精品解析：广东东莞市东莞中学松山湖学校2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

2026-2027学年度第一学期第一次段考 高二年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 设直线倾斜角为，斜率为，若，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或1 5. 已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，直角三角形ABC所在平面垂直于平面，直角边AC在平面内且，，若平面上存在点P，使得的面积为，则下列命题正确的是（ ） ①点P在平面上的轨迹为椭圆； ②线段CP长度的最小值为5； ③线段CP长度的最大值为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意.本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的值可以为3 C. D. 若的面积为，则 10. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 在棱长为的正方体中，为侧面的中心，若点为线段上的动点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 若，则 C. 当时，上存在点，使得，则 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 过点且垂直于直线的直线方程为________． 13. 已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________. 14. 已知分别为椭圆的左､右焦点，位于第三象限的点在上，.将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，平面，，且． （1）设点M为棱PD的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 16. 已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． （1）求点C的轨迹方程； （2）点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，设圆C的半径为1，圆心C在直线上． （1）若圆心C也在直线上，过点P作圆C的切线，求切线方程； （2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标的取值范围． 18. 如图，四边形ABCD为矩形，，，，，，将矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． （1）证明：平面． （2）若E为棱CD上的动点（可与点C，D重合），求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围． （3）设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 19. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆． （1）若椭圆，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； （2）若焦点在x轴上的椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2，点F是的右焦点，直线l与交于D，E两点，直线l与交于A，B两点，其中点A，D在x轴上方． （ⅰ）若直线过点F，求证：； （ⅱ）若，点N在直线l上，满足直线，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期第一次段考 高二年级数学试题 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1．本卷共4页. 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上. 3．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 5．考生必须保证答题卡的整洁. 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意.本题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知空间向量，，，，且，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，因为，所以与的夹角为. 2. 已知向量为平面的法向量，点在内，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用点到面的距离的向量求法求解即可 【详解】因为， 所以， 因为平面的法向量， 所以点到平面的距离. 故选：B 【点睛】此题考查利用向量求点到面的距离，属于基础题 3. 设直线倾斜角为，斜率为，若，则直线倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合，即可求解. 【详解】由直线倾斜角为，斜率为，且，可得， 因为，可得或， 所以直线倾斜角的取值范围是 4. 若直线与直线平行，则（ ） A. B. 0 C. 或0 D. 或1 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行的充要条件列方程求解即得. 【详解】因直线与直线平行， 则，解得. 5. 已知直线和，两点，若直线上存在点使得最小，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对称关系求出点关于直线的对称点为，则最小值为之间的距离，联立直线方程求得点的坐标. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则，解得，所以， 所以， 当且仅当点为线段与直线的交点时等号成立， 因为，，所以直线的方程为， 联立，解得，所以点. 故选：D 6. 若直线与曲线有两个交点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点，再将曲线转化为，可知其为半圆，结合图像，即可求出的取值范围. 【详解】由题意得，直线的方程可化为，所以直线恒过定点， 又曲线可化为，其表示以为圆心，半径为2的圆的上半部分，如图. 当与该曲线相切时，点到直线的距离，解得， 设，则， 由图可得，若要使直线与曲线有两个交点，须得，即.     7. 已知，为圆的两条相互垂直的弦，垂足为，则四边形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法一：设直线方程，求出圆心到直线的距离，由求出关系式，构造二次函数求最值. 法二：设出圆心到直线的距离分别为，先找到的关系，由求出关系式，构造二次函数求最值. 【详解】法一：（1）若直线斜率不存在时，直线的方程为，则O到直线AC距离，，同理， 则面积为； 同理得直线斜率不存在时，； （2）两条弦斜率均存在，设，则O到直线AC距离， 故； 同理． 令，，由关于的方程有解， ，， 则， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， ，， 因此最大值为. 法二：设O到直线AC距离为，到直线BD距离为，则有．， 此时， 令，，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，，， 因此最大值为， 8. 如图，直角三角形ABC所在平面垂直于平面，直角边AC在平面内且，，若平面上存在点P，使得的面积为，则下列命题正确的是（ ） ①点P在平面上的轨迹为椭圆； ②线段CP长度的最小值为5； ③线段CP长度的最大值为7． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，根据三角形面积得到点P到直线AB的距离，由点到直线的距离向量公式得到，并设点，结合三角函数有界性得出线段CP长度的最值，得到答案. 【详解】易知平面，以点C为坐标原点，CA、CB所在直线分别为x、z轴， 平面内过点C且垂直于AC的直线为y轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、，因为点P在平面内， 设点，点P到直线AB的距离为d， ， ，所以． 因为，， 则， 整理可得，故点P的轨迹为椭圆，①正确； 设点， 则， 因为，所以，则， 故， 即线段CP长度的最小值为，最大值为7，故②错误，③正确． 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意.本题共3小题，每小题6分，共18分.） 9. 已知点是椭圆上关于原点对称且不与的顶点重合的两点，的左､右焦点分别为，点为原点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的值可以为3 C. D. 若的面积为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，求出；B选项，先设，计算出，从而得到；C选项，由对称性和椭圆定义求出C正确；D选项，由三角形面积求出点坐标，得到，得到D正确. 【详解】A选项，椭圆中，，离心率为，A正确； B选项，设，且，则， 故， 所以，B错误； C选项，由对称性可得，所以，C正确； D选项，不妨设在第一象限，，则，则， 则，则，故，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知实数x，y满足方程，则下列说法正确的是（ ） A. 直线被圆截得的弦长为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】首先将方程看作以为圆心、为半径的圆，然后将各选项分别转化为求弦长、斜率（）、到原点距离的平方（）及直线截距（）的最值问题，最后利用圆心到直线的距离公式或两点间距离求解即可. 【详解】对于A，实数、满足方程， 则可把看作是以为圆心，以为半径的圆上的点， 则圆心到直线的距离， 于是弦长，故A正确； 对于B，可以看成，即动点与原点连线的斜率，令， 即直线与圆有公共点，当直线与圆相切时取最大值或最小值，如图， 所以圆心到切线的距离为，解得或，所以的最大值为，故B错误； 对于C，即动点到原点的距离的平方， 如图，原点到圆心的距离为，所以圆上的点到原点的距离的范围为， 连接交圆于点，此时取得最小值为，所以的最小值为，故C错误； 对于D，令，则，故的取值可以看成直线在轴上的截距， 由图知，当直线与圆相切时，直线在轴上的截距取得最大或最小值， 由，解得或， 所以的最大值为，故D正确. 11. 在棱长为的正方体中，为侧面的中心，若点为线段上的动点，为线段上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的长最小值为 B. 若，则 C. 当时，上存在点，使得，则 D. 若正方体绕旋转角度后与其自身重合，则的值可以是 【答案】BCD 【解析】 【分析】以D点为原点，建立空间直角坐标系，用向量法判断A,B,C选项，对于D选项，先判断是正方体的外接球的直径，由球的对称性寻找重合的条件. 【详解】如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则：，，，，，，，，， ，设，， ，， 对于A选项，， 当时，的长有最小值为，故A选项错误； 对于B选项，若，则，，，故B选项正确． 对于C选项，设在上，（），则，， ，所以， 令，平方化简得，即，因此C选项正确； 对于D选项，，，，， ，，, 因为，平面，所以平面，设与平面相交于，且为的中心， 则，是正方体的外接球直径， 因此正方体绕旋转角度后与其自身重合，至少旋转，故D选项正确． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12. 过点且垂直于直线的直线方程为________． 【答案】 【解析】 【详解】垂直于直线的直线方程设为， 将代入可得，解得， 故过点且垂直于直线的直线方程为. 13. 已知圆经过直线与圆的交点，且圆的圆心在直线上，则圆的标准方程为___________. 【答案】 【解析】 【分析】求出直线与圆的交点坐标，再求出两交点连线段的中垂线方程，由中垂线与直线联立方程组求得圆心坐标后，再求得半径可得圆方程． 【详解】由，解得或. 不妨令，， 则弦的垂直平分线的方程为. 由，解得， ∴，半径， 故圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 已知分别为椭圆的左､右焦点，位于第三象限的点在上，.将沿其短轴翻折，使得的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后与之间的距离为__________. 【答案】 【解析】 【分析】通过椭圆的基本性质得到焦点的坐标，采用数形结合的方法，通过线面垂直证明线线垂直，从而求得线段的长度. 【详解】， 是椭圆的左、右焦点，即的坐标分别为， 因为，且为的中点， 所以， 设点为椭圆的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面平面，且平面平面，， 所以平面，则， 所以. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 如图，已知矩形所在平面与直角梯形所在平面交于直线，且，，平面，，且． （1）设点M为棱PD的中点，求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：由已知平面ABPE，，故以A为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 所以， 易知平面ABCD的一个法向量等于， 所以，所以， 又平面ABCD， 所以平面ABCD． （2） 【解析】 【分析】（1）建系，通过直线方向向量和平面法向量的位置关系即可判断； （2）由面面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 易知平面ABPE的一个法向量等于， 设平面PCD的一个法向量等于， 可得，， 则，， 令得， 则可得． 设平面与平面夹角为， 则． 16. 已知A是圆M：上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B，点C为AB中点． （1）求点C的轨迹方程； （2）点C的轨迹上有两点P，Q，且线段的中点坐标为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用相关点法即可求得答案； （2）利用点差法先求出直线的斜率，得到其方程，与C的轨迹方程联立，写出韦达定理，根据弦长公式计算即得. 【小问1详解】 设，易得，则， 因为A在圆M上，所以， 故点C的轨迹方程为：； 【小问2详解】 设，，则， 两式相减得，即， 因为线段PQ的中点坐标为，则， 所以， 所以直线PQ的方程为， 联立方程组， 整理得， 则，， ． 17. 在平面直角坐标系xOy中，点，设圆C的半径为1，圆心C在直线上． （1）若圆心C也在直线上，过点P作圆C的切线，求切线方程； （2）若圆C上存在点M，使，求圆心C的横坐标的取值范围． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）联立两条直线的方程求解圆心坐标，得到圆的标准方程；分切线斜率存在与不存在两种情况讨论，斜率存在时设切线的斜截式方程，利用圆心到切线的距离等于半径列方程求解斜率，斜率不存在时直接验证直线是否满足相切条件，最终得到全部切线方程. （2）设点的坐标，根据距离等式平方化简，得到点的轨迹为定圆；将“圆上存在满足条件的点”转化为两圆有公共点，依据两圆相交、相切时的圆心距范围列不等式，求解得到圆心横坐标的取值范围. 【小问1详解】 圆心在直线上，在直线上， 所以联立，解得，所以圆心坐标为， 所以圆的标准方程为：， 若切线斜率存在，设过点P的切线方程为， 由于切线与圆相切，圆心到切线的距离等于半径， 即：，化简得， 两边平方得： ， 因此，切线方程为：，即． 若切线斜率不存在，则，此时圆心到直线的距离为：，符合； 因此，切线方程为：或． 【小问2详解】 设点，则， 两边平方得：，即， 所以点M在圆上， 因为点M也在圆C上，所以圆C与圆有交点， 圆C的圆心为，半径为1， 所以，化简得， 平方得：，所以， 所以圆心C的横坐标的取值范围为：． 18. 如图，四边形ABCD为矩形，，，，，，将矩形ABCD四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使，，，四点重合于点P，得到四棱锥．已知． （1）证明：平面． （2）若E为棱CD上的动点（可与点C，D重合），求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围． （3）设Q为四棱锥外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值． 【答案】（1）因为，，所以，． 因为，所以． 又，平面，所以平面． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用线线垂直可证平面； （2）过点作，垂足为，过点作，交于点，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设，可求得，利用换元法可求得异面直线与所成角的余弦值的取值范围； （3）设四棱锥外接球的球心为，半径为，可得矩形对角线的交点为，可得，计算可求得G与Q两点之间的距离的最大值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作，垂足为，过点作，交于点． 因为平面平面，平面平面，所以平面． 以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图所示．在中，， 在中， ，，则，， 所以，． 因为，所以点G与点F重合，则． 设，，则． 因为，所以． 令，则． 因为，所以，则， 所以，则所求取值范围为． 【小问3详解】 设四棱锥外接球的球心为，半径为． 可得矩形对角线的交点为， 则底面．设．由，得， 解得，则，． 因为， 所以G与Q两点之间的距离的最大值为． 19. 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”．如果两个椭圆的“特征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比．已知椭圆． （1）若椭圆，试判断与是否相似？如果相似，求出与的相似比；如果不相似，请说明理由； （2）若焦点在x轴上的椭圆与椭圆相似，且与的相似比为2，点F是的右焦点，直线l与交于D，E两点，直线l与交于A，B两点，其中点A，D在x轴上方． （ⅰ）若直线过点F，求证：； （ⅱ）若，点N在直线l上，满足直线，求的取值范围． 【答案】（1）椭圆与相似，相似比为 （2）（ⅰ）由题意知椭圆的长半轴长为，短半轴长为2， 又与椭圆（）的相似比为2， 所以，解得，，所以的方程为． 显然直线的斜率不为0． 设直线的方程为，设，，，， 由，得，， 所以，故中点的纵坐标为， 则中点的横坐标为，即中点的坐标为； 由，得，， 所以，故中点的纵坐标为， 则中点的横坐标为，即中点的坐标为， 所以与的中点重合，所以． （ⅱ） 【解析】 【分析】（1）根据特征三角形定义可得出为等腰三角形，从而判断三角形相似，边长之比即为相似比； （2）（ⅰ）利用韦达定理得出两条弦的中点重合，即可得出结论； （ⅱ）由向量条件得出，联立直线与椭圆，借助判别式和函数值域即可求出的取值范围. 【小问1详解】 对于椭圆，，，由特征三角形定义可得椭圆的特征三角形为等腰三角形，腰长，底边上的高为2． 对于椭圆，，，所以椭圆的特征三角形为等腰三角形，腰长为4，底边上的高为． 故椭圆与椭圆特征三角形相似，即椭圆与相似，相似比为． 【小问2详解】 （ⅰ）略 （ⅱ）由（ⅰ）的证明过程可知当l不经过F时，结论仍然成立，将其代入可知． 当直线与轴垂直时，设直线的方程为，，． 由可得，即，此时． 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，设，，， 由，得， ，即； ，， 则． 由，得． ，即， ，． 则． 因为，整理可得，则． 设，则， 所以． 综上可得，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $