精品解析：福建省泉州市东海中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

2025年10月份初三年数学学科质量监测 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件是被开方数非负，得到不等式，解不等式即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴． 故选：C． 2. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式和同类二次根式，熟练掌握最简二次根式和同类二次根式的概念是解题的关键． 利用同类二次根式的定义列出关于a的方程，解方程即可得出结论． 【详解】解：∵两个最简二次根式与是同类二次根式， ， ． 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、不能合并，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法、除法，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题． 4. 若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】把x=0代入方程得出a的值，再根据一元二次方程的定义进行取舍即可． 【详解】把x=0代入方程得：a2－1=0， 解得：a=±1， 方程为一元二次方程， a+1≠0， a≠－1， a=1． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法，本题关键在于求出a的值并根据一元二次方程的定义进行取舍． 5. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，根据题意把常数项2移项后，应在左右两边分别同时加上一次项系数的一半的平方，即可求出答案． 【详解】解：把方程的常数项移到等号的右边，得到， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得到， 配方得． 故选：A． 6. 下列一元二次方程的根是的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法解一元二次方程，将求根公式一一代入方程验证即可得出答案． 【详解】A、中，，不符合题意； B、中，，不符合题意； C、中，，不符合题意； D、中，，符合题意． 故选：D． 7. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 【答案】B 【解析】 【详解】解：解方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）得x=-h±， 而关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2， 所以-h-=-3，-h+=2， 方程m（x+h-3）2+k=0的解为x=3-h±， 所以x1=3-3=0，x2=3+2=5． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元二次方程-直接开平方法． 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. 2019 D. -2019 【答案】A 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的定义得到20192a+2019b+c=0，两边除以20192得到，从而可判断为方程cy2+by+a=0（ac≠0）一根． 【详解】解：把x=2019代入方程ax2+bx+c=0得20192a+2019b+c=0， 所以， 所以为方程cy2+by+a=0（ac≠0）一根． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ） ①方程的实数解为； ②； ③第2023项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴的变化的规律，分式的加减乘除混合运算，解一元二次方程等．利用题干中的操作步骤分别计算求得，，，，，，，再利用解方程的方法，因式分解的方法和分式的相关性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论． 【详解】解：第1项是，用第1项减去得到， 将乘以得到第2项， 再将第2项减去得到， 将乘以得到第3项， ， 以此类推，则第4项为，第项为． ①方程，即， ， 或． 方程的实数解为或． ①的结论错误； ② ． ②的结论正确； ③第项为， 第2023项， ③的结论正确； ④ ， 为整数，且 值为整数， 可能取值为1，2，3，6，，，，， 的取值为0，1，，． ④的结论正确． 综上，正确的结论有：②③④． 故选：B． 二、填空题（每题4分，共24分） 11. __________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的减法． 直接根据二次根式的减法法则计算即可． 【详解】， 故答案为：． 12. 将一元二次方程化成一般形式__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的一般形式，把等式右边的项移到左边，使等式的右边等于0，据此求解即可． 【详解】， 移项，得， 故答案为：． 13. 一元二次方程的解是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据因式分解法解一元二次方程即可求解． 【详解】解： ∴或， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 14. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根可以得到判别式大于零，从而求出结果． 【详解】解：根据题意，得且， 解得且， 所以m的取值范围为且 故答案为：且． 16. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解． 【详解】由根与系数的关系得，， 所以， 则， 则 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24、25题每题13分，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】先算乘法和除法，取绝对值，再合并计算． 【详解】解： ＝ ＝． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的化简法则． 18. 解方程：x2﹣6x﹣7=0． 【答案】x1=7，x2=﹣1． 【解析】 【分析】观察原方程，可运用二次三项式的因式分解法进行求解． 【详解】原方程可化为：（x﹣7）（x+1）=0， x﹣7=0或x+1=0； 解得：x1=7，x2=﹣1． 19. 先化简再求值：（1），其中m2． 【答案】， 【解析】 【分析】先对分式进行化简，然后代入求值． 【详解】解：（1） ＝（） ， 当m2时， 原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值以及二次根式的运算，熟练化简分式是解题的关键． 20. 已知，， （1）化简和； （2）求代数式的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据，对，进行化简； （2）提出公因式，然后把（1）中的，，代入，即可计算出代数式． 【小问1详解】 ∴； ∴． 【小问2详解】 由（1）得，； ∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查二次根式的知识，解题的关键是掌握二次根式的加减运算，最简二次根式和平方差公式． 21. a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 【答案】﹣2 【解析】 【分析】根据数轴判断出a、b的取值范围，然后判断出a+1，b-1，a-b的正负情况，再根据二次根式的性质去掉根号，进行计算即可得解． 【详解】解：根据图形可得，-2＜a＜-1，1＜b＜2， ∴-1＜a+1＜0，0＜b-1＜1，a-b＜0， ∴， =﹣（a+1）+（b-1）+（a-b）， =-a-1+b-1+a-b， =﹣2． 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴．根据图形判断出a、b的取值范围，是解题的关键． 22. 某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 【答案】（1）商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元 （2）29元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键． （1）设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元，根据购买书籍的数量是书籍的2倍建立方程，解方程求出的值，由此即可得； （2）设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本，根据利润（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量（书籍的售价书籍的进价）书籍的销量建立方程，解方程求出的值，再根据要促进书籍的销量，选择较小的值即可得． 【小问1详解】 解：设商家购买书籍的进价为元，则购买书籍的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 则， 答：商家购买书籍的进价为16元，购买书籍的进价为24元． 【小问2详解】 解：设每本书籍的售价为元，则平均每天可卖出书籍本， 由题意得：， 整理得：， 解得或， ∵要促进书籍的销量， ∴， 答：每本书籍的售价为29元． 23. 已知，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的判别式，设，根据已知得出，根据方程有实数根得出，设，进而求得，即可求解． 【详解】解：设， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 设， ∴． ∴． 解得：． ∴． ∴，即． 24. 已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． （1）求k的取值范围； （2）如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； （3）当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 【答案】（1）且 （2）或 （3） 方法1：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴（*） ∵， ∴ 即， 即，即代入（*） ∴ ∴； 方法2：成立，理由如下： 由（1）可知且， 又∵k为正整数， ∴， ∴方程②为， ∵方程②有两个实数根，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴当时， ， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，（漏1种情况扣1分） ， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，成立． 【解析】 【分析】（1）将k当作已知数解出方程的解，根据该方程的解为非正数，可得出k的取值范围，方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程，二次项系数不为0，即，解得，即可求出k的取值范围； （2）根据，可得，，代入方程②，可得，可得，，由于②的解为负整数且k为整数，所以或，可得或，即可求出整数m的值； （3）方法1：由（1）可知且，且k为正整数，可知，所以方程②为，因为方程②有两个实数根，，所以，，，由可求出，将，，代入，可得，将其代入，即可证明；方法2：先得出，，，，根据，求出，可得，分两类和，与，，代入，可得，将其代入，即可证明． 【小问1详解】 解：∵关于x的方程的解为，且该方程的解为非正数， ∴，解得， 又∵关于x的方程是一元二次方程， ∴，，解得， 综上所述，k的取值范围是且． 【小问2详解】 解：由（1）可知且， ∵，， ∴，， ∴方程②为， 即， ， 解得：，， ∵方程②为，方程②的解为负整数， ∴或， ∴或， 当时，， 当时，， ∴m的值为或． 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，熟练掌握并应用相关知识点是解答本题的关键． 25. 已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． （1）探究：当时，求的最小值； （2）知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ （3）创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式． 【答案】（1）5 （2）10年；2.5万元 （3） 【解析】 【分析】（1）直接利用可得结论； （2）先求解年平均保养费用，利用可得结论； （3）设直线为：，用含的代数式表示的坐标，求解的面积，利用求解面积最小值时的值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 当，即时，的最小值为5； 【小问2详解】 解：由题意得：， 年平均费用． 当时， ， 即时，这种汽车使用10年报废最合算，最少年平均费用为2.5万元； 【小问3详解】 解：设直线为：， 把代入解析式得：， ， 直线为：， 令，， ， 令， ， ， ， 由题意知：， ， 由题意得：， ． 当时，即时，最小， 直线为：． 【点睛】本题考查的是自定义题，同时考查了求解代数式的最小值及其应用，考查了利用待定系数法求解一次函数的解析式，仔细弄懂题意是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年10月份初三年数学学科质量监测 考试时间120分钟，满分150分 一、单选题（每题4分，共40分） 1. 若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 若两个最简二次根式与是同类二次根式，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 1 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程（a+1）x2+x+a2﹣1＝0的一个根是0，则a的值为（　　） A. 1 B. ﹣1 C. 1或﹣1 D. 5. 用配方法解方程:，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列一元二次方程的根是的是（ ） A. B. C. D. 7. 关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=-3，x2=2，则方程m（x+h-3）2+k=0的解是（ ） A. x1=-6，x2=-1 B. x1=0，x2=5 C. x1=-3，x2=5 D. x1=-6，x2=2 8. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 9. 若关于的一元二次方程有一根为，则关于的一元二次方程必有一根为（ ） A. B. C. 2019 D. -2019 10. 有个依次排列的整式：第1项是，用第1项减去得到，将乘以得到第2项，再将第2项减去得到，将乘以得到第3项，…，以此类推，下面四个结论中正确的个数为（ ） ①方程的实数解为； ②； ③第2023项； ④若为整数，且值为整数，则的取值个数为4个 A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、填空题（每题4分，共24分） 11. __________． 12. 将一元二次方程化成一般形式__________． 13. 一元二次方程的解是________ 14. 已知α，β是方程的两个实数根，则的值为_______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______． 16. 对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________． 三、解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24、25题每题13分，共86分） 17. 计算： 18. 解方程：x2﹣6x﹣7=0． 19. 先化简再求值：（1），其中m2． 20. 已知，， （1）化简和； （2）求代数式的值． 21. a、b在数轴上的位置如图所示，化简：． 22. 某大型品牌书城购买了A、B两种新出版书籍，商家用1600元购买A书籍，1200元购买B书籍，A、B两种书籍的进价之和为40元，且购买A书籍的数量是B书籍的2倍． （1）求商家购买A书籍和B书籍的进价； （2）商家在销售过程中发现，当A书籍的售价为每本25元，B书籍的售价为每本33元时，平均每天可卖出50本A书籍，25本B书籍．据统计，B书籍的售价每降低0.5元，平均每天可多卖出5本．商家在保证A书籍的售价和销量不变且不考虑其他因素的情况下，为了促进B的销量，想使A书籍和B书籍平均每天的总获利为775元，则每本B书籍的售价为多少元？ 23. 已知，求的取值范围． 24. 已知方程①：为关于x的方程，且方程①的解为非正数；方程②：（k、m、n均为实数）为关于x的一元二次方程． （1）求k的取值范围； （2）如果方程②的解为负整数，，且k为整数，求整数m的值； （3）当方程②有两个实数根，满足，且k为正整数，试判断是否成立？并说明理由． 25. 已知，为两个正实数，，，即：，当且仅当“”时，等号成立．我们把叫做正数，的算术平均数，把叫做正数，的几何平均数，于是上述不等式可表述为：两个正数的算术平均数不小于（即大于或等于）它们的几何平均数．它在数学中有广泛的应用，是解决最值问题的有力工具．示例：当时，求的最小值； 解：，当，即时，的最小值为3． （1）探究：当时，求的最小值； （2）知识迁移：随着人们生活水平的提高，汽车已成为越来越多家庭的交通工具，假设某种汽车的购车费用为10万元，每年应缴保险费等各类费用共计0.4万元，年的保养，维修费用总和为万元，问这种汽车使用多少年报废最合算（即使用多少年的年平均费用最少，年平均费用所有费用：年数）？最少年平均费用为多少万元？ （3）创新应用：如图，在直角坐标系中，直线经点，与坐标轴正半轴相交于，两点，当的面积最小时，求直线的表达式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $