则BF=(3,0,BF.=(3,0(←3，=9-=0，解得1=} 又，F=mCi+nC,(-）=-3-+3=(3+3m-40, -3m+3n=0 7 则 4m-4n=-7,解得m=n=32 7 ∴.m+n= 6'即m+n的值为 16 (2):EB=2AE, 压-a+正-a+=a+a--号aita :D是线段E的中点，÷cD=正=ci+08 6 CP-xCA.CO-yCB.x>0.y>0.C-CP.CB-c0.CD=CP+c0, y 3x P,D,Q=点类晚女。l6 x V (3).CP=xCA,CO=yCB,.PO=CO-CP=yCB-xCA, 由2.得c=cai+西 6 .C4=6,CB=12,C4-CB=0, 第2页（共5页） -C+C(C)-24y-12x 又CD.P9=0,∴24y-12x=0,即x=2y. 由(2行子-6：解得x号少写9 1 2 x V 9 18.【解】(1)由正弦定理边化角ccos A+√3 csin A:=b+a可以转化为sin Ccos A-+√3 sin Csin A=sinB+sinA, 因为A+B+C=π，所以sinB=sin AcosC+cosAsinC, 原式等价千3 5sinCsinA=-sn4easC+sin4,即v5snC-cosc=2snC--l, 所以mc-}片因为c-()所以c-g君即Cc=号 66 (2)由角平分线性质定理可得5-4C_A, BE BC a bsin B a sinA 钻合4+8=-C,得8=经4，所以6.血红小 a sin A 展开分子sin 2π 3 1 3 )sinA化简得b2cosM+2nAV3cosA,1sinA3 2 2 0 sin A 2 sin A 2 sin A 2 tan A'2 结合锐角三角形的约束条件：所有内角都小于交 2 0<A<π 即 2 解得”<A< 6 0< 2 3 2 4间.gG (i因为5=Sm+5ax,所以absinC--CEs C+a-CE-sinz C 2 山，、知C=元，所以sinC=。；sn22'上式U间将CE=, 2 a+b 已知c=AB=V3,由余弦定理得3=a2+b2-ab, 由基本不等式得3=a2+b2-ab≥2ab-ab=ab,即ab≤3，当且仅当a=b时取等号， 同时a+b≥2√ab,当且仅当a=b时取等号， 代入CE=V3ab<V3b√3Vab<V3W3=3,当且仅当a=b=3,即△ABC是等边三角形时，角平分线 a+b2√ab2 CE取到最大位号 第3页（共5页） 19.【解】(L油题意得函数μ(x)=3+x的定义域为(，0)U(0,+∞)， 对任意x≠0，可得 =2+5-x+3=)】 x Γ-5'x 所以函数4(x)为“5倒数对称函数”： 2 (2)(①)因为h()-2ogx-og.后 .4 进一步化简可得a()=21 oo,！x-12bgog,4-log,小x-号 x 设函数()为馏数对称函数，则()=图) 则图-2ge4-“ 令x-,得h(x)=2l0g,r(log,4-1og,x)-￥-4 i, 对=两边取以3为底的对数，得1og,=log,1og-og, 则6)=2oe-g,cg4-1g+g--号 =-2(log,*)+(4log/-2log,4)log,*+2log:/(log,4-log,)- 又a)=2g,xlog,4-1og,x）-x-4=-20og,2+2og,4-1og,x-x-4 4log:t-2l0g,4=2l0g,4 由h(x)=h 对x>0恒成立，得 2log1(1og,4-log3)=0,' 解得1=4，经检验h(x)=h 所以函数h(x)为4倒数对称函数”： (i)由(i)可知，函数h(x)为4倒数对称函数”， 函数p(x)=h 4x） x2+4 -h(mx+5)有唯一零点， 即关于x的方程h 4x x2+4 =h(mx+5)有唯一解， 4x4≤4=-1 对任意x>0,+4+44 x 又因为加为正数，则+5>5，所以红4<m+5恒成立， 因为函数h(x)为4倒数对称函数”， 所巴原方程的解等价于方程+4(mx+5)=4有唯一解 对上式进一步化简可得(m-1)x2+5x-4=0, 第4页（共5页） 当m=1时，方程化为5x-4=0,解得x=4>0,符合唯一解， 当m≠1时，判别式△=25+16(m-1)=16m+9>0(m>0), 有两个不相等的实根，所以两根之积为- m-1’ 若m>1,则m-1>0,乘积为负，两根一正一负， 仅有正根在定义域内，符合唯一零点， 当0<m<1时，则m-1<0,乘积为正，两根同号， 又因为雨根之和为，>0，所以两根均为正， 即方程(m-1)x2+5x-4=0有两个正根，对应两个零点，不符合唯一零点要求， 综上所述，可得正数m的取值范围是1，+∞)， 第5页（共5页）