精品解析：广东省东莞市第八高级中学、第十三高级中学两校2025-2026学年高二上学期12月联考数学试题

2025-2026 学年度第一学期两校联考 高二数学 一、单选题（每道5分，共40分） 1. 已知空间中三个不同的点，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量的加法法则化简可得结果． 【详解】因为 故选：B． 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由空间向量的坐标运算即可求解. 【详解】由题意知，. 故选：C. 3. 已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据A，B两点坐标得出的斜率，根据直线的倾斜角为得出的斜率，由与平行得出，可解出. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率． 与平行， ，即， 解得． 故选：D. 4. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程直接求解即可. 【详解】由圆的一般方程知：圆心为，半径. 故选：B. 5. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线距离公式，计算即可得答案. 【详解】点到直线的距离. 故选：C 6. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出，，利用线线角的向量法，即可求解. 【详解】如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设正方体的边长为， 则，所以，， 设异面直线与所成的角为， 则， 故选：D. 7. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先求出抛物线方程为：，再与直线联立，由根与系数的关系进行求解． 【详解】直线与轴的交点为， 又经过的焦点，故焦点，可得， 即抛物线：，准线为． 由， 可得，则， 所以，线段中点的横坐标为3， 则线段的中点到准线的距离为． 故选：B 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先设，再结合双曲线定义得出，最后应用勾股定理计算求解. 【详解】设，则， 由双曲线定义得：，解得， 所以，则为直角三角形，且， 在中，， 故选：A． 二、多选题（每道6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 【答案】BCD 【解析】 【分析】举反例否定选项A；利用空间向量基底定义判断选项B，C，D. 【详解】当非零空间向量，，时， 满足，，但与不平行，A错误； 三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则它们必共面，B正确； 能构成空间的一个基底的向量必须是不共面的三个向量， 由于非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底， 即向量，与任何一个向量均共面，则，必共线，C正确； 若，，共面，则， 可知，，共面，与为空间向量的一个基底相矛盾， 故可以构成空间向量的一个基底，D正确， 故选：BCD． 10. 过点且与圆相切的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】首先讨论直线的斜率不存在；再当斜率存在设斜率为，则切线方程为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，解得即可. 【详解】由题意知，圆的圆心，半径， 当斜率不存在时，过点，则直线， 圆心到此直线的距离等于半径1，满足题意； 当斜率存在时，设斜率为，过点，则直线方程为， 由直线与圆相切，所以圆心到此直线的距离等于半径1， 得，解得，故切线方程为. 故选：AB. 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为7 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解. 【详解】由椭圆方程可知：. 对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确； 对于B：因为，则， 可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确； 对于C：由椭圆的光学性质，得点 P与l垂直的直线为角的角平分线， 则， 设，则， 可得， 则， 即, 整理可得，解得或， 当时，，M与O重合，不合题意， 所以，即，故C正确； 对于D：如图，延长交于点， 则在中，， 则且为中点，连， 在中，， 则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误. 故选：ABC. 三、填空题（每道5分，共15分） 12. 设点在抛物线上，为的焦点，则______. 【答案】4 【解析】 【分析】确定抛物线的准线方程，利用抛物线的定义即可求解出. 【详解】由题意知抛物线，则得，准线，又点在抛物线上， 则点到焦点的距离等于该点到准线的距离，所以. 故答案为：4. 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用中点坐标公式得，解得，代入圆的方程即可求解. 【详解】设点，所以①， 又，代入①有：，解得， 故答案为：. 14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】由题意建立空间直角坐标系可得当在上时，满足，求得的长；当为内的动点（含边界）时，再取中点，，再过作，可证平面，得到的轨迹，求解三角形可得点的轨迹的长度． 【详解】因为平面，平面，所以，又，所以， 又平面，所以平面，过，如图建立空间直角坐标系， 则，设，所以，则 ①当在上时，设，因为，所以，故，则 所以； ②为内的动点（含边界）时，如图，取中点，过作，垂足为 由①可得，又，平面，所以平面，因为平面，所以 即在线段上运动时，， 点的轨迹为线段． 则． 故答案为：；. 四、解答题（共77分） 15. 已知，． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 【答案】（1）8；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用空间向量数量积的坐标表示求； （2）利用空间向量夹角的坐标表示求与夹角的余弦值． 【详解】（1）由题设，. （2）由，， ∴. 16. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂直可得直线斜率，再利用点斜式可得直线方程； （2）联立直线可得点，进而确定中点以及，即可得圆心与半径，进而可圆的方程. 【小问1详解】 易知的斜率为，故所求直线斜率是， 所求直线过点， 所求直线方程为， 即； 【小问2详解】 联立方程组，解得， 故，又， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 由两点间距离公式得， 即圆心为，半径， 故所求圆的方程为． 17. 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆经过的两点可求，即可得椭圆方程； （2）联立直线和椭圆方程，求出交点坐标即可求面积. 【小问1详解】 因为椭圆经过点，所以， 把点的坐标代入方程，得，解得. 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 联立方程组消去，得. 解得或不妨设，，则. 18. 如图.在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，，是的中点. （1）求直线与平面的夹角的大小； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）若点在棱上，使得异面直线与所成角的正切值为，求点到平面的距离. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证明底面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面PBD的法向量坐标，再利用线面角的向量法求解即得. （2）求得平面和平面的法向量坐标，再利用面面角的向量求法求解. （3）先根据异面直线DF与BC所成角的正切值确定F的坐标，再利用点到平面的距离的向量法求解即可. 【小问1详解】 在四棱锥中，平面底面ABCD， 又因为，，则， 所以，而平面底面 , 所以底面，底面， 则，由底面是正方形，得， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 因为，则，， ， 因为底面，底面，所以， 由底面是正方形，得，,平面, 所以平面，所以平面的一个法向量为， 设以与平面的夹角为. 因此， 而，则， 所以与平面的夹角为. 【小问2详解】 由（1）知，，且， 设平面的法向量为， 则，取，得， ，而，则， 即，则的一个法向量为， 因此， 而，则， 所以平面与平面的夹角为. 【小问3详解】 是中点，得 ； 设 在上， ， 则 ， ， 异面直线DF与BC所成角的正切值为，则 ； 由 ，解得 ，故 . 平面 的向量 ， 设平面 的一个法向量为， 则，令 ，则 ，所以， 故点 到平面的距离为 . 19. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 【答案】（1）标准方程为，准线方程为； （2） 设点P的坐标为，， 由题意，过点与抛物线相切的直线的斜率存在且不为0， 设切线的斜率为，则切线的方程为， 联立方程组，消去，得， ∴得（*）， 又、为方程（*）的两根，由韦达定理得为定值； （3） 由题知，直线的斜率不为， 设直线的方程为，，， 联立，整理得，， ∴，， ∵， ∴， 整理得， 代入有， ∴， ∴且， ∴，故直线过定点． 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标求解即可； （2）设切线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用韦达定理求解即可； （3）直线的方程为，将其与抛物线方程联立，利用得到且，代入计算即可得证． 【小问1详解】 由题意知抛物线的标准方程为（）且， ∴，抛物线的标准方程为，准线方程为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026 学年度第一学期两校联考 高二数学 一、单选题（每道5分，共40分） 1. 已知空间中三个不同的点，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线经过两点，直线的倾斜角为，若与平行，则（　　） A. B. 2 C. 3 D. 6 4. 圆的圆心坐标和半径分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 点到直线的距离是（ ） A. 2 B. C. D. 6. 在正方体中，是的中点，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线过抛物线的焦点，且与抛物线交于两点，则线段的中点到准线的距离为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于，且，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每道6分，共18分，选错得0分，部分选对得部分分） 9. 给出下列命题，其中正确的有（ ） A. 若非零空间向量，，满足，，则有 B. 若三个非零向量，，不能构成空间的一个基底，则，，必定共面 C. 若两个非零向量，与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则，共线 D. 已知是空间向量的一个基底，则也是空间向量的一个基底 10. 过点且与圆相切的直线方程为( ) A. B. C. D. 11. 如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（ ） A. 面积的最大值为 B. 的最大值为7 C. 若，则 D. 若，垂足为，则 三、填空题（每道5分，共15分） 12. 设点在抛物线上，为的焦点，则______. 13. 已知点是圆上的一动点，点，点是线段的中点，则动点的轨迹方程是___________ 14. 在如图所示的三棱锥中，平面，，，，为中点，为内的动点（含边界），且.当在上时，________；点的轨迹的长度为________. 四、解答题（共77分） 15. 已知，． （1）求； （2）求与夹角的余弦值． 16. 已知直线，直线，设直线与的交点为，点的坐标为． （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求以线段为直径的圆的方程． 17. 已知椭圆经过点，. （1）求椭圆的方程； （2）若直线交椭圆于，两点，是坐标原点，求的面积. 18. 如图.在四棱锥中，底面是正方形，平面底面，，，是的中点. （1）求直线与平面的夹角的大小； （2）求平面与平面的夹角的大小； （3）若点在棱上，使得异面直线与所成角的正切值为，求点到平面的距离. 19. 已知以为焦点的抛物线的顶点为原点，点是抛物线的准线上任意一点，过点作抛物线的两条切线、，其中、为切点，设直线、的斜率分别是和． （1）求抛物线的标准方程及其准线方程． （2）求证：为定值． （3）求证：直线过定点，并求出该定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $