勾股定理的实际应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理的实际应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 学习导航 把生活中的距离、高度、范围与容量转化为直角三角形中的量。列式前统一单位和基准， 算出结果后检查位置、时间与实际限制。 一、先统一高度基准 再求斜距 1 二、固定长度改变位置 分清全长与移动量 4 三、把总长或长度差写成同一个未知数 6 四、把方位和时间转成直角三角形中的路程 8 五、两次测量列两式 消去共同的平方项 11 六、把距离限制转成路段 再转成时刻 13 七、先求实际可用空间 再检验能否容纳 16 A组 基础达标 18 B组 能力提升 21 C组 综合应用 25 D组 近年中考真题 31 【建模顺序】读清条件 → 统一基准 → 找到直角 → 列出关系 → 检验并解释。 一、先统一高度基准 再求斜距 把“竖直”“水平”翻译成垂直关系。连接两个安装点时，直角边常是两点的水平距离和高度 差，不一定是物体本身的高度。 若两点相对同一水平面的高度分别为 、，水平距离为 ，则斜距 满足 。 易错：基座不等高时要先把基座高度计入；由斜距求出的只是高度差的大小，要检查上下 两种可能。求材料用量时，连接长度之外的预留部分还要另加。 例如→两端相差 、水平相隔 ，直线连接长为 ；若两端各预留 ， 用料为 。 例1、如图，两面竖直墙之间的水平距离为 ，墙上的安装点、距同一水平地 面的高度分别为、。用一根线缆 连接、，两点之间的线缆须拉直，且 两端各需预留用于接线。求至少需要 准备多长的线缆。 变式1-1、如图，两根竖直立柱的底端为 、。点比点高，两柱的水 平距离为，左柱高。连接 两柱顶端、的拉直线缆长。求 右柱所有可能的高度。 变式1-2、如图，两根竖直立柱立在同一水 平地面上，水平距离为，两柱高度之 和为，左柱比右柱高。两柱顶端之间 的拉直线缆长。求两柱各有多高。 变式1-3、如图，斜坡上两点、之间的 直线距离为，点比点高。 在、处分别竖直安装高、 的立柱、，用拉直的线缆连接两柱 顶端、。求的长。 二、固定长度改变位置 分清全长与移动量 同一根梯子、绳子在不同位置长度不变，常分别列出“水平距离的平方与竖直距离的平方之 和，等于固定长度的平方”。每次都要从同一端点量出直角边。 在固定直角三角形斜边的条件下，一个直角边变大，另一个直角边变小。由最低高度求最 远水平位置后，还要减去原位置，才是移动量。 易错：梯顶下降量通常不等于梯脚移动量；两点在同一条竖直线两侧时，水平距离用两段 相加，在同侧时用较长段减较短段。 例如→长 的梯子，梯脚原距墙 ，梯顶高为 。若梯顶降到 ，新梯脚距墙 ，梯脚移动 ；梯顶下降的是 ， 两种变化量不能混用。 例2、如图，一架长的梯子斜靠 在竖直墙面上，梯脚距墙脚为 。将梯脚沿水平地面向远离墙面的方 向移动，梯子的顶端始终在墙面上。若梯子 顶端离地面的高度不能低于，求梯脚 最多可以移动多少米。 变式2-1、如图，一架长的梯子原来斜 靠在墙上，顶端离地。梯子顶端 沿墙下滑到处，梯脚由移动到 。求的长。 变式2-2、如图，秋千绳长，悬挂 点为。座位处于最低位置时离水平 地面。秋千摆到两侧的、 两处时，座位离地面分别为、 ，绳始终拉直。求、之间 的水平距离。 变式2-3、如图，两面竖直墙之间的水平距 离为。将同一架梯子的梯脚固定在地面 上的处，靠在左墙时顶端高，转靠 右墙时顶端高。梯脚始终位于两墙之 间。求梯脚距左墙的距离和梯长。 三、把总长或长度差写成同一个未知数 折断、绳索、芦苇问题中，先找始终不变的总长度，再把直角三角形的边表示出来。设未 知数后立即写出它在实物中的取值范围。 若斜边表示为 ，竖直边表示为 ，可列 。展开后两边 的 项抵消，化为一元一次方程。 易错：落点高于树根、手握绳端高于地面时，竖直边要相应修正。计算得到的数还要检查 各段是否为正、是否位于指定位置、材料是否够长。 例如→水深为 、芦苇露出 ，则芦苇长是 ，不是 。若拉到水面 上的目标点，斜边应使用整个芦苇长。 例3、如图，一棵树原来竖直生长在斜坡上， 树根为，树高。树在处折 断，折断部分的顶端落在斜坡上的处。已知 比高，、之间的水平距离为 。树木的粗细忽略不计，折断部分没有 与树干分离。求离树根的高度。 变式3-1、如图，一根绳子的一端固定在竖 直旗杆顶端。将绳子自然垂到地面后还 多出；把绳子拉直到处时，离地 ，其正下方的距杆底为。 （1）求旗杆高度和绳长。 （2）若将绳子剪短，绳端仍保持离 地并拉直，求绳端正下方的点到的 水平距离。 变式3-2、如图，一根芦苇竖直生长在水池 底部处，露出水面。它到左、右两 岸的水平距离分别为、。将芦苇 向左拉直，其顶端恰好到达左岸水面上的 处。芦苇长度不变，底端固定。 （1）求水深和芦苇长。 （2）将同一根芦苇向右拉直，其顶端能否 到达右岸水面上的处？ 变式3-3、如图，一根长的绳子， 两端固定在同一水平面上的、两点， 。把绳上的一点提到处， 使、两段都拉直。点的正下方 为，在线段上，。 求的长。 四、把方位和时间转成直角三角形中的路程 先画出北、南、东、西方向，判断两条路线是否垂直。北偏东与南偏东的角不能直接相加 当作两航线夹角，要根据完整半周关系判断。 匀速运动中，路程等于速度与时间的乘积。晚出发时，两人的行驶时间不同；同速时，可 先用晚出发的时间求路程差。 易错：总航程不等于起终点的直线距离。向同一方向的分量相加，反向的分量相减；计算 某时刻的距离，还要确认运动点是否已经经过路口。 例如→先向东走 ，再向北走 ，总路程为 ，起终点的直线距离为 。 例4、如图，湖面上的、、三点满 足，， 。甲船从出发，沿方 向以的速度匀速航行；乙船晚 从出发，以相同速度沿直线航 行，与甲船在线段上的处会合。求 的长，以及从甲船出发到会合所经过的 时间。 变式4-1、如图，两艘船同时从港口出 发，一艘沿北偏东方向以的 速度航行，另一艘沿南偏东方向以 的速度航行。两船均沿直线匀速行 驶，求后两船的距离。 变式4-2、如图，两条互相垂直的直路交于 。甲从距为的处出发，以 的速度向运动；乙同时从出 发，沿另一条直路以的速度运动。求 出发后两人的距离。 变式4-3、某无人机始终在同一水平高度飞 行。其路线俯视图如图：从向北飞行 到，再向东飞行到，然 后向南飞行到。求此时无人机距出 发点的距离；若从沿直线以的 速度返回，需要多少秒？ 五、两次测量列两式 消去共同的平方项 等高仪器从两处测量同一顶点时，两直角三角形的竖直边相同。选择水平距离作未知数， 分别列勾股关系后相减，可先消去高度平方。 同侧测点的水平距离可表示为 、；在目标两侧时通常表示为 、。这两 个位置关系不能混用。 等距选址也可用同一思路：距离相等，则平方相等，常得到一个一次方程。求出的候选点 还要接受施工范围或后续测量数据的检验。 例如→若 、，两式相减便得到 。 关键是先消去未知的共同高度，而不是分别开方。 例5、如图，测量仪分别放在水平地面上 的、两点，测量点、均离地 。、位于竖直旗杆的 同一侧，且、、在一条直线 上。测得，， 。求旗杆的高度和 的长。 变式5-1、如图，直路长， 村庄、分别位于、的正北方 向，，。拟在 线段上设一服务站，使 。施工要求规定，距不 得少于。求时的 长，并判定该选址是否符合施工要求。 变式5-2、如图，竖直旗杆位于水 平地面上、两点之间， 。放在、处的仪器 测量点、均离地，测得 ，。求旗 杆高度。 变式5-3、如图，竖直旗杆立在水平 地面上，、、依次在一条直线 上。、处仪器的测量点、均 离地。一份待核验的记录写着： ，，。 （1）按这份记录建立方程，求的候 选值。 （2）检验上述三项长度记录能否同 时成立。 六、把距离限制转成路段 再转成时刻 通信、巡查等范围问题，先作站点到直路的垂线。若垂距尚未知，可由两个斜距求出；已 知三边时也可先用勾股定理的逆定理判断直角，再用面积求高。 设站点到道路的垂距为 ，有效距离为 。当 时，覆盖区向垂足两侧各延伸 ；当 时，仅垂足一个位置有效；当 时，道路上没有有效位置。 易错：实际行程可能从覆盖区内开始，也可能在离开覆盖区前结束。先把覆盖路段与实际 行程取共同部分，再计算起止时刻。同时收到两站信号，取两段覆盖范围的重叠部分；至 少收到一站信号，合并两段覆盖范围。 例如→垂距为 、有效距离为 时，垂足两侧各覆盖 ，完整覆盖路段 长 。 例6、如图，一艘游船从出发，沿直线 以的速度匀速驶向。岸 上的通信站到、的距离分别为 、，。游船 与的距离不超过时能够接收到 信号。求从出发后最早、最晚能接收 到信号的时刻，并求接收信号的时 间总长。 变式6-1、如图，小华骑车从沿 直路驶向，速度为 。无线网络设备位于处， ，， ，，在 线段上。小华距不超过 时能收到信号。求从出发 到的过程中，能收到信号的起止 时刻。 变式6-2、如图，小明沿直路从匀速走向 ，速度为。无线网络热点满足 ，，， 有效范围为距不超过。求小明能收 到信号的位置距的距离，以及到达该位 置的时刻。 变式6-3、如图，两个通信站、 位于一条直路的同侧，、 都垂直于直路， ，， 。站有效范围为距 不超过，站有效范围 为距不超过。求直路上 能同时接收到两站信号的路 段长度。 七、先求实际可用空间 再检验能否容纳 平面上的最长跨距与箱内的最长跨距不是同一个量。长方形内任意两点在长、宽方向的间 隔分别不超过两条边，故其距离不超过对角线；对角线本身能够达到这个上界。 长方体内先在底面求对角线，再与竖直高度组成直角三角形：若内部长、宽、高为 、 、，则相对顶点距离的平方为 。任意两点在三个方向的间隔都不超过 对应边长，同样用两次勾股可证明这就是最大跨距。 这里研究细直杆完全处于箱内时的长度限制，不研究沿箱面行走的最短路线。泡沫、隔板 占用的尺寸必须先扣去，再求剩余空间；等号能否实现也要交代。 圆形边界的判断依据是圆心、半径的定义：圆内各点到圆心的距离不超过半径。若连两条 半径形成等腰三角形，再作顶角的高，可由等腰三角形三线合一把底边分成两半。水面相 对圆心可能有上下两种位置，不能只按一幅示意图漏解。 例如→展示台和底板中心重合时，可先由底板的两个半边长求顶点到圆心的距离。若某个 顶点已经超出半径，就不能全部容纳；要判定能够容纳，还须说明其余各点不比最远顶点 离圆心更远。 例7、如图，一个长方体箱子的内部长、宽、高分别为、、。要把 一根长的直木杆完全放入箱内并关好箱盖，木杆的粗细忽略不计。 （1）不放其他物品时，木杆能否放入？ （2）若在箱底平铺一块厚度为的泡沫板，且铺满整个底面，求木杆仍能完全放入时 的最大值。 变式7-1、如图，长方体箱子内部长、 宽、高分别为、、 。一根长的细直杆不能弯 曲。分别判断：直杆能否平贴在箱子的任 意一个面上；能否完全放在箱内并关 好箱盖。 变式7-2、如图，圆形展示台的半径为。一块长、宽的长方形底板 水平放置在台面上，底板的中心与台面圆心重合。要求底板四个角都不能超出台面。 请判断这块底板是否符合要求。（圆形台面上各点到圆心的距离不超过半径。） 变式7-3、如图，一个正方形展台的边长为。将若干相同展台沿一面长的直墙 排成一行，每个展台的一条对角线都与墙平行，相邻展台之间留，两端各留 。按计算，最多可以摆放几个展台？ A组 基础达标 A1、如图，公园内原来从到要沿两条 互相垂直的小路、行走，其中 ，。现新修一条连 接、的直路，沿新路从到比沿 原路少走________。 A2、如图，小华手中的风筝线拉直后长 ，握线点离水平地面。风筝 的正下方为，的正下方为， 。风筝离地面的高度为 ________。 A3、如图，一架长的梯子斜靠 在竖直墙面上，梯脚距墙脚为。 梯顶离地面的高度是（　）。 A. B. C. D. A4、如图，一棵原来高的树在处 折断，折下的部分长，顶端落在水平 地面的处，且仍与树桩相连。树根为 ，树木粗细忽略不计。 ________。 A5、师傅用三根细木条组成一个三角形支 架，三条边长分别为、、 。这个支架中最长边所对角的度数 为（　）。 A. B. C. D. A6、如图，无线网络设备位于处，直路 上的点满足垂直于直路， 。距不超过的位置能接 收到信号。这条直路上能够接收到信号的路 段长度为________。 A7、如图，一个储物柜的长方形底面长 、宽。细直杆不能弯曲，要 完全平放在这个底面内。能够平放的直杆的 最大长度是（　）。 A. B. C. D. A8、如图，村庄位于路口的正北方 向，；村庄位于的正东 方向，。、两村庄之间 的直线距离为（　）。 A. B. C. D. B组 能力提升 B1、如图，竖直旗杆的顶端为，底端为 ，地面上的、、依次在同一条 水平直线上，，。现 有长、、的三根测量 绳，从中选两根，分别连接与、与 ，两根绳都恰好拉直，且不剪接、不预 留绳端。求应选用哪两根绳，各连接哪两个 点，并求旗杆的高度。 B2、一块长方形显示屏的内屏长与宽之比为，内屏对角线长，四周边框的宽 度均为。现要把整个显示屏嵌入一个内净长、净宽的长方形凹槽， 外壳长边必须与凹槽长边平行。 （1）求内屏的长、宽及外壳的长、宽。 （2）不计安装间隙，判断整个显示屏能否嵌入该凹槽。 B3、如图，木工将四根木条首尾连接成一个四 边形门框，， 。测得对角线长。求 、的度数，以及另一条对角线 的长。 B4、甲、乙两艘船同时从出发，在静水 中分别向正北、正东方向沿直线航行。甲船 速度为并一直匀速航行；乙船速度 为，航行后停在原处。求两船 之间的距离第一次达到时，距出发 经过了多少小时。 B5、如图，一个简易支架由两根长的直 杆、组成，两杆在各自中点处连 接。杆脚、放在同一水平地面上， ，、均位于地面上方，杆 的粗细忽略不计。求连接点和杆顶分别 离地面多高。 B6、如图，通信站、位于直路 的同侧，， ，， ，。站 的有效覆盖半径为。要使线段 上的每一个位置都能接收到至少 一个站的信号，站的有效覆盖半径 至少应为多少千米？（距站点不超过 有效覆盖半径时均能收到信号。） B7、如图，一块长方形花圃的周长为 ，一条对角线长。求这块花 圃的长和宽。 B8、如图，斜坡长。由到 上升的高度与、之间的水平距离之比 为。在坡顶处竖直立一根高的 杆，并用拉直的绳子连接坡脚与杆 顶。求绳长。 C组 综合应用 C1、如图，直路两侧的竖直立柱、立在同一水平地面上，， 。两柱顶端之间连接一根长的拉直线缆。是的中点，过 的竖直线与线缆交于。 （1）求右柱所有可能的高度。 （2）道路中心处要求线缆离地面的高度不小于。求符合要求的右柱高度，以 及此时的长。 C2、如图，直路长。村庄在的正北方向，；村庄在 的正北方向，；村庄在的正南方向，。拟在线段 上设通信站，使到、两村庄的距离相等。 （1）求的长。 （2）若通信站有效覆盖半径为，判断能否覆盖、、三个村庄；若不 能，求同时覆盖这三个村庄所需的最小有效覆盖半径。（距离不超过有效半径时算作覆 盖。） C3、如图，海面上的、、三点满足，， 。甲船从出发，沿射线以的速度持续匀速航行，经过 后仍沿原方向继续航行。乙船晚从出发，以同样的速度沿直线航行，在处与 甲船会合。求从甲船出发到会合经过的时间，并确定与、的位置关系及 的长。 C4、如图，游船从出发，沿直线以的速度匀速驶向，。 通信站到、的距离分别为、，站的有效覆盖半径为。 另一通信站满足，在线段上，，， 站的有效覆盖半径为。距任一通信站不超过该站有效覆盖半径时，就能收到该站 信号。 （1）求到直线的距离。 （2）求这次行程中能收到至少一个站信号的总时长。 （3）写出这次行程中两个站的信号都收不到的时间范围，以从出发后的小时数表示。 C5、如图，一个长方体箱子的内部长、宽、高分别为、、。现用 一块竖直隔板隔出体积为的配件舱，隔板厚度忽略不计，配件舱与其余空间 都仍是长方体。计划采用以下两种方案之一： 甲方案：配件舱的长为、高为； 乙方案：配件舱的宽为、高为。 一根长的细直杆要完全放入配件舱以外的剩余空间并关好箱盖，直杆不能弯曲。 （1）分别判断甲、乙两种方案能否放入该直杆。 （2）采用甲方案时，若在剩余空间的底面平铺一块厚度为、铺满该底面的泡沫板， 求仍能放入直杆时的最大值。 甲方案 乙方案 C6、如图，一座门洞的下部是宽、高的长方形，上部是以这条长方形上边为直 径的半圆，圆心为该上边的中点，地面水平。一辆载货小车连同货物的外轮廓可看作 宽、高的长方形。通过时小车保持竖直、左右居中，沿垂直于门洞平面的 方向平移，不允许倾斜。要求货物顶部每一处与门拱之间的竖直距离都至少为。 （1）通过计算判断这辆载货小车能否按要求通过门洞。 （2）保持总高度不变，其他要求不变，求允许的最大总宽度。 C7、如图，两面竖直墙之间的水平距离为，一架长的梯子可以分别转靠在左墙 或右墙上，转换时梯脚的位置不变，且始终位于两墙之间的水平地面上。靠左墙时 要求梯顶离地不低于，靠右墙时要求梯顶离地不低于。地面上距左墙至 的这一段（含两端）禁止放置梯脚。设梯脚距左墙，求所有符合要求的的取 值范围。 C8、如图，在水平地面上的、两处测量楼顶的高度。的正下方为， 、、依次在一条直线上，测量点、均离地，， ，。 （1）求的高度。 （2）如图，两辆救援车的直线伸缩梯最大长度分别为、，梯子的转动点 均离地。车辆的转动点正下方到的水平距离只能在至之间（含两 端）。梯子可以在不超过各自最大长度的范围内伸缩，现要使梯顶恰好到达处。不计其 他限制，分别求两辆车可以停靠的水平距离范围。 图1 图2 D组 近年中考真题 D1、（2026年江苏苏州中考数学第14题（3分）） 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交 融，核心寓意是“圆满”“圆融”与“天人合一”。其月洞门示意图如图②所示，其内廓由弧 、线段、、四部分构成，、分别垂直于地面。经测量， 该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则 弧所在圆的半径为____分米。 图① 图② D2、（2025年山东东营中考数学第8 题（3分）） 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始 位置处摆绳与地面垂直，摆绳 长，向前荡起到最高点处时距 地面高度，摆动水平距离 为，然后向后摆到最高点 处。若前后摆动过程中绳始终拉直， 且与成角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）。 A. B. C. D. D3、（2026年四川广安B卷中考数学第20题（4分）） 水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面 高为____。 D4、2026年湖南中考数学第22题（10分） 某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整。 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空 间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形。如图，该阅读室摆放了行列共套 桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道 宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙。 图1 图2 【数据分析】 （1）如图，连接，则____米，取，____米（结果保 留一位小数）。 （2）求阅读室的长与宽。 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可容纳更多套桌椅。如 图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用 前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由。 图3 图4 1 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理的实际应用 专题复习讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 学习导航 把生活中的距离、高度、范围与容量转化为直角三角形中的量。列式前统一单位和基准， 算出结果后检查位置、时间与实际限制。 一、先统一高度基准 再求斜距 1 二、固定长度改变位置 分清全长与移动量 4 三、把总长或长度差写成同一个未知数 6 四、把方位和时间转成直角三角形中的路程 8 五、两次测量列两式 消去共同的平方项 10 六、把距离限制转成路段 再转成时刻 12 七、先求实际可用空间 再检验能否容纳 15 A组 基础达标 17 B组 能力提升 20 C组 综合应用 25 D组 近年中考真题 33 【建模顺序】读清条件 → 统一基准 → 找到直角 → 列出关系 → 检验并解释。 一、先统一高度基准 再求斜距 把“竖直”“水平”翻译成垂直关系。连接两个安装点时，直角边常是两点的水平距离和高度 差，不一定是物体本身的高度。 若两点相对同一水平面的高度分别为 、，水平距离为 ，则斜距 满足 。 易错：基座不等高时要先把基座高度计入；由斜距求出的只是高度差的大小，要检查上下 两种可能。求材料用量时，连接长度之外的预留部分还要另加。 例如→两端相差 、水平相隔 ，直线连接长为 ；若两端各预留 ， 用料为 。 例1、如图，两面竖直墙之间的水平距离为 ，墙上的安装点、距同一水平地 面的高度分别为、。用一根线缆 连接、，两点之间的线缆须拉直，且 两端各需预留用于接线。求至少需要 准备多长的线缆。 【关键关系】缆绳两端的竖直距离是高度差，实际用料还包含两端固定部分。 【解析】过 作 ，垂足为 ，把两点斜距放进直角三角形 中。 两端高度差为 ，水平距离为 。 两端直线距离为 。 至少需要缆绳 。 【答案】 变式1-1、如图，两根竖直立柱的底端为、。点比点高，两柱的水平距 离为，左柱高。连接两柱顶端、的拉直线缆长。求右柱 所有可能的高度。 柱顶 B 高于 A 柱顶 B 低于 A 【关键关系】由斜距得到的是两端高度差的大小，右端可能高于或低于左端，不能漏掉一 种位置。 【解析】分别按右柱顶端高于或低于左柱顶端作图。过较低的顶端作水平线，与另一柱所 在直线相交，得到以线缆为斜边的直角三角形。 两柱顶端的高度差为 。 以左柱柱脚所在水平面为基准，右柱顶端高度为 或 。 右柱柱脚比基准高 ，故右柱长为 或 ；两值均为正，均 可实现。 【答案】 或 变式1-2、如图，两根竖直立柱立在同一水 平地面上，水平距离为，两柱高度之 和为，左柱比右柱高。两柱顶端之间 的拉直线缆长。求两柱各有多高。 【关键关系】缆绳提供两柱高度差，题设另给高度和，两关系联立即可。 【解析】过右柱顶端 作 ，垂足为 。 两柱高度差为 。 左柱较高，故左柱高为 ，右柱高为 。 【答案】左柱 ，右柱 变式1-3、如图，斜坡上两点、之间的 直线距离为，点比点高。 在、处分别竖直安装高、 的立柱、，用拉直的线缆连接两柱 顶端、。求的长。 【关键关系】斜坡长不是水平距离；先把坡长分解，再比较两个顶端相对同一基准 的高度。 【解析】过 作水平线交 所在直线于 ，过 作水平线交同一直线于 。 坡的水平跨度为 。 两柱顶端高度差为 。 缆绳长为 。 【答案】 二、固定长度改变位置 分清全长与移动量 同一根梯子、绳子在不同位置长度不变，常分别列出“水平距离的平方与竖直距离的平方之 和，等于固定长度的平方”。每次都要从同一端点量出直角边。 在固定直角三角形斜边的条件下，一个直角边变大，另一个直角边变小。由最低高度求最 远水平位置后，还要减去原位置，才是移动量。 易错：梯顶下降量通常不等于梯脚移动量；两点在同一条竖直线两侧时，水平距离用两段 相加，在同侧时用较长段减较短段。 例如→长 的梯子，梯脚原距墙 ，梯顶高为 。若梯顶降到 ，新梯脚距墙 ，梯脚移动 ；梯顶下降的是 ， 两种变化量不能混用。 例2、如图，一架长的梯子斜靠 在竖直墙面上，梯脚距墙脚为 。将梯脚沿水平地面向远离墙面的方 向移动，梯子的顶端始终在墙面上。若梯子 顶端离地面的高度不能低于，求梯脚 最多可以移动多少米。 【关键关系】梯长不变；梯顶越低，梯脚离墙越远。允许的最远位置由最低高度确定。 【解析】记允许的最远位置中梯顶、梯脚分别为 、。此时梯顶恰在允许的最 低高度。 设移动后梯脚到墙的距离为 。梯顶高度不小于 ，所以 。 由 ，得 。原梯脚距墙 ，故最多向外移动 。 【答案】 变式2-1、如图，一架长的梯子原来斜 靠在墙上，顶端离地。梯子顶端 沿墙下滑到处，梯脚由移动到 。求的长。 【关键关系】梯顶下降量不等于梯脚移动量，要分别求两次水平距离再相减。 【解析】原梯脚距墙 。 下降后梯顶高 ，梯脚距墙 。 梯脚向外移动 。 【答案】 变式2-2、如图，秋千绳长，悬 挂点为。座位处于最低位置时离 水平地面。秋千摆到两侧的 、两处时，座位离地面分别为 、，绳始终拉直。求 、之间的水平距离。 【关键关系】两摆动位置在竖直线两侧，两个水平偏移应相加；竖直边从悬点量起。 【解析】过 、 分别作 、 垂直于 所在直线，垂足为 、，得 到直角三角形 、。 悬点距地面 。 两个位置到悬点的竖直距离分别为 、。 水平偏移分别为 、。 两位置间的水平距离为 。 【答案】 变式2-3、如图，两面竖直墙之间的水平距 离为。将同一架梯子的梯脚固定在地面 上的处，靠在左墙时顶端高，转靠 右墙时顶端高。梯脚始终位于两墙之 间。求梯脚距左墙的距离和梯长。 【关键关系】同一梯长对应两个直角三角形，令两个平方和相等，二次项自动抵消。 【解析】设梯脚距左墙 ，则距右墙 ，且 。 由梯长相同，。展开整理得 ，故 。 梯长为 。所得 符合位置范围。 【答案】距左墙 ，梯长 三、把总长或长度差写成同一个未知数 折断、绳索、芦苇问题中，先找始终不变的总长度，再把直角三角形的边表示出来。设未 知数后立即写出它在实物中的取值范围。 若斜边表示为 ，竖直边表示为 ，可列 。展开后两边 的 项抵消，化为一元一次方程。 易错：落点高于树根、手握绳端高于地面时，竖直边要相应修正。计算得到的数还要检查 各段是否为正、是否位于指定位置、材料是否够长。 例如→水深为 、芦苇露出 ，则芦苇长是 ，不是 。若拉到水面 上的目标点，斜边应使用整个芦苇长。 例3、如图，一棵树原来竖直生长在斜坡上， 树根为，树高。树在处折 断，折断部分的顶端落在斜坡上的处。已知 比高，、之间的水平距离为 。树木的粗细忽略不计，折断部分没有 与树干分离。求离树根的高度。 【关键关系】折断前后的长度总和不变，折下部分作为斜边；落点在高处，竖直边不是树 桩全高。 【解析】过 作水平线交原树干所在直线于 。两点的水平距离为 ，高度差可 由 、 的位置表示。 设折断处距树根 ，则 。折下部分长 ，折断处与落点的竖直 距离的平方为 。 由勾股定理，。 展开并消去 ，得 ，解得 。 此时树桩高 、折下部分长 ，与水平距离 、竖直距离 相符，故 折断处离地 。 【答案】 变式3-1、如图，一根绳子的一端固定在竖 直旗杆顶端。将绳子自然垂到地面后还 多出；把绳子拉直到处时，离地 ，其正下方的距杆底为。 （1）求旗杆高度和绳长。 （2）若将绳子剪短，绳端仍保持离 地并拉直，求绳端正下方的点到的 水平距离。 【关键关系】绳长比杆高多出固定长度；手握点高于地面，拉紧时的竖直边要减去手高。 【解析】过 作 ，垂足为 。绳长是直角三角形 的斜边。 设杆高 ，则原绳长 。拉紧时 。 展开得 ，所以杆高 ，原绳长 。 剪短 后，绳长为 ，手与杆顶高度差仍为 。 水平距离为 。 【答案】杆高 ，原绳长 ，剪短后水平距离 变式3-2、如图，一根芦苇竖直生长在水池 底部处，露出水面。它到左、右两 岸的水平距离分别为、。将芦苇 向左拉直，其顶端恰好到达左岸水面上的 处。芦苇长度不变，底端固定。 （1）求水深和芦苇长。 （2）将同一根芦苇向右拉直，其顶端能否 到达右岸水面上的处？ 【关键关系】同一芦苇在竖直与倾斜时长度不变，求出长度后还须检验另一岸的实 际距离。 【解析】图中 为芦苇与水面的交点。检查右岸时，连接 ，比较需要的长度与已 有芦苇长。 设水深 ，芦苇长 。顶端拉到左岸水面时，。 得 ，所以水深 ，芦苇长 。 芦苇根部到右岸水面处距离为 。因 ，该距离 大于芦苇长，故不能拉到右岸。 【答案】水深 ，芦苇长 ；顶端不能拉到右岸水面处 变式3-3、如图，一根长的绳子， 两端固定在同一水平面上的、两点， 。把绳上的一点提到处， 使、两段都拉直。点的正下方 为，在线段上，。 求的长。 【关键关系】两段绳长之和已知，两直角三角形又共用高度；相减消去高度后先求两 段绳长。 【解析】两段水平距离分别为 、。 设较短绳段长 ，则另一段为 。由共同高度， 。 展开整理得 ，所以 。 抬起高度为 。两绳段长 、，均满足直角三角 形条件。 【答案】 四、把方位和时间转成直角三角形中的路程 先画出北、南、东、西方向，判断两条路线是否垂直。北偏东与南偏东的角不能直接相加 当作两航线夹角，要根据完整半周关系判断。 匀速运动中，路程等于速度与时间的乘积。晚出发时，两人的行驶时间不同；同速时，可 先用晚出发的时间求路程差。 易错：总航程不等于起终点的直线距离。向同一方向的分量相加，反向的分量相减；计算 某时刻的距离，还要确认运动点是否已经经过路口。 例如→先向东走 ，再向北走 ，总路程为 ，起终点的直线距离为 。 例4、如图，湖面上的、、三点满 足，， 。甲船从出发，沿方 向以的速度匀速航行；乙船晚 从出发，以相同速度沿直线航 行，与甲船在线段上的处会合。求 的长，以及从甲船出发到会合所经过的 时间。 【关键关系】相遇时甲比乙多航行半小时；同速使路程差确定，再用直角三角形连接三段 路程。 【解析】设 。相遇点在线段 上，故甲航程为 。 甲比乙多航行 ，故乙航程为 。 由 ，得 ，展开得 ，所以 。 甲出发至相遇用时 。乙用时 ，相差 ，符合题意。 【答案】；甲出发 变式4-1、如图，两艘船同时从港口出 发，一艘沿北偏东方向以的 速度航行，另一艘沿南偏东方向以 的速度航行。两船均沿直线匀速行 驶，求后两船的距离。 【关键关系】先由方位角确认两条航线互相垂直，再用各自路程作为直角边。 【解析】记 后两船分别位于 、，连接 。 两航线夹角为 。 后两船距出发点分别为 、，故两船距离为 。 【答案】 变式4-2、如图，两条互相垂直的直路交于 。甲从距为的处出发，以 的速度向运动；乙同时从出 发，沿另一条直路以的速度运动。求 出发后两人的距离。 【关键关系】一人向路口靠近，一人离开路口；应分别算当前到路口的距离，不把两人的 路程直接相加。 【解析】记 后甲、乙分别位于 、，连接 。 后，甲距路口 ，乙距路口 。 两条道路互相垂直，两人间距离为 。 【答案】 变式4-3、某无人机始终在同一水平高度飞 行。其路线俯视图如图：从向北飞行 到，再向东飞行到，然 后向南飞行到。求此时无人机距出 发点的距离；若从沿直线以的 速度返回，需要多少秒？ 【关键关系】同向路程相加、反向路程相减，先确定起终点的净水平位移，再求直线返航 距离。 【解析】过 作 ，垂足为 ，连接 。 终点在起点东侧 、南侧 处。 直线返航距离为 。 返航用时 。 【答案】直线返航距离 ，用时 五、两次测量列两式 消去共同的平方项 等高仪器从两处测量同一顶点时，两直角三角形的竖直边相同。选择水平距离作未知数， 分别列勾股关系后相减，可先消去高度平方。 同侧测点的水平距离可表示为 、；在目标两侧时通常表示为 、。这两 个位置关系不能混用。 等距选址也可用同一思路：距离相等，则平方相等，常得到一个一次方程。求出的候选点 还要接受施工范围或后续测量数据的检验。 例如→若 、，两式相减便得到 。 关键是先消去未知的共同高度，而不是分别开方。 例5、如图，测量仪分别放在水平地面上 的、两点，测量点、均离地 。、位于竖直旗杆的 同一侧，且、、在一条直线 上。测得，， 。求旗杆的高度和 的长。 【关键关系】两次测量的竖直高度差相同，水平距离相差基线长；相减消去共同高 度平方。 【解析】过 作 ，垂足为 。两仪器等高，所以 也在直线 上， 两个直角三角形共用竖直边 。 设近处测点到杆脚的水平距离为 ，杆顶与仪器的高度差为 。 ，。两式相减得 ，所以 。 ，加上仪器高度，得杆高 。 【答案】， 变式5-1、如图，直路长， 村庄、分别位于、的正北方 向，，。拟在 线段上设一服务站，使 。施工要求规定，距不 得少于。求时的 长，并判定该选址是否符合施工要求。 【关键关系】先按等距条件求出唯一候选位置，再检验现实范围，不把方程有解当作选址 可行。 【解析】设 ，则 ，且 。 由 ，得 ，解得 。 虽该点在线段 上，但 ，不符合施工要求。 【答案】；不符合施工要求 变式5-2、如图，竖直旗杆位于水 平地面上、两点之间， 。放在、处的仪器 测量点、均离地，测得 ，。求旗 杆高度。 【关键关系】两测点在杆脚两侧，水平距离之和是基线长，而不是差。 【解析】过 作 ，垂足为 。两仪器等高，、、 在同一水平直 线上。 设杆脚到较近测点的水平距离为 ，杆顶与仪器高度差为 。 ，。相减得 ，所以 。 ，杆高为 。 【答案】 变式5-3、如图，竖直旗杆立在水平 地面上，、、依次在一条直线 上。、处仪器的测量点、均 离地。一份待核验的记录写着： ，，。 （1）按这份记录建立方程，求的候 选值。 （2）检验上述三项长度记录能否同 时成立。 【关键关系】先按记录列出两个勾股关系，相减得到的仅是代数候选值；还要检查该值能 否作为直角三角形的直角边。 【解析】过 作 ，垂足为 。两测量点等高， 也在直线 上。下 面把记录代入关系式检验，并不预先认定记录正确。 （1）设 ，旗杆顶端与测量点的高度差为 。若三项记录都正确，应有 、。 两式相减得 ，所以 的候选值为 。 （2），这意味着水平距离大于对应的斜距 。但由 且 ，必须有 ，出现矛盾。 因此该候选值不对应真实测量位置，上述三项长度记录不能同时成立。 【答案】 的候选值为 ；三项记录不能同时成立。 六、把距离限制转成路段 再转成时刻 通信、巡查等范围问题，先作站点到直路的垂线。若垂距尚未知，可由两个斜距求出；已 知三边时也可先用勾股定理的逆定理判断直角，再用面积求高。 设站点到道路的垂距为 ，有效距离为 。当 时，覆盖区向垂足两侧各延伸 ；当 时，仅垂足一个位置有效；当 时，道路上没有有效位置。 易错：实际行程可能从覆盖区内开始，也可能在离开覆盖区前结束。先把覆盖路段与实际 行程取共同部分，再计算起止时刻。同时收到两站信号，取两段覆盖范围的重叠部分；至 少收到一站信号，合并两段覆盖范围。 例如→垂距为 、有效距离为 时，垂足两侧各覆盖 ，完整覆盖路段 长 。 例6、如图，一艘游船从出发，沿 直线以的速度匀速驶向 。岸上的通信站到、的距 离分别为、， 。游船与的距离不超 过时能够接收到信号。求从 出发后最早、最晚能接收到信号的 时刻，并求接收信号的时间总长。 【关键关系】先求测站到航线的垂距，再把距离条件转成航线上的一段范围，最后转 成时间。 【解析】，由勾股定理的逆定理，。作 。 由面积相等，，得 。 。能通信时，船到 的距离不超过 。 因此通信范围距 为 至 。 最早、最晚时刻分别为 、；持续 。 【答案】最早 ，最晚 ；共 变式6-1、如图，小华骑车从 沿直路驶向，速度为 。无线网络设备位于 处，，， ，， 在线段上。小华距不超过 时能收到信号。求从出 发到的过程中，能收到信号的 起止时刻。 【关键关系】实际行程从覆盖区内部开始，进入时刻不能按完整覆盖区的左端计算成 负时间。 【解析】通信范围在道路上向垂足两侧各延伸 。 起点在垂足左侧 ，已经位于通信范围内；出发时即能通信。 向右驶出覆盖区时，共走 ，用时 。终点在垂足右侧 ， 退出发生在到达终点前。 【答案】从出发时起至 时止 变式6-2、如图，小明沿直路从匀速走向 ，速度为。无线网络热点满足 ，，， 有效范围为距不超过。求小明能收 到信号的位置距的距离，以及到达该位 置的时刻。 【关键关系】先由两个斜距求垂距。若通信半径恰等于垂距，只有垂足一个位置，不形成 一段正长度区间。 【解析】作 ，设 。由两个直角三角形， ，解得 。 ，恰等于通信半径。 道路上除 外任一点 ，都有 ，故只有 能通信。到达 用时 。 【答案】距 点 处；出发后 变式6-3、如图，两个通信站 、位于一条直路的同侧， 、都垂直于直路， ，， 。站有效范围 为距不超过，站有 效范围为距不超过。 求直路上能同时接收到两站信号 的路段长度。 【关键关系】分别求两个覆盖区在同一直线上的范围，再找重叠部分；两站半径不能直接 相加。 【解析】第一站覆盖范围向其垂足两侧各延伸 。 第二站对应长度为 。两垂足相距 。 以第一垂足为比较起点，第一覆盖范围为左侧 至右侧 ；第二范围从其右侧 开始。 两站共同覆盖从第一垂足右侧 至 ，长 。 【答案】 七、先求实际可用空间 再检验能否容纳 平面上的最长跨距与箱内的最长跨距不是同一个量。长方形内任意两点在长、宽方向的间 隔分别不超过两条边，故其距离不超过对角线；对角线本身能够达到这个上界。 长方体内先在底面求对角线，再与竖直高度组成直角三角形：若内部长、宽、高为 、 、，则相对顶点距离的平方为 。任意两点在三个方向的间隔都不超过 对应边长，同样用两次勾股可证明这就是最大跨距。 这里研究细直杆完全处于箱内时的长度限制，不研究沿箱面行走的最短路线。泡沫、隔板 占用的尺寸必须先扣去，再求剩余空间；等号能否实现也要交代。 圆形边界的判断依据是圆心、半径的定义：圆内各点到圆心的距离不超过半径。若连两条 半径形成等腰三角形，再作顶角的高，可由等腰三角形三线合一把底边分成两半。水面相 对圆心可能有上下两种位置，不能只按一幅示意图漏解。 例如→展示台和底板中心重合时，可先由底板的两个半边长求顶点到圆心的距离。若某个 顶点已经超出半径，就不能全部容纳；要判定能够容纳，还须说明其余各点不比最远顶点 离圆心更远。 例7、如图，一个长方体箱子的内部长、 宽、高分别为、、 。要把一根长的直木杆完 全放入箱内并关好箱盖，木杆的粗细忽略 不计。 （1）不放其他物品时，木杆能否放入？ （2）若在箱底平铺一块厚度为的 泡沫板，且铺满整个底面，求木杆仍能完 全放入时的最大值。 【关键关系】先在底面求对角线，再与高度组成直角三角形。判断能否容纳还要说明最大 跨距的上界与可实现性。 【解析】如解答图，先连接底面对角线 ，再连接 。 与竖直棱 垂 直，所需两次勾股分别发生在底面和直角三角形 中。 底面对角线平方为 ，连接该对角线一端与上方相对顶点，所得直角三 角形的斜边平方为 。 箱内任意两点的长度方向差、宽度方向差、高度方向差分别不超过 、、 。两次用勾股定理，它们的距离不超过 ；相对顶点间恰能取到。 ，故可沿相对顶点连线放入这根杆。 铺厚度为 的泡沫后，可用高度为 ，其中 。 须有 ，即 。由 ，得 ，所以 。 等号时杆恰沿剩余空间的对角线放置，故最大厚度为 。 【答案】能放入；泡沫厚度最多为 变式7-1、如图，长方体箱子内部长、 宽、高分别为、、 。一根长的细直杆不能弯 曲。分别判断：直杆能否平贴在箱子的任 意一个面上；能否完全放在箱内并关 好箱盖。 【关键关系】贴面与箱内放置的允许跨距不同；前者检查三类面对角线，后者用两次勾股 求空间跨距。 【解析】如解答图，连接底面对角线 和箱体相对顶点的连线 ，底面内的 与竖直棱 垂直。 三个不同大小的面，其对角线平方分别为 、、 ，均小于 。 任一面内两点的水平、竖直间隔不超过该面的两边，因此面内任一线段不长于其对角线； 故杆不能贴着任一面平放。 先在底面内用勾股定理，求得底面对角线长 。再把这条对角线 和竖直高 作为两条直角边，第二次用勾股定理，得箱体相对顶点间距离的平方为 。 因 ，沿箱体相对顶点的连线可放置长 的直杆，故能放在箱内。 【答案】不能贴着任何一个面平放；能放在箱内 变式7-2、如图，圆形展示台的半径为。 一块长、宽的长方形底板水平放 置在台面上，底板的中心与台面圆心重合。要 求底板四个角都不能超出台面。请判断这块底板 是否符合要求。（圆形台面上各点到圆心的距离 不超过半径。） 【关键关系】中心重合时，矩形顶点到圆心的距离可由两个半边长求得；一个顶点超出就 已不满足全部容纳。 【解析】将两中心重合，如解答图，过 作 ，垂足为 ，连接 。 顶点到圆心的距离平方为 ，而圆形台面半径平方为 。 因 ，顶点到圆心的距离大于半径，有部分超出台面，故不符合要求。 【答案】不符合要求 变式7-3、如图，一个正方形展台的边长为。将若干相同展台沿一面长的直墙 排成一行，每个展台的一条对角线都与墙平行，相邻展台之间留，两端各留 。按计算，最多可以摆放几个展台？ 【关键关系】旋转后沿墙方向占用的是对角线长度；摆放 个时只有 个内部间 隔，还要计算两端余量。 【解析】连接正方形展台的对角线 ，它与墙平行，长度就是一个展台沿墙方向占用 的宽度。 每个展台沿墙方向占用 。 若摆 个，总需求为 ，须不超过 。 ，而 ，故最多摆 个。 【答案】最多 个 A组 基础达标 A1、如图，公园内原来从到要沿两条 互相垂直的小路、行走，其中 ，。现新修一条连 接、的直路，沿新路从到比沿 原路少走________。 【关键关系】所问是节省量，不是新路本身的长度。 【解析】由勾股定理，。 原路长 ，故少走 。 【答案】 A2、如图，小华手中的风筝线拉直后长 ，握线点离水平地面。风筝 的正下方为，的正下方为， 。风筝离地面的高度为 ________。 【关键关系】风筝线对应的竖直边从握线点所在高度量起，求离地高度还要加上手高。 【解析】过 作 ，垂足为 。则 ，。 ，所以 。 【答案】 A3、如图，一架长的梯子斜靠 在竖直墙面上，梯脚距墙脚为。 梯顶离地面的高度是（　）。 A. B. C. D. 【关键关系】梯长是斜边，梯顶高度是另一直角边。 【解析】，故选 C。 【答案】C A4、如图，一棵原来高的树在处 折断，折下的部分长，顶端落在水平 地面的处，且仍与树桩相连。树根为 ，树木粗细忽略不计。 ________。 【关键关系】先用总长减折下部分求树桩高，再用折下部分作斜边。 【解析】树桩高 ，折下部分 。 。 【答案】 A5、师傅用三根细木条组成一个三角形支 架，三条边长分别为、、 。这个支架中最长边所对角的度数 为（　）。 A. B. C. D. 【关键关系】判断最长边所对角，比较两短边平方和与最长边平方。 【解析】，由勾股定理的逆定理，最长边所对角为 ， 故选 D。 【答案】D A6、如图，无线网络设备位于处，直路 上的点满足垂直于直路， 。距不超过的位置能接 收到信号。这条直路上能够接收到信号的路 段长度为________。 【关键关系】垂足两侧均有覆盖范围，求整段长度不能只算一侧。 【解析】设道路上的覆盖边界为 、，它们位于 两侧。 ，故 。 【答案】 A7、如图，一个储物柜的长方形底面长 、宽。细直杆不能弯曲，要 完全平放在这个底面内。能够平放的直杆的 最大长度是（　）。 A. B. C. D. 【关键关系】先统一单位，再求长方形底面的最大跨距。 【解析】。底面对角线长为 。 底面内任意两点在长、宽方向的间隔都不超过对应边长，所以距离不超过这条对角线；沿 对角线放置恰能达到。故选 B。 【答案】B A8、如图，村庄位于路口的正北方 向，；村庄位于的正东 方向，。、两村庄之间 的直线距离为（　）。 A. B. C. D. 【关键关系】正北与正东互相垂直，两个方向的距离必须先统一单位。 【解析】，所以 ，故选 C。 【答案】C B组 能力提升 B1、如图，竖直旗杆的顶端为，底端为 ，地面上的、、依次在同一条 水平直线上，，。现 有长、、的三根测量 绳，从中选两根，分别连接与、与 ，两根绳都恰好拉直，且不剪接、不预 留绳端。求应选用哪两根绳，各连接哪两个 点，并求旗杆的高度。 【关键关系】两次测量共用旗杆高度，两个绳长的平方差必须等于两个水平距离的平方 差，这能用于筛选绳长配对。 【解析】由两个直角三角形，，。相减得 ，且 。 三种绳长配对的平方差分别为 、、。 只有第一组符合。 故选长 的绳连接 、，长 的绳连接 、。 ；同时 ，两根绳能对应同一旗杆高度。 【答案】，，旗杆高 B2、一块长方形显示屏的内屏长与宽之比为，内屏对角线长，四周边框的宽 度均为。现要把整个显示屏嵌入一个内净长、净宽的长方形凹槽， 外壳长边必须与凹槽长边平行。 （1）求内屏的长、宽及外壳的长、宽。 （2）不计安装间隙，判断整个显示屏能否嵌入该凹槽。 【关键关系】长宽比先把两个未知长度写成同一个倍数；外壳每个方向都要加上两 侧边框。 【解析】（1）设内屏长、宽分别为 、，其中 。 由勾股定理，，得 ，所以 。内屏长 、宽 。 外壳长 ，宽 。 （2），。按规定方向放置，外壳两个方向都不超过凹槽净尺寸，且题 设不计安装间隙，故能嵌入。 【答案】内屏 ，外壳 ；能嵌入 B3、如图，木工将四根木条首尾连接成一个四 边形门框，， 。测得对角线长。求 、的度数，以及另一条对角线 的长。 【关键关系】四边看起来像长方形不等于已经证明。先用测得的对角线判断一个直角，再 由全等转移角关系。 【解析】，由勾股定理的逆定理，。 又 ，， 为公共边，所以 （SSS）。因此 。 。 在直角三角形 中，。 【答案】，， B4、甲、乙两艘船同时从出发，在静水 中分别向正北、正东方向沿直线航行。甲船 速度为并一直匀速航行；乙船速度 为，航行后停在原处。求两船 之间的距离第一次达到时，距出发 经过了多少小时。 【关键关系】乙船停航前后位置关系不同，不能全程都把乙的路程写成速度乘总时间。 【解析】前 内，设出发后经过 ，则两船距离为 ，不 超过 ，不能达到 。 乙停航后距 为 。两船距离达到 时，甲距 为 。 甲共航行 。该时刻确在乙停航后；此后甲距 继续增大，故这是第一次达 到该距离的时刻。 【答案】 B5、如图，一个简易支架由两根长的直 杆、组成，两杆在各自中点处连 接。杆脚、放在同一水平地面上， ，、均位于地面上方，杆 的粗细忽略不计。求连接点和杆顶分别 离地面多高。 【关键关系】两杆中点相连使两条下半杆相等，可先用等腰三角形求交点高；上、下高度 相等须由全等证明，不能直接套中位线公式。 【解析】作 ，垂足为 。由 ，等腰三角形的三线合一得 。 。 过 作水平线交 的延长线于 。， （对顶角），，所以 （AAS）。 于是 ， 离地高度为 。 【答案】 离地 ， 离地 B6、如图，通信站、位于直路 的同侧，， ，， ，。站 的有效覆盖半径为。要使线段 上的每一个位置都能接收到至少 一个站的信号，站的有效覆盖半径 至少应为多少千米？（距站点不超过 有效覆盖半径时均能收到信号。） 【关键关系】先确定站在两垂足之间覆盖到哪里，再让站恰好接上这一边界。既要 证明没有间断，也要说明再小就会留下空段。 【解析】设 站在线段 内的最右覆盖点为 。则 ， 。 要不留下信号空段， 站至少须覆盖到 ，所需半径为 。 取此半径时， 上各点由 站覆盖； 上任一点到 不超过 ，到 的距离就不超过 ，故整个 均被覆盖。 若半径小于 ，连 也不能覆盖；若半径不小于 而小于 ， 站的左端覆盖边界就位于 右侧，与 站之间留下空段。因此所求值为最小值。 【答案】 B7、如图，一块长方形花圃的周长为 ，一条对角线长。求这块花 圃的长和宽。 【关键关系】周长给出两边之和，勾股给出两边平方和，用平方恒等式求两边之差即可。 【解析】设长、宽分别为 、，其中 。由周长知 ，由勾股 知 。 因此 。 由 ，得 。所以 ，。 【答案】长 ，宽 B8、如图，斜坡长。由到 上升的高度与、之间的水平距离之比 为。在坡顶处竖直立一根高的 杆，并用拉直的绳子连接坡脚与杆 顶。求绳长。 【关键关系】斜坡的长度不是水平距离。先用给出的高与水平距离之比还原直角三角形， 再把杆高加到坡顶高度上。 【解析】过 作 垂直于经过 的水平线，垂足为 。设 、 ，其中 。 由 ，得 ，所以 。即 、 。 ，故 。 【答案】 C组 综合应用 C1、如图，直路两侧的竖直立柱、立在同一水平地面上，， 。两柱顶端之间连接一根长的拉直线缆。是的中点，过 的竖直线与线缆交于。 （1）求右柱所有可能的高度。 （2）道路中心处要求线缆离地面的高度不小于。求符合要求的右柱高度，以 及此时的长。 柱顶 B 高于 A 柱顶 B 低于 A 【关键关系】线缆先确定两顶端高度差；道路中心处的高度还需证明处在两个顶端高度的 中间，不能凭图直接取平均数。 【解析】（1）两柱顶端的高度差为 。因此 或 ，两种高度均为正。 （2）过 作水平线，分别交两柱所在直线于 、。因 是 中点，各竖线 间的水平距离相同，故 ，。 又 ，（对顶角），所以 （ ASA），从而 。即水平线 把两柱顶端的高度差分成相等的两部分。 当 时，，不符合要求。 当 时，，符合要求。故右柱应高 ，此时 。 【答案】（1） 或 ；（2）右柱高 ， C2、如图，直路长。村 庄在的正北方向， ；村庄在的正北方 向，；村庄在的正 南方向，。拟在线段 上设通信站，使到、 两村庄的距离相等。 （1）求的长。 （2）若通信站有效覆盖半径为 ，判断能否覆盖、、 三个村庄；若不能，求同时覆盖这三 个村庄所需的最小有效覆盖半径。（ 距离不超过有效半径时算作覆盖。） 【关键关系】等距条件先固定站点位置；覆盖三个村庄时，要比较三条实际距离，以最远 村庄的距离为所需半径。 【解析】（1）设 ，则 。由 ，得 。 展开得 ，所以 ，在线段 上。 （2），所以 、 在有效范围内。 ，，故不能覆盖 ，不能同时 覆盖三个村庄。 。半径取 可覆盖三个村庄，再小就不能覆盖 ，故最小有效半径为 。 【答案】（1）；（2）不能覆盖三个村庄，最小有效半径为 C3、如图，海面上的、、 三点满足， ，。甲 船从出发，沿射线以 的速度持续匀速航行，经 过后仍沿原方向继续航行。乙船 晚从出发，以同样的速度 沿直线航行，在处与甲船会合。 求从甲船出发到会合经过的时间， 并确定与、的位置关系及 的长。 【关键关系】会合点未限定在、之间，应选总时间作未知数。水平距离可能在经过 前后改变表达式，但平方关系可以统一，最后用时间检验位置。 【解析】设甲从出发到会合经过 ，其中 ，则乙航行 ， 。 若甲尚未到 ，；若已经过 ，。两种情况下 都等于 。 由直角三角形 ，。 展开消去 ，得 ，所以 ， 。 甲到 只需 ，故会合时已越过 ，。 乙航行 ，路程 ；，与会合位置相符。 【答案】； 在射线 上且位于越过 后的一侧， C4、如图，游船从出发，沿直线以的速度匀速驶向，。 通信站到、的距离分别为、，站的有效覆盖半径为。 另一通信站满足，在线段上，，， 站的有效覆盖半径为。距任一通信站不超过该站有效覆盖半径时，就能收到该站 信号。 （1）求到直线的距离。 （2）求这次行程中能收到至少一个站信号的总时长。 （3）写出这次行程中两个站的信号都收不到的时间范围，以从出发后的小时数表示。 【关键关系】先由两个斜距确定站的垂距，再分别求两站在道路上的覆盖范围，与实际 航段截取后统计有信号与无信号路段。 【解析】（1）作 ，垂足为 。因 且 ， 在线段 内；若在端点之外，其中一个斜距就至少为 ，与数据矛盾。 设 ，则 。整理得 ，所以 。 。 （2）记 站在前进方向上的覆盖终点为 ；记 站沿道路所在直线的两个覆盖端 点为 、，其中 靠近 。 站在道路上向 两侧各覆盖 ，故实际覆盖范围是距 为 至 的路段。 站向 两侧各覆盖 。因 ，完整范围距 为 至 ；实际只行驶到距 为 的 ，故取 至 。 两段覆盖范围没有重叠，能收到至少一个站信号的路程为 ，总时 长 。 （3）完全收不到信号的路段在距 的 与 两点之间，两个端点仍有信 号，因此时间范围为 ，即 。 【答案】（1）；（2）；（3），单位为小时 C5、如图，一个长方体箱子的内部长、宽、高分别为、、。现用 一块竖直隔板隔出体积为的配件舱，隔板厚度忽略不计，配件舱与其余空间 都仍是长方体。计划采用以下两种方案之一： 甲方案：配件舱的长为、高为； 乙方案：配件舱的宽为、高为。 一根长的细直杆要完全放入配件舱以外的剩余空间并关好箱盖，直杆不能弯曲。 （1）分别判断甲、乙两种方案能否放入该直杆。 （2）采用甲方案时，若在剩余空间的底面平铺一块厚度为、铺满该底面的泡沫板， 求仍能放入直杆时的最大值。 甲方案 乙方案 【关键关系】同体积不代表留下同样的可用空间。先求两种配件舱占用的尺寸，再分别用 底面对角线与高度完成两次勾股。 【解析】（1）甲方案配件舱的宽为 ，剩余空间为长 、宽 、高 。 其底面对角线平方为 ，再与竖直高 构成直角三角形，得到相 对顶点间最大跨距的平方为 。 因 ，沿该对角线能够放入直杆，故甲方案能放入。 乙方案配件舱的长为 ，剩余空间为 。 其底面对角线平方为 ，再与高 用勾股定理，得到最大跨距平 方为 。任意两点的三个方向间隔都不超过箱内相应边长，所 以直杆不能放入。 （2）甲方案铺板后的可用高度为 ，且 。须有 ，即 。 由 ，得 ，所以 。取 时直杆恰好沿剩余空间的对角 线放置，故最大厚度为 。 【答案】（1）甲能，乙不能；（2） 最大为 C6、如图，一座门洞的下部是宽、高 的长方形，上部是以这条长方形上边为 直径的半圆，圆心为该上边的中点，地 面水平。一辆载货小车连同货物的外轮廓可 看作宽、高的长方形。通过 时小车保持竖直、左右居中，沿垂直于门洞 平面的方向平移，不允许倾斜。要求货物顶 部每一处与门拱之间的竖直距离都至少为 。 （1）通过计算判断这辆载货小车能否按要 求通过门洞。 （2）保持总高度不变，其他要求不 变，求允许的最大总宽度。 【关键关系】顶部余量是竖直方向的净空，需把检验高度提高到货物顶端之上。圆 形边界只按到圆心的距离不超过半径判断。 【解析】（1）半圆半径为 ，圆心离地 。包含顶部余量的检验高度为 ，比圆心高 。 在图中，取车顶右端正上方 处为 ，过 作水平线交圆心所在竖直线于 ，连接 。于是 ， 是车宽的一半。 车辆居中，左右两端到中心竖线的水平距离均为 。检验高度上这两端到圆心 的距离平方为 。 因此这两处超出半圆边界，无法在顶部全宽范围内保留 的竖直余量，不能按要求 通过。 （2）设总宽为 ，则必须有 ，故 ，即 。 取此上界时，宽度小于门洞下部长方形的 。圆心以上所占范围内，任一点的水平偏 移不超过 、竖直偏移不超过 ，其到圆心的距离不大于已检验的两个上角；圆 心以下又完全处于门洞下部长方形内。因此边界值能够实现。 最大总宽为 。 【答案】（1）不能按要求通过；（2）最大总宽为 C7、如图，两面竖直墙之间的水平距 离为，一架长的梯子可以分 别转靠在左墙或右墙上，转换时梯脚 的位置不变，且始终位于两墙之 间的水平地面上。靠左墙时要求梯顶 离地不低于，靠右墙时要求梯顶 离地不低于。地面上距左墙 至的这一段（含两端）禁 止放置梯脚。设梯脚距左墙，求 所有符合要求的的取值范围。 【关键关系】分别把靠左、靠右的高度要求转换成梯脚位置范围，再去掉明确禁止的 闭区间。 【解析】梯脚在两墙之间，。靠左墙时梯顶高度不小于 ，故 ，得 ，即 。 靠右墙时梯脚距右墙 ，须有 ，得 。由 ，得 ，即 。 两项高度要求合起来为 。再排除禁放段 ，得到 或 。 、 时相应高度恰好达到要求，允许取到；、 属于禁放段，不 允许取到。 【答案】 或 ，单位为米 C8、如图，在水平地面上的、两处测量楼顶的高度。的正下方为， 、、依次在一条直线上，测量点、均离地，， ，。 （1）求的高度。 （2）如图，两辆救援车的直线伸缩梯最大长度分别为、，梯子的转动点 均离地。车辆的转动点正下方到的水平距离只能在至之间（含两 端）。梯子可以在不超过各自最大长度的范围内伸缩，现要使梯顶恰好到达处。不计其 他限制，分别求两辆车可以停靠的水平距离范围。 图1 图2 【关键关系】先用两次等高测量确定真实楼高，再按救援车的转动点高度重新建立直角三 角形，不能把仪器高度沿用到车辆上。 【解析】（1）过 作水平线交 于 ， 也在这条水平线上。设 、 ，则 、。 两式相减得 ，所以 ，。因此 。 （2）在图2中，过转动点 作水平线交 于 ，则 。转动点比地面高 ，故到楼顶的竖直高度差为 。设停车水平距离为 ，题设要 求 。 对最大长度 的梯子，须有 ，即 。因 ，可停 靠范围为 。 对最大长度 的梯子，即使取允许的最大水平距离 ，所需梯长平方也只有 ，故整个范围 都可停靠。 在各自范围内，将伸缩梯调到对应直线距离即可到达楼顶；题设已说明可以伸缩且不计其 他限制。 【答案】（1）；（2） 梯：； 梯：， 距离单位均为米 D组 近年中考真题 D1、（2026年江苏苏州中考数学第14题（3分）） 苏州园林中的月洞门（如图①），形如满月，通过“框景”手法将自然月华与人文意境交 融，核心寓意是“圆满”“圆融”与“天人合一”。其月洞门示意图如图②所示，其内廓由弧 、线段、、四部分构成，、分别垂直于地面。经测量， 该月洞门的最高点到地面的距离为分米，分米，分米，则 弧所在圆的半径为____分米。 图① 图② 【关键关系】把圆弧上的两条半径组成等腰三角形，用三线合一求半宽；高度差须兼顾圆 心在水平线段上下两种位置。 【解析】设圆心为 ，半径为 分米，取 的中点 。因为 分 米且都垂直于地面，所以 水平， 分米，点 到直线 的竖直距离为 分米。 先排除圆心在 上的情形：此时由 可知 ，故 。最高点 在 的正上方，因而 是上述竖直距离，应为 分米；但 分米，矛盾。 连接 、、。由 ，等腰三角形三线合一可知 。最高 点 在圆心的正上方，故 、、 在同一竖直线上。因此 分米。 若 在 上方，则 ；若 在 下方，则 。两种 情况下都有 。 在直角三角形 中，，化简得 ，所以 。回 验时 分米，圆心在 上方，满足图中各高度。 【答案】 分米 D2、（2025年山东东营中考数学第8 题（3分）） 如图，小丽在公园里荡秋千，在起始 位置处摆绳与地面垂直，摆绳 长，向前荡起到最高点处时距 地面高度，摆动水平距离 为，然后向后摆到最高点 处。若前后摆动过程中绳始终拉直， 且与成角，则小丽在 处时距离地面的高度是（ ）。 A. B. C. D. 【关键关系】先求悬点高度，再利用两绳垂直和绳长相等构造全等直角三角形，把另一侧 的竖直距离转化为已知水平距离。 【解析】在直角三角形 中，。因此 距地面 。 过 作 ，垂足为 。由于 ，；又 ，所以 。 由 、，可得 ，从而 。 所以 距地面的高度为 ，选 A。 【答案】A， D3、（2026年四川广安B卷中考数学第20题（4分）） 水平放置的圆柱形排水管道的截面是半径为的圆，其中水面宽为，则水面 高为____。 解答示意1 解答示意2 【关键关系】同一水面宽对应圆心下方和上方两种水位；题目没有限定低水位，不能只取 一个值。 【解析】如解答示意图，设水面两端为 、，圆心为 ，最低点为 。连接 、，作 于 。 因为 ，由等腰三角形三线合一，。于是 。 水面低于圆心时，水深为 ；水面高于圆心时，水深为 。两种情形均符合原题。 【答案】 或 D4、2026年湖南中考数学第22题（10分） 某中学为满足更多学生的阅读需求，决定对阅读室现有桌椅摆放进行调整。 【数据收集】 图是每套桌椅摆放示意图，桌面是边长为米的正方形，座椅预留活动空 间为四个以桌边为斜边的等腰直角三角形。如图，该阅读室摆放了行列共套 桌椅（阅读室门窗不影响桌椅摆放，未绘制），桌边平行于墙面，相邻两排桌椅间的过道 宽度均为米，靠墙座椅预留活动空间的直角顶点与墙壁无间隙。 图1 图2 【数据分析】 （1）如图，连接，则____米，取，____米（结果保 留一位小数）。 （2）求阅读室的长与宽。 【解析】（1）在图1中，取 、 的中点分别为 、。等腰直角三角形 中，， 米，且 ，所以 米。同理 米。 正方形的两条竖直边中点等高，故 、、、 在同一水平线上，且 米。因此 米。 四个预留三角形全等，各底角均为 。由 ，点 、、 共线，点 、、 共线；又 ，。所以 ， 米。 （2）原来一列桌椅的横向占宽为 米，一行的纵向占宽也为 米。阅读室长为 米，宽为 米。 【问题解决】 （3）调整桌椅摆放方向如图所示（平行于墙面），阅读室可容纳更多套桌椅。如 图，相邻两排桌椅间的过道宽度仍为米，靠墙过道的宽度不低于米，请利用 前面的计算结果，判断阅读室能否摆下套桌椅，并说明理由。 图3 图4 （3）调整后，每套预留区域的四个外角均为直角、四边相等，外边界是边长约为 米的正方形。按 列、 行安排，共可摆 套。 所需长为 米，所需宽为 米。分别不超过房间长、宽，因此能够摆下。 用精确边长 检验，所需长、宽约为 米、 米，仍不超过房间 尺寸；取近似数没有改变结论。 真题来源 以下为公开原卷式转载。题文与原卷核对，条件示意图重新绘制；月洞门图①保留原 题实景。 D1 2026年江苏苏州中考数学第14题（3分）：查看原卷公开页 D2 2025年山东东营中考数学第8题（3分）：查看原卷公开页 D3 2026年四川广安B卷中考数学第20题（4分）：查看原卷公开页 D4 2026年湖南中考数学第22题（10分）：查看原卷公开页 1 / 36 学科网（北京）股份有限公司 $