2026-2027学年上海九年级数学上学期期中押题卷（新中考结构卷）

2026-2027学年九年级上学期期中押题卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第27-29章。 5．难度系数：0.6 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．下列函数中是二次函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将各选项函数解析式化为最简形式，再结合二次函数的定义判断． 【详解】解：A选项，的最高次数为1，是一次函数，不符合题意； B选项，化简，得，是整式且二次项系数不为0，符合二次函数定义； C选项，化简，得，是一次函数，不符合题意； D选项，不是整式函数，不符合题意． 2．学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙．在下面同一幅作品中，内、外边框的图形不一定相似的是（     ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应边成比例，对应角相等的两个图形是相似图形，分别对A、B、C、D各选项的图形进行判断即可得答案. 【详解】解：A.设A选项图形的内边框长为，宽为，内外边框之间的宽为，则外边框长为，宽为， ∴内、外边框的边长比为：，， 当时，， ∴， 此时A选项图形内外边框的图形对应边不成比例，不是相似图形. 当时，， ∴， 此时A选项图形的内外边框的图形对应边成比例， ∵A选项图形的内外边框的图形是矩形， ∴A选项图形的内外边框的图形对应角相等， ∴此时A选项图形的内外边框的图形是相似图形， 综上所述，A选项图形的内、外边框的图形不一定相似，故A符合题意. B. 根据B选项图形的内、外边框的图形是正方形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴B选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴B选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故B不符合题意. C. 根据C选项图形的内、外边框的图形是等边三角形，设内边框的边长为，内外边框之间的宽为，则外边框的边长为， ∴C选项图形的内、外边框的图形的边长比为：，对应角也相等， ∴C选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故C不符合题意. D. 根据D选项图形的内、外边框的图形是圆，设内边框的半径为，内外边框之间的宽为，则外边框的半径为， ∴D选项图形的内、外边框的图形的周长比为：，对应角为，也相等， ∴D选项图形的内、外边框的图形是相似图形，故D不符合题意. 3．某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中（单位：），则的长度是（     ）． A．37 B．37.5 C．38 D．38.5 【答案】B 【详解】解：， ， ，，， ， 解得． 4．如图，二次函数与一次函数的图象相交于两点，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较两个函数值的大小，可先求出两图象交点的横坐标，以交点为分界点，判断抛物线在直线上方还是下方；由抛物线开口向上，可知其解集在两根之间． 【详解】解：联立两函数： ， 移项得， 即， 解得或． 当时，；当时，． 故两图象交于点和． 根据函数图象，可得，则的取值范围是． 5．如图，在中，，是斜边上的高，给出下列线段的比：①；②；③；④．其中，比值与的值相等的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据余弦的定义判断，再结合相似的判定和性质，可推得同角的余弦值相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴在中，，即②满足要求； ∵是斜边上的高， ∴在中，，即①满足要求； 由题可知，， 则，， ∴， ∴， ∴， 则，即④满足要求； 综上，比值与的值相等的个数为个． 6．如图，两建筑物间的水平距离为30m，从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物CD的高为（     ） A． B．20m C． D． 【答案】A 【分析】延长交过点的水平线于点，构造两个直角三角形，分别求出和的长，利用 求解． 【详解】解：延长交过点的水平线于点，如图， 则， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ， 在中，， ， ． 故答案为 A． 第二部分（非选择题 共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7．若关于的函数是二次函数，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据二次函数定义可知未知数最高次数为2，二次项系数不为0列式求解即可． 【详解】解：∵关于的函数是二次函数， ∴， ∴． 8．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的新抛物线的表达式为________． 【答案】 【分析】根据左加右减，上加下减平移的性质进行运算即可． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后可得： ． 9．已知，则________． 【答案】 【分析】已知的取值，可将所求分式拆分为含的形式，通过整体代入计算结果． 【详解】解：将所求分式拆分可得， ∵， ∴将其代入上式得． 10．如图，与是位似图形，位似中心为点的面积为，则面积为__________． 【答案】 【分析】利用位似图形的性质，可得与相似，再利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：与是位似图形， ，， ， ， ， ． 11．c如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则___________． 【答案】 【分析】连接，交y轴于点D，根据二次函数图象的性质和正方形的性质得，进而得到，将A的坐标代入求解即可． 【详解】解：连接，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ∵点A在抛物线上， ， 整理得：， ∵， ∴， 解得：． 12．甲、乙两个山坡如图所示，___________山坡更陡（填“甲”或“乙”）． 【答案】乙 【分析】根据题中已知条件求出各自的坡度比进行比较即可． 【详解】解：甲的垂直边为：， ∴坡度比为：； 乙的坡度比为：； ∵， ∴乙山坡更陡． 13．已知直线经过点且平行于轴．二次函数，当时，对应的函数值随的增大而增大，且该段图象与直线有公共点时，的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据二次函数图象开口和对称轴，得出时，随的增大而增大，根据对应的函数值随的增大而增大，可得，求出，令，求出对应的的值，根据对应的图象与直线有公共点求出，且，综上即可得出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当对应的函数值随的增大而增大， ∴， 解得， 当时，， 解得，（在对称轴右侧，故舍去）， ∵当时，对应的图象与直线有公共点， ∴，且， 解得，且， ∴． 14．锐角中，若，则_________． 【答案】 【分析】根据绝对值与平方的非负性，结合锐角三角函数的特殊值求出、的度数，再利用三角形内角和计算． 【详解】解：，，， ，， ，， 是锐角三角形，即，， 在该范围内，满足的角为，满足的角为，即，， 三角形内角和为， ． 15．为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一面靠墙(墙的长度为)；另外三面用栅栏围成．已知栅栏的总长度为， 设矩形场地中垂直于墙的一边长为（如图)．矩形种植场地的面积最大值是_______． 【答案】 【分析】首先求x的取值范围，再根据二次函数得性质求在范围内的最值即可． 【详解】解：矩形种植场地的面积， ∵， ∴， ∵，， ∴时，， 则时，矩形种植场地的面积最大为． 16．如图，中，以点为圆心；任意长为半径作弧，分别交，于点，分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．已知，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据尺规作图痕迹可知是的角平分线，结合平行线性质可证为等腰三角形，得出，然后证明，再根据相似三角形对应边成比例列方程求解即可． 【详解】解：由作图可知，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得，即的长为． 17．如图，将一块长方形直尺与一块含角的直角三角形按如图所示位置放置，斜边与，交于点P，Q，直角边与，交于点M，N，若，，则的长是________． 【答案】 【分析】过点作于，利用求出的长；构造等腰直角三角形，利用全等三角形求出的长；利用相似三角形求出的长，最后由勾股定理求即得的长． 【详解】解：过点作于点，过点作，交于点， 直尺为长方形， ， 四边形为平行四边形， ， 在中，， 设， 则， ， ， ， 为含角的直角三角形，为斜边， ， ， ， 过点作且，使点在下方，连接， 则为等腰直角三角形，， 过点作交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ． 三、解答题（本大题共7小题，满分82分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18．计算：． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 19．某商家正在热销一种商品，其成本为元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为元/件时，改变销售策略，此时售价每增加元需支付由此产生的额外费用元．该商品销售量（件）与售价（元/件）满足如图所示的函数关系（其中，且为整数）． (1)直接写出与的函数解析式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 【答案】(1)（为整数） (2)当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元 【分析】（1）根据函数图象，可知销售量是关于售价的一次函数，通过待定系数法即可求解关于的函数解析式； （2）设商家获得的利润为元，根据利润等于售价减去成本，分段列出利润关于售价的解析式，得到是关于的二次函数，根据二次函数的图象和性质得到利润的最大值． 【详解】（1）解：∵，观察函数图象可知， 当时，销售量是关于售价的一次函数， 当时，销售量也是关于售价的一次函数， 当时，设第一段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第一段一次函数的解析式为， 当时，设第二段一次函数的解析式为， 将点，代入，得：， 解得：， ∴第二段一次函数的解析式为， ∴与的函数解析式为： （为整数）； （2）解：设商家获得的利润为元， 根据题意可得：， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，顶点坐标为，， ∴当时，有最大值为元， 当时，根据题意可得：， 此时利润是关于售价的二次函数，对称轴为直线，， ∴当时，随的增大而增大， 当时，有最大值为元， ∴当售价为元时，商家所获利润最大，最大利润是元． 20．已知二次函数，列表如下： … … … _____ _____ … (1)请把表格补充完整； (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象； (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) … … … … (2) (3) 【分析】（1）把和分别代入，运算即可； （2）根据表格中的数据描点作图即可； （3）根据函数图象寻找范围即可． 【详解】（1）解：把代入可得：； 把代入可得：， 表格略； （2）略； （3）当时，由图象可得：． 21．如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． (1)以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， (2)点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可； （2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点． 【详解】（1）略 （2）略 22．如图，在矩形中，，点是对角线上的一个动点（不包含，两点），过点作分别交射线，射线于点，． (1)求证：； (2)如图（2），连接，若，且为的中点，求的值． 【答案】(1)证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； (2) 【分析】（1）先根据同角的余角相等证明，然后再结合一组相等的直角即可证明； （2）先证明，再证明和，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：， ， ， ， ∴， ， 如图，设交于， 四边形是矩形， ，， ∴ ， ， ， ∴， ， ， ∴， ． 23．【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图（1）、图（2）是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形，米，米，雨伞撑开的宽度米，伞柄的部分长为米，点为中点，，点到地面的距离是米，手臂可以水平向前最长伸出米，雨线与地面的夹角为，雨线与平行，与地面平行． 【问题感知】 (1)①在图（1）、图（2）中，点到地面的距离是_____米； ②如图（1）所示，，若小丽将伞拿在胸前（与在同一条直线上），则小丽身体被雨水淋湿的部分____米．（参考数据：，，） 【问题探究】 (2)如图（2）所示，，设小丽将手臂水平前伸了米（即线段的长度），身体被雨水淋湿部分的长度为米，求与的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①根据题意，分别求出线段的长即可； ②利用平行线的性质求出，解直角三角形求出，进而可求出的长； （2）延长，交于点，则，根据平行线的性质得出，解三角形求出，进而得出，延长交于，过点作于，求出，米，由头部不被淋湿得出，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①在图（1）中， ∵部分长为米，点到地面的距离是米，，与地面平行， ∴点到地面的距离是（米）， 在图（2）中，延长，交于， ∵，， ∴， ∴点到地面的距离是（米）． 综上所述：点到地面的距离是米． ②∵米，点为的中点， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，（米）， ∴（米）． （2）解：如图，延长，交于点，则， ∴米， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 延长交于，过点作于， ∴（米），，米， ∵头部不被淋湿， ∴，即， 解得：， ∵， ∴， ∴与的函数表达式为． 24．在平面直角坐标系中，如果二次函数的图象经过一次函数与反比例函数图象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函数的“伴生点”． (1)若时，求“伴生二次函数”的解析式． (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，，连接，，记直线，的解析式分别为，，若，且为负数，求的取值范围． (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为，． ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②若“伴生二次函数”的图象与轴的另一个交点为，连接，，是否存在实数，使得，，这三条线段组成一个以为斜边的直角三角形？若存在，求出的值和此时“伴生二次函数”的解析式． 【答案】(1)． (2) (3)①设，， 令，即， 由根与系数的关系知：，， 又由，即，知：，， ，，即，， “伴生二次函数”的解析式为， 变形得：， 该函数图象恒过定点， ，解得或， 此时或， ； 对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数，“伴生二次函数”的图象都经过一个异于原点的定点； ②的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， 代入，得， 解得， “伴生二次函数”的解析式为； （2）解：设，， 令，整理得：， 由根与系数的关系得：，， 且，即， ，即， ，， ， ， 当时，；当时，， ； （3）解：①略 ②令，则， 解得或， ， ，， ， 当时，， 即，解得或， ， ， 综上，的值为，此时“伴生二次函数”的解析式为． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级上学期期中押题卷 数学 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材沪教版五四制九年级数学上册第27-29章。 5.难度系数：0.6 第一部分（选择题共24分) 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 1.下列函数中是二次函数的是(·) A.y=x+1 B.y=(3x-1}-3x C.y=x(x+3)-x2 D.y=+x 2.学校艺术节上，同学们绘制了非常美丽的画并且在其周围裱上等宽的边框做成艺术墙.在下面同一幅 作品中，内、外边框的图形不一定相似的是()· A B 试卷第1页（共3页） 3.某商店的货架可抽象成如图所示的图形，其中AB‖CD‖EF‖GH,AC=30,CE=40,DF=50(单位： cm),则BD的长度是()cm. A.37 B.37.5 C.38 D.38.5 4如图，二次函数=r+2 与一次函数片=x+ 的图象相交于两点，若》<”，则的取值范围是 0123x A.x<-2 B.-2<x<1 C.x>1 D.-2<x<0 AD AC 5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的高，给出下列线段的比：①AC;②AB: BD CD ③BC;④BC,其中，比值与cosA的值相等的个数为(） A D B A.1 B.2 C.3 D.4 6.如图，两建筑物间的水平距离为30m,从A点测得C点的俯角为30°，D点的俯角为45°，则建筑物 CD的高为() 试卷第2页（共3页） 0 0 C 0 口口 口口 B D A.(30-105)m B.20m c.30(2-105)m D.10v3m 第二部分（非选择题共126分） 二、填空题（本大题共11小题，每小题4分，满分44分） 7.若关于的函数'=2x+x- 是二次函数，则m的值为. y=(x-2)2+1 8.将抛物线 向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的新抛物线的表达 式为 a-b 9.已知。-4，则a OA'2 10.如图，△ABC与△4'BC是位似图形，位似中心为点0，OA有△1BC的面积为g:则△HBC面积 为 \B A A 1L.c如图，抛物线y=r+ 经过正方形OABC 的三个顶点A,B,C,点B在轴上，则C= 试卷第3页（共3页） 12.甲、乙两个山坡如图所示， 山坡更陡（填“甲”或“乙”). 13 a 12 甲 品已直线经过点09以平行于产新。三次腾邀少=+2 当95x50+3时.对应的西数位 随x的增大而增大，且该段图象与直线有公共点时，的取值范围为 --sinB+(tanc-3)= 14.锐角。4BC中，若2 ,则∠A= 15.为贯彻实施劳动课程，某校计划建造一个矩形种植场地，为充分利用现有资源，该矩形种植场地一 面靠墙（墙的长度为8m);另外三面用栅栏围成.已知栅栏的总长度为l8m,设矩形场地中垂直于墙的一 边长为m(如图).矩形种植场地的面积最大值是 8m 16.如图，△ABC中，以点B为圆心：任意长为半径作弧，分别交AB,BC于E、F点，分别以点E、F 为圆心，以大于EF的长为半径作弧，两弧交于点G,作射线BG,交AC于点D,过点D作DH∥BC 交AB于点H.己知HD=4,BC=9,则AH的长为一 H E 17.如图，将一块长方形直尺ABCD与一块含45°角的直角三角形EFG按如图所示位置放置，斜边EF与 DBC交T点R,e,直角边GP与AD:BC交于点MN若PQ-=5m,m∠POB-则MN的 长是」 试卷第4页（共3页） 三、解答题（本大题共7小题，满分82分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 18.计算： 2sin60°+(2-V5)°-←tan60-(-1)202s 19.某商家正在热销一种商品，其成本为30元/件，在销售过程中发现随着售价增加，销售量在减少.商 家决定当售价为60元/件时，改变销售策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元.该商 品销售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系（其中40≤x≤70，且x为整数）· (件) 300 250- 100-- Bi 40 60 70 x(元/件) (1)直接写出y与x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围： (②)当售价为多少时，商家所获利润最大，最大利润是多少？ 20.已知二次函数'=-r+2x+2 列表如下： -1 0 1 2 3 y … 2 2 -1 (1)请把表格补充完整： (2)在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象： 试卷第5页（共3页） 5 4 3 2 -5-4-3-2-10 1 2 345x -2 -5 (3)当0<x<3时，直接写出y的取值范围。 -1 0 1 2 3 -1 2 3 2 -1 21.如图在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示，顶点坐标分别为： A(-2,-4)B(-6,-2) C(-4,-6) O 1 (I)以原点O为位似中心，画出。ABC的位似图形△AB,C,使它与4ABC的位似比为ˉ2， ②点D、点E的坐标分别是Q,4)、(6),请用尺规作图作出线段DE的黄金分制点P.供中 DP>EP) 22.如图，在矩形ABCD中，AD>AB,点P是对角线AC上的一个动点（不包含A,C两点），过点P 试卷第6页（共3页） 作EF⊥AC分别交射线AB,射线AD于点E,F. D B 图(1) 图(2) 图(3) (I)求证：△AEF△BCA: AP (2②)如图(2)，连接BP,若BP=AB,且F为AD的中点，求PC的值. 23.【主题】雨天撑伞的学问 【情境】图(1)、图(2)是小丽在雨天水平撑伞的示意图，她的身体侧面可以近似看作矩形MNP, MN=0.2MQ=1.6 AC=1 OG 0.45 O AC 米， 米，雨伞撑开的宽度 米，伞柄的部分长为米，点为中点， OG1AC,点G到地面的距离是1.35米，手臂可以水平向前最长伸出0.5米，雨线AB与地面的夹角为B, 雨线AB与CD平行，AC与地面BD平行. A A M N M G 雨线 雨线 雨线 雨线 K 72° 人60° B ODP B DOP "y (1) (2) 【问题感知】 (1)①在图(1)、图(2)中，点C到地面的距离是_米； ②如图(1)所示，0=72°，若小丽将伞拿在胸前(0G与NP在同一条直线上)，则小丽身体被雨水淋 湿的部分PK=米.（参考数据：sin72°≈0.95，cos72°≈0.31，tan72°≈3.08） 【问题探究】 (2)如图(2)所示，8=60°，设小丽将手臂水平前伸了x米（即线段EG的长度），身体被雨水淋湿部分 试卷第7页（共3页） PK的长度为y米，求y与x的函数表达式，并写出头部不被淋湿情况下x的取值范围。 2 24.在平面直角坐标系中，如果二次函数y=ax2+bx的图象经过一次函数y=在+1与反比例函数y=图 象的两个不同交点，那么称这个二次函数为这两个函数的“伴生二次函数”，这两个交点称为该二次函 数的“伴生点”. (1)若k=1时，求“伴生二次函数”的解析式. (2)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为A,B,连接OA,OB,记直线OA,OB的解析式分别为 y=,=x,若m=+,且为负数，求m的取值范国。 (3)设“伴生二次函数”的两个“伴生点”为C,D ①求证：对于任意使一次函数与反比例函数有两个不同交点的非零实数k,“伴生二次函数”的图象都经过 一个异于原点的定点P: ②若“伴生二次函数”的图象与x轴的另一个交点为N,连接CD,OP,是否存在实数k(k>O),使得 210k0P ON,CD,5 这三条线段组成一个以CD为斜边的直角三角形？若存在，求出k的值和此时“伴 生二次函数”的解析式. 试卷第8页（共3页）