精品解析：吉林吉林市东山实验中学2026-2027学年度八年级上学期期中考试数学试题

2026-2027学年上学期期中教学质量检测 八年级数学 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟悉掌握轴对称的特点是解题的关键． 根据轴对称图形的特点逐一判断即可． 【详解】解：A，B，D中的图形不是轴对称图形，故A、B、D不符合题意；C图形是轴对称图形，故C符合题意； 故选：C． 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形具有稳定性． 3. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A. ，，，为 ，不能判定 ，故本选项符合题意 ； B. ，，，符合，能判定 ，故本选项不符合题意； C. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意； D. ，，，符合 ，能判定 ，故本选项不符合题意 ． 4. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，等腰三角形的性质，关键是要分两种情况讨论．分两种情况：等腰三角形的腰长或底边是6，由三角形三边关系定理进行判断，即可得答案． 【详解】解：如果等腰三角形的腰长是， 等腰三角形的底边长， ，不满足三角形三边关系定理， 等腰三角形的腰长不能是； 如果等腰三角形的底边长是， 等腰三角形的腰长， ，满足三角形三边关系， 等腰三角形的底边长是． 故选：A． 5. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理及其外角的性质． 根据三角形外角的性质得到，根据三角形内角和得到，进而计算即可． 【详解】如图， 可知， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 【答案】B 【解析】 【分析】角平分线是指将角的两边重合折叠，折痕即为角平分线；高是指将顶点向对边折叠，使折痕与对边垂直，折痕即为高；中线是指将底边的两个端点重合折叠，折痕经过顶点，则折痕与底边的交点为中点，连接顶点与该点的线段即为中线． 【详解】解：观察图①的折纸方式，是将的两边和重合折叠，折痕为． 根据角平分线的定义，折痕平分了， 即 ． 所以，是的角平分线． 观察图②的折纸方式，是将顶点向底边折叠，折痕为． 从图中可以看出，折痕与底边垂直(即)，所以，是的高． 观察图③的折纸方式，是将点折叠到点的位置，图中标注，折痕经过点交于点．这意味着点和点关于折痕对称，即，点是的中点． 根据三角形中线的定义，连接三角形的一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线． 所以，是的中线． 综上所述，依次是的角平分线、高、中线． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 【答案】-10 【解析】 【分析】平面直角坐标系中任意一点P(x, y), 关于x轴的对称点的坐标是(x, -y), 关于y轴的对称点的坐标是(-x, y), 根据关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数得出m, n的值, 从而得出mn. 【详解】解:点A (2, m) 关于y轴的对称点是B (n，5), n=-2,m=5, mn=-10. 故答案为-10. 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系. 关于y轴对称的点, 纵坐标相同, 横坐标互为相反数, 是需要识记的内容. 8. 如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为________． 【答案】129° 【解析】 【分析】已知∠A，则可得∠ABC与∠ACB的和，再根据点O到三边AB、BC、CA的距离相等，可得点O是∠ABC和∠ACB的交点，进而可求出∠ABC与∠ACB的和的一半，再在△BOC中运用三角形内角和定理即可求出结果. 【详解】解：在△ABC中，∵∠A＝78°， ∴∠ABC+∠ACB=180°－∠A=180°－78°=102°， ∵点O到三边AB、BC、CA的距离相等， ∴点O是∠ABC和∠ACB的交点， ∴，， ∴. 故答案为129°. 【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形内角和定理以及整体代入的数学方法，难度不大，属于常考题型，熟练运用角平分线的性质和三角形内角和定理是解答的关键. 9. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ， ∴的周长， 故答案为：13． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质、角平分线的作法，根据题意可得为的平分线，过点G作于点H，根据角平分线的性质可得，再利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：过点G作于点H， 由作图可得，为的平分线， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11. 如图，在中，，于点，，若，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据同角的余角相等求出，再根据角所对的直角边等于斜边的一半求出、的长，然后根据计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 如图，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即， 在和中， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先结合，得，再运用证明，即可作答． 【详解】略 13. 如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 【答案】30° 【解析】 【分析】利用平行线的性质定理可得∠ABC=∠ADE=52°，由三角形的内角和定理可得∠EBC的度数，可得∠ABE． 【详解】解：∵DE∥BC，∠ADE=52°， ∴∠ABC=∠ADE=52°， ∵BE是AC边上的高， ∴∠BEC=90°， ∵∠C=68°， ∴∠EBC=90-∠C=22°， ∴∠ABE=∠ABC-∠EBC=52°-22°=30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质定理和三角形的内角和定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 14. 如图，于点，为上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 解： ， ， ，， ． （2）4 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质； （1）先证明，再利用证明即可； （2）由可得，再进一步求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ， ． 15. 如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分 ， ， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由平行线的性质和角平分线的定义可证明，据此可证明结论； （2）由平行线的性质可得的度数，再由三线合一定理即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， ，F是的中点， ． 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角形的内角和为．先根据三角形内角和求出，再根据角平分线定义求出，最后根据三角形外角的性质，求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 17. 如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：， ． ， ． ． 在和中， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，解题的关键是通过角的数量关系推导全等三角形的对应角相等，结合边长与角度条件判定等边三角形． （1）由推出，结合得，再利用，通过证明； （2）由及判定为等边三角形，结合全等结论得，进而判定为等边三角形，得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知， ． ， ． 为等边三角形． ． ， ． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、 （1）在图中画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标； （2）如果要使以点B、C、D为顶点的三角形与全等（点A、D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标； （3）在图中以为底边画一个等腰三角形，使为锐角． 【答案】（1） 如图， （2）点D的坐标为或或 （3） 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了格点作图、轴对称的性质、全等三角形的性质、垂直平分线的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）依据题意画图即可； （2）两个三角形有一个公共边，据此画图即可得到点D坐标； （3）作垂直平分线，则垂直平分线上的格点，且满足为锐角的即为所求． 【小问1详解】 解：坐标为； 【小问2详解】 解：①如图1， 此时， 则点D坐标为； ②如图2， 此时， 则点D坐标为； ③如图3， 此时 则点D坐标为； 综上，点D的坐标为或或； 【小问3详解】 略 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1） 证明：∵和均为等边三角形， ∴，，， ∴， ， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质，等腰直角三角形的应用，正确进行分类讨论是解决此题的关键． （1）由等边三角形的性质得，，，得出，即可证明； （2）根据是等边三角形得，根据（1）的结论可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， ， ， ． 20. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 【答案】（1）11 （2） （3） 解：点P在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， ∵直线l垂直平分边，点P在直线l上， ∴， ∵点P在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴点P在边的垂直平分线上． 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质与判定、等边对等角，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据垂直平分线的性质得到，得到，再利用三角形的周长公式即可求解； （2）利用等边对等角即可求解； （3）根据垂直平分线的性质得到，再利用垂直平分线的判定即可得出结论． 【小问1详解】 解：∵直线l垂直平分边，分别交，于点D，E， ∴， ∴， ∵的周长为19， ∴， ∵， ∴， 即； 故答案为：11； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 略 21. （1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】 解：（1）他的猜想正确．理由如下： 直线，直线， ． ， ， ， ． 在和中， ， ． （2）（1）中的结论依然成立证明如下： ， ． 在和中， ，． . 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质． （1）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． （2）证明，由全等三角形的性质得出， ， 再根据线段的和差以及等量代换即可得出． 【详解】（1）略 （2）略 22. 在中，，点D为边的中点，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒（t>0）． （1）用含t的代数式表示线段的长． （2）当，点P在线段上．若和全等，求t的值． （3）当，为等腰三角形时，请直接写出的度数为 ． 【答案】（1）或 （2）或 （3）或或或 【解析】 【分析】（1）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况考虑即可； （2）分及两种情况，利用全等三角形的性质即可求得的值； （3）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成． 【小问1详解】 解：由题意知：， 当点P在线段上时，； 当点P在线段的延长线上时，； 综上，线段的长为或； 【小问2详解】 解：， ； 当时，则有， 即， 解得：； 当时，， 点是的中点， ， ， 解得：， 综上，的值为或； 【小问3详解】 解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或． 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，关键是注意分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上学期期中教学质量检测 八年级数学 一、单项选择题（本题共6小题，每题3分，共18分） 1. 以下四款人工智能大模型图标，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（   ） A. 两点确定一条直线 B. 两点之间线段最短 C. 三角形的稳定性 D. 垂线段最短 3. 如图，已知，则下列条件中，不能使成立的是（ ） A. B. C. D. 4. 在中国古代建筑中，有一种常见的装饰元素叫做“斗拱”．斗拱由多个小木块组成，它们之间通过榫卯结构相互连接，形成了一种独特的美感．如图1，从正面观察斗拱可发现其外轮廓形状类似于一个等腰三角形．如图2，若的周长为，一边长为，则此等腰三角形的底边长是( ) A. B. C. 6或9 D. 或 5. 按图中所给的条件，的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示是三位同学的折纸示意图，则依次是的（ ） A. 中线、角平分线、高 B. 角平分线、高、中线 C. 高、中线、角平分线 D. 角平分线、中线、高 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 7. 若点A（2，m）关于y轴的对称点是B（n，5），则mn的值是_____． 8. 如图,点O是△ABC内的一点，且点O到三边AB、BC、CA的距离相等，连接OB，OC，若∠A＝78°，则∠BOC的度数为________． 9. 如图是的边的垂直平分线，D为垂足，交于点E，．则的周长是__________． 10. 如图，在中，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点．若，，则的面积是_______ ． 11. 如图，在中，，于点，，若，则的长为________． 三、解答题（12-14每小题6分，15-17每小题7分，18-19每小题8分，20-21每小题10分，22题12分，共计87分） 12. 如图，，，，求证：． 13. 如图，在△ABC中， BE是AC边上的高，DE∥BC， ∠ADE=52° ，∠C=68°，求∠ABE的度数． 14. 如图，于点，为上一点，连接，，，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 15. 如图，在中，平分交于点D，E为上一点，连接，，F是的中点，连接． （1）求证：； （2）若，求的度数． 16. 2025年第十二届世界运动会在成都圆满闭幕．成都射击馆的外墙采用三角形结构支撑，如图所示的是其结构示意图，设计师在中设置了一块玻璃幕墙，平分，，与交于点O，根据测算，为符合结构强度，设计为．求的度数． 17. 如图，中，，E是边上的一点，且满足． （1）求证：； （2）若，求的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别是、、 （1）在图中画出关于x轴对称的，并写出点A的对应点的坐标； （2）如果要使以点B、C、D为顶点的三角形与全等（点A、D不重合），写出所有符合条件的点D的坐标； （3）在图中以为底边画一个等腰三角形，使为锐角． 19. 如图，和均为等边三角形，连接、交于点． （1）求证：； （2）求的度数． 20. 如图，在中，直线l垂直平分边，分别交，于点D，E，连接． （1）若，的周长为19，则的长为______； （2）若，求的度数； （3）已知点P在线段上，且点P在边的垂直平分线上，连接，试判断点P是否在边的垂直平分线上，并说明理由． 21. （1）【综合与探究】如图1，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．小明观察图形特征后，猜想线段，和之间存在的数量关系，请判断他的猜想是否正确，并说明理由； （2）【拓展与应用】如图2，将探究中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任何锐角或钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由． 22. 在中，，点D为边的中点，动点P以每秒2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒（t>0）． （1）用含t的代数式表示线段的长． （2）当，点P在线段上．若和全等，求t的值． （3）当，为等腰三角形时，请直接写出的度数为 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $