3.3 勾股定理与网格问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册

勾股定理与网格问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 教师详解版 网格不仅用来数格求边，还能帮助判断直角、计算斜边上的高、按条件找点和构造垂线。本专题先掌握基本读图，再处理非格点交点与多种可能。 内容导航 一、用横竖格数求线段长 2 二、用三边平方判直角 3 三、先求面积，再求斜边上的高 6 四、按长度条件找格点 8 五、连接格点作垂线 11 六、利用共同直角边建立等量关系 14 七、A组 基础巩固 19 八、B组 方法突破 22 九、C组 综合提升 26 十、D组 2025—2026中考精选 31 方法导航 遇到的条件或任务 主要做法 两个格点之间的线段 读横竖格数，先核一格的实际长度 斜边组成的角、三角形形状 先验证直角；非格点交角可用全等 斜边上的高、点到直线距离 割补求面积，再换底求高 给定长度、面积或直角找格点 列出候选，逐一检查第二条件和边界 只用无刻度直尺作垂线 连接适当格点，用逆定理或全等验证 动点位置未知、多个直角三角形 利用共同直角边，配对平方关系并检查范围 一、用横竖格数求线段长 网格中的格点是网格线的交点。数两个格点之间的距离时，数的是间隔，不是点的个数。两个端点横隔格、竖隔格，若每格边长为，沿网格线补出的两条直角边分别为、。 把所求线段作为斜边，得到它的长度平方为。只有题目说明每格边长为时，才可直接把格数当作长度。 端点是中点或其他非格点时，还要读出半格等实际距离。 长度、长度平方、面积是不同的量。比较正线段的长短时，可先比较平方；由面积确定网格尺度时，先得到的通常是每格边长的平方，不必急着开方。 如：横隔格、竖隔格，每格边长为时，线段长为； 每格边长为时，线段长为，不是。 例1 如图，、、都是正方形网格的格点，已知。求每个小正方形的边长及的周长。 解：设每个小正方形的边长为。由图可数得横跨格，因此，得。 的水平、竖直距离分别为、，故；的水平、竖直距离都是，故。所以周长为。 变式1-1 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。将、、按从短到长的顺序排列。 解：由网格及勾股定理，，，。线段长均为正数，平方越大，线段越长。因为，所以。 变式1-2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是线段的中点。求的长。 解：连接。由图得，，且。因为是的中点，所以。在直角三角形中，，所以。 变式1-3 如图，、、都是正方形网格的格点，的面积为。求的长。 解：设每个小正方形的边长为。由网格得，点到的距离为，所以，即。 两端点的水平、竖直距离均为，所以，得。 二、用三边平方判直角 两条网格线互相垂直，不等于图中任意两条斜线也互相垂直。遇到倾斜的三角形，先由横竖格数求出三边长的平方，再检查较小两项之和是否等于最大项。 如果，逆定理说明，因为是这个角的对边。判定直角顶点时要看边与角的对应关系，不能把最长边上的端点当作直角顶点。 若两条斜线的交点不是格点，不能强行把交点附近的边数成整数格。可在两条直线的格点端点旁补出直角三角形，利用全等传递锐角，再由互余或三角形内角和判断交角。 证明直角后，才能把相邻的两条斜边当作底和高求面积。若两条直角边相等，还能确定两个锐角均为；再结合共线、对顶角或三角形内角和，把角的关系传递到所求位置。 如：三边长的平方为、、，因为，所以最长边所对的角是直角。若第三项改为，便不能作同样的结论。 例2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。 求的度数及的面积。 解：由勾股定理，，，。因为，由逆定理得。直角所对的边是，不能按图形朝向判断直角顶点。 又，所以。 变式2-1 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。 下列判断正确的是（　）。 A. 只有是直角三角形 B. 只有是直角三角形 C. 两个都是直角三角形 D. 两个都不是直角三角形 解：在中，，，，有，所以它是直角三角形。 在中，，，。最大项为，而，所以它不是直角三角形。选A。 变式2-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，、、在同一直线上。求的度数。 解：，，。因为，所以；又，所以。射线与方向相反，因此。 变式2-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，直线、相交于点。求的度数。 解：取图中格点、，使与同列、与同行，与同列、与同行。连接、、。由网格得，，，所以。 由全等得。在直角三角形中，。在中，，，所以。 又、、共线，故。 三、先求面积，再求斜边上的高 底和高都沿网格线时，面积可以直接由格数计算。若三条边都倾斜，可把三角形补进长方形或大三角形，再扣去多出的部分；也可以把复杂图形分成几块容易计算的三角形。 割补前先看清区域。外框减去哪些部分，必须与原图的位置一致，不能每次都机械地“减三个角”。若要求的是一个小三角形的高，应使用这个小三角形的面积，而不是整个图形的面积。 同一三角形换一条边作底，面积不变。已知面积和底边长时，由得到。点到直线的距离就是相应的高，垂足可以在线段的延长线上。 两个三角形的底在同一直线上，且另一个顶点相同，它们的高相同，面积之比就等于底长之比。这来自面积公式，不需要相似三角形。遇到非格点交点，可用这样的面积等式确定分割比，再求长度。 如：三角形面积为，选作底的边长为，则这条底上的高为。 例3 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。求的面积，以及点到直线的距离。 解：取与同列、与同行的格点，连接、、。图中，，点到的距离为，到的距离为。从中去掉与，得。 。 设点到直线的距离为，则，得。 作，垂足在的延长线上。所求是到直线的垂直距离，不是；面积公式在垂足位于延长线上时仍成立。 变式3-1 如图，每个小正方形的边长为，四边形的四个顶点都是格点。求四边形的面积，以及点到直线的距离。 解：把四边形补入长方形，其中与同列、与同行，与同列、与同行，与同列、与同行。长方形面积为，多出的三个角上三角形面积分别为、、。所以。 连接。，所以。由勾股定理，。设距离为，则，得。 变式3-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。在给定线段上找出一个格点，使的面积为，并用无刻度直尺画出。 解：连接、。由网格得。设，则。点、到直线的距离分别为、，所以，。 四边形沿或分割，得到，所以，得。在右方格处取，连接、。此点在线段上，且是格点，符合要求。 变式3-3 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是的中点。求的长，以及中边上的高。 解：由是的中点，可读出与的水平距离为，竖直距离为。所以，得。 把补入边长为的正方形，减去三个角上的三角形，得。与的底、相等，且高相同，所以。 设中边上的高为，则，得。 四、按长度条件找格点 两端点都是格点时，水平格数与竖直格数都是非负整数。给定线段长，可先把它的平方写成两个整数平方的和，得到可能的横竖格数。不要把根号中的数直接拆成两个数相加，就当成两条直角边。 得到格数组合后，还要考虑横竖交换、上下左右各个方向，并剔除网格外的点。若题目要求点不重合，也要排除与已知点重合的情况。 有两个条件时，先用一个条件产生候选，再用另一个条件筛选。第二个条件可能是另一条边长、一个直角、面积或所在范围。找出一个点不等于找齐；解答时应说明候选是怎样列全的。 如：长度为时，横竖格数只能是和；长度为时，只能是和。找到方向后，仍需检查网格边界与其他条件。 例4 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。 请在给定网格内或边界上，找出满足的格点，并用无刻度直尺画出相应的。求这些三角形的面积。 解：。由于，所以，每个符合条件的三角形都在处成直角。 要使，从到的水平格数与竖直格数只能是和，顺序可交换，方向分别向左或向右、向上或向下。先按这两种格数找候选点，再去掉网格外的点。逐一检查候选点到的距离，只留下、：在右格、上格处；在右格、下格处。两点到的水平、竖直格数也分别为、，因此均满足要求，且已找全。 两个三角形的两条直角边均为，面积都为。 变式4-1 如图，每个小正方形的边长为，是格点。在给定网格内或边界上，标出满足的格点，并写出这样的点的个数。 解：因为，且不超过的整数平方只有、、、，所以水平、竖直格数只能是和，顺序可交换。从分别考虑上下左右，并检查网格范围，得到四点：右格上格，左格上格，右格上格，右格下格。其余四个方向落在网格外。 变式4-2 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。在给定网格内或边界上，找出满足、的格点，画出，并求它的面积。 解：。若且，则。 ，所以先按水平、竖直格数为、找候选点，再检查到的距离是否为。给定网格内或边界上只有，它在左格、上格处。另一侧符合两项长度的点在网格下方，不能保留。此点满足，因此角条件也成立。面积为。 变式4-3 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。在给定网格内或边界上，找出满足且面积为的格点，并画出相应的三角形。 解：由图得。面积为，说明点到直线的距离为，因此只能在上方格或下方格的网格线上。又，竖直距离的平方为，所以水平距离的平方为，水平距离为。分别向左或向右格、向上或向下格，得到四个角点。四点都在边界上，均满足长度和面积条件，且已找全。 五、连接格点作垂线 只用无刻度直尺作图时，直尺只能连接已经确定的点，或延长已画出的线。不能用尺上的刻度量长度，也不能凭目测画一个直角。网格本身提供了可以准确选取的点和方向。 要作一条斜线的垂线，可以先寻找适当的格点，把待证的垂直关系放进一个三角形，再用勾股定理的逆定理检验；也可以补出两组全等的直角三角形，用对应角相等和两锐角互余证明两条斜线垂直。 垂足不一定是格点。可以先连接两个格点，得到经过已知点的垂直方向，再让它与底边所在直线相交。若垂足在延长线上，必须把该直线延长。 过线段中点作垂线，还可用来构造到两个端点等距的点。其依据是两个直角三角形有相等的一条直角边和公共直角边，从而全等；不要把“看起来对称”当成证明。 如：若、，则，所以。反过来选取等距点时，中点和垂直关系都要落实在作图中。 例5 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出的高，保留作图痕迹，并求的长。 解：在的右方格处取格点，连接，与交于。取与同列、与同行的格点，连接、。 由网格得，，，所以。 因此。又，所以在中，，得，即。 ，。由，得。垂足不是格点，但可由两条连接格点的直线相交得到；不需要量角器或带刻度直尺。 变式5-1 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出中边上的高，并求的长。 解：取上位于右格、上格的格点，连接。，，。因为，所以，所作线段确为高。。 变式5-2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出点到直线的垂线段，并求的长。 解：在右格、下格处取格点，连接；延长，与交于。 取格点、，使、水平，、竖直。 两组直角边满足、，所以。由对应锐角相等及直角三角形两锐角互余，得。因此就是所求垂线段，垂足在的延长线上。 取与同行、与同列的格点，连接、、。在中去掉与，得。。由，得。 变式5-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。只用无刻度直尺，在线段上作出点，使，并求的长。 解：取的中点格点，以及左格、上格处的格点。 连接，与交于。 由网格得、、。 因为，所以。又，由，得。 取格点、，分别为在上的竖直投影、在上的竖直投影，则、。与的一组直角相等、在处的一组对顶角相等，且，故两三角形全等。于是，。 在直角三角形中，，所以。 六、利用共同直角边建立等量关系 有些网格题中，动点的位置未知，却不必先求出这个位置。若两个直角三角形共用一条直角边，把两次勾股等式相减，共同边的平方就会消去。 例如且、、共线，则、，所以。当沿同一条垂线移动时，这个平方差由固定的、决定。使用前必须先证明垂直，不能把两条看起来接近直角的线直接代入。 如果、也不易直接求，可在同一条垂线上选一个容易计算距离的已知格点，再写，从而把所求关系转到已知格点之间。 已知两段的和与平方差时，可用先求差，再求两段。若需要确定动点位置，应检查垂足两侧是否都在线段范围内；一个算出的距离可对应两个点，也可能只留下一个。 多个直角三角形还可能通过相加配对消去不需要分别求的量。关键不是多设未知数，而是先找出哪些直角边在不同等式中重复出现。 如：、，相减后消去。若另有、，便得到。 例6 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，且。求的长。 解：连接、、，设与交于。取与同列、与同行的格点，以及与同列、与同行的格点，连接所需水平、竖直线。由网格得，，且，所以。对应锐角相等，结合直角三角形两锐角互余，得。 在直角三角形与中，，，两式相减得。再对直角三角形与用勾股定理，得。因此。 由网格得，，故。由，得，所以。 满足条件的点可以在的两侧各有一个，两点都在线段上。上面的计算只用了共同的直角边，不必先求出点的位置；两种位置下的长均为。 变式6-1 如图，每个小正方形的边长为，长方形的四个顶点都是格点，是长方形内任意一点。求证：。 解：过作，分别交、于、。因为长方形的对边平行且相等，所以，。 由勾股定理，，，，。将、代入，相加配对便得。 变式6-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，且。求与的长。 解：连接、、，设与交于。取与同列、与同行的格点，与同列、与同行的格点。由、及夹角均为直角，得；由对应锐角相等及互余关系，得。 对、及、分别用勾股定理并相减，得。即。 因为，所以。 和差相加、相减，得，。 检查点的位置：，由及，得、。于是。又，。因为，所以只有靠近一侧的点在线段上，另一侧的点超过。 变式6-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，。求的长。 解：连接，由网格取其中点格点。，，且。因为，所以。 在直角三角形中，，故。点可以在的两侧，且两种位置都在线段上。靠近时，；靠近时，。 两种位置均有、公共且夹角为直角，所以；均满足题意，不能只保留示意图中的一个点。 七、A组 基础巩固 1、如图，每个小正方形的面积为，、都是格点，则________。 解：每格边长为。、横隔格、竖隔格，所以，。 2、如图，每格边长为，、都是格点。若整数满足，则________。 解：。因为，所以，得。 3、如图，每格边长为，、、都是格点。下列判断正确的是（　）。 A. B. C. D. 不是直角三角形 解：，，，最大项为。因为，所以不是直角三角形。选D。 4、如图，每格边长为，、、都是格点，则的面积为________。 解：把三角形补入的长方形，从面积中扣去三个角上的三角形，得。 5、如图，每格边长为，是格点。在给定网格内或边界上，到的距离为的格点共有________个，并在图中标出这些点。 解：要使距离为，由于，只能横走格、竖走格。在给定网格内，点右格再上格或下格的两点符合要求；左侧两点在网格外。 6、如图，每格边长为，、、都是格点。点到直线的距离为________，线段的长为________。 解：沿竖直格线，点到它的垂直距离是横向的格。，所以。 7、、、都是正方形网格的格点，，则________。 解：设每格边长为。由及，得，所以。，故。 8、在边长为的小正方形组成的网格中，两个格点间的距离不可能是（　）。 A. B. C. D. 解：整数平方不超过的只有、、，无法选出两个使其和为；故不可能。其余有、、，都可实现。选B。 八、B组 方法突破 1、如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是的中点。在线段上取点，使。求与的长。 解：由网格得、，且。设，则，。在直角三角形中，。 由，得，解得，确在线段上。 由、公共且夹角为直角，得，所以。 2、如图，每格边长为，、、、都是格点，。求点、到直线的距离。 解：连接、。，点到的距离为，所以。又，设点到直线的距离为，则，得。 两平行线之间的距离处处相等，所以点到直线的距离也为。 3、如图，每格边长为，、都是格点。只用无刻度直尺，以为斜边画出一个两条直角边不相等的格点直角三角形，并求它的面积。 解：在正上方格处取格点，连接、。竖直、水平，所以，为斜边。由图得、，两直角边不相等，符合要求。面积为。 4、如图，每格边长为，、、、都是格点。求的度数。 解：连接、。在中，、、，所以，。 在中，、、，所以。射线位于内部，因此。 5、如图，每格边长为，四边形的四个顶点都是格点，，，与交于。求点到直线的距离。 解：由两组平行线形成的内错角相等，结合公共边，可用全等证明。再由两组内错角相等和，得，所以。 把四边形补入的长方形，扣去四个外部三角形， 得。 沿分成的两个三角形全等，故。 因为，且与到直线的高相同，所以。 。设距离为，则，得。 6、如图，每格边长为，四边形的四个顶点都是格点，、交于点。求的度数及四边形的面积。 解：取与同列、与同行的格点，与同列、与同行的格点。由网格得、，且，所以。 由全等得。在直角三角形中，。在中，，，所以，进而。 。将四边形沿分成两个三角形，其高分别为、。所以。 7、如图，每格边长为，、、都是格点，、分别为、的中点。求的长及的面积。 解：由中点位置可读出、的水平、竖直距离均为，所以，。 把补入边长为的正方形并割补，得。连接。因为，同高三角形面积相等，故。再由及、同高，得。 九、C组 综合提升 1、如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，与相交于点。求的面积及的长。 解：由图得，，。设。 在中，以、为底的两个三角形有相同的高，所以。同理，在中，。而，故，得。 由勾股定理，。又，因此。 2、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、都是格点。只用无刻度直尺，在给定网格内或边界上找出所有格点，使是面积为的直角三角形。 在图中标出符合条件的点，并分别求这些三角形的周长。点不与、重合。 解：，所以。 题目没有规定直角顶点，须分别讨论直角在、、三种情况。 第一种：。由面积为，得，所以；再由勾股定理得。按水平、竖直格数为和列出距为的候选点，再检查到的距离为，网格内或边界上只有，即左格、上格处。另一侧相应的点在给定网格下方，不符合范围。 第二种：。同理，。 按两项长度条件筛选，得到、：分别在左格、上格处，以及右格、下格处。第一、二种三角形的周长都是。 第三种：。 由勾股定理和面积条件，得，。 因此，所以。 要使，水平、竖直格数只能是和，顺序可交换。再检查，在给定网格内或边界上得到、：分别在右格、上格处，以及右格、下格处。这两个三角形的周长都是。 每一种情况都先列出全部可能的水平、竖直格数，再同时检查第二项长度条件及网格范围，因此符合条件的点共有个，已在三幅图中分别标出。 3、如图，每格边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺， 在线段上作出点，使，并求的长及的面积。 解：在右格、下格处取格点，连接并延长，与交于。取格点、，使竖直、水平，水平、竖直。直角三角形与有、，所以两三角形全等。由对应锐角相等，再结合互余关系，得。 设。由网格得、、，且。在直角三角形与中，分别有和。联立得，解得。因为，所以。确有，所作点在线段上。 点到的距离为，所以。 4、如图，每格边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺， 在给定网格内作出点，使，保留作图痕迹，并求的长。 解：先作的中点。取与同列、与同行的格点，以及与同列、与同行的格点，连接，与交于。由两组平行线形成的内错角相等，且，可得，所以。 再取格点、、，其中在右格、上格处，在右格处，在上格处。连接、，交于。同样利用全等，得为的中点。 在证明图中，取与同行、与同列的点，连接、、。由两个中点的位置，，，且，所以。对应锐角相等，结合水平线与竖直线垂直，可得。 取的中点格点，以及正上方的格点，连接，与交于。因为且，由全等得；又且，由全等得。所以所作点符合要求。 取与同行、在上的格点。设，则，，。由及勾股定理，得，解得。 因为，点位于与之间，在给定网格内。，所以。 十、D组 2025—2026中考精选 1、（2025年天津中考第18题Ⅰ，节选）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点、均在格点上。线段的长为________。 解：、横隔格、竖隔格，所以。 2、（2025年宁夏中考第22题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为个单位长度，的顶点、点和点都在格点上。仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法。 过点作的垂线段； 过点作的平行线。 解：连接。由网格得，，，所以，故。 在右格、下格处取格点，作直线，即为所求平行线。取格点为正下方、正左方的交点，取为正下方、正左方的交点，则、，且夹角均为直角，故。对应角相等可得。题目要求不写作法；这里的说明用于教师核验。 3、（2025年江苏扬州中考第28题，节选）如图，点在正方形内，过作，，矩形的面积是矩形面积的倍。 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形。请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中________。 解：记与的交点为，与的交点为，连接；这就是作图时需要连接的一条线段。 先求格数位置。由网格得、。 因为，、、共线，、、共线，所以，。 由，得，所以。 连接。。设，则。 因为和组成，而它们以为底的高分别为和， 所以，得。 由图得，，。所以，，且，因此。在射线上，在射线上，故。 4、（2026年江苏徐州中考第16题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，、、、、均为格点，点在上，、分别为、与格线的交点，则线段的长为________。 解：不能把当作格点。设，则。过沿水平格线交于，由网格得。 ，，所以。以为底，又有，故。 过沿水平格线交于，由图得、。 ，，因此。 又，所以。 过作竖直线，与所在的水平格线交于。由网格得，，所以。 在直角三角形中，。因此，无论在边上何处，的长都为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 勾股定理与网格问题 专题复习讲义 2026—2027学年苏科版八年级数学上册 学生版 网格不仅用来数格求边，还能帮助判断直角、计算斜边上的高、按条件找点和构造垂线。本专题先掌握基本读图，再处理非格点交点与多种可能。 内容导航 一、用横竖格数求线段长 2 二、用三边平方判直角 4 三、先求面积，再求斜边上的高 7 四、按长度条件找格点 9 五、连接格点作垂线 12 六、利用共同直角边建立等量关系 14 七、A组 基础巩固 17 八、B组 方法突破 20 九、C组 综合提升 24 十、D组 2025—2026中考精选 27 方法导航 遇到的条件或任务 主要做法 两个格点之间的线段 读横竖格数，先核一格的实际长度 斜边组成的角、三角形形状 先验证直角；非格点交角可用全等 斜边上的高、点到直线距离 割补求面积，再换底求高 给定长度、面积或直角找格点 列出候选，逐一检查第二条件和边界 只用无刻度直尺作垂线 连接适当格点，用逆定理或全等验证 动点位置未知、多个直角三角形 利用共同直角边，配对平方关系并检查范围 一、用横竖格数求线段长 网格中的格点是网格线的交点。数两个格点之间的距离时，数的是间隔，不是点的个数。两个端点横隔格、竖隔格，若每格边长为，沿网格线补出的两条直角边分别为、。 把所求线段作为斜边，得到它的长度平方为。只有题目说明每格边长为时，才可直接把格数当作长度。 端点是中点或其他非格点时，还要读出半格等实际距离。 长度、长度平方、面积是不同的量。比较正线段的长短时，可先比较平方；由面积确定网格尺度时，先得到的通常是每格边长的平方，不必急着开方。 如：横隔格、竖隔格，每格边长为时，线段长为； 每格边长为时，线段长为，不是。 例1 如图，、、都是正方形网格的格点，已知。求每个小正方形的边长及的周长。 变式1-1 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。将、、按从短到长的顺序排列。 变式1-2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是线段的中点。求的长。 变式1-3 如图，、、都是正方形网格的格点，的面积为。求的长。 二、用三边平方判直角 两条网格线互相垂直，不等于图中任意两条斜线也互相垂直。遇到倾斜的三角形，先由横竖格数求出三边长的平方，再检查较小两项之和是否等于最大项。 如果，逆定理说明，因为是这个角的对边。判定直角顶点时要看边与角的对应关系，不能把最长边上的端点当作直角顶点。 若两条斜线的交点不是格点，不能强行把交点附近的边数成整数格。可在两条直线的格点端点旁补出直角三角形，利用全等传递锐角，再由互余或三角形内角和判断交角。 证明直角后，才能把相邻的两条斜边当作底和高求面积。若两条直角边相等，还能确定两个锐角均为；再结合共线、对顶角或三角形内角和，把角的关系传递到所求位置。 如：三边长的平方为、、，因为，所以最长边所对的角是直角。若第三项改为，便不能作同样的结论。 例2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。 求的度数及的面积。 变式2-1 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。 下列判断正确的是（　）。 A. 只有是直角三角形 B. 只有是直角三角形 C. 两个都是直角三角形 D. 两个都不是直角三角形 变式2-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，、、在同一直线上。求的度数。 变式2-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，直线、相交于点。求的度数。 三、先求面积，再求斜边上的高 底和高都沿网格线时，面积可以直接由格数计算。若三条边都倾斜，可把三角形补进长方形或大三角形，再扣去多出的部分；也可以把复杂图形分成几块容易计算的三角形。 割补前先看清区域。外框减去哪些部分，必须与原图的位置一致，不能每次都机械地“减三个角”。若要求的是一个小三角形的高，应使用这个小三角形的面积，而不是整个图形的面积。 同一三角形换一条边作底，面积不变。已知面积和底边长时，由得到。点到直线的距离就是相应的高，垂足可以在线段的延长线上。 两个三角形的底在同一直线上，且另一个顶点相同，它们的高相同，面积之比就等于底长之比。这来自面积公式，不需要相似三角形。遇到非格点交点，可用这样的面积等式确定分割比，再求长度。 如：三角形面积为，选作底的边长为，则这条底上的高为。 例3 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。求的面积，以及点到直线的距离。 变式3-1 如图，每个小正方形的边长为，四边形的四个顶点都是格点。求四边形的面积，以及点到直线的距离。 变式3-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。在给定线段上找出一个格点，使的面积为，并用无刻度直尺画出。 变式3-3 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是的中点。求的长，以及中边上的高。 四、按长度条件找格点 两端点都是格点时，水平格数与竖直格数都是非负整数。给定线段长，可先把它的平方写成两个整数平方的和，得到可能的横竖格数。不要把根号中的数直接拆成两个数相加，就当成两条直角边。 得到格数组合后，还要考虑横竖交换、上下左右各个方向，并剔除网格外的点。若题目要求点不重合，也要排除与已知点重合的情况。 有两个条件时，先用一个条件产生候选，再用另一个条件筛选。第二个条件可能是另一条边长、一个直角、面积或所在范围。找出一个点不等于找齐；解答时应说明候选是怎样列全的。 如：长度为时，横竖格数只能是和；长度为时，只能是和。找到方向后，仍需检查网格边界与其他条件。 例4 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。 请在给定网格内或边界上，找出满足的格点，并用无刻度直尺画出相应的。求这些三角形的面积。 变式4-1 如图，每个小正方形的边长为，是格点。在给定网格内或边界上，标出满足的格点，并写出这样的点的个数。 变式4-2 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。在给定网格内或边界上，找出满足、的格点，画出，并求它的面积。 变式4-3 如图，每个小正方形的边长为，、都是格点。在给定网格内或边界上，找出满足且面积为的格点，并画出相应的三角形。 五、连接格点作垂线 只用无刻度直尺作图时，直尺只能连接已经确定的点，或延长已画出的线。不能用尺上的刻度量长度，也不能凭目测画一个直角。网格本身提供了可以准确选取的点和方向。 要作一条斜线的垂线，可以先寻找适当的格点，把待证的垂直关系放进一个三角形，再用勾股定理的逆定理检验；也可以补出两组全等的直角三角形，用对应角相等和两锐角互余证明两条斜线垂直。 垂足不一定是格点。可以先连接两个格点，得到经过已知点的垂直方向，再让它与底边所在直线相交。若垂足在延长线上，必须把该直线延长。 过线段中点作垂线，还可用来构造到两个端点等距的点。其依据是两个直角三角形有相等的一条直角边和公共直角边，从而全等；不要把“看起来对称”当成证明。 如：若、，则，所以。反过来选取等距点时，中点和垂直关系都要落实在作图中。 例5 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出的高，保留作图痕迹，并求的长。 变式5-1 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出中边上的高，并求的长。 变式5-2 如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺，作出点到直线的垂线段，并求的长。 变式5-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。只用无刻度直尺，在线段上作出点，使，并求的长。 六、利用共同直角边建立等量关系 有些网格题中，动点的位置未知，却不必先求出这个位置。若两个直角三角形共用一条直角边，把两次勾股等式相减，共同边的平方就会消去。 例如且、、共线，则、，所以。当沿同一条垂线移动时，这个平方差由固定的、决定。使用前必须先证明垂直，不能把两条看起来接近直角的线直接代入。 如果、也不易直接求，可在同一条垂线上选一个容易计算距离的已知格点，再写，从而把所求关系转到已知格点之间。 已知两段的和与平方差时，可用先求差，再求两段。若需要确定动点位置，应检查垂足两侧是否都在线段范围内；一个算出的距离可对应两个点，也可能只留下一个。 多个直角三角形还可能通过相加配对消去不需要分别求的量。关键不是多设未知数，而是先找出哪些直角边在不同等式中重复出现。 如：、，相减后消去。若另有、，便得到。 例6 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，且。求的长。 变式6-1 如图，每个小正方形的边长为，长方形的四个顶点都是格点，是长方形内任意一点。求证：。 变式6-2 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，且。求与的长。 变式6-3 如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点。点在线段上，。求的长。 七、A组 基础巩固 1、如图，每个小正方形的面积为，、都是格点，则________。 2、如图，每格边长为，、都是格点。若整数满足，则________。 3、如图，每格边长为，、、都是格点。下列判断正确的是（　）。 A. B. C. D. 不是直角三角形 4、如图，每格边长为，、、都是格点，则的面积为________。 5、如图，每格边长为，是格点。在给定网格内或边界上，到的距离为的格点共有________个，并在图中标出这些点。 6、如图，每格边长为，、、都是格点。点到直线的距离为________，线段的长为________。 7、、、都是正方形网格的格点，，则________。 8、在边长为的小正方形组成的网格中，两个格点间的距离不可能是（　）。 A. B. C. D. 八、B组 方法突破 1、如图，每个小正方形的边长为，、、都是格点，是的中点。在线段上取点，使。求与的长。 2、如图，每格边长为，、、、都是格点，。求点、到直线的距离。 3、如图，每格边长为，、都是格点。只用无刻度直尺，以为斜边画出一个两条直角边不相等的格点直角三角形，并求它的面积。 4、如图，每格边长为，、、、都是格点。求的度数。 5、如图，每格边长为，四边形的四个顶点都是格点，，，与交于。求点到直线的距离。 6、如图，每格边长为，四边形的四个顶点都是格点，、交于点。求的度数及四边形的面积。 7、如图，每格边长为，、、都是格点，、分别为、的中点。求的长及的面积。 九、C组 综合提升 1、如图，每个小正方形的边长为，、、、都是格点，与相交于点。求的面积及的长。 2、如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，、都是格点。只用无刻度直尺，在给定网格内或边界上找出所有格点，使是面积为的直角三角形。 在图中标出符合条件的点，并分别求这些三角形的周长。点不与、重合。 3、如图，每格边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺， 在线段上作出点，使，并求的长及的面积。 4、如图，每格边长为，、、都是格点。只用无刻度直尺， 在给定网格内作出点，使，保留作图痕迹，并求的长。 十、D组 2025—2026中考精选 1、（2025年天津中考第18题Ⅰ，节选）如图，在每个小正方形的边长为的网格中，点、均在格点上。线段的长为________。 2、（2025年宁夏中考第22题）如图，在的方格中，每个小正方形边长均为个单位长度，的顶点、点和点都在格点上。仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法。 过点作的垂线段； 过点作的平行线。 3、（2025年江苏扬州中考第28题，节选）如图，点在正方形内，过作，，矩形的面积是矩形面积的倍。 小玲利用正方形网格画出了一个符合条件的特殊图形。请你仅用无刻度的直尺连接一条线段，由此可得此图形中________。 4、（2026年江苏徐州中考第16题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为，、、、、均为格点，点在上，、分别为、与格线的交点，则线段的长为________。 1 学科网（北京）股份有限公司 $