3.3 勾股定理的简单应用 专题讲义 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

3.3 勾股定理的简单应用（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 目录 【题型1 判断汽车是否超速】 2 【题型 2··折叠问题】 4 【题型 3··选址到两地距离相等】 5 【题型 4··解决航海问题】 7 【题型 5··求河宽】 9 【题型 6··求台阶上地毯长度】 10 【题型 7··求旗杆高度】 12 【题型 8··求小鸟飞行距离】 14 【题型 9··求大树折断前高度】 15 【题型 10·求杯子中物体长度】 16 【题型 11·求梯子滑落高度】 18 【题型 12·求最短路径】 20 【随堂检测】 21 知识点1 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线路的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，将其发展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线． 2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤： 知识点2 利用三角形三边关系判断垂直 现实生活中需要判断两条直线是否垂直，解决问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，再利用三角形三边关系判断是否垂直． 【题型1 判断汽车是否超速】 【例1】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【变式1-1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【变式1-2】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【变式1-3】如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【题型 2··折叠问题】 【例2】如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 【变式2-1】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【变式2-2】如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 【变式2-3】如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【题型 3··选址到两地距离相等】 【例3】如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【变式3-1】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【变式3-2】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【变式3-3】如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【题型 4··解决航海问题】 【例4】如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【变式4-1】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【变式4-2】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【变式4-3】某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【题型 5··求河宽】 【例5】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【变式5-1】如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【变式5-2】校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【题型 6··求台阶上地毯长度】 【例6】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【变式6-1】如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【变式6-2】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【变式6-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【题型 7··求旗杆高度】 【例7】小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【变式7-1】为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【变式7-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【变式7-3】如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 【题型 8··求小鸟飞行距离】 【例8】2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【变式8-1】如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【变式8-2】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【题型 9··求大树折断前高度】 【例9】如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【变式91】由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【变式9-2】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【变式9-3】如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【题型 10·求杯子中物体长度】 【例10】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【变式10-1】《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【变式10-2】如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【变式10-3】寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【题型 11·求梯子滑落高度】 【例11】如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【变式11-1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【变式11-2】教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【变式11-3】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【题型 12·求最短路径】 【例12】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【变式12-1】如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【变式13-2】某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【变式13-3】某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 2．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 4．如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 5．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 6．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 7．如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 8．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 9.如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 10．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 勾股定理的简单应用（知识解读） 【苏科版2024】 题型归纳 目录 【题型1 判断汽车是否超速】 2 【题型 2··折叠问题】 5 【题型 3··选址到两地距离相等】 8 【题型 4··解决航海问题】 11 【题型 5··求河宽】 17 【题型 6··求台阶上地毯长度】 19 【题型 7··求旗杆高度】 22 【题型 8··求小鸟飞行距离】 25 【题型 9··求大树折断前高度】 27 【题型 10·求杯子中物体长度】 30 【题型 11·求梯子滑落高度】 32 【题型 12·求最短路径】 37 【随堂检测】 40 知识点1 利用勾股定理解决立体图形中的最短路径问题 1.在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线路的性质：两点之间，线段最短．在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，将其发展成平面图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线． 2.立体图形表面的最短路线问题的一般解题步骤： 知识点2 利用三角形三边关系判断垂直 现实生活中需要判断两条直线是否垂直，解决问题的一般方法是将实际问题转化为数学问题，再利用三角形三边关系判断是否垂直． 【题型1 判断汽车是否超速】 【例1】“中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街道行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪处的正前方的处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗?（参考数据转换：） 【答案】超速了 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出，进而求出小汽车的速度，再与限制的速度比较即可判断求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：由题意得，在中，，，， ∴， ∴小汽车的速度为， ∵， ∴这辆小汽车超速了． 【变式1-1】交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】 解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】略 【变式1-2】为了进一步规范道路交通秩序，厦门市公安交通管理局决定自2024年6月17日零时起，下调海沧隧道主线机动车行驶最高限速值，即小型汽车限速值由调整为、大型汽车限速值由调整为．如图，一辆小汽车在隧道内沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A处的正前方的C处（即），过了小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段是否超速行驶？请说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)这辆小汽车没有超速，理由： 结合（1）可得小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车没有超速行驶． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用； （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可． 【详解】（1）解：由题意可得：，，， ∴； （2）解：略． 【变式1-3】如图所示，点装有一车速检测仪，它到公路边的距离米，小汽车行驶过检测仪监控区域，到达点时开始计时，离开点时停止计时，已知米． (1)若一辆汽车以的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？ (2)若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由． 【答案】(1)共用时4秒 (2) 解：超速，理由如下∶ ， ∵， ∴该车超速． 【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）勾股定理求出的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可； （2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可 【详解】（1）解：依题意可得，， ∴，为直角三角形 ∵米，米， ∴米， ， ∴ 答∶共用时4秒； （2）略 【题型 2··折叠问题】 【例2】如图，一张三角形纸片，，，．将纸片沿直线折叠，使点A与B重合，求的长． 【答案】 【分析】设，先利用勾股定理逆定理证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， ∵折叠， ∴， ∴， 解得，即． 【变式2-1】如图，将直角三角形纸片沿折叠，使点落在延长线上的点处．若，，求图中阴影部分的面积 【答案】 【分析】此题考查了折叠的性质，勾股定理．由勾股定理求出，设    ，则，根据求出得到的长，再根据三角形面积公式求出答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠得，， 设，则， 在中，，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴ 图中阴影部分的面积是． 【变式2-2】如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，，求的长． 【答案】 【分析】根据折叠以及长方形的性质可得，先对运用勾股定理求解，再设，由折叠可得，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的长为． 【变式2-3】如图，在中，，，，点E在上，连接，将沿折叠至处，点D在的延长线上，求解下列问题： (1)求的长； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质． （1）根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到，即，根据勾股定理即可求出的长； （2）设，则，根据折叠的性质得到，根据勾股定理求出，即可求出的长． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵将沿折叠至处， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，则， ∵将沿折叠至处， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【题型 3··选址到两地距离相等】 【例3】如图，在东西走向的和平街上有两个相距的快递投放点、，快递投放点的正北方向有一小区，小区到快递投放点的距离为． (1)求小区到快递投放点的距离． (2)因快递投放量增加，现准备在和平街新增一个快递投放点，新的投放点到小区与快递投放点的距离相等，求快递投放点、之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设，则，根据勾股定理列方程求解即可. 【详解】（1）解：∵小区A在快递投放点C的正北方向， ∴， ∴，， ∴， ∴小区A到快递投放点C的距离为； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴快递投放点B，D之间的距离为． 【变式3-1】如图，铁路上A，B两站（视为直线上两点）相距，C，D为两村庄（视为两个点），于A，于．已知，，现要在铁路上建设一个特产收购站，使得，两村到E站的距离相等，则E站应建在距离A站多少千米处？ 【答案】E站应建在离A站处 【分析】设，可将和的长表示出来，然后根据勾股定理可得，即可列出方程进行求解． 【详解】解：∵C，D两村到E站的距离相等， ∴． ∵于A，于B， ∴， ∴， ∴， 设，则． ∵，， ∴， 解得：， ∴． 答：E站应建在离A站处． 【变式3-2】如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 【变式3-3】如图，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，观景台到马路的距离（的长）为，凉亭到马路的距离（的长）为，的长为．现计划在路段之间放置一个自动售货点，使得到、两处的距离相等，该自动售货点应该修建在离点多远处？ 【答案】该自动售货点应该修建在离点 处 【分析】连接，设，则，利用勾股定理列方程即可解答． 【详解】解：如图，连接， 设，则， 根据勾股定理可得， ， ， ， 解得， 答：该自动售货点应该修建在离点 处． 【题型 4··解决航海问题】 【例4】如图，在海平面上，为灯塔，、为两个港口．其中港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里．港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里．一艘轮船从港口沿直线向港口运输货物，航行的平均速度为每小时海里． (1)求港口到港口的直线距离； (2)为保障航行的安全，灯塔将向航船发送安全信号，信号的有效覆盖半径为海里，在轮船从港口向港口航行的过程中，接收安全信号的时长不低于小时才符合安全标准，该轮船本次航行是否符合安全标准?请说明理由． 【答案】(1)海里 (2)本次航行符合安全标准，理由如下： 如图，过点作于， ∵海里，海里，海里，， ∴， ∴， 解得：， 设海里， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵航行的平均速度为每小时海里， ∴航行时长小时，满足安全标准． 【分析】（1）根据方位角的定义得出，海里，海里，利用勾股定理求出，即可得出答案； （2）过点作于，利用“等积法”求出，设海里，根据等腰三角形的性质及勾股定理求出海里，进而求出海里，根据时间距离速度，即可求出从到所用时间，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵港口在灯塔的北偏西方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∵港口在灯塔的北偏东方向上，距离灯塔海里， ∴，海里， ∴， ∴（海里）， ∴港口到港口的直线距离为海里． （2）解：本次航行符合安全标准，理由略 【变式4-1】如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 【变式4-2】在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是80海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是60海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为20海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间． (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为50海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2) 这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则小时，即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口B在灯塔C的南偏西方向上， ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是80海里，港口B与灯塔C的距离是60海里 （海里）， ∵货船的航行速度为20海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：略． 【变式4-3】某海域有一小岛，在以为圆心，半径为海里的圆形海域内有暗礁，一海监船自西向东航行，它在处测得小岛位于北偏东的方向上，当海监船行驶海里后到达处，此时观测小岛位于处北偏东方向上． (1)若过点作于点，则___________； (2)求的距离； (3)若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由． 【答案】(1) (2)80海里 (3)海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【分析】（1）设，则，，据此求解即可； （2）设海里，根据等腰直角三角形的性质用x表示出，再用x表示出，根据题意列出方程，解方程求出x，进而求出； （3）比较与半径的大小，得到答案． 【详解】（1）解：如图，在中，， 设，则，， ∴； （2）解：在中，， 设海里，则海里，海里， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∴海里， ∵海里， ∴， 解得， ∴海里， ∴的距离为80海里； （3）解：海监船由B处继续向东航行有触礁危险， 理由如下：∵， ∵， ∴海监船由B处继续向东航行有触礁危险． 【题型 5··求河宽】 【例5】如图，某公园内有一个不规则池塘（即图中阴影部分），、两点分别位于池塘两端，利用现有工具无法直接测得、间的距离，小明采用如下方法测量：在地面上取一点，使点能直接到达点和点，在的延长线上取一点，使得米．经测量米，米，米，请你计算点、之间的距离． 【答案】18米 【分析】可证明，则，据此利用勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵米，米，米， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， 又∵米， ∴米， ∴米， 答：点、之间的距离为18米． 【变式5-1】如图，为了求出位于湖两岸的点、之间的距离，一名观测者在点处设桩，使恰好为直角三角形．通过测量，得到的长为，的长为．问：从点穿过湖到点有多远？ 【答案】从点穿过湖到点有米 【分析】已知是直角三角形，，根据勾股定理可得，将，代入上式中即可求得的长度． 【详解】解：为直角三角形，且如图所示，， （）． 答：从点穿过湖到点有米． 【变式5-2】校园内有一处池塘，数学实践小组的同学想利用所学知识测量池塘两端，之间的距离，他们的操作过程如下：①沿延长线的方向，在池塘边的空地上选点，使米；②在AC的一侧选点，恰好使米，米；③测得米．请根据他们的操作过程，回答以下问题： (1)求的度数； (2)求出，两点间的距离． 【答案】(1) (2)15米 【分析】（1）根据勾股定理逆定理求解即可； （2）利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：米，米，米， ， 是直角三角形，且， ； （2）解：米， 在中，由勾股定理得， 米， ，两点间的距离为米． 【题型 6··求台阶上地毯长度】 【例6】某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长，高的台阶上铺设地毯（如图所示），已知台阶的宽为． (1)请你算一算共需购买多大面积的地毯； (2)若地毯的价格为120 元，则购买地毯需花费多少元？ 【答案】(1)共需购买68平方米的地毯 (2)购买地毯需花费8160元 【分析】（1）求出台阶的水平宽，计算地毯长度，再计算地毯的面积即可； （2）用地毯的单价乘以面积求出购买地毯的费用． 【详解】（1）解：依题意图中直角三角形一直角边为，斜边为， 根据勾股定理另一直角边长，即台阶的水平宽为：， 则需购买地毯的长为， 因为地毯的宽则是台阶的宽4米， 所以面积是：． 故共需购买的地毯． （2）解：由地毯的价格为120 元， 则购买地毯的费用为：元， 故购买地毯需花费8160元． 【变式6-1】如图1，是一段楼梯的示意图，截面是一个直角三角形．已知直角边长，斜边的长是．现打算在楼梯上铺地毯，每平方米的地毯售价是150元，楼梯宽为．那么购买这种地毯至少需要多少元？ 【答案】5100元 【分析】本题考查了勾股定理的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．理解题意，运用勾股定理得，则得出在楼梯上铺地毯需要的长度，然后结合楼梯宽为，以及每平方米的地毯售价是150元，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得，， 在楼梯上铺地毯需要的长度为， ∵楼梯宽为， ∴需要铺地毯的面积为， ∵每平方米的地毯售价是150元， ∴购买这种地毯至少需要的费用为（元）． 【变式6-2】树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，，，． (1)求的长； (2)若已知楼梯宽，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【答案】(1)的长为 (2)需要花费686元地毯才能铺满所有台阶 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， 在中，由勾股定理得：， 答：的长为； （2）解：地毯长为：， 已知楼梯宽，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为， ∴需要花费（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【变式6-3】某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 【题型 7··求旗杆高度】 【例7】小聪发现，旗杆顶端的绳子自然下垂时，绳末端恰好落在旗杆底部的地面上．他借助这条绳子测量旗杆高度．如图，线段为旗杆，将这条绳子末端拉直，当绳子末端落在宣传栏上的点处时（即），点到地面的距离，地面上B、C两点之间的距离，且A、B、C、D四点在同一竖直平面内．求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为. 【分析】作，勾股定理求出的长即可. 【详解】解：作，则，， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得； 答：旗杆的高度为. 【变式7-1】为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)米 (2)5米 【分析】（1）根据长方形的性质可得米，，在中，利用勾股定理求出的长，即可； （2）求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米， ∴米； （2）解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ∴再放出米的线． 【变式7-2】数学综合实验课上，同学们在测量学校旗杆的高度时发现：将旗杆顶端升旗用的绳子垂到地面还多1米；当把绳子的下端拉开5米后，下端刚好接触地面．根据以上数据，同学们准确求出了旗杆的高度，你知道他们是如何计算出来的吗？ 【答案】旗杆的高度为12米． 过程：设旗杆高，则绳子长为， ∵旗杆垂直于地面， ∴旗杆、绳子与地面构成直角三角形， 由题意列式为，解得， ∴旗杆的高度为12米． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据题意构造出直角三角形是解题的关键． 设旗杆高，则绳子长为，根据勾股定理列式计算即可； 【详解】略 【变式7-3】如图1，同学们想测量旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下： 小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余1.5米，如图1；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部6米，如图2． 小亮：先在垂到旗杆底端处的绳子上打一个结（打结所用绳长忽略不计），然后举起绳结拉到如图3所示的点处．已知小亮举起的绳结离地面2.25米高，此时绳结离旗杆6.75米远． 请选择一种方案求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为米 【分析】此题考查了勾股定理的应用，分别选择两种方案利用勾股定理列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：选择小明的方案： 如图2，设旗杆的长度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米； 或者选择小亮的方案： 如图3，设旗杆的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 故旗杆的高度为米． 【题型 8··求小鸟飞行距离】 【例8】2024年12月4日，我国传统节日春节申遗成功．图图和涵涵在市集上买了一个年画风筝，在试飞风筝过程中，他们想利用数学知识测量风筝的垂直高度．以下是他们测量高度的过程：①测得水平距离的长为24米；②根据图图手中剩余线的长度计算出牵引线的长为30米；③图图牵线放风筝的手到地面的距离为米．请你帮助解决涵涵提出的问题．放风筝小队在野外放风筝，为了安全，风筝高度不得高于20米，根据测量的数据判断此时风筝的高度是否安全？ 【答案】是安全的 【分析】根据勾股定理可得米，然后问题可求解 【详解】解：∵， 由勾股定理得：米， 根据题意可得米， ∴， ∴此时风筝的高度是安全的． 【变式8-1】如图，某校校庆时，从教学楼楼顶的点A处向围墙上的点B处拉彩旗．已知点B和教学楼的水平距离为，教学楼高，围墙高，问至少需要多长的彩旗带？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过B作于D，可知，，进而求出，根据计算即可． 【详解】解：过B作于D， ∴，， ∴（）， 在中，， ∴（）， 答：至少需要的彩旗带． 【变式8-2】如图，小明操纵无人机从树尖飞向旗杆顶端，已知树高，旗杆高，树与旗杆之间的水平距离为，则无人机飞行的最短距离为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作于，连接，由题意得：，，，求出，最后由勾股定理计算即可，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，连接， 由题意得：，，， ， ． 即：无人机飞行的最短距离为． 【题型 9··求大树折断前高度】 【例9】如图，一棵米高的大树在一次强台风中在距地面处折断，倒下后树顶端落在点处，离这棵大树底端点米远有一辆小轿车，试判断树枝落地时是否会砸着小轿车，并说明理由． 【答案】树枝落地时不会砸着小轿车，理由如下： 根据题意可知：，，， ∴， ∵， ∴树枝落地时不会砸着小轿车． 【分析】由勾股定理得出的长，再与米比较即可得出答案． 【详解】略 【变式91】由于大风，山坡上的甲树在点处被拦腰折断，如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部处，甲、乙两树均沿竖直方向生长.已知，，两棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内） 【答案】折断前甲树的高度为 【分析】过点作交的延长线于点，在和中用勾股定理即可得到折断前甲树的高度． 【详解】解：过点作交的延长线于点，，， 由题可知， 在中，， ， 在中，， ， 折断前甲树的高度为． 【变式9-2】如图，一根直立的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部处． (1)求旗杆从距地面多高处折断； (2)工人在修复旗杆的过程中，发现在折断点的下方的点处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？ 【答案】(1) (2)周围范围内有被砸伤的风险 【分析】（1）利用勾股定理建立方程即可； （2）先画出图形，再求解，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：由题意知， ， 在中，， ， ， ，， 故旗杆在距地面处折断． （2）解：如图，点距地面， ， ， 在中，， 距离旗杆底部周围范围内有被砸伤的风险． 【变式9-3】如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长； （2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 【题型 10·求杯子中物体长度】 【例10】如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 【答案】13尺 【分析】设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺，利用勾股定理列出关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则水深为尺， 由勾股定理得， 解得， 即这根芦苇的长度为13尺． 【变式10-1】《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即．求水池的深度及芦苇的长度； 【答案】水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【分析】设尺，则尺，利用勾股定理可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设尺，则尺， 由题意得，尺，， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 答：水池的深度为12尺，芦苇的长度为13尺． 【变式10-2】如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，求的长． 【答案】 【分析】该题考查了勾股定理的应用，在中和中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：在中，因为， 所以． 在中， 因为， 所以， 所以． 【变式10-3】寒冷的冬天，你需要一杯热热的咸奶茶．现用搪瓷缸制作咸奶茶，已知，圆柱形搪瓷缸的底面直径为，高为．老师遇到了这样一个问题：搅拌棒的长度太短了，不能搅拌到底部． (1)当搅拌棒接触到底部时，搅拌棒至少长出杯口才合适．请你告诉老师，如图1放置时，搅拌棒至少需要_____； (2)如图2，老师新买的一根长为的搅拌棒，如果设其露在杯子外面的长为，求出的取值范围． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）图1中搅拌棒竖直放置，圆柱的高为，即杯内搅拌棒长度为，题目要求长出杯口，两者相加即可解答； （2）当搅拌棒斜放，从杯口边缘到杯底对角时，杯内长度最大，当搅拌棒竖直放置时，杯内长度最小，据此求解即可； 【详解】（1）解：根据题意可得搅拌棒至少需要； （2）解：当搅拌棒竖直放置时，露在杯子外的长； 由勾股定理得，搅拌棒在杯子里面的部分最长为， 露在杯子外面的长； ． 【题型 11·求梯子滑落高度】 【例11】如图所示，一根长米的木棍斜靠在与地面垂直的墙上，此时墙角与木棍端的距离为米，设木棍的中点为，若木棍端沿墙下滑，则端沿地面向右滑行． (1)求的长； (2)木棍在滑动过程中，线段的长度发生改变了吗？若改变，请说明理由；若不变，求的长； (3)如果木棍的底端向外滑出米，那么木棍的顶端沿墙下滑多少米？ 【答案】(1)米 (2)木棍在滑动过程中，线段的长度未发生改变； (3)米 【分析】（1）根据题意，由勾股定理直接代入值计算即可； （2）由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求解即可； （3）在新情况下，由勾股定理求出长，与原来米比较即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 由题意可知米，米， 在中，由勾股定理可得（米）； （2）解：连接，如图所示： 在中，为的中点，则（米）； （3）解：如图所示： 当木棍的底端向外滑出米时，米，米， 在中，由勾股定理可得（米）， 刚开始时米， 木棍的顶端沿墙下滑距离为米． 【变式11-1】如图，一架长的云梯斜靠在一面墙上，这架云梯的顶端位于A处时，它的底端位于B处，底端与墙角O处的距离为． (1)求这架云梯顶端A处的高度； (2)当这架云梯的顶端下滑时，底端也沿的向外移动吗? 【答案】(1)； (2)底端沿向外移动距离不是 【分析】（1）利用勾股定理进行求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， 答：这架云梯的顶端A处的高度是； （2）解：∵梯子的顶端A下滑了至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴ 底端沿向外移动了，不是． 【变式11-2】教材呈现：如图1，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点B到墙面的距离为． (1)如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端会沿墙下滑多少m？求出梯子会沿墙下滑的距离的长度； 解决问题： (2)如图2，某物流公司仓库内有一座的货架，货架顶部安装一个高的装卸平台，现需对该平台进行设备检修．一辆高的叉车在货架前点处，展开的升降臂（最长）刚好接触到装卸平台底部点．叉车向货架方向行驶多少后，其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点？请通过计算后说明理由． 【答案】(1)答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． (2)解：叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点．理由如下： 过点作于点， 由题意可得，，，， ∵叉车高， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴叉车向货架方向行驶后,其长的升降臂刚好能接触到装卸平台顶部点． 【分析】（1）根据题意，可得，，，根据勾股定理求出，根据梯子底端沿向外移动，则，根据勾股定理求出，即可求出； （2）过点作于点，由题意可得，，，，根据勾股定理求出；，根据，即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得，，， ∴ ∵梯子底端沿向外移动， ∴， ∴， ∴． 答：梯子会沿墙下滑的距离的长度为． （2）略 【变式11-3】某小区两面直立的墙壁之间为安全通道，一架梯子斜靠在左墙时，梯子到左墙的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若梯子底端保持不动，将梯子斜靠在右墙上，梯子顶端到地面的距离为，求这两面直立墙壁之间的安全通道的宽的长度．（单位：） 【答案】 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合思想的应用．先根据勾股定理求出的长，同理可得出的长，进而可得出结论． 【详解】解：由题意得，， ，， ， ， ， ， 即这两面直立墙壁之间的安全通道的宽． 【题型 12·求最短路径】 【例12】如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的最短路程是多少？（杯壁厚度不计），请画出平面展开图并计算结果． 【答案】 【分析】先画出圆柱的侧面展开图，作点A关于的对称点，可得即为最短距离，在利用勾股定理，求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作点A关于的对称点，连接，则即为最短距离， 过点作，交的延长线于点D， 根据题意，得，，， 故由勾股定理，得． 【变式12-1】如图，在长、宽、高的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点G处．试帮这只蚂蚁设计一条最佳路线，使其爬行的路程最短． 【答案】这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【分析】把此长方体的一面展开，然后在平面内，利用勾股定理求点A和G点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离． 【详解】解：（1）如图： 由勾股定理得； （2）如图： 由勾股定理得； （3）如图： 由勾股定理得． ∵， ∴这只蚂蚁爬行的最佳路线是将长方体的左面上面展开，最短路径的长为． 【变式13-2】某工厂大型设备“圆柱形储罐”，高为12米，底面半径为米．为便于设备检修，在罐体侧面底部点处设有一个检修入口，在罐顶与点相对的边缘点处设有一个观测窗口．现需从检修入口到观测窗口沿罐体外表面敷设一条电缆线，为节省材料，请计算沿罐体侧面敷设的电缆线最短长度是多少？（取3） 【答案】20米 【分析】根据圆柱展开图，两点之间线段最短，勾股定理求解即可； 【详解】解：将“圆柱形储罐”展开为如图所示，由题意可知， ∵圆柱底面半径为米，取3， ∴底面圆的周长的一半米． ∵圆柱的高为12米， 米． 在中，由勾股定理得，米． 故答案为：20米． 【变式13-3】某学校要举办第四届运动会，现需装饰一根高为，底面半径为的圆柱（如图）．A，B分别是圆柱两底面圆周上的点，且点A，B在同一母线上，用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B，那么这根彩带的长度最短多少？ 【答案】最短为 【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将立体图形展开，形成平面图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵用一根彩带（宽度不计）从点A处顺着圆柱侧面绕3圈到点B， ∴将圆柱的侧面展开图平铺三次（如图），则所求最短长度是图中的长， ∵圆柱底面半径为， ∴长方形的长为圆柱的底面周长的三倍，即， 长方形的宽为圆柱的高，即， 在中，； 答：这根彩带的长度最短为． 随堂检测 【随堂检测】 1．如图，从电线杆离地面12米（米）处向地面拉一条长为15米（米）的钢缆，则地面钢缆固定点到电线杆底部的距离为（     ） A．9米 B．8米 C．7米 D．6米 【答案】A 【详解】解：∵，米，米， ∴（米）． 2．如图，强台风时一棵大树在距离地面的点处折断，大树顶端的着地点与大树底端的距离为，则这棵树折断前的高度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出长度，即为这棵树折断的高度，再加上未折断的高度即可求出答案． 【详解】解：由图可知，，， 在中，， 这棵树折断前的高度为． 3．如图所示，有一个棱长为2米的正方体纸盒，一只小蚂蚁从A点爬到B点，那么这只蚂蚁爬行的最短路径为（   ） A．6米 B．米 C．米 D．4米 【答案】B 【分析】先把正方体展开，连接，再根据勾股定理求出的值即可． 【详解】解：将正方体展开，如图所示： 在直角中， ∵，，， ∴， ∴这只蚂蚁爬行的最短路径为米． 4．如图，有两棵树，一棵高，一棵高，两树相距，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少要飞行（   ）m A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是构造直角三角形；将两棵树的高度差和两树距离作为直角边，利用勾股定理求出斜边即为小鸟飞行的最短距离． 【详解】解：如图，设较高的树为，较矮的树为，两树相距，过点作于点，则四边形为矩形， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 小鸟至少要飞行． 故选：． 5．如图，长为的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子的底端离墙脚线的距离为0.7m，梯子顶端到地面的距离为________． 【答案】2.4 【分析】根据题意可知梯子、墙面与地面构成直角三角形，已知斜边和一条直角边的长度，利用勾股定理即可求出另一条直角边的长度． 【详解】解：由题意可知，梯子、墙面与地面构成直角三角形，且斜边长为 ，一条直角边长为 ， 根据勾股定理，得梯子顶端到地面的距离为：． 故答案为：2.4． 6．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑__________m． 【答案】 【分析】根据勾股定理，可得，，即可求解． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， ∴，， ∴， ∴梯子顶端沿墙下滑． 7．如图，一只昆虫要从边长为的正方体盒子的一个顶点爬到相距最远的另一个顶点，沿盒子表面爬行的最短路程是______． 【答案】 【分析】把正方体侧面展开图，根据两点之间线段最短，画出昆虫沿盒子表面爬行的最短路径，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：正方体侧面展开图如图所示，线段即为昆虫沿盒子表面爬行的最短路程， 根据勾股定理得，， ∴昆虫沿盒子表面爬行的最短路程是． 8．物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块B上，另一端拴在A的正下方物体C上．初始时，，，．绳子始终绷紧，滑轮与物体大小忽略不计． (1)求初始状态下细绳的总长度； (2)如图2，若物体C竖直升高，求此时滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理算出斜边的长度，再把与竖直绳段相加，即可求出细绳整体总长度． （2）先根据物体上升高度求出变化后的竖直绳长，结合绳总长不变算出新斜边，再次用勾股定理求出滑块新的水平距离，用减去初始水平长度，得到滑块向左滑动的距离． 【详解】（1）解：由题意得：， 在中，，， 由勾股定理得：， ， 答：绳子的总长度为． （2）由题意得：， ， 绳子的总长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 9.如图，某康养基地内有一条东西向的景观公路，基地的监控中心到公路的垂直距离为1200米．一天，监控员发现一辆未登记的外来车辆在公路上匀速行驶．用红外线测距仪测得：此时车辆正在公路处，距处2000米；44秒后，车辆行驶到公路上的处，距处1300米． (1)求外来车辆的平均速度； (2)监控中心到景观公路只有一条长为1500米的小路．监控员发现外来车辆后，立即联系安保人员，当外来车辆到达处时，安保人员同时开车从出发，沿小路进行拦截，若安保人员车速为，能否成功在处拦截外来车辆？请通过计算进行说明． 【答案】(1)外来车辆的平均速度为 (2)能成功在处拦截外来车辆，理由如下： 由题意得， 在中，由勾股定理，得， 由（1）可知， ， 外来车辆到达处所需的时间为． 安保人员的速度为， 安保人员达处所需的时间为， 能成功在处拦截外来车辆． 【分析】（1）过点作于点，由题意得，，，利用勾股定理在中，可得，在中，可得，从而求得，即可得出外来车辆的平均速度； （2）先利用勾股定理在中，可得，结合（1）可得，从而可以算出外来车辆及安保人员达处所需的时间，通过比较即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，则，， 由题意得，， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ， 速度为， 答：外来车辆的平均速度为； （2）略． 10．如图1，某公园内有一条笔直的马路，马路同侧有观景台、凉亭，已知于点于点，． 请结合所学知识，解决下列问题： (1)【基础应用】 观景台与凉亭之间的直线距离__________；（直接写出结果） (2)【核心探究】如图2，现计划在路段之间放置一个自动售货点，使到A，B两处的距离相等，该自动售货点应修建在离点多少米处？ (3)【拓展延伸】为方便游客出行，公园管理处计划在马路边上设置一个便民服务点，使得到A、B两处的距离之和最小，不用写过程，请直接写出到A、B两处的距离之和最小值（结果保留根号）． 【答案】(1)1000 (2)自动售货点应修建在离点C100米处 (3) 【分析】（1）连接，过点B作于点G，易得四边形是矩形，再由勾股定理即可求的长； （2）设，则，由勾股定理分别表示出、，再根据，列方程求解即可； （3）作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则到A、B两处的距离之和最小值即为，易得四边形是矩形，由勾股定理求即可； 【详解】（1）解：如图，连接，过点B作于点G， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，； （2）解：设，则， ∴，， ∵到A，B两处的距离相等， ∴， ∴， 解得， ∴自动售货点应修建在离点100米处； （3）解：如图，作点B关于对称的点，连接交于点M，连接，作交延长线于H，则，， 可知四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为， 即到A、B两处的距离之和最小值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $