精品解析：重庆市第一中学校2026-2027学年高三上学期10月期中考试数学试题

重庆一中高2027届高三10月月考数学试题 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求. 1. 设，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，可得， 解得，代入得，因此充分性成立； 若，取，此时，，显然，因此必要性不成立. 综上，“” 是 “”的充分不必要条件. 2. 已知复数满足，则 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先化简，求出复数，得到其共轭复数即得虚部. 【详解】由可得， 则，故，其虚部为. 3. 已知向量 满足 ，则 （ ） A. 15 B. C. D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量数量积的运算律，将模的平方差化为两向量和与差的数量积，再用坐标计算. 【详解】由向量数量积的运算律，得 . 代入已知坐标，得 . 4. 已知等差数列 的公差不为 0，且 ，记其前 项和为 ，若存在正整数 使 成立，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【详解】设等差数列的公差为（，）， 由可得 ，整理得. 再由可得 ， 将代入整理得 ，解得或， 又因为正整数，故得. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角函数平移规则得到的解析式，结合正弦函数的单调性列不等式求解的最大值 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 可得  ， 由，当时，有， 在区间上单调递增，则有 ， 解得， 因此的最大值为. 6. 已知数列的前项和为，且，数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用前n项和的递推关系求出数列的通项，进而得到的通项，最后用裂项相消法计算求和式即可. 【详解】已知，且当时，，即， 设，展开得，对比原式得，即， 因此是首项为、公比为3的等比数列， 所以，整理得前项和， 当时，由得， ，因此， 由， 时，，时，， 即，， 因此 . 7. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导分析单调性，结合可得，再构造，求导分析单调性可得，进而判断出即可. 【详解】若，令 ，当时，， 所以函数在上单调递增，所以 ，即， 若 令 当时，， 所以函数在上单调递减， 所以，所以，故， 综上：. 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知不等式变形得出，当，则恒成立；当时，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，可得出，于是得出，变形得出，其中，利用导数求出函数的最小值，即可得出实数的取值范围，即可得解. 【详解】因为，对任意的，不等式恒成立， 所以，即， 若，则恒成立，符合题意； 若，则， 令，其中， 则，所以函数在上为增函数， 当时，因为，则，， 由可得， 所以，所以，其中， 令，其中，则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，亦即最小值，即， 此时. 综上所述，，则实数的最大值为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知平面向量 ， 满足 ， ，则（ ） A. 若 ，则与的夹角为 B. 若，，则的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则存在，使得不等式成立 【答案】BC 【解析】 【分析】利用向量模长与数量积的关系，将模长不等式平方转化为关于向量夹角余弦值的表达式，结合余弦值的范围逐项分析. 【详解】设与的夹角为 ， 对于A选项，因为，， 则， 即，解得， ，故A错误； 对于B选项，因为，则， 即， 解得，可得，故B正确； 对于C选项，因为，则， 即当时，可得最小值即，故C正确； 对于D选项，因为，则， 则， 因为为负数，则，令， 因为在上单调递增，在上单调递增， 则在上单调递增，当时，，当时，， 所以，可得即与矛盾，故D错误. 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图象关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项求导分析单调性即得，B选项利用对称性的性质，计算得到判断，C选项，注意到，判断两者和的包含关系，D选项利用三次函数有三个零点，极大值极小值异号即可. 【详解】由题知，， 则，在上单调递减， ，在上单调递增， 故是的极小值点，A选项错误； 由对称性的定义，若的图象关于对称，则， 即，即，即，B选项正确； 由A的分析可知，的极大值为， 而在上的最大值为，则， 则，解得， 但令，即， 整理得，即， 由于的区间长度小于区间长度， 若，则，只可能，即， 综上，C选项错误； 三次函数有三个零点，等价于极大值和极小值异号， 由A可知，极大值为，极小值为， 即，解得，D选项正确. 11. 设正项数列的前项和为.若，则（ ） A. B. C. 为偶数时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过倒数换元将原递推式转化为线性递推关系，构造等比数列推导的通项，进而得到数列的通项公式. 选项A：令代入递推式，结合首项直接计算的值验证结论. 选项B：对变形后的线性递推式构造等比数列，求解得到的表达式，取倒后验证通项公式. 选项C：当为偶数时，代入通项写出与的表达式并求和，通过放缩分母证明不等式成立. 选项D：将前项按相邻两项分组，借助选项C的放缩结论转化为等比数列求和，得到前项和的上界，判断与的大小关系. 【详解】选项A：令，代入得， 由得，故，即，A正确. 选项B：设，则递推式化为，. 构造等比数列：设，可知是公比为的等比数列，首项为 ， 因此 整理得 ， 故 ，B正确. 选项C：当为偶数时，，， 因此 ，求和得 展开分母： ， 因此 ，C正确. 选项D：前2026项可分为1013组，每组两项，由选项C的结论： 右边是首项为、公比为的等比数列， 求和得 ，故，与选项描述不符， D错误. 【点睛】1.倒数和型递推数列的核心解法是倒数换元+构造等比数列，将原递推转化为可求解的线性递推结构，是处理此类递推的通用技巧. 2.数列不等式的证明常结合放缩法，本题通过放大分母缩小分式值，将相邻两项和放缩为等比数列的项，再求和得到整体范围，是数列放缩的典型思路. 3.含奇偶特征的数列求和问题，采用分组求和可充分利用相邻项的结构特征，结合放缩能快速判断前项和的取值范围，体现了转化与化归的思想. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 【答案】## 【解析】 【分析】利用等差数列的公差，等比数列的公比，将题设等式全转化成的方程组求解. 【详解】由题知，， 由，解得， 由，结合，即，解得， 于是. 13. 记 为钝角三角形，其内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _____． 【答案】 【解析】 【分析】先化简已知三角恒等式，结合三角形内角和性质求出的值，再分情况利用余弦定理求解，最后结合钝角三角形的条件舍去不符合的解。 【详解】因为 为钝角三角形，， ，因为， 则 ，因为，则， 则，因为，由正弦定理可得， 则，即，因为，所以或， 当时，，由余弦定理可得， 解得，此时，为最大值，由余弦定理可得， 即，为直角三角形，不符合题意，舍去； 当时，，由余弦定理可得， 解得，此时为钝角，符合题意. 14. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则______ 【答案】 【解析】 【分析】根据卡西尼卵形线的定义及曲线过原点求出常数，利用三角形面积公式求出点的纵坐标，代入曲线方程求出横坐标，最后利用两点间距离公式计算即可． 【详解】设曲线上任意一点， 由题意可知，（为常数），即． 因为曲线过坐标原点， 所以， 解得， 所以曲线的方程为． 设点， 由题意知，， 因为，， 所以， 已知的面积为， 所以， 将代入曲线的方程，得， 两边平方得， 整理得，即， 化简得，即， 所以， 解得， 因为， 所以， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等比中项性质建立关于的方程并求解，再根据等差数列通项公式求解； （2）根据通项公式确定，再并项求和即可. 【小问1详解】 因为 成等比数列，所以. 即 ，代入，得. 化简得 ，因为，所以， 所以的通项公式为； 【小问2详解】 由（1）知，故， ， . 16. 某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． （1）从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； （2）质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被测出时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 【答案】（1） （2）的分布列为： 2 3 4 5 数学期望 【解析】 【分析】（1）先通过全概率公式计算抽中不合格茶饼的总概率，再利用条件概率公式求解不合格茶饼来自乙车间的概率； （2）确定的所有可能取值，结合古典概型计算各取值对应的概率，得到分布列后计算数学期望． 【小问1详解】 解：设事件为“抽到的茶饼由甲车间生产”，事件为“抽到的茶饼由乙车间生产”，事件为“抽到的茶饼不合格”． 由题意得：， 根据全概率公式：， 根据条件概率公式：， 则所求概率为． 【小问2详解】 解：由题意，的所有可能取值为． 将2个不合格茶饼的检测位置视为从5个位置中任选2个，共种等可能的结果， 当时，两个不合格茶饼位于第1、2位，共1种情况，故； 当时，第3位为不合格茶饼，前2位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故； 当时，第4位为不合格茶饼，前3位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故； 当时，第5位为不合格茶饼，前4位恰好有1个不合格茶饼，共种情况，故． 的分布列为： 2 3 4 5 数学期望． 17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且， . （1）求及； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1）；. （2）周长为. 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角范围和同角三角函数基本关系式求解；根据两角和的余弦公式和三角形内角关系求解. （2）根据三角形内角范围和两角差的余弦公式确定关系，由三角形面积公式求解，进而根据余弦定理确定，最后求解周长即可. 【小问1详解】 因为，且，所以为钝角，故. ， 又因为，即 则， 又， 故. 【小问2详解】 由，得，从而均为锐角，因此 ， ， 结合 ，得，即，于是， 由三角形面积公式可得：， 解得：，即， 由余弦定理可得：， 解得：， 所以的周长为：. 18. 已知椭圆 的离心率为，且经过点 . （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与交于 两点(异于点)，直线，的斜率分别为，求的值； （3）在(2)的条件下，设为椭圆的右顶点，直线与交于点，直线与交于点. 设为的外接圆，为以为直径的圆. 证明:圆恒过除外的另一个定点，并求两圆面积之差. 【答案】（1） （2） （3）令，由（2）知，， 由，又点在椭圆上，， ，，， 同理得，， 直线的方程为，直线的方程为， 由，，点的坐标为， 直线的方程为，直线的方程为， 由，，点的坐标为， 由点与点的坐标直线的方程为， 的中点坐标为， 圆的圆心在的垂直平分线上，设圆的圆心坐标为，， 由，， 整理得，， 圆的半径的平方为， 圆的方程为，整理为一般式得， 令，，（点）或， 圆恒过除外的另一个定点. . 【解析】 【分析】（1）由椭圆的性质求解. （2）设直线的方程为，结合韦达定理求， （3）设，结合（2）和题意将，，都转换为，然后求出条直线的方程，列出方程组求出点的坐标，再由圆的性质求出圆的方程，消除参数得到定点， 求出圆的半径，结合圆的面积公式求. 【小问1详解】 由题知，，椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知椭圆的方程为，点的坐标为， 当直线的斜率为时，不满足条件， 当直线的斜率不为时，设直线的方程为，设点的坐标为， 由，，， 由韦达定理得，， ， ， 由，. 【小问3详解】 证明部分略. 圆以为直径，其半径的平方为， . 19. 设正项数列满足 ，且 . （1）求的值；证明:对任意正整数 ，都有 ； （2）设函数 ，证明: 在上单调递增； （3）证明:对任意整数 ，并判断左侧不等号何时成立？ 【答案】（1）； 证明：构造，求导. 当时，，故在上单调递增， 从而，即当时恒有， 对任意，已有，代入前述结论中，得，即， 因为，则，，又因为， 则对恒成立. 综上，对任意正整数，都有. （2）证明：，因且， 要证，等价于， 开方得即：， 两边同乘，只需证明：， 令，，则， 当且仅当，即时等号成立，又因为，则等号无法取到， 故在上恒成立，则在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 从而，故在上单调递增. （3）先证当时，有， 因，故，故：， 令，， 则，令，则在上恒成立， 所以在上单调递减，又，故时， 从而在上单调递减.又，故， 即在上恒成立， 从而：， 由递推关系，得：， 由（1）知得， 因此，当时，累加得：， 由，得：所以 另一方面，由（2）知在上单调递增. 由（1）知，故， 于是累加得：， 从而，即， 综上，， 当时，求和中只有一项，且，所以左侧等号成立. 此时， 当时，，且严格递增，求和中至少有一项严格小于， 从而左侧不等号严格成立. 因此左侧不等号当且仅当时成立. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系即可得到，构造，求导得其单调性，则有，再代入即可证明不等式关系； （2）等价转化为证明，再构造函数，求导后利用基本不等式判断导函数符号即可得到其单调性，则证明该不等式； （3）先证明当时，有，通过等价转化后再设新函数并二次求导即可证明上述不等关系，再利用累加法即可证明结论. 【小问1详解】 由递推，得. 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆一中高2027届高三10月月考数学试题 注意事项： 1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2、回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每题给出的四个选项，只有一项符合题目要求. 1. 设，则 “” 是 “” 的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知复数满足，则 的虚部为（ ） A. B. 2 C. D. 5 3. 已知向量 满足 ，则 （ ） A. 15 B. C. D. 11 4. 已知等差数列 的公差不为 0，且 ，记其前 项和为 ，若存在正整数 使 成立，则 的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 5. 将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数 的图象，若函数在区间上单调递增，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 6. 已知数列的前项和为，且，数列满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 设 ，则（ ） A. B. C. D. 8. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知平面向量 ， 满足 ， ，则（ ） A. 若 ，则与的夹角为 B. 若，，则的取值范围为 C. 若，则的取值范围为 D. 若，则存在，使得不等式成立 10. 设函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是的极大值点 B. 若的图象关于对称，则 C. 若在上的最大值为，则 D. 当且仅当时，恰有三个零点 11. 设正项数列的前项和为.若，则（ ） A. B. C. 为偶数时， D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是公差为的等差数列，是公比为的等比数列，且 ，则_____. 13. 记 为钝角三角形，其内角 的对边分别为 ，已知 ，则 _____． 14. 在数学史上，平面内到两个定点的距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，如图所示的曲线为卡西尼卵形线且过坐标原点，其中两定点为，，曲线上点在第一象限内且满足的面积为，则______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的公差，且成等比数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，记数列的前项和为，求. 16. 某普洱茶厂有甲、乙两个车间生产同一种茶饼，甲车间产量占总产量的，乙车间占，甲车间产品渥堆发酵不合格率为，乙车间为． （1）从该厂生产的茶饼中随机抽取1饼，若已知抽到的茶饼渥堆发酵不合格，求它由乙车间生产的概率； （2）质检员另取5饼茶，已知其中3饼合格、2饼不合格，外观无法区分，将其逐一、不放回地盲测，当2饼不合格茶饼均被测出时停止，记实际检测次数为，求的分布列、数学期望． 17. 在 中，内角 所对的边分别为 ，且， . （1）求及； （2）若的面积为，求的周长. 18. 已知椭圆 的离心率为，且经过点 . （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与交于 两点(异于点)，直线，的斜率分别为，求的值； （3）在(2)的条件下，设为椭圆的右顶点，直线与交于点，直线与交于点. 设为的外接圆，为以为直径的圆. 证明:圆恒过除外的另一个定点，并求两圆面积之差. 19. 设正项数列满足 ，且 . （1）求的值；证明:对任意正整数 ，都有 ； （2）设函数 ，证明: 在上单调递增； （3）证明:对任意整数 ，并判断左侧不等号何时成立？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $