精品解析：黑龙江齐齐哈尔市龙沙区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

初三数学期中试题 202610 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分） 1. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案． 【详解】解：选项A、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； 选项B不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程解的定义，能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解，将代入原方程，即可求解得到的值． 【详解】∵是一元二次方程的一个解， ∴， 整理得， 解得． 3. 当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形面积公式列出底和高的关系式，得到反比例函数；重点要注意：底、高都是正数，自变量，所以图像只取第一象限的分支，排除有第二、四象限分支的选项． 【详解】解：三角形面积公式： 整理：，， 这里底、高是线段长度，，，图像是反比例函数在第一象限内的一支． 函数，当时，；当时，，对照选项， 选． 4. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，再计算各点到对称轴的距离，结合开口向下的抛物线的性质比较函数值大小． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，对称轴为直线， 开口向下的抛物线上的点，到对称轴的距离越大，对应的y值越小， 点A到对称轴的距离：， 点B到对称轴的距离：， 点C到对称轴的距离：， ∵， ∴． 5. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为(　　) A. 20° B. 50° C. 80° D. 110° 【答案】C 【解析】 【详解】分析：∠ACA′等于旋转角，由l1∥l2得∠1＝∠BCA′. 详解：根据旋转的性质得，∠ACA′＝50°，又∠ACB＝30°， 所以∠BCA′＝30°＋50°＝80°， 因为l1∥l2，所以∠1＝∠BCA′＝80°. 故答案为C. 点睛：本题主要考查了旋转的性质，旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等. 6. 《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据装裱后整幅画的面积为列出一元二次方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：D． 7. 已知点在函数（>）的图象上，点在直线上，若、两点关于原点对称，则称点、为函数、图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（） A. 只有1对 B. 只有2对 C. 有1对或2对 D. 有无数对 【答案】B 【解析】 【分析】根据“友好点”的定义知，点在函数（>）的图象上关于原点对称点B一定在直线上，然后进行求解即可． 【详解】解：设点，由题意得点B在直线上，则有： ，整理得：； 解得，因此“友好点”的个数为2对； 故选B． 【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握函数上点的坐标及“友好点”的定义是解题的关键． 8. 如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理列式求出AB，根据旋转的性质可得AO=A′O，A′B′=AB，再求出OE，从而得到OE=A′O，过点O作OF⊥A′B′于F，利用三角形的面积求出OF，利用勾股定理列式求出EF，再根据等腰三角形三线合一的性质可得A′E=2EF，然后根据B′E=A′B′-A′E代入数据计算即可得解. 【详解】过O作OF⊥A′B′于F，如图所示： 由旋转性质得：OA=OA′=3，OB=OB′=6， ∴F为A′E的中点， ∵E为OB中点， ∴OE=BE=3， 在Rt△A′OB′中，由勾股定理得：A′B′=， ∴OF=， 在Rt△A′OF中，由勾股定理得：A′F=， ∴A′E= ∴B′E=A′B′－A′E=， 故答案为：B. 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理的应用，等腰三角形三线合一的性质，以及三角形面积，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键. 9. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示．当线段最短时，的周长为m，的周长为n，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．当线段最短时，，从图2可以看出：，，，求得，，然后分别求得两个三角形的周长，相减即可得解． 【详解】解：当线段最短时，， 从图2可以看出： ，，， 此时，， ， 的周长：， 的周长：， ， 故选：A． 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③方程的两个根为，；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定． 根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案． 【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵与轴交于点， ∴与x轴另一个交点， ∴当时，， ∴，故②正确； ∵抛物线与x轴交于点和， ∴方程的两根为6和， ∴， ∴， ∴方程转化为， 整理得：， ∴解得：，，故③错误； ∵， ∴P、Q两点分布在对称轴的两侧， ∵， ∴，即到对称轴的距离小于到对称轴的距离， ∴，故④正确． 综上，正确的有①②④． 故选：C． 二．填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分） 11. 一元二次方程与的所有实数根的和等于________． 【答案】 【解析】 【详解】解：对于方程 ∵，，． ∴． ∴该方程有两个不相等的实数根，设两根为． 根据根与系数的关系，． 对于方程 ∵，，． ∴． ∴该方程无实数根． ∴两个方程的所有实数根的和为． 12. 若函数是y关于x的反比例函数，则m的值为____________． 【答案】﹣2． 【解析】 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴ ，解得m=﹣2． 故答案为﹣2． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为：，且开口向上，最小值为， 在中， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，由菱形的性质得到，由平行线的性质得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是菱形，且其面积为6， ∴， ∵轴， ∴轴，且， ∵点D在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 15. 已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转性质得到，，结合正方形的边、角性质构造等腰直角三角形，通过勾股定理建立关系求解线段长度，最终计算的长. 【详解】解：∵ 四边形为正方形， ∴ ， ∵ 边绕点顺时针旋转得到线段 ∴ ， 延长交的延长线于点，过点作于点，延长交的延长线于点， ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ， ∵ ， ∴ 四边形为矩形 ∴ ， ∵ ∴ 为等腰直角三角形 ∴ ∵ ， ∴ 为等腰直角三角形 ∴ 设 则， ∴ 在中，由勾股定理得 代入得： 整理得 ∵ 线段长度为正 ∴ ，即 ∴ ， ∴ 在中，由勾股定理得： 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，…，则点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得出，，，如此下去，得到线段，再利用旋转角度得出点的坐标在射线上，进而得出答案． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， …… ∴ ∴， ∵， ∴可得出线段每旋转8次旋转一周， ∵， ∴点的坐标在射线上，即在轴正半轴上， ∵， ∴点的坐标为． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】分别计算乘方、绝对值、零次幂、负整数指数幂、立方根，再合并即可得到最终答案． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∵， ∴， ∴， 解得，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得，． 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； （2）画出关于原点中心对称的； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，即为所求． （3） 【解析】 【分析】（1）将分别向右平移1个单位，再向上平移4个单位，再顺次连接即可得到； （2）找出关于原点的对称点，顺次连接即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为：． 20. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 【答案】（1），； （2）证明：∵， ∴； ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据根与系数的关系求出和的值即可； （2）根据根与系数的关系进行证明即可. 【小问1详解】 解：∵，是关于的一元二次方程的两根， ∴， ∵， ∴，， ∴； 【小问2详解】 略 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． （1）求反比例函数解析式； （2）若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2）、、 【解析】 【分析】第问：先用三角形面积求出点的纵坐标，再由借助两点间距离公式求出横坐标，得到点坐标后代入反比例函数求参数． 第问：等腰三角形存在性问题，题目限定为腰，只需分、两类讨论；点在轴上设可简化距离计算，最后要舍去与重合的无效点． 【小问1详解】 解：， ∴， 又， ∴． 设，，由面积： 由，、： 由图象知A在第一象限且，故，，即． 把代入： 反比例函数解析式为． 【小问2详解】 解：设，，以为腰分两类： 当时：， 得或， 即、； 当时：， 得， 或（与重合，舍去）， 即． 答：点的坐标为、、． 【点睛】本题是一次函数、反比例函数与等腰三角形存在性的综合题．面积法求点坐标是反比例函数综合题的常用第一步：由面积得纵坐标，再由距离得横坐标；等腰三角形存在性，先看清谁是腰、谁是底，分类标准不能乱；点在坐标轴上时设，距离公式只剩一个未知量，计算更简；求出坐标后必须检验三点能否构成三角形，重合的点舍去；区分两种问法：以为腰只有两类；是等腰三角形还要加一类． 22. 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率是 （2）售价应降低30元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率是x，依题意得，从而得到月平均增长率； （2）设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据总利润每件利润销售量，列出方程，结合“要尽量减少库存”，即可解答． 【小问1详解】 解：设月平均增长率是x， 依题意得：， 解得，（不合题意，舍去）． 答：月平均增长率是． 【小问2详解】 解：设售价应降低y元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得，， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：售价应降低30元． 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； （3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由． 【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）点（-，），△PDE的周长最大；（3）点M（-2，）或（-2，-）． 【解析】 【分析】（1）将A、B、C三点代入，利用待定系数法求解析式； （2）根据坐标发现，△AOB是等腰直角三角形，故只需使得PD越大，则△PDE的周长越大.联立直线AB与抛物线的解析式可得交点P坐标； （3）作点A关于直线x=-2的对称点D，利用∠MAC = 2∠MCA可推导得MD=CD，进而求得ME的长度，从而得出M坐标 【详解】解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）， ∴，解得：， 所以，抛物线的解析式为y=-x2-2x+3； （2）∵A（-3，0），B（0，3）， ∴OA=OB=3，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠BAO=45°， ∵PF⊥x轴，∴∠AEF=90°-45°=45°， 又∵PD⊥AB，∴△PDE是等腰直角三角形， ∴PD越大，△PDE的周长越大，易得直线AB的解析式为y=x+3， 设与AB平行的直线解析式为y=x+m， 联立，消掉y得，x2+3x+m-3=0， 当△=9-4（m-3）=0，即m=时，直线与抛物线只有一个交点，PD最长， 此时x=-，y=，∴点（-，），△PDE的周长最大； （3）设直线x=-2与x轴交于点E，作点A关于直线x=-2的对称点D，则D（-1，0），连接MA，MD，MC． ∴MA=MD，∠MAC=∠MDA=2∠MCA ， ∴∠CMD=∠DCM ∴MD=CD=2 ， ∴ME= ∴点M（-2，）或（-2，-）． 【点睛】本题是动点和最值的考查，在解决动点问题时，寻找出不变量来分析是解题关键，最值问题，通常利用对称来简化分析 24. 已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程； （2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长． 【答案】（1），， 理由如下： 依题意补全图形，如图①， 延长分别交，于点，， 在正方形中，，， ∵绕点顺时针旋转得到， ，， ∴， 又∵， 在和中， ， ∴， ∴，， ， ∴， ∴． （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意补全图形，先判断出，进而得出，即可得出，最后判断出即可得出结论； （2）分两种情况，当点在线段的延长线上时和当点在线段上时，构造直角三角形利用勾股定理即可得出结论． 本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，以及勾股定理，关键是判断出和构造直角三角形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：当点在线段的延长线上时，如图②所示， 过点作，交的延长线于点， ∵是正方形的对角线， ∴， ，， ， ， 在中，由勾股定理，得， 由（1），同理可得， ， 当点在线段上时，如图③所示， 过点作于点， ∵是正方形的对角线， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在，由勾股定理，得， 由（1）同理可得， ∴， ∴的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学期中试题 202610 考生注意： 1．考试时间120分钟； 2．全卷共三道大题，总分120分； 3．请将答案写在答题卡的指定位置 一．选择题（本大题共10小题，每题3分，满分30分） 1. 近年来，我国新能源汽车发展迅猛，截至年月，中国市场活跃的新能源汽车品牌约个．下列新能源汽车标志不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的一元二次方程的一个解，则的值为（） A. 3 B. 2 C. 1 D. 0 3. 当三角形的面积为时，底与该底边上的高之间的函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，均在抛物线上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，已知l1∥l2，把一块含30°角的直角三角板ABC按图所示的方式摆放，边BC在直线l2上，将三角板绕点C顺时针旋转50°，则∠1的度数为(　　) A. 20° B. 50° C. 80° D. 110° 6. 《千里江山图》是青山绿水画中的一幅巨制杰作，由我国北宋著名画家王希孟所作．图1是《千里江山图》的一幅局部临摹画作，该画作是一个长为，宽为的矩形．将该画的四周装裱上宽度相等的边衬（如图2），装裱后整幅画的面积为．若四周装裱上的边衬的宽度为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在函数（>）的图象上，点在直线上，若、两点关于原点对称，则称点、为函数、图象上的一对“友好点”．请问这两个函数图象上的“友好点”对数的情况为（） A. 只有1对 B. 只有2对 C. 有1对或2对 D. 有无数对 8. 如图，△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=6，△AOB绕点O逆时针旋转到△A′OB′处，此时线段A′B′与BO的交点E为BO的中点，则线段B′E的长度为（ ） A. B. C. D. 9. 如图1，在中，点P从点A出发向点C运动，在运动过程中，设x表示线段的长，y表示线段的长，y与x之间的关系如图2所示．当线段最短时，的周长为m，的周长为n，则（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知开口向下的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．则下列结论：①；②；③方程的两个根为，；④抛物线上有两点和，若且，则，其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6小题，每题3分，满分18分） 11. 一元二次方程与的所有实数根的和等于________． 12. 若函数是y关于x的反比例函数，则m的值为____________． 13. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点，都在反比例函数的图象上，顶点，分别在轴的正半轴、轴的正半轴上，对角线轴．若菱形的面积为，则的值为________． 15. 已知正方形，将边绕点顺时针旋转，得到线段，连接、，，则的长为________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段，又将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，…，则点的坐标为________． 三．解答题（本大题共8小题，满分72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1）（公式法）； （2）（因式分解法）． 19. 如图，在直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，． （1）将向右平移1个单位，再向上平移4个单位，得到，请画出； （2）画出关于原点中心对称的； （3）直接写出的面积为______． 20. 设，是关于的一元二次方程的两根． （1）当时，求及的值； （2）求证：． 21. 已知一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，若，且． （1）求反比例函数解析式； （2）若点为轴上一点，是以为腰的等腰三角形，直接写出点的坐标． 22. 亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件． （1）若该平台8月份到10月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ （2）市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件，售价每降价0.5元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 23. 如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y = ax2+ bx + c经过A、B、C三点，已知点A（-3，0），B（0，3），C（1，0）． （1）求此抛物线的解析式； （2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点，（不与点A、B重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线AB于点E，作PD⊥AB于点D．动点P在什么位置时，△PDE的周长最大，求出此时P点的坐标； （3）在直线x = -2上是否存在点M，使得∠MAC = 2∠MCA，若存在，求出M点坐标．若不存在，说明理由． 24. 已知正方形，为平面内任意一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． （1）如图，当点在正方形内部时，补全图形，判断与的关系，并写出证明过程； （2）当点，，在一条直线上时，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $