广东东莞市东莞中学松山湖学校2026-2027学年高二上学期第一次段考数学试题

秘密★启用前 2026-2027学年度第一学期第一次段考 高二年级 数学试题 教学处命题中心 试卷分值：150分 考试时间：120分钟 注意事项： 1.本卷共4页。 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上。 3.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题日选项的答案信息点涂黑：如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。 4,非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。 5.考生必须保证答题卡的整洁。 第I卷（选择题） 一、单选题：（每小题只有一个选项符合题意。本题共8小题，每小题5分，共40分) 1.己知空间向量a.b,1a=1,1b√2，且ab=1,则a与b的夹角为) 人君 B号 c号 D 2.己知向量i=(2,0,1)为平面a的法向量，点A(-1,2,1)在a内，则点P(L,2,2)到平面a的距离为() A⑤ B.5 C.5 D.25 10 5 3.设直线倾斜角为a,斜率为k.若k≥- ,则直线倾斜角α的取值范围是() 3 A昏动 &曾动 ca学u到 D.o,经urg 4.若直线l:x-2ay-1=0与直线2：(a+1)x+ay-1=0平行，则a=（) B.0 c0 D.2或1 5.己知直线：x-2y-8=0和4A(-2,0),B(2,4)两点，若在直线1上存在点P使得|PA|+1PB1最小，则 点P的坐标为() A.(0,-4) B.(2,-3) c.(3,-2) D.(4,-2) 6.若直线1：：-y+4+2k=0与曲线y=√4-x2有两个交点，则实数k的取值范围是() A.(-,-l] B.(m,子 C D.【l-子 高二数学第1页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 7.己知AC,BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦，垂足为ML,√2)，则四边形ABCD面积的最大值 为() A.4 B.2√6 c.5 D.6 8.如图，直角三角形ABC所在平面垂直于平面a,直角边AC在平面a内且AC=1,∠BAC=60,若平 面a上存在点P,使得△MBP的面积为35，则下列命题正确的是() ①点P在平面a上的轨迹为椭圆： ②线段CP长度的最小值为5： ③线段CP长度的最大值为7. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 二、多选题：（每小题有多个选项符合题意。本题共3小题，每小题6分，共18分） 9.已知点A,B是椭圆C:二+上=1上关于原点对称且不与C的项点重合的两点，F,5分别是C的左、 43 右焦点，O为原点，则() A椭圆C的离心率为) B.IAF+IBF =4 C.|AB1的值可以为3 D.若△5的面积为号，则IH号 10.已知实数x,y满足方程(x-2)+-1)2=1,则下列说法正确的是() A.直线y=x被圆截得的弦长为√互 B。二的数大值为号 C.x2+y2的最小值V5-1 D.x+y的最大值为3+√互 D C I1.在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，E为侧面BCCB的中心，若点P为 A B 线段BD上的动点，M为线段AD上的动点，则下列说法正确的是() Di APE的长最小值为号 M B.若丽=弧，则酝= C.当os∠wDC=5时，AD上存在点M,使得Dm=AD0≤As,则A= 3 2 D.若正方体绕BD旋转0角度后与其自身重合，则0的值可以是2” 3 高二数学第2页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，共15分） 12.过点Q(-1,3)且垂直于直线x-y+3=0的直线方程为 13.已知圆C经过直线x+y+2=0与圆x2+y2=4的交点，且圆C的圆心在直线2x-y-3=0上，则圆C 的标准方程为 4已知斤，5分别为情阙C:于+)2=1的左，右焦点，位于第三象限的点P在C上且满足P听上P所将C 沿其短轴翻折，使得C的左半部分所在平面与右半部分所在平面互相垂直，则翻折后P与F之间的距离 为 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(本小题13分) 如图，己知矩形ABCD所在平面与直角梯形ABPE所在平面交于直线AB,且AB=BP=2,AD=AE=1, AD⊥平面ABPE,AE⊥AB,且AE∥BP D (I)设点M为棱PD的中点，求证：EM∥平面ABCD: (2)求平面ABPE与平面PCD夹角的余弦值. 16.(本小题15分) 己知A是圆M:x2+y2=12上一动点，过A作x轴的垂线，垂足为B,点C为AB中点. ()求点C的轨迹方程： (2)点C的轨迹上有两点P,Q,且线段PQ的中点坐标为(2，)，求|PQ1的值. 17.(本小题15分) 在平面直角坐标系xOy中，点P(0,3),设圆C的半径为1，圆心C在直线l:y=2x-4上. (I)若圆心C也在直线y=x-3上，过点P作圆C的切线，求切线方程： (2)若圆C上存在点M,使|MP=2|MO1,求圆心C的横坐标的取值范围. 高二数学第3页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 18.(本小题17分) 如图，四边形ABCD为矩形，A⊥AB,DP⊥CD,AB=2,DP=2W2,BC=BP=3,将矩形ABCD 四周的三角形沿该矩形的边向上折起，使P,乃，P,P四点重合于点P,得到四棱锥P-ABCD.已知 BG=-BC (I)证明：AB⊥平面PAD. (2)若E为棱CD上的动点（可与点C,D重合），求异面直线AG与PE所成角的余弦值的取值范围. (3)设？为四棱锥P-ABCD外接球球面上的动点，求G与Q两点之间的距离的最大值. 19.(本小题17分) 定义：由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”如果两个椭圆的“特 征三角形”相似，则称这两个椭圆是“相似椭圆”，并将三角形的相似比称为椭圆的相似比己知椭圆 )若椭圆C:6+ 三+二=1，试判断C与C,是否相似？如果相似，求出G与C,的相似比：如果不相似， 请说明理由： (2)若焦点在x轴上的椭圆C与椭圆C相似，且C与C,的相似比为2，点F是C的右焦点，直线I与C 交于D,E两点，直线I与C交于A,B两点，其中点A,D在x轴上方. (i)若直线过点F,求证：AD=BE: (ii)若3ED+AD=5BD,点N在直线1上，满足ON⊥直线I,求IONI的取值范围. 高二数学第4页共4页 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 2026-2027学年度第一学期第一次段考数学参考答案 一、 单项选择题 题号 1 2 3 5 6 8 答案 B C D D C B 二、多项选择题 题号 0 10 11 答案 ABD AD BCD 7.c 【解析】法一：(1)若有一条弦斜率不存在，则面积为2√6，(2)两条弦斜率均存在，设 1c:y-万=kx-》,则0到直线4C距离d=5-k,故 V1+k2 1AC=2WP2-d=21 3k2+2√2k+2 2k2-2√2k+3 1+k 同理|BD=21 1+k2 1-292-ur-.sw-方4c10r2ve-可a:t 最大值为5，选C. 法二：设O到直线AC距离为d,到直线BD距离为d,则有d2+d,2=3.此时 Sm=4CH8D24-dX4-d=2《4-dX1+d5e4,列，因此最大值为5， 选c 8.B 【解析】易知BC⊥平面a,以点C为坐标原点，CA、CB所在直 线分别为x、z轴，平面a内过点C且垂直于AC的直线为y轴建立 如下图所示的空间直角坐标系， 则4(L,0,0)、B0,0,5、C(0,0,0),因为点P在平面a内，设点 数学参考答案第1页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App P(x,0),点P到直线4B的距离为d,A=0-+(0-0+(5-0=2 3m-©d=2xd=35,所以d=35. 因为AB=(-10,5),A=(x-1,y,0),则 整理可得 +号1小改点P的执选为满飘. ①正确： 36 设点P1+6cos0,3W3sin0,0,则 c7=V(0+6cos0+27sin20=V9c0s20+12cos0+28=√(3cos0+2y}+24,因为-1scos0≤1， 所以-1≤3cos0+2≤5，则0≤(3cos0+2}'≤25，故=V3cos0+2'+24e[26,7],即线段 CP长度的最小值为26，最大值为7，故②错误，③正确. 11.BCD 【解析】如图，以D点为原点，建立空间直角坐标系，正方体棱长为， 则：D0,0,0),A,0,0,B0,l,0),C0,1,0),A4l,0,1,B,1,1,),C(0,1,1),D(0,0,),E BD=(-1,-l,I),设BP=1BD=(-,-,),(0≤1≤1)， 0--E-(台a分 F网-2合可-2ra产 当入=时，PE的长有最小值为5，故A选项错误： 6 对于B选现，者丽丽，则驴-（合》服-（分引：歌酝好行放B 选项正确， 对于C选项，设M在AD上，DM=1DA(0≤≤1)，则M(2,0,0),DM=(2,0,-), 数学参考答案第2页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp DM.DC 1 DC=(0,l-),所以os∠MD,C= 1 5 M02+◆2R+n子， 平方化简得 克即以= ,因此C选项正确： [AC.BD=-1+1=0,AC⊥BD 对于D选项，AC=(←-1，l,0),AB=(0,1,),BD=(,山，-)， 8BD=1-1=0'“1MB1BD 因为AC∩AB=A,AC,ABC平面ACB,所以BD,⊥平面ACB,设BD与平面ACB的垂足为O, 则∠AO,C=∠CO,R=∠B,OCM=2,BD,是正方体的外接球直径，因此正方体绕BD,旋转0角度 3 后与其自身重合，至少旋转子，放D透项正确， 三、填空题 12.x+y-2=0(或y=-x+2) 13.(x-3)+-3)2=34. 14.√6 【解折】R.是格圆c子+=1的左、右焦点，即尺的坐标分别为一5.0(5，小： 因为PR⊥PR,且O为F5的中点，所以PO=RS=5, 设B点为椭圆C的短轴的一个端点，翻折后（如图所示）， 因为平面POB⊥平面FOB,且平面POB∩平面FOB=OB,OE,⊥OB,所以OE⊥平面POB, 则O51P0,所以PE=VOF+1PoP=3+3=6. 四、解答题 15.【解析】(I)证明：由己知AD⊥平面ABPE,AE⊥AB,故以A为原点，AE,AB,AD分别为 x轴，y轴，：轴正方向，建立空间直角坐标系， 则A0,0,0.B(0,2,0),D(0,0,1),E1,0,0),P2,2,0),M1,l,) .1分 所以E=(01,7, 2分 数学参考答案第3页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 易知平面ABCD的一个法向量等于元=(I,0,0), …3分 所以E丽，万=0，所以E上元， …4分 又EM庄平面ABCD, 5分 所以EM∥平面ABCD. …6分 (2)易知平面ABPE的一个法向量等于元2=(0,0，)， …8分 设平面PCD的一个法向量等于元=(x,y,) 可得DC=(0,2.0),PC=(-2,0,1),则{ %·DC=0 .PC=0' 可得元=(1,0,2).10分 设平面ABPE与平面PDC的所成角为0， 06.离后29 13分 16.【解析】(I)设C(x,y)，易得B(x,0),则(x,2y),… 2分 因为A在圆M上，所以xX2+(2y)2=12,… .3分 故点C的轨迹方程为： + .5分 123 (2)设P),Q(x乃)，则 123 三+ 123 两式相减得-至+广-及-0，即业=-+ 123 x-x340y+为) 7分 因为线段PQ的中点坐标为(2,1)， 所以二=-4=-，a 9分 1 所以直线P2的方程为=-2式+2，… .10分 y=- 联立方程组 123 整理得x2-4r+2=0, …12分 数学参考答案第4页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 则x+x2=4,x2=2，… 13分 Pe=+(←2x+x2-4xx,=6. 15分 17.【解析】(1)圆心在直线：y=2x-4上，在直线y=x-3上，所以联立 y=2x-4 y=x-3 =-2'所以圆心坐标为C,-2. x=1 解得 1分 所以圆的标准方程为：(x-1)+(心y+2}=1,2分 若切线斜率存在，设过点P的切线方程为y=心+3，由于切线与圆相切，圆心到切线的距离 等于半径，即： -2+31_1,化简符+2+到-1台长+兰=1， .3分 k2+1 Vk2+1 Vk2+1 两边平方得： (k+5=k2+1→k2+10k+25=k2+1→10k+25=1→10k=-24→k=-2 4分 因此，切线方程为：y=-是x+3,即12x+5y-15=0. 5 5分 若切线斜率不存在，则x=0,此时圆心到直线的距离为： 1-0l=1,符合： 6分 因此，切线方程为：x=0或12x+5y-15=0 .7分 (2)设点M(x),则+y-3=2R+y, 8分 两边平方得：3=x2+y2+2y,即x2+(+12=4, 所以点M在圆x2+(心+=4上，… .10分 因为点M也在圆C上，所以圆C与圆x2+(y+1)=4有交点， 圆C的圆心为(a,2a-4),半径为1， 所以1≤V(a-0+(2a-4+1≤3，化简得1≤V5a2-12a+9≤3，… .12分 平方得：1s52-12a+9≤9，所以0sas2, .15分 数学参考答案第5页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 所以圆心C的横坐标的取值范围为：®，子， 18.【解析】(I)因为AB⊥AB,DP⊥CD,所以AB⊥PA,CD⊥PD. 1分 因为ABIICD,所以AB⊥PD. …3分 又PA门PD=P,PA,PDC平面PAD,所以AB⊥平面PAD.5分 (2)过点P作PO⊥AD,垂足为O,过点O作OF IIAB,交BC于点F. 因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PADO平面ABCD=AD,所以PO⊥平面ABCD. 以O为坐标原点， OF,OD,OP所在直线分别为x轴、y轴、：轴建立空间直角坐标系， 如图所示.在4PAB中，PA=√32-22=√5， 在PAD中，P02+A0=5,PO+(3-AO2=8,则A0=1,P0=0D=2, 所以P(0,0,2),A(0,-l,0) 因为Bcad-1,所以点G与点F魔合，则c2Q0. 设E(2,2,0),0≤1≤2，则PE=(1,2,-2) .6分 PE.AG 因为G=(2,10),所以osP死，4G= 21+2 P呢GR+8√5 7分 21+2 2 .8分 因为1s13.所以写1，则1-+[ 9分 所以 21+2 [o√5 V2+85105 则所求取值范围为 105 11分 (3)设四棱锥P-ABCD外接球的球心为O,半径为R. 可得矩形BCD对角线的交点为0（兮0 .12分 则O,O⊥底面ABCD. 设@由4=0P,，+=+m-2 数学参考答案第6页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描App 解得m空则o(》R=04=西 13分 因%oc-V2-+o-0-- .15分 所以G与Q两点之间的距离的最大值为O,G+R.6+V西 2 17分 〔解析】1)对于椭圆G:父+三1，a=22,6=2,由特征三角形定义可得椭圆G的特 三角形为等腰三角形，腰长2互，底边上的高为2 …1分 对于随圆G{6+名，Q=46=22,所以椭圆G的特征三角形为等腰三角形，股长为4 底边上的高为2互 2分 故椭圆C与椭圆C特征三角形相似，即椭圆G与C2相似，相似比为22：4=：√互…4分 2)①由怒意知科圆G专+号=1的a为2反，b为2，又G与格网G号+片=6>0) 8 A 的相数比为2：所以2怎-号-2，解利0-反6=所以G的方程为号+广=1一6分 a b 显然直线的斜率不为0 .7分 设直线1的方程为x=m心+1，设A(x,y),B(x2乃2)，D(3,为)，E(x4,y4), 由后+片1.y:2-10.+2小0 [x=my+1 所以片+y2=- 2m m2+2 9分 +-1.+2y+2-10.4+4+20. 由 2 x=y+1 所以乃+y=- 2m m2+2 10分 因为AD=BE到台乃+八，=儿+y,所以i证毕.11分 (i)由(i)的证明过程可知当1不经过F时，结论仍然成立，将其代入3ED+AD=5BD可知 DE=34B …13分 当直线1与x轴垂直时，设直线1的方程为x=t(-√2<1<√2)， 数学参考答案第7页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp 1a21DE4同 lo-可4-61±9时1oN-4分 当直线I与x轴不垂直时，设直线1的方程为y=c+m,设A(x,),B(,乃2)， D(x3,),E(x4y4） [y=kx+m 胥+y2=100+2r+4b+2m-2-0. 由x2 △1=16k2m2-41+2k2(2m2-2)=81+2k2-m2)>0,即1+2k2>m2: 4km 2m2-2 +=1+2欢6=+2欢， |AB=+1x-x,卢+k.25+23-m 1+2k2 [y=kx+m 用]x2+2=1得(0+2k2)x+4x+2m2-8=0 4 △2=16k2m2-401+2k2(2m2-8)=8(4+8k2-m2)>0,即4+8k2>m2, 4km 5+x三-1+2k,x=420 1DE=M+1x,-x,5+k.2E4+8k-m .15分 1+2k2 由3ED+2AD=4BD及(i)可知DE=3AB,可得5+10k2=8m2-k2∈[0，+m) 设，w.则owr=0-4)[引 所以ONI [ 综上可得，OM的取值范围是ON 17分 数学参考答案第8页（共8页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APp