2026-2027学年沪教版（五四制）九年级数学上册 期中培优练习

2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中培优练习卷 （解析版） （考试时间：100分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、单选题 1．若线段 ，，， 成比例，其中 ，，，则 值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查成比例线段的定义．四条线段 、、、 成比例，即 ，由比例的基本性质即可求出 ． 【详解】因为线段 、、、 成比例，所以 ， 即 ，所以 ． 故选：D． 【点睛】判断四条线段是否成比例，可看“两内项之积是否等于两外项之积”；成比例是有顺序的， 与 一般不相等． 2．抛物线 上有三点 ，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线开口向上，点离对称轴越远，函数值越大．先求对称轴，再比较三点到对称轴的距离． 【详解】抛物线的对称轴为直线 ，且开口向上， 所以抛物线上的点离对称轴越近，函数值越小． 点 到对称轴的距离为 ；点 在对称轴上，距离为 ；点 到对称轴的距离为 ． 因为 ，所以 ． 故选：B． 【点睛】比较抛物线上的点的函数值，不必逐点代入：定对称轴、算距离、看开口，三步即可． 3．如图，已知 ， 与 相交于点 ，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，如果 ，，那么 等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由 得 ，求出 ；取 的中点 构造中位线，把 拆成 与 之差． 【详解】因为 ，所以 ， 所以 ． 取 的中点 ，连接 ．因为 是 的中点，所以 是 的中位线， ，． 又 ，所以 、、 三点共线，且 ． 在 中， 是 的中点，，所以 是 的中位线，． 所以 ， 故 ． 故选：A． 【点睛】梯形中“一腰中点＋平行于底”是构造中位线的信号：取另一腰的中点，就能把所求线段表示成两条中位线的和或差． 4．二次函数 的图象只过三个象限，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把解析式配方，确定顶点与对称轴，再按 、 两种情况讨论图象所经过的象限． 【详解】，顶点为 ，对称轴为直线 ． 当 时，抛物线开口向上．要使图象不进入第四象限，只需 时 ，即 （因为 时 随 增大而增大）； 同时图象要经过第三象限，需顶点纵坐标 ，即 ．此时图象经过第一、二、三象限，共三个象限，符合题意． 当 时，抛物线开口向下，顶点 在第二象限，与 轴的交点 在第一象限，而 且很大时 （第四象限）， 且很小时 （第三象限），四个象限都经过，不符合题意． 所以 ． 故选：A． 【点睛】“只过三个象限”要抓住两个关口：顶点（是否进入第三象限）与 轴交点（是否进入第四象限）． 5．如图在 的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形， 就是一个格点三角形，现从 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与 相似的（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】D 【分析】先算出 的三边之比，再逐一以 、、 为已知边，在网格中寻找使三边之比相同的第三个格点． 【详解】由图可得 ，，，则 ，，，三边之比为 ． ①取 、，第三点取 ，得 本身，与 相似； ②取 、，第三点取 ，则 ，，，三边之比仍为 ，与 相似； ③取 、，第三点取 ，则 ，，，与 相似； ④取 、，第三点取 ，则 ，，，与 相似． 其余各种取法所得三角形的三边之比都不是 ，故与 相似的共有 个． 故选：D． 【点睛】格点中找相似三角形，先把原三角形的三边（或三边之比）算出来，再按“已知哪条边”分类枚举，比盲目试画更快． 6．如图，已知在 中，点 是中线 上一点，且 ，点 、 分别在边 、 上， 经过点 ，那么下列结论中，错误的是（    ） A．如果 ，那么 B．如果点 与点 重合，那么 C． 的和是一个定值 D． 的和是一个定值 【答案】D 【分析】设 ，，用面积比把 、 与 联系起来，得到 为定值，再逐项判断． 【详解】设 ，． 因为 ，且 是 的中点，所以 ，同理 ． 所以 ，． 而 ， 所以 ，即 ． A．由 得 ，代入得 ，即 ，所以 ，结论正确； B．点 与点 重合时 ，由 得 ，所以 ，结论正确； C．，是定值，结论正确； D．，例如 时为 ，、 时为 ，不是定值，结论错误． 故选：D． 【点睛】过定点的截线问题，用“面积比＝线段比”把两个比例串起来最快；结论 为定值可用来秒判选项． 二、填空题 7．在一张比例尺为 的地图上，、 两地间的图上距离为 厘米，则两地间的实际距离是千米． 【答案】 【分析】比例尺＝图上距离:实际距离，注意单位换算： 千米 厘米． 【详解】设两地间的实际距离为 厘米，则 ， 解得 厘米 千米． 【点睛】比例尺 的含义是“图上 厘米表示实际 千米”，换算熟记可省去一次单位换算． 8．抛物线 绕其顶点旋转 ° 后得到抛物线的解析式是． 【答案】 【分析】先配方求顶点，绕顶点旋转 ° 即关于顶点中心对称：开口方向相反、顶点不变． 【详解】，顶点为 ，开口向上． 绕顶点旋转 ° 后开口向下、顶点不变，所以新抛物线为 ． 【点睛】绕顶点旋转 °：解析式由 变为 ，只有 变号． 9．在等边 中，，、 分别是边 、 上的点，且 °，，则 的长是． 【答案】 【分析】利用 ° 构造“共边相似”，得到 ，再用余弦定理求 ． 【详解】因为 是等边三角形，所以 °，． 又 ，所以 ． 因为 °，且 ，所以 ， 所以 ，即 ． 在 中，由余弦定理得 °， 所以 ，． 【点睛】“一线三等角”里公共边是桥梁：由相似得 ，把求线段转化成求 ． 10．如图，已知 ，且相似比为 ，那么直线 的图象必定经过象限． 【答案】第一、三、四象限 【分析】相似比恒为正，据此确定 的符号；再找出直线恒过的定点，即可判断象限． 【详解】因为 ，相似比 ． 直线 恒过点 ，且斜率 ， 所以它的图象经过第一、三、四象限． 【点睛】含参直线先找定点：令 得 ，定点为 ；再按 的正负定象限． 11．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 、、 都在竖格线上．若线段 ，则线段 的长为． 【答案】 【分析】三条平行且等距的直线截同一条直线，所得线段之比等于“间隔的格数之比”． 【详解】由图可知， 在第 条竖格线上， 在第 条竖格线上， 在第 条竖格线上， 所以 到 相隔 格， 到 相隔 格． 由平行线分线段成比例，， 所以 ． 【点睛】平行等距线截直线：线段之比＝间隔格数之比，与直线的倾斜程度无关． 12．已知 ，对应中线的比为 ，且 边上的高为 ，则 边上的高为． 【答案】 【分析】相似三角形对应中线之比、对应高之比都等于相似比． 【详解】设 边上的高为 ． 因为对应中线的比为 ，所以相似比为 ，对应高之比也是 ， 所以 ，解得 ． 【点睛】相似三角形中，对应中线、对应高、对应角平分线、周长之比都等于相似比，面积比等于相似比的平方． 13．二次函数 的图象经过点 ，，，，其中 、 为常数，那么 的值为． 【答案】 【分析】由 、 两点纵坐标相同得对称轴，进而得 ；再用 、、 三点坐标把 、 都用 表示． 【详解】因为 、 的纵坐标相同，所以抛物线的对称轴为直线 ， 所以 ，即 ． 又图象过 ，所以 ． 把 代入得 ，即 ，所以 ． 把 代入得 ，即 ，所以 ． 所以 ． 【点睛】纵坐标相同的两点关于对称轴对称，这是求对称轴最快的方法；再“设而不求”，把待求量统一用一个字母表示． 14．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是． 【答案】 【分析】先求 的三边之比，再按相似比 表示 的三边与面积，在 网格中找面积最大的相似格点三角形． 【详解】设小正方形边长为 ，则 ，，， ，，，三边之比为 ，面积为 ． 设相似比为 ，则 的三边为 、、，面积为 ，要使面积最大就要使 最大． 在 网格中，格点间距离的平方只能是两个整数平方之和，逐一检验可知：当 时，三边为 、、，对应格点 、、，可以画出，此时面积为 ； 若 再大，则三边中最长边超过 ，另外两边无法同时落在格点上（或超出网格），故 的最大值为 ． 【点睛】格点相似三角形的“面积最大”等价于“相似比最大”：先锁定三边之比，再用“格点距离只能是 ”去筛选． 15．对称轴为直线 的抛物线 （，， 为常数，且 ）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（ 为任意实数），⑥当 时， 随 的增大而增大．其中结论正确的个数为个． 【答案】 【分析】由图读出 、、、图象与 轴有两个交点（分别在 与 之间、 与 之间），再逐条判断． 【详解】由图象知 ；对称轴为 ，故 ；图象与 轴交于负半轴，故 ． ① （两负一正），正确； ② 图象与 轴有两个交点，所以 ，即 ，正确； ③ 就是 时的函数值．由图象知右交点横坐标大于 ，故 时 ，错误； ④ （因为 ）就是 时的函数值．由图象知 在左交点左侧，故 ，正确； ⑤ 因为 时函数取得最小值，所以 ，即 ，正确； ⑥ 对称轴为 且开口向上，当 时 随 增大而减小，故当 时 随 增大而减小，错误． 所以正确的结论是①、②、④、⑤，共 个． 【点睛】含参式子先“翻译”成函数值：，，，判断符号就变成看图上的点在高处还是低处． 16．我们定义一种新函数：形如 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 的图象，则当直线 与函数 的图象有 个交点时， 的取值范围是． 【答案】 或 【分析】把“鹊桥”函数的图象分成三段，分别与直线联立，数交点个数，再合并各种情形． 【详解】，所以 的图象由三部分组成：当 或 时是开口向上的抛物线 ；当 时是开口向下的抛物线 （这一段的最大值为 ）． ①与左分支（）：由 得 ，当 时恰有一个交点（），否则没有； ②与右分支（）：同样由 得，当 时恰有一个交点（）； ③与中间一段（）：由 得 ，（）．当 时两根都落在 内；当 时只有 落在该段内；当 或 时没有． 所以交点个数为： 时 个； 时 个； 时 个； 时 个； 时 个． 故当直线与图象有 个交点时， 或 ． 【点睛】“鹊桥”函数的图象是“两升一降”的 形：分段联立、数根的个数是通法，端点（重根、端点值）必须单独验证． 17．如图，正方形 的顶点 ， 在开口向上的二次函数 的图象上，点 在点 的左侧，点 在 轴正半轴上，设点 ， 的横坐标分别为 、，已知 ，则 ． 【答案】 【分析】用正方形的两个条件 、，得到 、 坐标之间的关系，再消去点 的纵坐标． 【详解】设 （），则 ，， ，． 因为 是正方形，所以 且 ， 即 ，． 由这两式可得 是 绕点 旋转 ° 得到的向量，结合图中 在 轴左侧、 在右侧，得 ，． 两式相减得 ，即 ． 因为 ，且 （否则 、 关于 轴对称， 落在 轴上，与图不符）， 所以 ，． 【点睛】正方形问题优先用向量：、 翻译成“旋转 °”，两个方程一减即可消去参数． 18．如图，在 中， 为边 上的中线，，，．将 绕点 以逆时针方向旋转得到 ，点 、 分别与点 、 对应．连接 ， 与线段 交于点 ．如果点 、、 在同一条直线上，那么 ． 【答案】 【分析】先用 、、 共线与 定出旋转角，再建系求 与 的坐标． 【详解】因为 ， 是 边上的中线，所以 ；又 ，所以 ，而 ． 在 中，， ． 旋转后 ，，．因为 ，所以 ，即 ． 由 、、 共线得 ；又 ，所以 ， 于是 °，， 所以旋转角 满足 ，． 以 为原点、 所在直线为 轴建系，则 ，，，， 由旋转公式得 ． 直线 的方向为 ，直线 的方向为 ，联立得 ． 所以 ． 【点睛】旋转＋共线，先用等腰三角形把旋转角算出来，再建系，是这类题的固定套路；算旋转角时用 ° 最省事． 三、解答题 19．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为 米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留 米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长 米，设苗圃 的一边 长为 米． (1) 长为米（包含门宽，用含 的代数式表示） (2)若苗圃 的面积为 ，求 的值； (3)苗圃 的面积是否可以达到 ，请说明理由． 【答案】(1)；(2)；(3)不能，理由见解析 【分析】木栏总长＝隔栏两扇门，由 表示 ；再用面积列方程、用判别式判断可行性． 【详解】(1)木栏由三条垂直于墙的木栏（、 与中间隔栏，长度都是 ）和 组成，两处门各宽 米不用木栏， 所以 ，． (2)由 得 ，解得 或 ． 又墙的最大可用长度为 米，即 ，所以 ，故 舍去，． (3)若 ，则 ， ，方程无实数根， 所以苗圃的面积不能达到 ． 【点睛】“篱笆问题”先数清木栏的条数（含隔栏），门要减掉；第二问一定要用墙长限制取舍，否则会多一个增根． 20．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，，． (1)以原点 为位似中心，在 轴的左侧按 放大，画出 的一个位似 ； (2)画出将 向右平移 个单位，再向下平移 个单位后得到的 ； (3) 与 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 ，并写出点 的坐标． 【答案】(1)(2)作图见解析；(3)是位似图形，位似中心 【分析】位似变换按 放大且位于 轴左侧，即各坐标都乘以 ；平移改变坐标，位似中心由对应点连线共点确定． 【详解】(1)以原点为位似中心、在 轴左侧按 放大，即把各点横、纵坐标都乘以 ： ，，，顺次连接即得 ． (2)横坐标加 、纵坐标减 ：，，，顺次连接即得 ． (3)是位似图形．连接 、、，三条直线都经过点 ， 且 ，所以位似中心为 ． 【点睛】两图形是否位似，看“对应点连线是否共点、且对应线段是否平行”；坐标法只要解两条对应点连线的交点即可． 21．如图，在 中，，，，垂足分别为点 ，点 ．，交 的延长线于点 ． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】证明见解析 【分析】(1)由 得角相等，再找直角，构造 ；(2)用面积两种算法把 与 联系起来，再与(1)的结论相除． 【详解】(1)因为 ，所以 ． 因为 ，，所以 °． 在 与 中，°，， 所以 ， 所以 ，即 ． (2)因为 ，，所以 ，点 到直线 的距离等于 ， 所以 ；又 ，所以 ． 于是 ，即 ． 由(1) ，所以 ，即 ． 因为 ，，所以 是 的中点，， 所以 ，即 ． 【点睛】证线段的乘积式，常用两招：一是找相似把比写出来，二是用“同一个三角形面积的两种算法”搭桥． 22．为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池 进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知 ，（单位 米）．同时，再建造一个周长为 米的矩形水池 （如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池 的边 加长长度 为 米（），加长后水池1的总面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：；设水池2的边 的长为 米（），面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是；当水池1的面积大于水池2的面积时， 的取值范围是． (2)在 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值； (3)假设水池 的边 的长度为 米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积 （平方米），关于 （米）（）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出 的值． 【答案】(1)； 或 ；(2)最大值 ，此时 ；(3) 【分析】(1)配方求水池2的最大面积，解不等式比较两池面积；(2)写出面积差的二次函数，配方求最值；(3)两池面积相等转化为一元二次方程有唯一解，用判别式求解． 【详解】(1)，所以当 时水池2的面积最大，最大值为 ． 由 得 ，即 或 ，结合 得 或 ． (2)， 因为 ，所以当 时，两个水池的面积差最大，最大值为 ． (3)由 得 ， 当两池面积相等时 有唯一值，即方程有两个相等的实数根， 所以 ，． 【点睛】实际问题先“建模”再“用模”：面积最大用配方，唯一解用判别式，最后别忘了自变量取值范围． 23．如图1，在 中，°， 且 ． (1)求证：； (2)连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ． ①过点 作 分别交 、 于点 、，如图2所示．已知 ，，求 和 的长； ②如图3，如果 为 的中点，求 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)①，；② 【分析】(1)作 ，用等腰三角形与直角三角形中的余弦把 、、 联系起来；(2)①建系用坐标求交点；②设 、，用 为中点及 求出 、 的关系，再把面积比化为 ． 【详解】(1)过点 作 于 ．因为 ，所以 是 的中点，． 因为 ，所以 ． 在 中 ，在 中 ， 所以 ，， 所以 ，即 ． (2)①因为 °，，，所以 ，． 由(1)得 ．以 为原点、 所在直线为 轴建系，则 ，，． 因为 ， 的方向为 ，故 的方向为 ，所以 ． 的方向为 ，所以 的斜率为 ．直线 上的点可写作 ， 由 的斜率为 得 ，解得 ，故 ， ． 又 ，所以 的斜率为 ，与直线 联立得 ， 故 ，． ②设 ，，则 ，由(1) ． 仍以 为原点、 为 轴建系：，，，． 直线 与 轴交于 ，因为 是 的中点，所以 ． 的斜率为 ， 的斜率为 ， 由 得 ，化简得 ． 令 ，则 ，代入得 ，即 ， 解得 （负根舍去），所以 ． 又 ；，其中 是点 到 的距离，即点 到“过 且平行于 的直线”的距离， ，所以 ． 所以 ． 【点睛】第(1)问的 是整道题的“发动机”，后面两问都要用它；第(2)②把面积比化成 后，只需一个关于 、 的关系式． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年沪教版九年级上学期期中培优练习卷 （学生版） （考试时间：100分钟 试卷满分：150 分） 班级：____________ 姓名：____________ 学号：____________ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、学号填写在试卷指定位置上。 2．回答选择题时，把答案填写在题后的括号内；回答非选择题时，将答案写在题目下方的空白处。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷交回。 4．测试范围：沪教版九年级上册（相似三角形、二次函数） 一、单选题 1．若线段 ，，， 成比例，其中 ，，，则 值为（    ） A． B． C． D． 2．抛物线 上有三点 ，则 满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知 ， 与 相交于点 ，点 是 的中点，过点 作 交 于点 ，如果 ，，那么 等于（    ） A． B． C． D． 4．二次函数 的图象只过三个象限，则 的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．如图在 的方格中，每一个小正方形的顶点叫做格点，以其中三个格点为顶点的三角形称为格点三角形， 就是一个格点三角形，现从 的三个顶点中选取两个格点，再从余下的格点中选取一个格点连接成格点三角形，其中与 相似的（    ） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 6．如图，已知在 中，点 是中线 上一点，且 ，点 、 分别在边 、 上， 经过点 ，那么下列结论中，错误的是（    ） A．如果 ，那么 B．如果点 与点 重合，那么 C． 的和是一个定值 D． 的和是一个定值 二、填空题 7．在一张比例尺为 的地图上，、 两地间的图上距离为 厘米，则两地间的实际距离是千米． 8．抛物线 绕其顶点旋转 ° 后得到抛物线的解析式是． 9．在等边 中，，、 分别是边 、 上的点，且 °，，则 的长是． 10．如图，已知 ，且相似比为 ，那么直线 的图象必定经过象限． 11．如图是一张书法练习纸，练习纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点 、、 都在竖格线上．若线段 ，则线段 的长为． 12．已知 ，对应中线的比为 ，且 边上的高为 ，则 边上的高为． 13．二次函数 的图象经过点 ，，，，其中 、 为常数，那么 的值为． 14．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在 的网格中， 是一个格点三角形，如果 也是该网格中的一个格点三角形，它与 相似且面积最大，那么 与 相似比的值是． 15．对称轴为直线 的抛物线 （，， 为常数，且 ）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（ 为任意实数），⑥当 时， 随 的增大而增大．其中结论正确的个数为个． 16．我们定义一种新函数：形如 的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数 的图象，则当直线 与函数 的图象有 个交点时， 的取值范围是． 17．如图，正方形 的顶点 ， 在开口向上的二次函数 的图象上，点 在点 的左侧，点 在 轴正半轴上，设点 ， 的横坐标分别为 、，已知 ，则 ． 18．如图，在 中， 为边 上的中线，，，．将 绕点 以逆时针方向旋转得到 ，点 、 分别与点 、 对应．连接 ， 与线段 交于点 ．如果点 、、 在同一条直线上，那么 ． 三、解答题 19．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃 ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为 米），另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留 米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长 米，设苗圃 的一边 长为 米． (1) 长为米（包含门宽，用含 的代数式表示） (2)若苗圃 的面积为 ，求 的值； (3)苗圃 的面积是否可以达到 ，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为 ，，． (1)以原点 为位似中心，在 轴的左侧按 放大，画出 的一个位似 ； (2)画出将 向右平移 个单位，再向下平移 个单位后得到的 ； (3) 与 是位似图形吗？若是，请在图中标出位似中心 ，并写出点 的坐标． 21．如图，在 中，，，，垂足分别为点 ，点 ．，交 的延长线于点 ． (1)求证：； (2)求证：． 22．为美化校园环境，某学校根据地形情况，要对景观带中长方形水池 进行加长改造（如图①，改造后的水池仍为长方形，以下简称水池1）．已知 ，（单位 米）．同时，再建造一个周长为 米的矩形水池 （如图②，以下简称水池2）． 【建立模型】 如果设水池 的边 加长长度 为 米（），加长后水池1的总面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：；设水池2的边 的长为 米（），面积为 平方米，则 关于 的函数表达式为：，上述两个函数在同一平面直角坐标系中的图像如图③． 【问题解决】 (1)水池2面积的最大值是；当水池1的面积大于水池2的面积时， 的取值范围是． (2)在 范围内，求两个水池面积差的最大值和此时 的值； (3)假设水池 的边 的长度为 米，其他条件不变（这个加长改造后的新水池简称水池3），则水池3的总面积 （平方米），关于 （米）（）的函数表达式为：．当水池3与水池2的面积相等时，（米）有唯一值，请直接写出 的值． 23．如图1，在 中，°， 且 ． (1)求证：； (2)连接 交 于点 ，过点 作 交 于点 ． ①过点 作 分别交 、 于点 、，如图2所示．已知 ，，求 和 的长； ②如图3，如果 为 的中点，求 的值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $