专题06勾股定理的应用期中复习讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年苏科版八年级数学上册

专题06勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够从实际问题、几何图形中识别、构造直角三角形，将生活情境问题转化为直角三角形的数学模型，体会建模思想。 2.熟练运用勾股定理解决常见实际应用题型：折叠问题、梯子下滑问题、航海方向问题、立体图形最短路径（展开图）、高度距离测量等经典模型。 3.能结合勾股定理及其逆定理，解决简单综合应用题；会利用方程思想，设未知数，借助勾股定理列方程求解线段长度。 4.规范应用题解题步骤：审题→找直角三角形→确定三边关系→列式计算→检验作答，规范书写几何解答过程。 5.易错点警示：立体图形求最短路径，正确展开平面图形；折叠问题抓住折叠前后线段长度不变；分清实际场景里的斜边、直角边，避免边长代入错误。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型三 求旗杆高度 ★★ 题型四 求梯子滑落高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点 03 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。 2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤： 知识点04:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点05:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点06:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点07:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 （1）立体图形展开时漏算展开方式，直接带入原立体边长计算； （2）折叠问题忽略 “折叠前后边长相等”，找不到等量关系； （3）解方程后保留负根，线段长度必须大于 0； （4）方位角分不清南北、东西垂直关系，无法构造直角； （5）梯子滑动问题误认为上下滑动距离相等（只有特殊勾股数才相等，不通用）； （6）计算时漏写单位，答题不回归实际问题。 题型一：勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：，，， ∴在点、、中，到点的距离为的是点． 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由同圆半径相等得，在中用勾股定理求，则． 【详解】解：∵以点为圆心、为半径画弧交最上方的网格线于点， ∴． ∵，， ∴， ∴. 题型二：勾股定理与折叠问题 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 【答案】 【分析】本题考查折叠性质、勾股定理，运用方程思想，关键是利用折叠得相等线段，设未知数结合勾股定理列方程，易错点为折叠后线段长度关系分析错误；先由折叠得，算出，再设，结合勾股定理列方程求解点坐标． 【详解】解：由折叠可知，，； ∵点，点， ∴， 则； ∵点，则， ∴； 设，则， 在中，， 即 解方程得：，即 ∵点是上，在轴上， ∴点的坐标为； 故答案为． 5．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据长方形的性质可得：，，，设，根据折叠的性质可得：，利用勾股定理求出的值即为的长度，根据三角形的面积公式求出结果即可． 【详解】解：四边形是长方形，，， ，，， 由折叠可知， 设， 则， 在中，， ， 解得：， ， 的面积为． 6．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 7．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 【答案】(1)①证明：∵四边形是长方形，，， ∴，，， ∴， ∵将沿着翻折，B点的对应点为， ∴，， ∴，即， ∴； ② (2) 【分析】本题考查勾股定理与折叠，熟练掌握以上知识并能灵活运用是解决此题的关键． （1）①由长方形得到，，，则，根据翻折，得到，即可得； ②，则，，在中，，代入解方程得，过作于，根据求出，再证明得到； （2）点E在线段或线段延长线分情况讨论，过点作于点M，延长交于点N，则，，，设，在中，根据列方程求解即可． 【详解】（1）①略 ②解：设，则，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴，则， 过作于， ∴， ∴， ∴； （2）解：分两种情况： 当点E在线段上时，过点作于点M，延长交于点N，如图： ∴四边形是矩形， ∴，，， 根据翻折的性质得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 当点E在射线的延长线上时， 同理可得，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即的值为； 综上可得的值为． 题型三：求旗杆高度 8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 【答案】 /米 【分析】旗杆垂直地面，绳子拉开后形成直角三角形，直角边分别为旗杆高和水平拉开的距离，斜边为绳长，已知绳长比旗杆高多，水平距离为，设旗杆的高为 ，用勾股定理列方程即可求解． 【详解】解：设旗杆的高为，则绳子的长度为， ∵旗杆垂直于地面， ∴绳子、旗杆、地面构成直角三角形， 由勾股定理可得： ， 解得： ， 即旗杆的高为． 9．如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作后，测得风筝的垂直高度为（    ） ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． A．15米 B．20米 C．21.6米 D．26.6米 【答案】C 【分析】在中，利用勾股定理求出的长度，再加上的长度，已知，等于小明的身高，即可求出的高度． 【详解】解：构成直角三角形，根据勾股定理得 （米）， 又小明身高米， （米）． 10．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，再加上的长度，即可求出的高度； （2）根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，过作于， 由题意得：，米，米，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：设风筝沿方向下降米至点，连接， ∵米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴他应该往回收线米． 11．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆． 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（的长度）； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（的长度） 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 ，的长度 的长度 2 1 9 … … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理测旗杆高，熟练掌握勾股定理，测量方法步骤，增大测量结果的精确度是解题的关键． 【详解】解：设，则． 在中，， 由勾股定理，得， 所以，解得． 故学校旗杆高度为． 题型四：求梯子滑落高度 12．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，数量掌握勾股定理是解题的关键． 通过勾股定理计算初始墙高和移动后梯脚离墙的距离，求差即可得到移动距离． 【详解】初始状态：设墙高为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． 移动后：顶端下滑 2m，新墙高为 m， 设新梯脚离墙距离为， ∵ ， ∴ ， ∴ m． ∴ 梯脚移动距离为m． 13．如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是___________米． 【答案】5 【分析】利用勾股定理可得，， 梯子移动过程中长短不变，建立等式，继而可求出的长，再利用勾股定理即可求出梯子的长度． 本题考查了勾股定理的应用，题中梯子与墙构成了一个直角三角形，可根据勾股定理边长的关系来列方程． 【详解】解：， ， ∴， 得， ∴梯子的长AB（米）． 故答案为：5． 14．如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】(1)米 (2)木棍在滑动过程中，线段的长度未发生改变； (3)米 【分析】（1）根据题意，由勾股定理直接代入值计算即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）在新情况下，由勾股定理求出长，与原来米比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可知米，米， 在中，由勾股定理可得（米）； （2）解：连接，如图所示： 在中，为的中点，则（米）； （3）解：如图所示： 当木棍的底端向外滑出米时，米，米， 在中，由勾股定理可得（米）， 刚开始时米， 木棍的顶端沿墙下滑距离为米． 15．某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程      请根据上述方案中的内容，计算的长． 【答案】 【详解】解：由题意得， 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； 中，，， ∴， 解得（负值舍去）； ∴． 题型五：求小鸟飞行距离 16．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，利用勾股定理求出两棵树树顶之间的距离即可求解，掌握勾股定理是应用是解题的关键． 【详解】解：如图，，，， ∴， ∴小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞， 故选：．    17．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 18．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 【答案】大约34分钟后，欢欢才能到达山顶 【分析】根据勾股定理求出，再根据缆车的速度即可求解． 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）， ∵缆车每分钟走50米， ∴（分钟）， 答：大约34分钟后，欢欢才能到达山顶． 19．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 【答案】(1)米； (2)米 【分析】（1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 题型六：求大树折断前的高度 20．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】使用勾股定理求出，然后与相加即可． 【详解】解：由勾股定理可得，， ∴这棵树在折断之前的高度为． 21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 【答案】 【分析】根据勾股定理建立方程即可求解. 【详解】解：设折断处离地面尺， 根据题意可得：. 22．如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距，求树折断处与地面的距离（即的长）． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理的实际应用问题，根据已知条件可列勾股定理，通过设未知数，解方程即可， 【详解】解：设树折断处与地面的距离， ∵树原高， ∴折断部分的长度， 由图可知是直角三角形，，， ∴根据勾股定理， ∴ 解得， ∴树折断处与地面的距离为． 23．如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)风筝距离地面的高度AB为12米 (2) 如图，点D为所求作的点． 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【详解】（1）解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，，    即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． （2）略 题型七：解决水杯中筷子问题 24．《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的运用，理解题意，掌握勾股定理的计算是关键． 设水深为x尺，则芦苇长为尺，将芦苇顶端拉向岸边时，形成直角三角形，其中直角边为水深x尺和池中心到岸边的距离5尺（边长一丈尺，半边长5尺），斜边为芦苇长尺，根据勾股定理列方程． 【详解】解：∵水深为x尺，则芦苇长为尺， ∵池塘边长为10尺，中心到岸边的距离为5尺， ∴由勾股定理，得：， 故所列方程为． 故选：B． 25．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 先求出尺，设尺，则芦苇的高度尺，根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：∵水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇， ∴尺， 设尺，则芦苇的高度尺， ∴， ， 解得：， 即芦苇的高度尺． 故答案为：． 26．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 【答案】米． 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出方程是解题关键．直接利用勾股定理得出，进而求出答案． 【详解】解：设为米， ∵在中，，，， ∴由勾股定理得：， 即， 解得：， ∴湖水深为米． 27．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）图1中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 题型八：解决航海问题 28．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． 【答案】200 【分析】直接利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意和勾股定理，得它离出发点有. 29．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里 【答案】D 【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可． 【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海， ∴， 小时后，海里，海里， 由勾股定理可得，（海里）． 30．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    【答案】甲、乙两船之间的距离为海里． 【分析】此题主要考查了勾股定理，关键是掌握勾股定理．首先计算出甲乙两船的路程，再根据甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东证明，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由题意得：甲船分钟的路程=海里，乙船分钟的路程=海里，即：，， ∵甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东， ∴， ∴， ∴， ∴甲、乙两船之间的距离为海里． 31．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以的速度离开港口O沿北偏东的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距． (1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小） (2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理和其逆定理的应用： （1）根据题意求出，根据勾股定理的逆定理推证出即得； （2）运用等积法即可求出结果． 【详解】（1）解：由题得：海里；海里， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵由题知， ∴， 即第二艘搜救艇的航行方向是北偏西50度． （2）解：过点O作，此时的长度即为最近距离， 由（1）知海里，海里，海里， 在中，有， 即， ∴， 答：与港口O最近的距离是48km 题型九：求河宽 32．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　） A．天 B．天 C．天 D．天 【答案】A 【分析】由题意知：则，在直角中，已知，根据勾股定理即可求，据此即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴. 在中，，， ∴， ∴隧道凿通需要（天）， ∴天才能把隧道凿通． 故选：． 【点睛】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，解本题的关键是正确的计算的长度． 33．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，延长、交于点，则为直角三角形，根据勾股定理即可求得，两点间的距离． 【详解】解：如图，延长、交于点， 则为直角三角形， 根据图中数据可得，，， 由勾股定理可得，． 34．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 【答案】 解：这辆货车可以通过该隧道．理由如下： ∵正中间有宽的双黄线， ∴点O到右边黄线的距离为 ∵现有一辆货运卡车高，宽， ∴如图，在上取G，使， 过G作于F反向延长交半圆于点E，则． 圆的半径， 在中，由勾股定理得：， ∴点E到的距离为， ∴货车可以通过该隧道． 【分析】此题考查了勾股定理的应用；如图，在上取G，使，过G作于F反向延长交半圆于点E，则，利用勾股定理求得，再与车高比较即可． 【详解】略 35．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 【答案】(1) 证明：， ∴梯形的面积为或， ， ， 即， (2)新路比原路少0.5千米 (3) 【分析】本题考查的是勾股定理的证明方法以及勾股定理的应用； （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：设千米，则千米， 在中，， 即，解得：，即， （千米）， 答：新路比原路少千米， （3）解：由题得，， 在中，， 在中，， ， 即，解得：． 题型十：求台阶上地毯长度 36．如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 【答案】2800 【分析】本题主要查了勾股定理的应用．根据勾股定理求出水平的直角边长度，即可求解． 【详解】解：水平的直角边长度为， （元）， 即购买这种地毯至少需要2800元． 故答案为：2800． 37．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）    A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm 【答案】B 【分析】先将图形平面展开，再用勾股定理根据两点之间线段最短进行解答． 【详解】三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm，宽为（2+3）×3dm，    则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长． 可设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为xdm， 由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=252， 解得x=25． 故选B． 【点睛】本题考查了平面展开——最短路径问题，用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 38．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 【答案】米 【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于，利用勾股定理求出的长，即可求解，理解地毯的长度等于是解题的关键． 【详解】解：如图，由勾股定理得，， ∴米， ∴米， 答：地毯的长度至少需要米． 39．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型十一：判断汽车是否超速 40．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 41．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 【答案】(1) (2)未超速，理由如下， 如图，，过点作于点， 在中，， ∴ ∵卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为， ∴卡车在该路段行驶过程中的速度为， ∴卡车未超速 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，且，进而根据等面积法，即可求解； （2），过点作于点，勾股定理求得，则，进而根据路程除以时间计算速度，即可求解． 【详解】（1）解：∵、，， ∴是直角三角形，且 设楼到的距离为， ∴ ∴ （2）略 42．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 【答案】(1)两赛车之间的距离是30米 (2)当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意求得米，米，得到 米，米，根据勾股定理即可得到结论； （2）设出发秒钟时，遥控信号将会产生相互干扰，根据题意列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：如图， 出发秒钟时，米，米 米，米 米，米 （米） 答：两赛车之间的距离是30米． （2）解：设出发秒钟时，两赛车距 A 点的距离之和为 35 米， 由题意得，，解得 此时， 此时， 即两赛车间的距离是25米，所以遥控信号将会受到干扰， 答：当两赛车的距离之和为米时，遥控信号将会产生干扰． 题型十二：判断是否受台风影响 43．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意是解答的关键．根据勾股定理求得的长，进而分别求得台风开始影响到台风结束影响时的时间，然后可求解． 【详解】解：由题意，，，， ∴， ∵距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，且台风速度为， ∴台风开始影响点D的时刻为（时）， 台风结束影响点D的时间为（时）， 故台风开始影响到台风结束影响，则他们要在时间段内做预防工作， 故答案为：． 44．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 【答案】24 【分析】过点作，上取点，，使，通过勾股定理求出，则受噪音影响共有，然后求出时间即可． 【详解】解：如图，过点作，上取点，，使， 由题意可得，， 当火车到点时对处产生噪音影响，此时， 由勾股定理得：， ∴受噪音影响共有， ∴点处受噪音影响的时间为． 45．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求，两点之间的距离； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 【答案】(1)，两点之间的距离为 (2)海港不受台风影响，理由如下： 过点作于， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，， 海港不受台风影响． 【分析】（1）依据勾股定理求解即可； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响． 【详解】（1）解：， ， ，， ； （2）略 46．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)海港C会受台风影响． 理由： 已知，，， 满足， 根据勾股定理逆定理，可得是直角三角形，且． 过点C作于D， 利用直角三角形的面积公式：， 代入数值计算：， 解得． ∵台风影响范围是以内，， 即点C到台风移动路线的最短距离小于台风影响半径， ∴海港C会受台风影响． (2)台风影响该海港的持续时间为7小时． 【分析】（1）首先根据三角形三边长度，用勾股定理逆定理判断的形状，确定为直角过点作的垂线段，利用直角三角形面积的两种计算方法求出到的最短距离，再将该距离与比较，判断海港是否受影响． （2）若受影响，以为圆心、为半径作圆，该圆与交于两点，计算两点间的弦长，再用弦长除以台风速度，得到影响持续时间． 【详解】（1）略． （2）解：设台风中心在上的E点时，（海港C刚进入受影响状态），移动到F点时，（海港C刚脱离受影响状态）， 则就是台风影响海港时台风中心移动的路程． 在中，由勾股定理得： 由等腰三角形三线合一（），可得． 已知台风速度为， 因此影响持续时间为：． 题型十三：选址使到两地距离相等 47．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 48．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 49．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 50．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 【答案】 该医院离A地的距离 【分析】作的垂直平分线与交于点，交于点，则点即为所作；连接，设，用勾股定理表示出，利用列出方程求值即可． 【详解】解：连接，作线段的垂直平分线，交于E，交于点，则点E就是医院的建造位置，图略，连接，设，则． ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得， 答：该医院离A地的距离． 题型十四：求最短路径 51．如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 【答案】 【分析】分三种情况讨论，分别根据勾股定理计算，找出最短距离即可． 【详解】解：如图，将长方体的前面和右面展开， ∴； 如图，将长方体的前面和上面展开， ∴， 如图，将长方体的下面和右面展开， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短距离为． 52．2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据圆柱的侧面展开图是长方形，画出圆柱的展开图，由勾股定理即可求出． 【详解】解：如图，圆柱的侧面展开图为长方形，最短路线为的长， 则， ∴． 即装饰带的长度最短为． 53．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 【答案】村庄A到村庄B的最短路线为6千米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，找出最短路径是解决本题的关键． 将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线，先求出到B的垂直距离，再根据勾股定理求出，进而即可求解． 【详解】解：将点A向下平移到，使且，连接，与下河岸交于点N，过N作下河岸，交上河岸于M，则，依次连接，此时即为最短路线， 由题意得，到B的垂直距离为， 由勾股定理得：， ∴总路径为 ， ∴村庄A到村庄B的最短路线为6千米． 54．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 【答案】（1）25；（2）；（3） 【分析】本题考查了平面展开图—最短路径问题，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． （1）直接利用勾股定理进行求解即可； （2）将圆柱体展开，利用勾股定理求解即可； （3）从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：， ， 故答案为：； （2）将圆柱体展开，如图， 由题意得， ， 故这只蚂蚁爬行的最短路程为． 故答案为：； （3）如图， 从玻璃杯侧面展开，作关于的对称点，作交延长线于点，连接交于点， ，， ，此时蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短，最短路程为的长， ， ∴， ， ∴蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是． 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 55．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是_________． 【答案】北偏西 【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，甲的路程：， 乙的路程：， ，即 ∴ 甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系， 甲客轮沿着北偏东，即 ∴ 乙客轮的航行方向是北偏西． 56．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号的航行方向是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏东 【答案】A 【分析】先根据航行速度和时间求出、的长度，再利用勾股定理的逆定理判断 为直角三角形，最后结合方位角计算出“海天”号的航行方向。 【详解】解：依题意， “远航”号航行一小时的路程：(海里)， “海天”号航行一小时的路程：(海里)， 已知海里， 在中：，， 即， 根据勾股定理的逆定理，， 已知“远航”号沿北偏东方向航行，即， ， 因此，“海天”号的航行方向是北偏西。 57．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），判断该车是否符合安全标准并说明理由． 【答案】该车符合安全标准． 【分析】利用勾股定理求出，由，可得，则和垂直，该车符合安全标准． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴，即和垂直， ∴该车符合安全标准． 58．根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 【答案】(1)证明：， ， ， ， ， ∴， ， ， ， 即； (2)24 (3)1.2千米 【分析】（1）根据三角形全等以及可得，再由三角形面积公式可分别求解出、与的面积，再由梯形面积公式求解出梯形的面积，由此可证勾股定理； （2）根据勾股定理可求解的长度，再由勾股定理逆定理可得为90度，分别计算与的面积即可求解阴影面积； （3）设，在中由勾股定理表示，在中由勾股定理表示，列式求解x的值，再回代求即可． 【详解】（1）略； （2）解：，，， ， ，， ， ， ， 答：阴影部分面积为24； （3）解：设千米，则千米， ， ， 在中，， 在中，， ，即， 整理得，， 解得，， 千米， （千米）， 答：新修路的长为1.2千米． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06勾股定理的应用期中复习讲义 1.能够从实际问题、几何图形中识别、构造直角三角形，将生活情境问题转化为直角三角形的数学模型，体会建模思想。 2.熟练运用勾股定理解决常见实际应用题型：折叠问题、梯子下滑问题、航海方向问题、立体图形最短路径（展开图）、高度距离测量等经典模型。 3.能结合勾股定理及其逆定理，解决简单综合应用题；会利用方程思想，设未知数，借助勾股定理列方程求解线段长度。 4.规范应用题解题步骤：审题→找直角三角形→确定三边关系→列式计算→检验作答，规范书写几何解答过程。 5.易错点警示：立体图形求最短路径，正确展开平面图形；折叠问题抓住折叠前后线段长度不变；分清实际场景里的斜边、直角边，避免边长代入错误。 题型 考察方向 难度 题型一 勾股定理与网格问题 ★★ 题型二 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型三 求旗杆高度 ★★ 题型四 求梯子滑落高度 ★★ 题型五 求小鸟飞行距离 ★★ 题型六 求大树折断前的高度 ★★ 题型七 解决水杯中筷子问题 ★★ 题型八 解决航海问题 ★★ 题型九 求河宽 ★★ 题型十 求台阶上地毯长度 ★★ 题型十一 判断汽车是否超速 ★★ 题型十二 判断是否受台风影响 ★★★ 题型十三 选址使到两地距离相等 ★★★ 题型十四 求最短路径 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★ 拔高题 7题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:核心解题思想：数学建模 核心逻辑：把实际问题转化为直角三角形问题，用勾股定理求解未知边长。 步骤：读题→画示意图→找直角→标已知边→列勾股定理公式→计算→作答 关键词：垂直、水平、最短、折叠、高度、距离（这些词通常暗示直角存在） 知识点02:勾股定理公式及变形（必记） 在 Rt △ABC 中， ∠C = 90，三边为 a,b,c（c 为斜边） 求斜边：c= 求直角边:,b= 知识点 03 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间，线段最短。在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，将其展开成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线。 2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤： 知识点04:四大经典应用模型｜考试全覆盖 依托墙面、地面、树木等垂直关系，天然形成直角。 常见题型：求旗杆高度、树高、楼台距离、斜坡长度。 解题思路：利用竖直方向与水平方向互相垂直，直接构成直角三角形，代入公式计算。 . 矩形、三角形折叠类题型，是几何高频考点。 核心规律：折叠前后对应边相等、对应角相等。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 行走路线、航海路线、方位角问题。东西方向与南北方向互相垂直，天然构成直角，以此建立三角形模型，求解两点之间的直线距离。 知识点05:通用解题步骤（所有应用题通用） 步骤 详细操作 & 注意事项 1 审题建模 区分场景：竖直物体、梯子、方位、立体、折叠、测直角；找出天然直角（墙⊥地面、南北⊥东西） 2 画图标注 必画简图,标注直角符号;已知长度直接标数字,未知长度统一设为 x 3 判定边 锁定直角三角形：分清两条直角边、斜边（最长边），严禁乱代边 4 列关系式 纯计算直接套公式；有未知量一律列一元一次方程 5 计算验根 解出方程后，长度必须＞0，负数解直接舍去 6 规范作答 带单位，文字回答对应问题 知识点06:应用场景:核心公式+等量关系 分类 具体场景 核心等量关系（公式） 长度 距离 类 梯子滑落高度 梯子长（c）² =墙高(a)² +梯底距墙距离(b)²（梯子为斜边） . 小鸟飞行距离 飞行距离（c）²= 水平距离（a）² +垂直距离（b）² 河宽 河宽（a）²=对岸连线长（c）² -河岸横向距离（b）² 台阶地毯长度 地毯长（c）²= 台阶水平总长（a）² +台阶垂直总高（b）² 立体最短路径（展开） 最短路径（c）²=展开后水平边长（a）²+展开后竖直边长（b）² 高度 类 旗杆高度 旗杆高（a）² = 绳子长（c）² - 绳端距旗杆底距离（b）² 大树折断前高度 1.折断部分长（c）² =树桩高（a）² +折端距树根距离（b）² 2.总高 = 树桩高 + 折断部分长 实际 生活 类 水杯中筷子长度 杯内筷子最长（c）² = 水杯底面直径（a）² + 水杯高度（b）² 航海距离（航向垂直） 两船距离(c)²=船 1 航行距离（a）² + 船 2 航行距离（b）² 汽车超速判断 1.行驶距离（c）² = 水平路段长（a）² + 垂直路段长（b）² 2.速度 = 距离 ÷ 时间（与限速比较） 台风影响判断 观测点到台风路径的垂直距离（a） ≤ 台风影响半径（c）→ 受影响；反之不受影响 知识点07:解题规范与易错点汇总 1. 规范书写步骤 第一步：画示意图，标注已知边长和未知量 第二步：说明直角，明确哪条边是斜边 第三步：列公式，代入已知数据 第四步：计算，开方后化简根式 第五步：作答，带单位（如米、厘米） 2. 高频易错点 （1）立体图形展开时漏算展开方式，直接带入原立体边长计算； （2）折叠问题忽略 “折叠前后边长相等”，找不到等量关系； （3）解方程后保留负根，线段长度必须大于 0； （4）方位角分不清南北、东西垂直关系，无法构造直角； （5）梯子滑动问题误认为上下滑动距离相等（只有特殊勾股数才相等，不通用）； （6）计算时漏写单位，答题不回归实际问题。 题型一：勾股定理与网格问题 1．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 2．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，点、、、均在格点（网格线的交点）上，在点、、中，到点的距离为的是点________． 3．如图，网格中小正方形的边长均为1，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 题型二：勾股定理与折叠问题 4．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，点是上一点，将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则点的坐标为_______  ． 5．如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为________． 6．如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 7．如图1，在长方形中，，，E为射线上的一点，连接．将沿着翻折，B点的对应点为． (1)如图2，当E点与C点重合时，与交于F． ①求证：； ②连接，求的面积； (2)连接，当时，求的值． 题型三：求旗杆高度 8．小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多，当他把绳子的下端拉开后，发现下端刚好接触地面，则旗杆的高为__________． 9．如图，小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，他们进行了如下操作后，测得风筝的垂直高度为（    ） ①测得水平距离的长为15米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米； ③牵线放风筝的小明的身高为1.6米． A．15米 B．20米 C．21.6米 D．26.6米 10．春天放风筝是深受大家喜爱的一项活动．如图，牵线放风筝的同学站在处，风筝在处，先测得他抓线的地方与地面的垂直距离为米，然后测得他与风筝的水平距离为米，最后根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米． (1)风筝的垂直高度______米； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 11．某“项目学习实验”小组开展了测量本校旗杆高度的项目主题活动，他们制定了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量数据如下表（不完整）： 项目主题 测量旗杆的高度 测量步骤 如图，线段表示学校旗杆． 步骤一：系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，用皮尺测量多出的这段绳子的长度； 步骤二：用手握住绳梢在地面移动，并逐步远离旗杆底部，直到绳子拉直到不能再移动时为止，用皮尺测量此时拉绳子的手到地面的距离（的长度）； 步骤三：用皮尺测量点C与旗杆之间的距离（的长度） 测量数据 绳子垂到地面，比旗杆多出一段的长度 ，的长度 的长度 2 1 9 … … 请你帮助该小组根据表中的测量数据，求出学校旗杆的高度． 题型四：求梯子滑落高度 12．一架长的梯子斜立在竖直的墙上，这里梯脚距离墙底端，如果梯子的顶端下滑，则梯脚将水平移动（   ） A． B． C． D． 13．如图所示，靠墙放着一个梯子，梯子底端B离墙根的距离为3米，现梯子底端B向右滑动1米到了处，梯子顶端A恰好也向下滑动了1米到了处．则梯子的长度是___________米． 14．如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 15．某健身广场为方便群众夜间健身活动，在广场部分位置加装照明灯向阳兴趣小组想利用课余时间测量照明灯灯板的长，因不方便直接测量，设计方案如下： 课题 测量照明灯灯板的长 方案及说明 工具 竹竿、米尺 方案及图示 相关数据及说明 竹竿长度为，灯板垂直地面于点，线段，表示同一根竹竿；第一次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；第二次将竹竿的一个端点与点重合，另一个端点落在地面的点处；已知， 计算过程      请根据上述方案中的内容，计算的长． 题型五：求小鸟飞行距离 16．轩轩同学在校园里散步时看到鸟儿飞来飞去的场景，提出了一个有趣的数学问题：有两棵树，一棵高，另一棵高，两树相距，一只小鸟要从一棵树的树顶到另一棵树的树顶，至少需要飞（   ）    A． B． C． D． 17．某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 ________米． 18．如图，已知某山的高度为800米，从山上A处与山下B处各建一个索道口，且米，，欢欢从山下索道口B坐缆车沿索道到山顶A，已知缆车每分钟走50米，那么大约多少分钟后，欢欢才能到达山顶？ 19．如图1，有两棵树，一棵高10米（米），另一棵高2米（米），两树相距6米（米） (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图2，台风过后，高10米的树在点M处折断，大树顶部落在点D处，则树折断处M距离地面多少米？ 题型六：求大树折断前的高度 20．如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面，树的顶端离树根，则这棵树在折断之前的高度是（    ） A． B． C． D． 21．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，它奠定了中国传统数学的基本框架．其中记录的一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高丈（丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根尺，若设折断处离地面的高度为尺，则根据勾股定理，可列方程为：______． 22．如图，大风把一棵树刮断，已知被刮断前树高，倒下后树干顶部离根部距，求树折断处与地面的距离（即的长）． 23．如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2．      (1)请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． (2)在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 题型七：解决水杯中筷子问题 24．《四元玉鉴》是我国传统数学中重要的著作之一，《四元玉鉴》中记载：“池方一丈，葭生中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭各几何？”大意：有一边长为一丈的正方形池塘，一棵芦苇（“葭”）生长在池塘的正中央，露出水面一尺．将芦苇的顶端拉向岸边，顶端刚好和岸边的水面平齐．问池塘的水深和芦苇的总长度各是多少？利用方程思想，设水深为尺，则依题意所列方程为（1丈尺，1尺寸）（    ） A． B． C． D． 25．如图，有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是________尺． 26．如图在平静的湖面上，有一支红莲，高出水面的部分为1米，一阵风吹来，红莲被吹到一边，花朵齐及水面（即），已知红莲移动的水平距离为3米，则湖水深为多少？ 27．寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 题型八：解决航海问题 28．一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了，然后向正北方向航行了，这时它离出发点有________． 29．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（     ）． A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里 30．甲、乙两船同时从码头开出，分钟后，甲船到达码头，乙船到达码头；已知甲船航行的速度是海里/时乙船航行的速度是海里/时，甲船航行的方向是北偏东，乙船航行的方向是南偏东，求甲、乙两船之间的距离    31．某天，暴雨突然来袭，两艘搜救艇接到消息，在海面上有遇险船只从A、B两地发出求救信号．于是，第一艘搜救艇以的速度离开港口O沿北偏东的方向向A地出发，同时，第二艘搜救艇也从港口O出发，以的速度向B地出发，2小时后，他们同时到达各自的目标位置．此时，他们相距． (1)求第二艘搜救艇的航行方向是北偏西多少度？（求的大小） (2)由于B地需要被援救的人数较多，故需要搭载人数较少的第一艘搜救艇改道去到B地支援，在从A地前往到B地的过程中，与港口O最近的距离是多少？ 题型九：求河宽 32．如图，为修铁路需凿通隧道，测得，，，若每天凿，则把隧道凿通需要（　　　） A．天 B．天 C．天 D．天 33．某公园有一个人工湖，湖的周围是笔直的甬道，珍珍想知道湖两岸，两点间的距离，但由于湖面阻隔无法直接测量，珍珍观察公园的游览图时得到如图所示的示意图，根据图中数据可得，两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 34．某隧道的截面由半圆和长方形构成，长方形的长为，宽为，该隧道内设双车道（共有2条车道），正中间有宽的双黄线，车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线．现有一辆货运卡车高，宽，则这辆货运卡车能否通过该隧道？说明理由． 35．直角三角形的三边关系：如果直角三角形两条直角边长为a、b，斜边长为c，则． (1)图1为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图1推导上面的关系式．利用以上所得的直角三角形的三边关系进行解答； (2)如图2，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A、B，其中，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ (3)在第（2）问中若时，，，，，设，求x的值． 题型十：求台阶上地毯长度 36．如图，为庆祝渝北中学艺术节，学校准备组建合唱团进行表演，欲在如图所示的阶梯形站台上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为40元，站台宽为，则购买这种地毯至少需要______元． 37．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，点A处有一只蚂蚁，想到点B处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B的最短路程为（    ）    A．20dm B．25dm C．30dm D．35dm 38．如图，楼梯的高度为，楼梯坡面的长度为，要在楼梯的表面铺上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到） 39．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型十一：判断汽车是否超速 40．“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 41．如图，有一辆卡车沿限速的路段由点向点行驶，，在该路段附近有一栋居民楼，与、两点的距离分别为、，卡车行驶过程中周围以内为受噪声影响区域． (1)求居民楼到的距离． (2)若卡车在该路段行驶过程中噪声影响该小区持续的时间为，请问卡车是否超速行驶？并说明理由． 42．如图，小亮与小红进行遥控赛车游戏，终点为点A，小亮的赛车从点C出发，以4米/秒的速度由西向东行驶，同时小红的赛车从点B出发，以3米/秒的速度由南向北行驶，已知整个过程两辆赛车均沿直线行驶，米，米． (1)经过4秒，两赛车之间的距离是多少米？ (2)已知赛车之间的距离小于或等于25米时，遥控信号会产生相互干扰，若某一时刻，这两辆赛车距点A的距离之和为35米，则此时遥控信号是否会产生相互干扰？ 题型十二：判断是否受台风影响 43．如图，某城市接到台风警报，在该市正南方向的B处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市A到的距离．已知在距台风中心的圆形区域内都会受到不同程度的影响，若在点D的工作人员早上接到台风警报，台风开始影响到台风结束影响要做预防工作，则他们要在______时间段内做预防工作． 44．如图，铁路和公路在点处交会，点到的直线距离为．公路上点处距离点处．如果火车行驶时，周围以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路上沿方向以的速度行驶时，点处受噪音影响的时间为______． 45．某市夏季经常受台风天气影响，台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围几千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向由点向点移动，已知点为一海港，当时，点到，两点的距离分别为和，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)求，两点之间的距离； (2)海港受台风影响吗？为什么？ 46．有一台风中心沿东西方向由点行驶向点，已知点为一海港，且点与直线上两点、的距离分别为和，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域． (1)海港会受台风影响吗？为什么？ (2)若台风的速度为，台风影响该海港持续的时间有多长？ 题型十三：选址使到两地距离相等 47．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 48．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 49．如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 50．如图，某地一条公路旁有两个居民点，它们各自到公路的垂直距离分别为，公路上的两地相距．现准备在公路上修建一所医院E，因两地居民需求基本一致，考虑选择合适的地点建造，使得两地到医院的距离相等．试在图上确定医院E的建造位置，并求出该医院离A地的距离． 题型十四：求最短路径 51．如图，一只蚂蚁沿长方体石凳表面从顶点P爬到顶点Q，蚂蚁爬行的最短距离为_______． 52．2024年9月22日是第七届中国农民丰收节，小彬用打印机制作了一个底面周长为，高为的圆柱形粮仓模型，如图，现要在此模型的侧面贴彩色装饰带，使装饰带从柱底沿圆柱表面均匀地缠绕2圈到达柱顶正上方（从点A到点C，B为的中点），则装饰带的长度最短为（     ） A． B． C． D． 则， ∴． 即装饰带的长度最短为． 53．如图，村庄A，B分别位于河的两侧（河的两岸平行），河宽为，村庄A到河岸的距离，村庄B到河岸的距离，村庄A到村庄B的水平距离．现要在河上架设一座桥（垂直于河岸），使从村庄A到村庄B的路线最短，求从村庄A到村庄B的最短路线为多少千米． 54．【问题情境】数学综合与实践活动课上，老师提出如下问题：一个三级台阶，它每一级的长、宽、高分别为和是一个三级台阶上两个相对的端点． 【探究实践】老师让同学们探究：如图（1），若点处有一只蚂蚁要到点去吃食物，则蚂蚁沿着台阶爬到点的最短路程是多少？ （1）同学们经过思考得到如下解题方法：如图（2）为三级台阶的平面展开图，可得到长为，宽为的长方形，连接，经过计算得到的长度为____________，就是最短路程． 【变式探究】（2）如图（3），已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面有一只蚂蚁，从点爬到点，再从点爬回点，恰好爬行一圈，则这只蚂蚁爬行的最短路程为____________． 【拓展应用】（3）如图（4），圆柱形玻璃杯的高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时，一只蚂蚁正好在外壁离杯口，且与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处所爬行的最短路程是多少？（杯壁厚度不计） 题型十五：勾股定理逆定理的实际应用 55．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是_________． 56．如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东方向航行，则“海天”号的航行方向是（    ） A．北偏西 B．北偏西 C．北偏东 D．南偏东 57．图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），判断该车是否符合安全标准并说明理由． 58．根据以下素材，探索完成任务．　 板块 内容 背景阐述 灌区是人工修渠引水，浇灌大片农田的水利区域，现灌区推进农田水利升级改造，从工程测绘、荒地绿化到取水点优化，都需要运用直角三角形与勾股定理的相关知识，我们结合灌区场景开展系列探究任务． 素材一 工程测绘员用全等直角三角尺拼接绘制直角三角测绘模板（如图1），模板中，、两块三角尺的直角边分别为，斜边为c，拼接在直线上（A、E、D共线）． 素材二 灌区有一处闲置三角荒地（如图2），边界测量得，．计划对图中灰色阴影地块进行绿化种草． 素材三 灌区河道呈东西走向，河道北侧有村庄C，岸边原有取水点，现决定在河边新建取水点H（A、H．B在同一直线上），并新修一条路，使（如图3），测得千米，千米，千米． (1)任务一：请根据素材一中拼接图形的面积关系，证明勾股定理：； (2)任务一：请计算素材二中灰色阴影地块的绿化面积； (3)任务三：请计算素材三中新修道路的长度（单位：千米）． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $